高中数学第二章数列2.5等比数列前n和同步检测(含解析)新人教A版必修5

第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

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2.5.1 等比数列的前n项和(建议用时:45分钟)[学业达标］一、选择题1．设｛a n｝是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和，若｛S n}是等差数列，则q等于( ）A．1 B．0 C．1或0 D．－1【解析】因为S n－S n－1＝a n,又{S n}是等差数列，所以a n为定值，即数列{a n}为常数列，所以q＝错误!＝1.【答案】A2．等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝（）A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!【解析】设公比为q,∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴错误!∴错误!解得a1＝错误!，故选C。

【答案】C3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ）A．190 B．191C．192 D．193【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝错误!，n＝7，由错误!＝381，解得a1＝192。

【答案】C4．设数列1，（1＋2），…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为S n，则S n的值为（）A．2n B．2n－nC．2n＋1－n D．2n＋1－n－2【解析】法一：特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D。

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用课后篇巩固探究A 组1.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5等于()A.33B.72C.84D.189S 3=a 1(1+q+q 2)=21,且a 1=3,得q+q 2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=22·S 3=84.2.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n -1(a 是不为零且不等于1的常数),则数列{a n }()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列S n =a n -1符合S n =-Aq n +A 的形式,且a ≠0,a ≠1,所以数列{a n }一定是等比数列.3已知{a n }是等比数列,a 1=1,a 4=,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1等于()A.2(1-4-n )B.2(1-2-n )C.(1-4-n )D.(1-2-n )q ,∵a4a 1=q 3=,∴q=. ∵a 1=1,∴a n a n+1=1×(12)n -1×1×(12)n =21-2n .故a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n+1=2-1+2-3+2-5+…+21-2n=12(1-14n )1-14=(1-4-n ).4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏a 盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a 为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a (1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.5.已知一个等比数列共有3m 项,若前2m 项之和为15,后2m 项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为 ()A.63B.72C.75D.87已知S 2m =15,S 3m -S m =60,又(S 2m -S m )2=S m (S 3m -S 2m )=S m (S m +60-S 2m ),解得S m =3,所以S 3m =60+3=63.答案A6在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=2,a 2,a 4+2,a 5成等差数列,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 10-S 4=.解析依题意有2(a 4+2)=a 2+a 5,设公比为q ,则有2(2q 3+2)=2q+2q 4,解得q=2.于是S 10-S 4=2(1-210)1-2−2(1-24)1-2=2 016.答案2 0167.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018=.解析∵a n+1·a n =2n (n ∈N *),a 1=1,∴a 2=2,a 3=2.又a n+2·a n+1=2n+1, ∴a n+2a n=2, ∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S 2 018=(a 1+a 3+…+a 2 017)+(a 2+a 4+…+a 2 018)=21 009-12-1+2(21 009-1)2-1=3·21 009-3.答案3·21 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)解析设每期应付款x 元,第n 期付款后欠款A n 元,则A 1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x ,A 2=(2 000×1.007-x )×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x ,……A 12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x ,因为A 12=0,所以2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=2 000×1.007121+1.007+…+1.00711=2 000×1.007121.00712-11.007-1≈175,即每期应付款175元.答案1759在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为|a 2|的等比数列,求{b n }的前n 项和S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d=-6,从而d=-3.所以a 2+a 7=2a 1+7d=-23,解得a 1=-1.所以数列{a n }的通项公式为a n =-3n+2.(2)由(1)得a 2=-4,所以|a 2|=4.而数列{a n +b n }是首项为1,公比为4的等比数列.所以a n +b n =4n-1,即-3n+2+b n =4n-1,所以b n =3n-2+4n-1,于是S n =[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=n (3n -1)2+1-4n 1-4=n (3n -1)2+4n -13. 10.导学号04994050已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+1=S n ,n ∈N *,求:(1)a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式;(2)a 2+a 4+a 6+…+a 2n 的值.解(1)由a 1=1,a n+1=S n ,n=1,2,3,…,得21=a 1=,a 3=S 2=(a 1+a 2)=,a 4=S 3=(a 1+a 2+a 3)=1627.由a n+1-a n =13(S n -S n-1)=a n (n ≥2),得a n+1=a n (n ≥2),∵a 2=, ∴a n =13(43)n -2(n ≥2). ∴数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,13(43)n -2,n ≥2.(2)由(1)可知,a 2,a 4,…,a 2n 是首项为,公比为(43)2,项数为n的等比数列, ∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n=13·1-(43)2n 1-(43)2=37[(43)2n -1]. B 组1.在等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=3,a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15,则a 1-a 2+a 3-a 4+a 5的值是()A.3B.√5C.-√5D.5 解析由题意可知等比数列{a n }的公比q ≠1,则a 1+a 2+…+a 5=a 1(1-q 5)1-q =3,a 12+a 22+…+a 52=a 12(1-q 10)1-q 2=15, ∴a 1(1+q 5)1+q =5,∴a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=a 1[1-(-q )5]1-(-q )=a 1(1+q 5)1+q=5. 答案D2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要 ()(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)A.4年B.7年C.12年D.50年解析根据题意知每年的利润构成一个等比数列{a n },其中首项a 1=5 000,公比q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到5 000(1-1.1n )1-1.1=30 000,整理得1.1n =1.6,两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6,解得n=lg1.6lg1.1≈5,故还需要4年.答案A3.已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项之积为T n ,且满足a 1>1,a 2 016a 2 017>1,a 2 016-1a 2017-1<0,则下列结论正确的是() A.q<0B.a 2 016a 2 018-1>0C.T 2 016是数列{T n }中的最大数D.S 2 016>S 2 017解析由已知,得a 2 016>1,a 2 017<1,所以前2 016项均大于1,0<q<1,S 2 016<S 2 017,T 2 016是数列{T n }中的最大数,a 2 016a 2 018与1的大小关系无法确定.故选C .答案C4已知等比数列{a n },其前n 项和为S n ,若S 30=13S 10,S 10+S 30=140,则S 20等于.解析易知q ≠1 (否则S 30=3S 10),由{S 30=13S 10,S 10+S 30=140,得{S 10=10,S 30=130,即{a 1(1-q 10)1-q =10,a 1(1-q 30)1-q =130, 所以q 20+q 10-12=0,所以q 10=3(负值舍去),故S 20=a 1(1-q 20)1-q =S 10×(1+q 10)=10×(1+3)=40.答案405.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =b n+1-2(b>0,b ≠1),则a 4=.解析当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(b-1)·b n .因为a 1=S 1=b 2-2,所以(b-1)b=b 2-2,解得b=2,因此n 2-2,于是a 4=S 4-S 3=16.答案166.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,则前n 个内切圆的面积和为.解析根据题意知第一个内切圆的半径为√3×3=√3,面积为π,第二个内切圆的半径为√3,面积为316π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n 个内切圆的面积之和为34π(1-14n )1-14=(1-14n)π. 答案(1-14n)π 7.已知正项等差数列{a n }的公差不为0,a 2,a 5,a 14恰好是等比数列{b n }的前三项,a 2=3.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ,若对任意的n ∈N *,k (T n +32)≥3n-6恒成立,求实数k 的取值范围.解(1)设公差为d ,根据题意知d ≠0,a 2=a 1+d ,a 5=a 1+4d ,a 14=a 1+13d. ∵(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+13d ),a 1+d=3,∴3d 2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a 2=3,d=2,∴a 1=1,a n =2n-1.∵b 1=a 2=3,b 2=a 5=9,b 3=a 14=27,∴b n =3n .(2)由(1)知b 1=3,q=3. ∵T n =b 1(1-q n )1-q =3(1-3n )1-3=3n+1-32, ∴(3n+1-32+32)k ≥3n-6对n ∈N *恒成立.∴T n >0,∴k ≥2n -43n 对n ∈N *恒成立.令c n =2n -43n ,c n -c n-1=2n -43n −2n -63n -1=-2(2n -7)3n , 当n ≤3时,c n >c n-1,当n ≥4时,c n <c n-1, ∴(c n )max =c 3=227,故k ≥227.8.导学号04994052已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S 4=40.数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n -2b n +3=0,n ∈N *.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n ={a n ,n 为奇数,b n ,n 为偶数,求数列{c n }的前2n+1项和P 2n+1. 解(1)由题意知,{a 1+d =8,4a 1+6d =40,解得{a 1=4,d =4,∴a n =4n. ∵T n -2b n +3=0,∴当n=1时,b 1=3,当n ≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n =2b n-1(n ≥2),故数列{b n }为等比数列,且b n =3·2n-1.(2)由(1)知c n ={4n ,n 为奇数,3·2n -1,n 为偶数.∴P 2n+1=(a 1+a 3+…+a 2n+1)+(b 2+b 4+…+b 2n ) =(n+1)[4+4(2n+1)]2+6(1-4n )1-4=22n+1+4n2+8n+2.。

绝密★启用前人教A 版数学 必修五 第二章2.5等比数列的前n 项和一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【题文】已知数列{}n a 满足1320n n a a ++=，253a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A. 102313⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 102313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.1032123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D. 1032123⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】1320n n a a ++= ，123n n a a +∴=-，{}n a ∴是等比数列，公比为23q =-，∴首项为152a =，()10101101321123a q S q -⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 考点：等比数列前n 项和. 【题型】选择题 【难度】一般2．【题文】等比数列{}n a 中，a 3=27，a 6=729，{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则3637292727a q a ===，解得q =3. 又3122739a a q ===，所以等比数列{}n a 的前4项和S 4=()431313--=120，故选B.考点：等比数列的性质与前n 项和. 【题型】选择题 【难度】较易3．【题文】等比数列{}n a 中，397,91S S ==，则6S =（ ）A ．28B ．32C ．35D ．49 【答案】A【解析】 {}n a 是等比数列，∴每相邻两项的和也成等比数列，3S ∴、63S S -、96S S -成等比数列，即、67S -、691S -成等比数列．()()2667791S S ∴-=⨯-，解得628S =，故选A ．考点：等比数列前n 项和的性质． 【题型】选择题 【难度】一般4．【题文】已知等比数列{}n a 中，132n n a -=⨯，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为（ ）A ．()314n -B ．()341n -C ．14n -D ．41n - 【答案】D【解析】设新数列为{}n b ，则222133244n n n n b a --==⨯=⋅，则{}n b 是以3为首项，4为公比的等比数列，()3144114n n n S ⨯-==--．考点：等比数列的通项公式与前n 项和． 【题型】选择题 【难度】一般5．【题文】已知n S 表示正项等比数列{}n a 的前项和．若26a =，35576a a =，则10S 的值是 （ ）A.511B.1023C.1533D.3069 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为{}n a 是由正项等比数列，35576a a =，所以424a =， 所以2422446a q a ===，解得2q =，所以21632a a q ===，由等比数列的前项和公式得10103(12)306912S -==-，故选D ． 考点：等比数列的前项和． 【题型】选择题 【难度】一般6．【题文】等比数列{}n a 的前项和记为n S ，若84:2:3S S =，则124:S S =（ ） A.7∶9 B.1∶3 C.5∶7 D.3∶5 【答案】A【解析】设82,S k =则43S k =，令143x S k ==，284x S S k =-=-，3128122x S S S k =-=-，由题意知321,,x x x 成等比数列，因此2213x x x =⋅，代入解得1273k S =，因此12477339kS S k ==.考点：等比数列前项和的性质. 【题型】选择题 【难度】一般7．【题文】设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若23=S ，186=S ，则=510S S （ ） A ．17 B ．33 C ．−31 D ．−3 【答案】B【解析】由题意可得公比1q ≠，因为3611(1)(1)2,1811a q a q q q--==-- ，所以61663331(1)1811,9,980,(1)211a q q qq q a q q q---==-+=---解得1q =（舍去）或2q =，故10101055511233112S q S q --===--，故选B. 考点：等比数列的前项和. 【题型】选择题【难度】一般8．【题文】在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}2n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A.221-+n B.n 3 C.n 2 D.13-n 【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比q ，则1113n n n a a q q --==，由数列{}2n a +也是等比数列得{}132n q -+是等比数列，所以032q +，132q +，232q +为等比数列，所以()()()2102323232qq q +=++，得0122=+-q q ，即1=q ，所以13n S na n ==.考点：等比数列的通项及前n 项和. 【题型】选择题 【难度】一般二、填空题：本题共3小题.9．【题文】已知等比数列{}n a 中，a 2＋a 3=12，a 1a 2a 3=64，则{}n a 的前n 项和 n S =. 【答案】122n +-【解析】∵a 1a 2a 3=64，∴a 2=4，又∵a 2+a 3=12，∴a 3=8，公比q =2，∴a 1=2， ∴()12122212n n n S +-==--,.考点：等比数列的性质，等比数列的前n 项和． 【题型】填空题 【难度】较易10．【题文】等比数列{}n a 中，363,9S S ==，则9____S =． 【答案】21【解析】由等比数列前n 项和的性质知：36396,,S S S S S --成等比数列，因为3633,6,S S S =-=所以9612S S -=，解得921S =． 考点：等比数列前n 项和的性质．【题型】填空题 【难度】一般11．【题文】已知数列{}n a ，新数列1a -，12a a -，23a a -，…，1n n a a --，…是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =. 【答案】1212n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】依题意可得()()()11223111112211212n n n n a a a a a a a -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-+-+-++-==- ⎪⎝⎭- ，即1212n na ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1212n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 考点：累加法求数列的通项公式，等比数列的前项和公式. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d ≠0，且42366,,,S a a a =成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{n b }的前n 项和n T ． 【答案】（1）n a ＝9−3n （2）3512178n n T -=- 【解析】（1）由题意得2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +++＝，解得112d a =-或d ＝0（舍去）． ∴41113414622S a a a ⨯=-⨯==，得d ＝−3．∴n a ＝1a ＋（n −1）d ＝6−3（n −1）＝9−3n ，即n a ＝9−3n ． （2）∵n b ＝9331228n a n n --==，∴1b ＝64，118n n b b +=． ∴{n b }是以64为首项，18为公比的等比数列，∴131641(1)51218117818n n n n b q T q -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---.考点：等差数列的前n 项和公式，等差数列通项公式，等比数列前n 项和公式. 【题型】解答题 【难度】一般13．【题文】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3612,84a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，*n ∈Ν． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设, ,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,求数列{}n c 的前21n +项和21n P +．【答案】（1）4n a n =，132n n b -=⋅（2）212212482n n P n n ++=+++ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11212,61584,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得14,44,n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+= ，∴当1n =时，13b =，当2n ≥时，11230n n T b ---+=，两式相减，得12(2)n n b b n -=≥， 数列{}n b 为公比为2的等比数列，132n n b -∴=⋅．（2）14,32,n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数,为偶数, 211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++2122482n n n +=+++．【考点】等差数列和等比数列，数列的求和方法. 【题型】解答题 【难度】一般14．【题文】已知数列{}n a 满足114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν）， 设()11nn nb a =+-． （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列32n n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前项和n S ．【答案】（1）()()111321n n n a --=⨯-+-（2）1132n n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由114a =，()1112n n nn a a a --=--（2n ≥，*n ∈Ν）， 得()()1111121n n n n a a --⎡⎤+-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以12n n b b -=-（2n ≥）， 又()1111130b a =+-=≠， 所以数列{}n b 是等比数列，故()132n n b -=⨯-（*Νn ∈），()()111321n n n a --=⨯-+-（*n ∈Ν）. （2）()1323232n n n n b ---=⨯-， ()()()()1211473232323232n n n S --=+++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯-,①()()()()()12311147353223232323232n n n n n S ----=+++⋅⋅⋅++⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-,②①-②得，()()()()()1231311111321232222232nn n n n S n --⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=-⋅- ⎪⎝⎭----⨯-.故1132nnnS-⎛⎫=-⎪⎝⎭.【考点】构造数列求通项，错位相减法求数列的和. 【题型】解答题【难度】一般。

2. 5《等比数列前n 项和》（第二课时）作业1、 在等比数列中，3,6432321-=++=++a a a a a a ，则=++++76543a a a a a（ ）A. 811B. 1619C. 89D. 43 2、在等比数列{}na 中，55,551==S a，则公比q 等于（ ）A. 4B. 2C. 2-D. 2-或4 3、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂地总产值为 （ ）A. a 41.1 B. a 51.1 C. ()a 11.1105- D. ()a 11.1115-4、若等比数列{}na 地前n 项和rS n n +=2，则=r（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 5、已知等比数列{}na 中，132-⨯=n na，则由此数列地偶数项所组成地新数列地前n 项和为 （ ） A. 13-n B. ()133-n C. ()1941-nD. ()1943-n6、等比数列前n 项和为54，前n 2项和为60，则前n 3项和为 （ ）A. 54B. 64C. 3266D. 3260 7、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（沿对边中点连线折叠）7次，这时报纸地厚度和面积分别为 （ ）A. b a 81,8B. b a 641,64C. b a 1281,128D. b a 2561,256 8、已知公比为q ()1≠q 地等比数列{}na 地前n 项和为nS ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1地前n 项和为 （ ） A. nn S q B. nnq S C. 11-n nq S D. 121-n n q a S9、设等比数列{}na 地前n 项和为nS ，若9632S S S=+，求公比q 。

10、已知实数c b a ,,成等差数列，4,1,1+++c b a 成等比数列，且15=++c b a 。

求c b a ,,。

参考答案：1、 A2、 C3、 D4、 D5、 D6、 D7、 C8、 D9、解： 法一：若1=q ，9111632963S a a a S S≠=+=+1≠∴q()()()qq a q q a q q a --=--+--∴111111916131()1202363369=--∴=--q q q q q q≠q Θ ()()1210123336=+-∴=--∴q q q q213-=∴q 或13=q（舍） 243-=∴q法二：由9632S S S=+可得()()()()9876543216543212222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+++++()()9876542a a a a a a ++=++- ()()65436542a a a q a a a ++=++-∴213-=∴q 243-=∴q10、8,5,2===c b a 或1,5,11-===c b a。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ， 又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ， 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)． 又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3， 于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组 能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)． 答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ＝3－2a n .答案：D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．5B ．8C ．－8D ．15解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝5.答案：A3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512D ．510解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝12，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.答案：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝126，∴2n ＝64，∴n ＝6.答案：66．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 解析：由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2， 又∵a 2＝1，∴a 1＝12，∴S 4＝12·(1－24)1－2＝152.答案：1527．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －18．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝S n a 1＋qS n S n ＋1－a 1S n ＋1－qS n S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1<0， ∴S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1， 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式． 解析：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1·(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1·(1－q 4)1－q＝5×a 1·(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2， 通项公式a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①得a 1＝12；通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.[B 组 能力提升]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝35，则S 10＝( ) A.1 0232B.1 0242C ．235D.1 0222解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝35， ∴a 1·a 2·a 3·…·a 10＝235. ∴a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)＝235.∴a 101q1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a 101·245＝235，即a 101＝1210， ∴a 1＝12.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1 0232.答案：A2．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列， 所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析：由题意可知q ＝2， 设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ， 则a n ＋a n ＋1＝24，又a 1＝1， ∴q n －1＋q n ＝24，即2n －1＋2n ＝24， 解得n ＝4，∴项数为8项． 答案：84．(2019·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设{a n }的公比为q ， 于是a 1(1＋q 2)＝10，① a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n n 2＋72n n ＝2－12 (n －72 )2＋498≤26＝64.∴a 1a 2…a n的最大值为64. 答案：645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋52d ＝6，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2a n ＝22n －1， ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解析：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n .∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列． 又b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② ①－②，得－T n ＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.。

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A . -8B . 5C . 8D . 152. （2分） (2019高三上·禅城月考) 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·郑州期中) 若等比数列{an}的前n项和为Sn ，，则 =（）A . 3B . 7C . 10D . 154. （2分）若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为（）B . 18C . 22D . 445. （2分）数列中，已知对任意正整数n，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）在等比数列中，已知其前项和，则的值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1 ，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A . 35B . 33C . 318. （2分） (2018高二上·兰州月考) 设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q ，前n项和为Sn .若对任意的n∈N* ，有S2n＜3Sn ，则q的取值范围是（）A . (0，1]B . (0，2)C . [1，2)D . (0， )9. （2分）等比数列{an}中，a3=6，前三项和S3=18，则公比q的值为（）A . 1B . -C . 1或﹣D . ﹣1或﹣10. （2分）设为等比数列的前项和，，则的值为（）A .B .C . 11D .11. （2分）(2018·茂名模拟) 是数列的前项和，且对都有，则（）A .C .D .12. （2分）已知等比数列的公比，则等于（）A .B .C .D . 313. （2分） (2016高二上·茂名期中) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A . 15B . 7C . 8D . 1614. （2分）已知数列的通项公式.若数列的前n项和，则n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 915. （2分） (2015高三上·孟津期末) 已知等比数列{an}的公比为4，且a1+a2=20，设bn=log2an ，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）B . 2n2+nC . 2（n2+n）D . 4（n2+n）二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=________．17. （1分）设，则数列{an}的各项和为________18. （1分）(2013·北京理) 若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．19. （1分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=54，前2n项和S2n=60，则前3n项和S3n=________．20. （1分） (2016高一下·苏州期中) 设等比数列{an}中，前n项和为Sn ，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=________．三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．22. （5分） (2019高三上·上海期中) 已知是公差为的等差数列，它的前项和为，等比数列的前项和为，，， .（1）求公差的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若，判别是否有解，并说明理由.23. （5分） (2016高一下·盐城期末) 设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设pn= ，数列{pn}的前n项和为Sn．①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．24. （5分） (2017高三上·嘉兴期末) 已知数列的前项和为，若，且，其中．（1）求实数的值和数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．四、综合题 (共1题；共10分)25. （10分） (2019高二上·拉萨期中) 等比数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求 .参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共20分)21-1、22-1、22-2、答案：略22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、四、综合题 (共1题；共10分) 25-1、25-2、。

青海省人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）已知等比数列的前三项依次为，则数列的通项公式=（）A .B .C .D .2. （2分）已知正项等比数列中,,,则A . 2B .C .D .3. （2分）已知是等比数列，则=（）A .B .C .D .4. （2分）数列等比数列，，，则数列的前项的和为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·中山月考) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A . 1盏B . 3盏C . 5盏D . 9盏6. （2分） (2016高二上·福州期中) 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A . 9日B . 8日C . 16日D . 12日7. （2分） (2018高一下·柳州期末) 已知等比数列的公比，其前项的和为，则（）A . 7B . 3C .D .8. （2分）已知数列{an}是等比数列，a1= ，a4=2，则a1+a2+…+a10等于（）A . +31B . 31 +31C . 80D . +809. （2分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A . 6B . 5C . 4D . 310. （2分）执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（）A . 99B . 100C . 120D . 14211. （2分）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，0）∪（1，+∞）C . [3，+∞）D . （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）12. （2分）已知数列中，，定义，则（）A .B .C .D .13. （2分）已知复数，则（）A . 1+iB . 1-iC . iD . -i14. （2分）(2017·常德模拟) 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=14，a3=8，则a6=（）A . 16B . 32C . 64D . 12815. （2分） (2018高二上·西安月考) 各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn ，若S10＝10，S30＝70，则S40等于（）A . 150B . －200C . 150或－200D . 400或－50二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）(2017·莆田模拟) 数列{an}的前n项和为Sn ，且S3=1，S4=﹣3，an+3=2an（n∈N*），则S2017=________．17. （1分）数列所有项的和为________18. （1分）(2017·山南模拟) 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1 ， a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=________．19. （1分）(2013·北京理) 若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．20. （1分） (2017高一下·启东期末) 在等比数列{an}中，已知公比q= ，S5=﹣，则a1=________．三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分）(2017·淄博模拟) 数列{an}是公差为正数的等差数列，a2和 a5是方程x2﹣12x+27=0 的两实数根，数列{bn}满足3n﹣1bn=nan+1﹣（n﹣1）an ．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn ，并求Tn＜7 时n的最大值．22. （5分） (2016高一下·吉林期中) 在等比数列{an}中，a2=6，a2+a3=24，在等差数列{bn}中，b1=a1 ，b3=﹣10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．23. （5分） (2018高二上·山西月考) 在数列中，是它的前项和，且， .在数列中，，，且，另设，其中 .（1）求数列的通项公式,并证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和．24. （5分） (2016高一下·肇庆期末) 数列（1）在等差数列{an}中，a6=10，S5=5，求该数列的第8项a8；（2）在等比数列{bn}中，b1+b3=10，b4+b6= ，求该数列的前5项和S5．四、综合题 (共1题；共10分)25. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知数列为等差数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和 .参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共20分)21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、四、综合题 (共1题；共10分) 25-1、25-2、。

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.在等比数列中，如果那么该数列的前8项和为( )A. 12B. 24C. 48D. 2042.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A. 108B. 63C. 75D. 833.在各项为正的等比数列中，，前三项和为21，则等于（）A. 189B. 84C. 72D. 334.已知等比数列，它的前项为，前项和为，则使得的的值是（）A. B. C. D.5.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于( )A. B. C. D.6.在等比数列{a n}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )A. 4B. －4C. 2D. －27.已知等比数列｛a n｝的公比q= ，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于( )A. 100B. 90C. 60D. 408.设s n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0则=（）A. ﹣11B. ﹣8C. 5D. 119.在等比数列{a n}（n∈N*）中，若，则该数列的前10项和为（）A. B. C. D.10.在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为s n，若数列{a n+1}也是等比数列，则s n等于（）A. 2n+1﹣2B. 3n2C. 2nD. 3n﹣111.已知公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a5+a6=16，则S9=（）A. 56B. 128C. 144D. 14612.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于（）A. -11B. 11C. 331D. -3113.各项均为正数的等比数列{a n}中，a3，3a2，5a1，成等差数列且a n＜a n+1（n∈N*），则公比q 的值等于（）A. 1B. 2C. 3D. 514.在等比数列{a n}中，a1=4，a4=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A. 3（1﹣3﹣10）B. （1﹣3﹣10）C. ﹣6（1﹣3﹣10）D. 3（1+3﹣10）15.在等比数列{a n}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前12项和为（）A. 2﹣B. 2﹣C. 2﹣D. 2﹣二、填空题（共5题；共5分）16.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．17.在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．18.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是________．19.若数列{a n} 满足：，则其前n 项和S n=________20.正项等比数列{a n}中，a2=4，a4=16，则数列{a n}的前9项和等于________三、解答题（共4题；共20分）21.在等比数列{a n}中，a5=，q=﹣，求S7．22.已知等比数列{a n}的公比为﹣，S4=，求a1．23.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S9=146，求S6的值．24.等比数列{a n}的首项是6，第6项是﹣，这个数列的前多少项的和是．四、综合题（共1题；共10分）25.已知等比数列{a n}满足记其前n项和为（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】等比数列的前n项和【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列。

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5 错误!第一课时等比数列的前n项和（1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2）能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？（3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4）等比数列前n项和的性质有哪些？［新知初探]1．等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项a n与公比q公式S n＝错误!S n＝错误![在应用公式求和时，应注意到S n错误!常数列求和，即S n＝na1.2．等比数列前n项和的性质（1）等比数列{a n}中，若项数为2n，则错误!＝q；若项数为2n＋1，则错误!＝q。

（2)若等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n,S2n－S n，S3n－S2n…成等比数列（其中S n，S2n －S n,S3n－S2n…均不为0)．(3）若一个非常数列{a n}的前n项和S n＝Aq n－A(A≠0，q≠0,n∈N＊),则数列{a n｝为等比数列，即S n＝Aq n－A(A≠0,q≠0，q≠1，n∈N＊）⇔数列｛a n}为等比数列．错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√"，错误的打“×”)(1）求等比数列｛a n｝的前n项和时可直接套用公式S n＝a11－q n1－q来求( )预习课本P55～58，思考并完成以下问题（2）首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为S n＝na（)（3)若某数列的前n项和公式为S n＝－aq n＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＊）,则此数列一定是等比数列( )解析：（1）错误．在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用,否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列,则是非零常数列，所以前n项和为S n＝na。

2.5 等比数列的前n项和同步练习卷一、解答题（共3小题）.1．在等比数列{a n}中，a1+a n＝66，a2•a n﹣1＝128，且前n项和S n＝126，求n以及公比q．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6＝2S9，求数列的公比q．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3n+a n（n≥1）．求：（1）a2，a3；（2）a n；（3）数列{a n}的前n项和S n．二、选择题4．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．215．设{a n}是公比为正数的等比数列．若a1＝4，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为（）A．63B．64C．60+28D．1286．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝（）A．2B．4C．D．7．等比数列{a n}中，已知a1＝3，a n＝96，其前n项和S n＝189，则n的值为（）A．4B．5C．6D．78．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝﹣3，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．B．C．D．9．设S n是等比数列{a n}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（）A．12B．24C．16D．3210．下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n项和的是（）A．S n＝3n﹣1B．S n＝3n C．S n＝3n+1D．S n＝3n+2三、填空题11．在等比数列{a n}中，前10项和是10，a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8+a9﹣a10＝5，则数列{a n}的公比q＝．12．在等比数列{a n}中，a1+a2＝4，a4+a5＝108，则数列{a n}的前n项和S n＝．13．已知数列{a n}的通项公式为a n＝5•2n﹣1，其前n项和为S n．若S k＞10050，则k的最小值为．四、解答题（共8小题，满分0分）14．在等比数列{a n}中，（1）已知a n＝3n+1，求S n和S4；（2）已知S n＝2﹣n﹣1，求a n和a4；（3）已知S2＝30，S3＝155，求a n和S n；（4）已知S3S5﹣S42＝﹣16，a2a4＝32，求S4．15．有一个公比q＝2，项数为10的有穷等比数列，如果将它的各项取以2为底的对数，那么这些对数的和为25．求这个数列各项的和．16．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k＝1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n．17．已知等比数列{a n}的前15项之和为8，b n＝（﹣1）n+1•a n，且数列{b n}的前15项之和为5，求数列{a n2}的前15项之和．18．已知数列{a n}的通项公式a n＝，求这个数列的前n（n∈N*）项的和．19．已知数列{a n}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5+1，a6成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}的前n项和记为S n，证明：S n＜128（n＝1，2，3，…）．20．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．21．设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项和为S n，若S5，S15，S10成等差数列，求证：2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．参考答案一、解答题1．在等比数列{a n}中，a1+a n＝66，a2•a n﹣1＝128，且前n项和S n＝126，求n以及公比q．【分析】由a2•a n﹣1＝a1•a n＝128，又a1+a n＝66推断a1，a n是方程x2﹣66x+128＝0的两根，解方程求得a1和a n，进而根据等比数列的求和公式求得q和n．解：由a2•a n﹣1＝a1•a n＝128，又a4+a n＝66得，a1，a n是方程x2﹣66x+128＝0的两根，或，或．2．设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6＝2S9，求数列的公比q．【分析】先假设q＝1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S3+S6＝2S9得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．解：若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a8，S9＝9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S6，与题设矛盾，q≠1．可得由q≠6得方程2q6﹣q3﹣1＝0．∵q≠1，q3﹣1≠5，∴q＝﹣．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3n+a n（n≥1）．求：（1）a2，a3；（2）a n；（3）数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用赋值法求出a2，a3；（2）利用叠加法求出数列的通项公式．（3）利用（2）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）当n＝1时，a2＝2+a1，解得a2＝4，当n＝2时，，解得a3＝13．所以，…，a2﹣a1＝3，整理得＝．所以＝＝＝．二、选择题4．已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．21【分析】由已知q＝2，a1+a2+a3+a4＝1可得a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）q4，从而可求等比数列的前8项和解：由题意可得，q＝2，a1+a2+a3+a4＝2由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8＝（a1+a6+a3+a4）q4＝16故选：B．5．设{a n}是公比为正数的等比数列．若a1＝4，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为（）A．63B．64C．60+28D．128【分析】设公比为q（q＞0），由题设求出q，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果即可．解：设公比为q（q＞0），由题设知：＝q4＝＝4，解得：q＝，∴数列{a n}的前7项和为＝＝60+28．故选：C．6．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝（）A．2B．4C．D．【分析】根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．解：由于q＝2，∴故选：C．7．等比数列{a n}中，已知a1＝3，a n＝96，其前n项和S n＝189，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由题意结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程组，解之可得q，代入通项公式可得n值．解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝3，a n＝96可知q≠6，故a n＝a1q n﹣1＝3q n﹣4＝96，①S n＝＝189，②解得q＝2，故2n﹣1＝32，解得n＝4，故选：C．8．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝﹣3，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可得公比q≠1，再由条件利用等比数列的前n项和公式，解方程组求得首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求得a3+a4+a5+a6+a7+a8的值．解：由题意可得公比q≠1，且，．解方程组求得a8＝8，q＝﹣．故选：A．9．设S n是等比数列{a n}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（）A．12B．24C．16D．32【分析】本题先设等比数列{a n}的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果．解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则＝q4＝2，∴＝﹣4，故选：A．10．下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n项和的是（）A．S n＝3n﹣1B．S n＝3n C．S n＝3n+1D．S n＝3n+2【分析】由选项得到等比数列的公比，求出S n，再逐项观察，选出正确答案．解：由选项易知该等比数列的公比为3，设首项为a1，前n项和为S n，则S n＝＝•3n﹣，∴选项A正确．故选：A．三、填空题11．在等比数列{a n}中，前10项和是10，a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a8+a9﹣a10＝5，则数列{a n}的公比q＝3．【分析】先由题设条件求出等比数列{a n}前10项中的偶数项之和与奇数项之和，再求出它们的比，即可求得q．解：由题设条件知：a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝10，又a1﹣a7+a3﹣a4+a5﹣a6+a7﹣a6+a9﹣a10＝5，两式相加可得：a1+a3+a5+a2+a9＝；两式相减可得：a2+a4+a8+a8+a10＝，故答案为：3．12．在等比数列{a n}中，a1+a2＝4，a4+a5＝108，则数列{a n}的前n项和S n＝．【分析】先由题设条件求出公比q与首项a1，再代入其前n项和公式，即可求得S n．解：设等比数列{a n}的公比为q，由题设条件知：＝＝q3，解得：q＝3，又a1+a7＝4＝a1（5+q）＝4a1，∴a1＝1，∴S n＝＝．故答案为：．13．已知数列{a n}的通项公式为a n＝5•2n﹣1，其前n项和为S n．若S k＞10050，则k的最小值为11．【分析】先由题设条件求出S k，再解不等式：S k＞10050，求出满足题意的k即可．解：由题设可得：S k＝＝8（2k﹣1），又S k＞10050，即5（2k﹣3）＞10050，即：2k＞2011，又210＝1024，211＝2048，∴k的最小值为11．故答案为：11．四、解答题（共8小题，满分0分）14．在等比数列{a n}中，（1）已知a n＝3n+1，求S n和S4；（2）已知S n＝2﹣n﹣1，求a n和a4；（3）已知S2＝30，S3＝155，求a n和S n；（4）已知S3S5﹣S42＝﹣16，a2a4＝32，求S4．【分析】（1）利用等比数列的前n项和公式求得结果；（2）先利用a n＝求得a n，再求a4；（3）设公比为q，由题设条件列出a1与q的方程组，解出a1与q，即可求得结果；（4）设公比为q，由题设条件列出a1与q的方程组，解出a1与q，即可求得S4．解：（1）由题设易知公比q＝3，∴S n＝＝，S4＝＝360；（2）当n≥2时，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣n﹣1﹣（2﹣n+1﹣1）＝﹣3﹣n，∴a n＝﹣2﹣n，a4＝﹣3﹣4＝﹣；∴①当时，a n＝5n，S n＝＝；②当时，a n＝180×（﹣）n﹣1，S n＝＝[1﹣（﹣）n]．（4）设公比为q（q≠1），由题设可得：，解得：，∴S4＝＝＝±10．15．有一个公比q＝2，项数为10的有穷等比数列，如果将它的各项取以2为底的对数，那么这些对数的和为25．求这个数列各项的和．【分析】记有穷等比数列为{a n}，先由题设条件和等比数列的性质列出a1的方程，解出a1，再利用等比数列的前n项和公式求得结果．解：记有穷等比数列为{a n}，由题设知：log2a1+log2a2+...+log4a10＝25，即log2（a1a2 (10)＝25，∴a1a2…a10＝225，由等比数列的性质可得：（a8a10）5＝225，∴a1a10＝25＝a12q9＝a82×29，又a n＞0，∴a1＝，即该数列的各项和为．16．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k＝1，2，3，…）．（Ⅰ）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）首先因式分解求得方程的两根，由条件a2k﹣1≤a2k写出当k＝1，2，3，4时相邻两项，（Ⅱ）由（1），寻找规律，得到数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1、a2k的通项，最后采用分组求和的方法求数列{a n}的前2n项和S2n解：（I）解：易求得方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k＝0的两个根为x1＝7k，x2＝2k．当k＝6时x1＝3，x2＝2，所以a1＝2，a2＝3当k＝4时，x1＝9，x3＝8，所以a5＝5，a6＝9因为n≥2时，2n＞3n，所以a2n﹣1＝3（n﹣3），a2n＝2n（n≥4）＝17．已知等比数列{a n}的前15项之和为8，b n＝（﹣1）n+1•a n，且数列{b n}的前15项之和为5，求数列{a n2}的前15项之和．【分析】首先利用等比数列的通项公式和前n项和公式的应用进一步变换，最后求出结果．解：设数列{a n}的公比为q的等比数列，数列{a n}的前15项之和为8，所以①，所以，整理②由①②得：＝＝．18．已知数列{a n}的通项公式a n＝，求这个数列的前n（n∈N*）项的和．【分析】首先利用分类讨论思想的应用和数列的通项公式的应用和利用分组法的应用求出数列的和．解：数列{a n}的通项公式a n＝，①当n为偶数时，数列的偶数项和奇数项相等，都为项，②当n为奇数时．数列的奇数项为项，数列的偶数项为项，所以．19．已知数列{a n}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5+1，a6成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}的前n项和记为S n，证明：S n＜128（n＝1，2，3，…）．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，根据a7＝求得a1和q的关系，进而根据a4，45+1，a5成等差数列．求得q，进而求得a1，则等比数列的饿通项公式可得．（Ⅱ）根据等比数列的求和公式，求得，根据，进而使原式得证．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q∈R），由a7＝a1q6＝1，得a1＝q﹣6，从而a4＝a3q3＝q﹣3，a5＝a1q4＝q﹣2，a6＝a1q5＝q﹣1．即q﹣4+q﹣1＝2（q﹣2+1），q﹣1（q﹣2+1）＝2（q﹣2+1）．（Ⅱ）．20．已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得（Ⅱ）若，则，从而．从而故．故不存在正整数m，使得成立．21．设{a n}是公比为q的等比数列，其前n项和为S n，若S5，S15，S10成等差数列，求证：2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．【分析】由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，首先判断公比不为1，化简整理，解方程求得q5＝﹣，再由等比数列的求和公式，计算即可得证．【解答】证明：若S5，S 15，S10成等差数列，可得2S15＝S5+S10，由7•＝+，即（2q 5+5）（q5﹣1）＝0，2S5（S20﹣S10）＝2••[﹣]S10＝＝（1﹣）•＝•，则2S5，S10，S20﹣S10成等比数列．。

2016-2017学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n 项和高效测评 新人教A 版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2解析： S 5＝a 1－q 51－q，∴44＝a 1[1－－5]1－－，∴a 1＝4，故选A.答案： A2．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B ．12 C ．4D ．14 解析： ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.答案： C3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3解析： 由题意知S 6S 3＝a 1－q61－q a 1－q 31－q＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1－q91－q a 1－q 61－q＝1－q 91－q 6＝1－q 331－q 32＝1－81－4＝73. 答案： B4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n )解析： ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a n ·a n ＋1＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析： ∵S 6＝4S 3，∴a 1－q61－q＝4a 11－q 31－q，解得q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3. 答案： 36．数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝8，则S 12＝________. 解析： 由等比数列前n 项和的性质，知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，即(S 8－S 4)2＝S 4(S 12－S 8)，又S 4＝2，S 8＝8，故S 12＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q . 解析： 由等比数列性质知a 1a n ＝a 2a n －1＝128，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a n ＝66，a 1a n ＝128，∴a 1，a n 为方程x 2－66x ＋128＝0的两根，又由此方程两根分别为2,64，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.当a 1＝64，a n ＝2时，又∵S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，得q ＝12，又由a n ＝a 1·q n －1，即2＝64·q n－1＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴n ＝6；当a 1＝2，a n ＝64时， 又∵S n ＝a 1－a n q1－q＝126，得q ＝2，又由a n ＝a 1·qn －1，即64＝2·2n －1，得n ＝6.综上知n ＝6，q ＝12或2.8．一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解析： 方法一：设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *)．由已知a 1＝1，q ≠1，有⎩⎪⎨⎪⎧1－q2n1－q 2＝85， ①q－q 2n1－q2＝170， ②由②÷①，得q ＝2，∴1－4n1－4＝85,4n ＝256，∴n ＝4. 故公比为2，项数为8.方法二：设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *) ∵S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)q ＝S 奇·q . ∴q ＝S 偶S 奇＝17085＝2. 又S 2n ＝85＋170＝255，据S 2n ＝a 1－q 2n1－q，得1－22n1－2＝255，∴22n＝256，∴2n ＝8. 即公比为2，项数为8.尖子生题库☆☆☆9.(10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解析： (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴2S 3＝S 1＋S 2，显然{a n }的公比q ≠1， 于是2a 1－q 31－q＝a 1＋a 1－q 21－q，即2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ， 整理得2q 2＋q ＝0， ∴q ＝－12(q ＝0舍去)．(2)∵q ＝－12，又a 1－a 3＝3，∴a 1－a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，解得a 1＝4.于是S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .。

人教新课标A版高中数学必修5 第二章数列 2.5等比数列的前n项和同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）等比数列的前项和为,若,,则公比的值为（）A . 1B .C . 1或D . -1或2. （2分）(2018·鞍山模拟) 等比数列的前项和为，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·莆田月考) 已知数列为等比数列，且首项，公比，则数列的前10项的和为（）A .B .C .D .4. （2分）已知等比数列的前三项依次为，则数列的通项公式=（）A .B .C .D .5. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S2n=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）,a1a2a3=27,则a6=（）A . 27B . 81C . 243D . 7296. （2分）(2017·河北模拟) 等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知a2a5=2a3 ，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（）A . 29B . 30C . 33D . 367. （2分）(2017·泉州模拟) 若等比数列{an}的前n项和，则a3a5=（）A . 4B . 8C . 16D . 328. （2分） (2017高一下·宿州期中) 在等比数列{an}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{bn}为等差数列，且b5=a5 ，则{bn}的前9项的和S9为（）A . 24B . 25C . 27D . 289. （2分） (2017高三上·赣州开学考) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若 =3，则 =（）A . 2B .C .D . l或210. （2分）设是等比数列的前n项和，，则等于（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 等比数列，若，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二上·无锡期末) 已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（）A . 16B . 32C . 8D .13. （2分）若等比数列的前n项和，则a的值为（）A . -4B . -1C . 0D . 114. （2分）已知等比数列的前n项和为，且，则（）A . 54B . 48C . 32D . 1615. （2分） (2018高三上·长春期中) 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列在前n项和等于________．17. （1分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，且，，则an=________18. （1分）(2020·江西模拟) 已知数列中，，且，，数列的前项和为，则 ________.19. （1分）已知等比数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn ，若a2=2，a1a5=16．则公比q=________，S5=________．20. （1分） (2018高三上·东区期末) 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为________三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分） (2017高一下·荔湾期末) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，公比为q（q≠1），证明：Sn=．22. （5分） (2017高三上·嘉兴期末) 已知数列的前项和为，若，且，其中．（1）求实数的值和数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．23. （5分）(2018·邯郸模拟) 已知数列满足，， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和 .24. （5分）数列{an}对任意n∈N* ，满足an+1=an+1，a3=2．（1）求数列{an}通项公式；（2）若，求{bn}的通项公式及前n项和．四、综合题 (共1题；共10分)25. （10分） (2019高二上·拉萨期中) 等比数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求 .参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共20分) 21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、四、综合题 (共1题；共10分) 25-1、25-2、。

第二课时1．(2009山东青岛高三第一次质检，8)若如图的程序框图输出的S 是126，则①应为( )A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －13．(2009海南、宁夏高考，文15)等比数列{a n }的公比q>0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________.4．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S n <12.答案：1．B 此框图表示对首项为2，公比为2的等比数列求和．因为S ＝2＋22＋…＋26＝126，所以①中应填n ≤6?2．C ∵数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1. ∵数列{a n ＋1}也是等比数列， ∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)． ∴a n ＋12＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2. ∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1.∴a n (1＋q 2－2q )＝0，得q ＝1，即a n ＝2. ∴S n ＝2n . 3.152由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ⇒a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n ， ∴q 2＋q －6＝0. 又q >0，∴q ＝2.∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12＋1＋2＋4＝152.4．(1)解：当n ≥2时，a n ＝12(1－an )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，2an ＝－a n ＋a n －1.∴a n a n －1＝13. 由S 1＝a 1＝12(1－a 1)，得a 1＝13.∴数列{a n }是首项a 1＝13、公比为13的等比数列．∴a n ＝13×(13)n －1＝(13)n .(2)证法一：由S n ＝12(1－a n )，得S n ＝12[1－(13)n ]．∵1－(13)n <1，∴12[1－(13)n ]<12.∴S n <12.证法二：由(1)知a n ＝(13)n ，∴S n ＝13[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ]．∵1－(13)n <1，∴12[1－(13)n ]<12，即S n <12.1．计算机是将信息转换成二进制进行处理的．二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制形式是( )A ．217－2 B ．216－2 C ．216－1 D ．215－12．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A ．2n －n －1B ．2n ＋1－n －2C ．2nD ．2n ＋1－n3．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是( )A.p%＋q%2B ．p%·q%C.(1＋p%)(1＋q%)D.(1＋p%)(1＋q%)－14．(2009全国高考卷Ⅱ，文13)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝__________.5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：1．C 将二进制数转换成十进制数和的形式后，它是一个等比数列前16项和的形式，＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝1－2161－2＝216－1.2．B ∵a n ＝2n －1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.3．D 设该工厂最初的产值为1，经过2年的年平均增长率为r ，则(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋r )2.于是r ＝(1＋p %)(1＋q %)－1.4．3 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.5．7 设需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴1－2n 1－2≥100.∴n ≥7.故至少需要7秒． 6．(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＝a n2n －1＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，于是{b n }为等差数列．(2)解：由(1)可知b 1＝1，b n ＝n ，故a n ＝n ·2n －1.由S n ＝1·20＋2·21＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1，①得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② ②－①，得S n ＝n ·2n －20－21－…－2n －1＝n ·2n －2n ＋1＝(n －1)2n ＋1.1．一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9行中的第4个数是( )A ．132B ．255C ．259D ．260答案：C 依题意，知前8行共有1＋2＋4＋…＋27＝1－281－2＝255个数，同时255也是第8行的最后一个数，故第9行中的第4个数为259.2．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)C ．4n －1 D.13(4n －1)答案：D 由题意，得S n ＝2n －1.于是，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，若n ＝1，则a 1＝20＝1.综上，a n ＝2n －1，a n 2＝4n －1，a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1－4n 1－4＝13(4n －1)．3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 答案：B 很明显公比q ≠1.思路一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝2，a 1(1－q3n)1－q＝14，解得q n ＝2，a 11－q ＝－2， 所以S 4n ＝a 1(1－q 4n )1－q ＝a 11－q[1－(q n )4]＝－2(1－24)＝30.思路二：由于数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 也成等比数列．所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，则(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，解得S 2n ＝6或S 2n ＝－4(舍去)．又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )，所以(14－6)2＝(6－2)(S 4n －14)，解得S 4n ＝30.4．(2009辽宁高考，理6)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83D ．3答案：B 设等比数列的公比为q ，显然q ≠1.由S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 61－q 3＝(1－q 3)(1＋q 3)1－q3＝1＋q 3＝3，得q 3＝2. 于是S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－(q 3)31－(q 3)2＝1－81－4＝73.5.(2009山东日照高三第二次调研，11)西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从2006年1月起，到2008年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{a n }，若逐月累计的产值S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 满足S n ＝101a n －36，则该厂的年平均产值的增长率为(精确到万分位) …( )A ．12.66%B ．12.68%C ．12.69%D ．12.70% 答案：B 由已知S n ＝101a n －36，故当n ≥2时，S n －1＝101a n －1－36，两式相减可得100a n＝101a n －1⇒q ＝a n a n －1＝101100＝1.01，由数列{a n }为等比数列易知，S 12，S 24－S 12，S 36－S 24也为等比数列，且公比为 1.0112，故该厂的年平均产值的增长率为1.0112－11×100%≈12.68%.6．执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝__________.答案：4 由程序框图可知，p ＝0.8，n ＝1，S ＝0，满足S <p ，则S ＝0＋121＝12，n ＝1＋1＝2；循环判断，此时S ＝0.5<p ＝0.8，则S ＝12＋122＝0.5＋0.25＝0.75，n ＝2＋1＝3；循环判断，此时S ＝0.75<p ＝0.8，则S ＝12＋122＋123＝0.875，n ＝3＋1＝4；循环判断，此时S ＝0.875>p＝0.8不满足条件，则输出n ＝4结束．7．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？答案：解：用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在n 分钟时间里上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×[1－(45)n ]1－45＝125×[1－(45)n ]<125.因此，这个热气球上升的高度不可能超过125 m.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1、S n 、a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．答案：解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.于是，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1，两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1、公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.点评：在由含S n 的关系式导出a n ＋1与a n 的递推公式时，一定要注意自变量n 的初始值．在由递推公式求通项公式时要重视首项是否可以被吸收．9．(2009山东潍坊高三第二次质检，18)已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 3＋a 5＋a 7＝9，a 7是b 3和b 7的等比中项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)若c n ＝2a n ·b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由题设知a 3＋a 5＋a 7＝9，∴3a 5＝9.∴a 5＝3.则d ＝a 5－a 14＝12，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋12.∴a 7＝4. 又∵a 72＝b 3·b 7＝16，∴b 52＝b 3·b 7＝16.又b 5>0，∴b 5＝4.∴q 4＝b 5b 1＝4.又q >0，∴q ＝ 2.∴b n ＝b 1·q n －1＝212-n .(2)c n ＝2a n ·b 2n ＝(n ＋1)·2n －1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n ＋1)·2n －1，①2T n ＝2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ，②①－②得，－T n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1－(n ＋1)·2n＝1－2n1－2－(n ＋1)·2n ＋1＝－n ·2n .∴T n ＝n ·2n .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn)(n ∈N *)在直线y ＝x 上，数列{b n }满足b n＝6b n －1＋3n (n ∈N *)，且b 1＝a 1＋2.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足对任意的n ∈N *，均有a n ＋1＝c 1b 1＋3＋c 2b 2＋32＋…＋c nb n ＋3n成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2009的值．答案：解：(1)由点(n ，S nn)在直线y ＝x 上(n ∈N *)，得n ＝S nn，即S n ＝n 2(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝1也满足，则{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．由b n ＝6b n －1＋3n ，得b n3n ＋1＝2(b n －13n －1＋1)，即数列{b n 3n ＋1}是以b 13＋1为首项，公比为2的等比数列，b 1＝a 1＋2＝3.则b n 3n ＋1＝2·2n －1＝2n ，即b n ＝6n －3n (n ∈N *)． (2)b n ＋3n ＝6n ，∵对任意的n ∈N *均有a n ＋1＝c 1b 1＋3＋c 2b 2＋32＋…＋c nb n ＋3n成立， ∴a n ＝c 1b 1＋3＋c 2b 2＋32＋…＋c n －1b n －1＋3n －1.则a n ＋1－a n ＝c n b n ＋3n ＝c n6n ＝2，即c n ＝2·6n ， ∴c 1＋c 2＋…＋c 2009＝2(6＋62＋…＋62009)＝25(62010－6)．。