函数的值域(第一课时)教案

高中数学教学备课教案函数的定义域与值域高中数学教学备课教案函数的定义域与值域介绍：函数是数学中的重要概念，对于高中数学教学来说，理解函数的定义域与值域是非常关键的。

本教案将围绕函数的定义域与值域展开，旨在帮助学生深入理解函数的特性和应用。

一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是两个集合之间的对应关系，其中一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。

在数学中，我们常以字母f表示函数，用x表示定义域中的元素。

1.2 定义域的确定定义域是函数中可以取得实际意义的自变量的取值范围。

它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。

1.3 值域的确定值域是函数在定义域上所有可能的取值的集合。

通过函数的解析式、图像以及实际问题，我们可以较为准确地确定函数的值域。

二、定义域的常见类型有理函数是指可以表示为两个多项式的比值的函数。

有理函数的定义域通常由其分母的零点确定。

2.2 幂函数及其定义域幂函数是指以x为底数的指数函数，形如f(x) = x^a。

对于幂函数，定义域为实数集。

2.3 指数函数及其定义域指数函数是以一个正实数为底的指数函数，形如f(x) = a^x。

对于指数函数，定义域为实数集。

2.4 对数函数及其定义域对数函数是指以一个正实数为底的对数函数，形如f(x) = loga(x)。

对于对数函数，定义域为正实数集。

三、值域的常见类型3.1 有界函数及其值域有界函数是指在定义域上，函数的值上下都有限制的函数。

值域是一个有限的区间。

3.2 无界函数及其值域无界函数是指函数在定义域上，函数的值没有上下限的函数。

值域为整个实数集。

单调递增函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值也随之增大的函数。

值域为一个区间。

3.4 单调递减函数及其值域单调递减函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值反而减小的函数。

值域为一个区间。

结论：通过本教案，我们对高中数学中函数的定义域和值域有了更深入的理解。

定义域是函数自变量的取值范围，它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。

课时12：函数的值域（1）教学目标：掌握二次函数在区间上的值域的求法； 掌握一次函数与反比例函数的值域的求法； 掌握换元法求值域的方法；会求分段函数的值域。

教学重点：掌握二次函数在区间上的值域的求法； 会求分段函数的值域。

教学难点：掌握换元法求值域的方法；教学过程：一、课前预习1．函数12+-=x y ，21<≤x 的值域为 ；2．函数11)(+-=x x x f ，21≤≤x 的值域为 ； 3．函数12--=x x y 的值域为 ；4．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为___ ；5．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(x x x x x f 的值域为 ； 二、建构数学1．一次函数、二次函数、反比例函数都是根据图象求值域；2．换元法求值域一定要注明新元的取值范围；3．函数的值域必须用区间或集合表示。

4．分段函数的值域：先求出每一段的值域，然后再取并集。

三、数学运用例1．已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83，求函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域。

例3．求函数x x y 3121+-=的值域。

例4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=)1(3)5()1(31)(2x x x x x f ，求)(x f 的值域。

四、达标检测1.函数22++-=x x y 的值域为 ；2．函数11+-=x x y 的值域为 ； 3.函数12)(2--=x x x f ，12≤≤-x 的值域为 ；4.函数212+--=x x y 的值域是 ；5.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥+=2,122,1)(2x x x x x x f 的值域为 ；五、课后作业1．函数142+-=x x y ，441≤≤x 的值域为 ； 2．函数xx x f 3121)(+-=的值域为 ； 3．若x≥0，y≥0，且12=+y x ，则232y x +的最小值是 ．4．函数22()1x y x R x =∈+的值域为____ ____． 5．函数2211xx y +-=的值域为 ；6．函数1y =的值域为 。

函数的值域（第一课时）教案学校：宝鸡石油中学学科：高二文科组织者：史文刚三维目标：知识目标：1、理解函数值域的定义，并用集合来表示；2、常用函数值域，如给定区间二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等；3、掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.能力目标：通过小组合作、自主探究等多种学习方式进行复习，能灵活运用求值域的方法，迅速并熟练的求出函数值域.情感目标：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇丁•创新的精神.教学重、难点：教学重点：常用的求函数值域的方法.教学难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题.教学准备：导学单、多媒体.教学方法：合作探究.设计意图：让学牛提前回家预习导学单，从而发现问题，带着问题在本节课中通过小组合作、自主探究等学习方式，及师生互动来解决问题.目的在于：培养他们的自主学习能力，让他们做课堂学习的主人，能在课堂畅所欲言, 各尽其能，从而激发他们学习的积极性和主动性以及竞争意识，同时发展他们的思维能力、提高他们的语言表达能力；让教师从“滔滔不绝”的演讲者变为“画龙点睛”的组织者.从而提高课堂教学效率，达到人人参与, 人人学有所获.教学过程：一、让学生回答预留的导读单上的“走进教材1”的问题（2分钟）：函数的值域定义与表示1、｛y\y = fM｝表示的是函数y二f （x）的什么？2、什么是函数的值域，怎样表示它呢？那么求函数值域的方法有哪些呢？为此我们今天来复习：函数的值域（板书）。

（课件1）二、让学生回答预留的导读单上的“走进教材2”的问题：（3分钟）必要的回顾与思考：高中阶段的几种重要函数的值域.1、一次函数y二kx+b（kHO）值域是什么？结果:思考：求函数值域首先应该考虑什么? 强调：函数的定义域. 三、师生共同解决预留的导读单上“师生互动”例题、习题：（33分钟） 常用的求函数值域的方法例1求函数y= x 2 -4% + 5 , x e [0,5]的值域.（5分钟）（课件2是函数图像）（1）学生分小组汇报结果.解：•・• y=Cr -2）2+l,开口向上・•・x=2为对称轴•・• 2e[0,5]・•・观察右图可知，f （2） =1为最小值,f （0）=5, f （5）=10..・；函数 y= x 2 -4x + 5, XG [0,5]的值域为:[1,10}方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最小值，最大值为离对称轴较 远的区间的端点所对应的函数值；对于开口向下的二次函数，若对称轴在给定区间上，则在顶点处取得最大值, 最小值为离对称轴较远的区间的端点所对应的函数值，从而确定函数值域.（课件3）（2）思考：做例1时，所用的方法是什么？ 结果：配方法.变式：将例1中的皿[0,5]变成xe [-1,1）,求值域（5分钟）・思考：若对称轴不在二次函数的给定的定义域区间上时，怎样求函数值域？方法：对于开口向上的二次函数，若对称轴不在二次函数的给定区间上，则用函数的单调性来判断函数的 最大值和最小值，或者也可以通过计算端点所对应的函数值比较大小来确定最大值和最小值，也可以通过比较 区间端点离对称轴的远近来判断最大值和最小值，从而确定函数值域.（课件4）（5）思考：通过做例1和变式题，你发现了什么？总结：在求给定区间的二次函数值域时，要根据给定的区间和对称轴来综合考虑求值域.（课件5）例2：求函数y=-sin 2 x + sinx + 1的值域.(5分钟) 解：t=sinx,则 y 二一八+/ + 1底［一1,1］.( 1V 5 .・・° y=- t —— +—, 开口向下I 2丿41、R;2、{卅工0,且ywR };3、当 a>0, x--—时, 2a 值域为为(-00,丸］; 4a4、（0,+oo]； 4ac-b 2 当削用-冷时，值域・•・t=丄为对称轴，2・・・头［一1,1］，即f(|)=-为最大值，f(-l)=-l,f(l)=l.2 2 4故y 二sin ，兀+ sinx + l 的值域为：一1,丄. L 4」（1） 思考：做例2,要用什么方法？（换元法、配方法）（2） 思考：做本题时，要考虑什么？（正弦函数的值域）总结：（课件6）（1）上边两道例题都属于二次函数模形: 例 1： y = ax 2 + bx + c （a 0）（配方法）例 2： y = 0(x)2 + 妙(%) +(?(“ 0)(换元法)（2）有些二次函数直接给出了区间，而有些则隐含在题中，这就需要在做题前先找出定义域再来求值域.<1Y 则y=- 丿Vr = x 2-3>-3 ,即 te[-Voo)飞丿=8为最大值又 VyG (0,-Ho]/ 1、宀 3 故y 器 的值域为：（0,8].思考：换元法的用途是什么？强调：对于复合函数换元时，是将内函数用字母表示，一定要考虑内函数的值域，因为它将是新设函数的 定义域区间.（课件8）例3：求函数y=x+-的值域.（5分钟）（课件9）兀学牛做有困难，师牛一起做（教师变启发边写，学牛说）・方法一：解：由题意得：x{xxe R,x^o}练习：求函数y=— 12丿的值域.（5分钟）（课件7） 解:设心扌-3,是减函数当x>0时, 当且仅当x=2时成立;当x<0时, 当且仅当x=-2时成立;综上所述，y=x+—的值域为： （-oo,-4]u[4,+oo ）. 思考：此题的方法是什么？（运用基本不等式） 方法二:T x {.r|x wR 、x 土 ()}4 4 ・•・ f(-x)=-x+一=-(x+-)=-f(x) -X X・•・f(x)二x+土为奇函数，即关于原点对称•I 当 x<0 时，y 5-4综上所述，y=x+纟的值域为：(-co-4]u[4,+00).X总结：基本不等式法的函数模型：)“ + %、洞号).(课件10)变式1：求函数y 二77匚1 +〒1=的值域・(4分钟)Vx + 1变式2：求函数y=|?-x 2-3的值域・(4分钟)思考：变式2能用基本不等式法做吗?若不能，怎样做？(导数法) 简单介绍做法： 第一步：求导数； 第二步：求出单调增区间和单调减区间； 第三步：列表观察最大值和最小值； 第四步：写函数的值域.四、学习收获：(2分钟)1、 通过复习，你有哪些收获，还存在哪些疑问？2、 求值域的方法有：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.3、 注意：(课件11)(1) 在求函数值域时，一道题可能有多种方法，或者几种方法相结合，所以在做题时一定要灵活运用.(2) 在求函数值域时，一定要判断清楚函数的给定的定义域区间，再进行解答.4、 三种方法模型：(课件12)1) y = ax 1 + bx + c{a 0)(配方法)2) .V = cif(x)2 + bf(x) + c(a 0)(换元法)3) y = ax + -(a.洞号)(基本不等式法)六、学以致用(课件13)《优化设计》第10页的例1-3・解：由题意得：7?,兀工0}当且仅当x=2时成立;2、反比例函数y = -（k^O）的值域是什么？X3、二次函数y=ax2 * 4 5 6+bx+c（a^0）的值域是什么？4、指数函数y=a x（a>0,且&工0）的值域是什么？5、对数函数y=log a x （a>0,且aHO）的值域是什么?JT6、三角函数y=sin x, y=cos x, y=tan x（xe /?,x+ kn,keZ）的值域分别是什么?。

函数的值域教案教案标题：函数的值域教案教案目标：1. 理解函数的值域的概念；2. 能够确定给定函数的值域；3. 能够解决与函数值域相关的问题。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入函数的概念，解释函数的定义和符号表示；2. 引入函数的定义域和值域的概念，并解释二者的区别；3. 提出一个问题，例如：对于函数f(x) = x^2，我们如何确定它的值域？探究（15分钟）：1. 分组讨论：让学生分成小组，每组选择一个函数进行研究；2. 指导学生分析所选函数的定义域和值域；3. 引导学生思考如何确定函数的值域，例如通过绘制函数图像、寻找函数的最大值和最小值等方法；4. 指导学生应用所学方法确定各自函数的值域，并与其他小组分享结果。

总结（10分钟）：1. 收集各组的结果，让学生分享他们所确定的函数值域；2. 引导学生总结确定函数值域的方法，并强调重要的观察点，例如函数的最大值、最小值以及是否存在水平渐近线等；3. 提出一些挑战性问题，例如如何确定复杂函数的值域。

应用（15分钟）：1. 分发练习题，让学生在课堂上或课后完成；2. 引导学生应用所学方法解决练习题中的问题；3. 鼓励学生互相合作、讨论和解答问题；4. 督促学生检查答案，并解释他们的解题思路。

拓展（5分钟）：1. 提出一个拓展问题，例如：如何确定反函数的值域？2. 引导学生思考并讨论拓展问题；3. 总结课堂内容，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。

教案评估：1. 观察学生在小组讨论中的参与程度；2. 检查学生在练习题中的解答情况；3. 评估学生对于函数值域概念的理解程度；4. 通过课堂讨论和问题解答，评估学生解决函数值域相关问题的能力。

教案扩展：1. 引导学生研究更复杂的函数，并确定其值域；2. 引导学生应用函数值域的概念解决实际问题；3. 引导学生研究函数值域的性质和特点，例如单调性、奇偶性等。

3.1.1函数的概念（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教材地位本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）.1.概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性.2.学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用.3.高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程.有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位.二、学情分析1.从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．2.从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强.3.从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高.三、教学目标1.知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域.（重点）2.过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识.（难点）3.情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识.四、教学重点用集合语言和对应关系刻画函数的概念.五、教学难点对函数概念的理解.六、教学过程1.函数概念的形成1.1创设情境，引发思考思考1：(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ； (3)若正方形的边长为x ，则其周长l= ；【预设答案】（1）4（2）8（3）4x【设计意图】通过具体的例子复习函数的概念，让学生再次体会函数高度“抽象”的作用.思考2：初中学习的函数的概念是什么？【预设答案】设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量.【设计意图】复习初中函数概念，强调函数是一种特殊的对应.思考3：请同学们考虑以下两个问题【设计意图】从初中的概念来看，这两组中的两个函数没什么不同，但我们有感觉它们是不同函数.让学生体会初中函数概念不够精确，从而有些问题解决不了.1.2探究典例，形成概念问题1： 某“复兴号”高速列车到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系可以表示为 S=350t.思考：根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后，运行1h 就前进了350km ，这个说法正确吗？44y x l x ==（1）与周长是同一函数吗？22x y x y x==（）与是同一函数吗？【预设答案】不正确.对应关系应为S=350t ，其中 }1750|{},5.00|{11≤≤=∈≤≤=∈s s B s t t A t .问题2 ：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w （单位：元）是他工作天数d 的函数吗？【预设答案】是函数，对应关系为w=350d,其中},6,5,4,3,2,1{2=∈A d}2100,1750,1400,1050,700,350{2=∈B w .思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【预设答案】不是.自变量的取值范围不一样.问题3 :如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数的值I ？你认为这里的I 是t 的函数吗？【预设答案】是，t 的变化范围是}240|{A 3≤≤=t t ，I 的范围是}1500|{I B 3<<=I .问题4： 国际上常用恩格尔系数）总支出金额食物支出金额=r r ( 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r 是年份y 的函数吗？思考：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同点和不同点？【预设答案】共同点有：（1）都包含两个非空数集，用A ，B 来表示；（2）都有一个对应关系不同点有：（1）（2）是通过解析式表示对应关系，（3）是通过图象，（4）是通过表格【设计意图】通过四个具体的例子，发现要在集合的基础上定义函数会比较准确，同时让学生体会函数对应关系的3种表示形式.函数概念：一般地，设A , B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A |∈叫做函数的值域.函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.常见函数的三要素：正比例函数：y kx =的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.一次函数：(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域也是R .对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数(0)ax b a +≠.二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的定义域是R ，值域是B .当a >0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a <0时，244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.对应关系f 把R 中的任意一个数x ，对应到B 中唯一确定的数2(0)ax bx c a ++≠. 反比例函数：(0)k y k x =≠的定义域为{}0x x ≠，对应关系为“倒数的k 倍”，值域为{}0y y ≠.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集{}0A x x =≠中的任意一个x 值，按照对应关系f ：“倒数(0)k k ≠倍”，在集合{}0B y y =≠中都有唯一确定的数k x 和它对应，那么此时f ：A B →就是集合A 到集合B 的一个函数，记作()(0),.k f x k x A x=≠∉2.例题讲解，理解概念例1.判断下列对应是否是函数【预设答案】（1）是（2）是（3）不是【设计意图】让学生体会函数只能是“一对一”或“多对一”，不能“一对多”.例2. 判断下列图象能表示函数图象的是（）【预设答案】D【设计意图】让学生体会概念中的“唯一”二字例3 .你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗？【预设答案】长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|0<x<10},y的取值范围是B={y|0<y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)【设计意图】让学生体会数学建模，数学应用思想，同时巩固函数概念是建立在集合基础上的.3.课堂练习，巩固新知练习1.若函数y=f(x)的定义域为{x|−3≤x≤8,x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，则y=f(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B练习2.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则g(f(5))=；f(g(2))=．【答案】4 3练习3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？【答案】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：A→B 是从A 到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2，3，4，5}4.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=√x来描述.【答案】正方形的面积为x,其边长为y，则y=√x，其中x的取值范围是A={x|0<x},y的取值范围是B={y|0<y}4.课堂小结，思想升华本节课主要是在集合的基础上重新定义了函数，让函数的概念更加清晰准确.。

函数的值域和最值教案【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法；2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域．【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及注意点．【教学过程】第一课时〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===．错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件．正解：由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+-∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值X 围，这步较容易被忽略；3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用．〖例2〗 求下列函数的值域：⑴12121x x y ++=+；法一：（直接法）1212(21)112212121x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，10121x<<+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2) 法二：（逆求法）由12121x x y ++=+得1202x y y -=>-，故12y <<，即原函数的值域为(1,2) ★点评：1．对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可；2．若原函数中有某一元素的X 围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用y 来表示该元素，通过该元素的X 围来确定原函数的值域．⑵2y x =-法一：（换元法）令0t =，则21x t =-，故2222(1)42422(1)4y t t t t t =--=--+=-++当0t =时，max 2y =；当t →+∞时，y →-∞，无最小值 ∴原函数的值域为(,2]-∞法二：由10x -≥得原函数的定义域为(,1]-∞，易知函数12y x =和2y =-(,1]-∞都为增函数，故原函数在(,1]-∞也为增函数，故1|2x y y =≤=∴原函数的值域为(,2]-∞★ 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性．⑶y x =解：由210x -≥得原函数的定义域为[1,1]-，设cos ,[0,]x θθπ=∈，则cos |sin |cos sin sin()4y πθθθθθ=-=-=-这里可能只有极少学生会考虑到限制θ的X 围，可结合∵0θπ≤≤，3444πππθ-≤-≤，1sin()42πθ-≤-≤∴1y ≤，即原函数的值域为[★ 点评：用三角换元时，在不改变x 的X 围的前提下，应尽可能缩小θ的X 围，这样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的|sin |θ去绝对值． ⑷221xy x x =++解：由221xy x x =++得2(2)0yx y x y +-+=……⑴，则该方程有解 ① 当0y =时，方程⑴可化为20x -=，方程有解，符合题意② 当0y ≠时，要使方程⑴有解，当且仅当22(2)40y y ∆=--≥，解得223y -≤≤，且0y ≠综上所述，223y -≤≤，即原函数的值域为2[2,]3-． ⑸221(1)1x x y x x -+=>-解：令10t x =->，则1x t =+，故222(1)(1)123212()32237t t t t y t t t t +-++++===++≥⨯+=当且仅当1t t=且0t >，即1t =时取等号另一方面，当t →+∞时，y →+∞，故原函数无最大值 ∴原函数的值域为[7,)+∞★ 点评：当函数的定义域为R 时才比较适用判别法．【课堂小结】1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；1．思考：该题为什么不采用判别式法？若用判别式法，则所方程22(1)10x y x y -+++=应是在(1,)+∞上有解，情况较为复杂2．该法采用了换元法，这要比拼凑法和待定系数法2．本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法 ⑴直接法：一些简单的函数可利用该法求解；⑵配方法：求“二次函数类”值域的基本方法，该法常与换元法结合使用； ⑶ 换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值X围．换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2⑸；⑷逆求法：若原函数中有某一元素的X 围易确定，用y 来表示该元素，通过该元素的X 围来确定原函数的值域；⑸ 不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一不可；⑹ 判别式法：该法只有当定义域为R 时才比较适用； ⑺ 利用函数的单调性（注意导数的应用）；具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性．【教后反思】第二课时〖例3〗 求下列函数的值域⑴|1|y x =+解：|1||2|y x x =++-表示数轴上点x 到1-与2的距离之和，故3y ≥，即原函数的值域为[3,)+∞． ⑵|3||1|y x x =--+解：|3||1|y x x =--+表示数轴上点x 到3的距离与点x 到1-的距离的差，故44y -≤≤，即原函数的值域为[4,4]-．⑶y解：y =表示动点(,0)x 到两定点(0,2)(1,3)A B --、的距离之和，由图象分析知：min ||y AB ==，当x →∞时，y →+∞，故原函数的值域为)+∞．★ 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法．〖例4〗 实数,x y 满足22(2)3x y -+=，求以下各式的最值： ⑴y x ； ⑵x y +； ⑶1y x + 解：因实数,x y 满足22(2)3x y -+=，故圆22(2)3x y -+=可看作点(,)x y 的可行域．⑴令yk x=，即y kx =，k 表示目标函数中的斜率，由图可知k ≤，即max ()y x min ()yx= ⑵ 令m x y =+，即y x m =-+，m 表示目标函数中的纵截距．由d =2m =±min max ()2()2x y x y +=+=+⑶ 令1yk x =+，即(1)y k x =+，目标函数过定点(1,0)-，k 表示目标函数中的斜率，由d ==2k =±，故max min (),()1212y y x x ==++ ★点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西在目标函数中表示什么．变式：求函数1sin 2cos xy x+=+的值域．解：sin (1)cos (2)x y x --=--，表示动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)A --连线的斜率，而动点P的轨迹为单位圆，由图象分析知：403y ≤≤，即原函数的值域为4[0,]3．【课堂小结】在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调法和均值不等式，然后才考虑用其它各种特殊方法．【教后反思】。

（一）常见函数的值域（1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠=k xky 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为⎪⎪⎫⎢⎡+∞-,442a b ac ；当0<a 时，值域为⎥⎤⎛-∞-a b ac 44,2.（二）求函数值域的方法 （1）直接法（观察法）从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；【例1】求函数221x y +=的值域。

【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<210y y（2）配方法适用于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。

（4)1(2-+=x y ）【答案】{}4-≥y y【变式练习1】求函数()2f x =-【解】22)1(2522242)(---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤≤⇒-≤≤（3）换元法运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如y ax b =+±【例3】求函数y x =+【解析】令0)t t =≥，则212t x += 221(1)(0)22t t y t t ++∴=+=≥ 12y ∴≥【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。

【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212t x -= 22151()(0)24y t t t t ∴=-++=--+≥∴当21=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。

（4）判别式法（∆法）运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；【例4】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

高中数学求值域教案一、教学目标：1. 知识目标：理解求值域的概念，掌握求值域的计算方法。

2. 能力目标：能够独立解决求值域问题，灵活运用求值域的相关知识。

3. 情感态度目标：培养学生对数学问题的探究和思考能力，增强学生对数学的兴趣和信心。

二、教学重点和难点：1. 教学重点：求值域的概念和计算方法。

2. 教学难点：掌握如何确定函数的值域。

三、教学过程：1. 导入活动（5分钟）：教师简要介绍求值域的概念，并通过一个简单的例子引导学生思考什么是函数的值域。

2. 理论讲解（15分钟）：教师系统地介绍求值域的定义和计算方法，重点讲解如何确定函数的最大值和最小值。

3. 示例分析（20分钟）：教师通过几个实例讲解求值域的具体计算过程，引导学生掌握解题方法和技巧。

4. 练习与讨论（15分钟）：学生通过小组合作或个人练习，解决一些求值域问题，并在讨论中互相交流思路和方法。

5. 总结与拓展（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结，并展示一些扩展问题，鼓励学生进一步挑战。

四、教学方法：1. 讲授法：通过系统地讲解，帮助学生建立求值域的概念。

2. 实例引导法：通过实例分析，帮助学生理解求值域的计算方法。

3. 合作探究法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。

五、教学资源：1. 教材教辅资料2. 多媒体设备六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习。

2. 作业表现：学生是否独立完成求值域问题，并能正确解答。

3. 课后反馈：通过课后作业批改和答疑，检验学生对求值域的理解和掌握程度。

高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解函数的定义域和值域的概念；2. 掌握求解函数的定义域和值域的方法；3. 运用所学知识解决相关问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义域和值域的概念及求解方法；2. 教学难点：应用所学知识解决相关问题。

三、教学过程1. 导入新课通过提问引入函数的定义域和值域的概念，为引出本课的教学内容做铺垫。

2. 概念讲解（1）函数的定义域定义域是指函数中自变量可以取值的范围。

根据函数的定义和实际问题，确定自变量取值范围时需要考虑以下几点：- 函数中是否包含分母为零的情况；- 若函数存在根式，要求根式内的式子必须为非负数。

（2）函数的值域值域是指函数的所有可能取值所组成的集合。

要确定函数的值域，一般需要进行以下步骤：- 分析函数的性质，判断函数是增函数还是减函数；- 确定函数的最大值和最小值。

3. 求解示范通过具体的例题，讲解如何求解函数的定义域和值域。

引导学生理解求解过程，并解释每一步的原因和依据。

4. 深化训练组织学生进行一些练习，注重培养学生独立解决问题的能力。

根据学生的解答情况，及时给予指导和反馈。

5. 拓展应用提供一些拓展应用题，让学生将所学知识应用到实际问题中。

鼓励学生思考、分析和解决问题的能力，培养学生的数学建模能力。

6. 归纳总结通过学生讨论、总结，归纳总结本节课的内容，并梳理相关的思维导图或概念框架，帮助学生将知识点整合，加深记忆。

四、课堂小结本节课主要介绍了函数的定义域和值域的概念，并讲解了求解函数定义域和值域的方法。

通过练习与应用，帮助学生巩固所学知识。

五、作业布置1. 完成课后习题；2. 思考并解答一道与函数的定义域和值域相关的问题。

六、教学反思本节课的教学内容与学生的预期目标相符，通过多种教学方法的运用，调动了学生的学习积极性。

在示范求解步骤和培养学生解决实际问题的能力方面，可能还需要进一步加强。

专题二：函数的值域【教学目标】初步掌握简单函数值域的求法.【重点难点】简单函数值域的求法.【教学过程】一、探索研究三类基本函数的定义域、值域：(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是_____,值域是_____(2)反比例函数f(x)=k x(k≠0)的定义域是___________,值域是_____.(3)二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的定义域是_____,当a>0时,值域是________.当a<0时,值域是__________.二、教学精讲例1．求下列函数的值域:(1)①y=x+2 ②y=|x|-1 答案：①[2.+∞)；②[-1,+∞)求值域方法技巧小结: 法1:观察法,单调性法(2)①已知函数y=x 2-4x+6,在下列条件下分别求值域:(10)x {-1,0,1,3,4} (20)x R (30)x (1,5] 答案:①{3,6,11} ②[2,+∞)③[2,11]法2：与二次函数有关的值域,可用配方法.应用配方法求值域时要注意定义域. ②y=-x 2+x+2 答案:[0,32](3)y=3x-2x-1 答案:[43,+∞)法3:换元法: ①形如y=ax+b cx+d 的形式,可用换元法. ②令t=cx+d,转化为二次函数再求值域.③使用换元法要注意换元后变量的范围. (4)①y=2x+1x-3 ②y=x 2-1x 2+1 答案：①y≠2；②[-1,1)法4:分离常数法:①形如y=ax+b cx+d (c≠0)与y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的值域可用此法. ②对于y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的函数,f(x)的范围已知,可用分离常数法,也可用反解法.三、课堂练习求下列函数的值域1.y=52x 2-4x+32.y=2x-x-13.y=|x|-2|x|+2答案：1.(0,5]2.[158,+∞)3.[-1,1) 四、本节小结常见函数值域的求法:①__________②_________③_________ ④________**[选练]：1.已知 f(x)[38,49],求证y=f(x)+1-2f(x)的值域．答案:[79,78] 2.已知函数f(x)=ax+b x 2+1的值域为[-1,4],求实数a 、b 的值．答案:a=3,b=4【教学后记】。

江苏省泰州市第二中学 高一数学教案 函数的值域(1)教学目标：理解函数值域的意义，会求简单函数的值域。

教学重点：二次函数值域的求法。

教学过程:一． 问题情境1、函数的概念2、已知函数1)1()(2+-=x x f x ∈A={-1，0，1，2，3}。

(1)求每一个x 所对应的函数值f （x ）。

并求这些函数值构成的集合C 。

(2)如B=R ，则函数f （x ）=（x-1）2+1，x ∈A={-1，0，1，2，3}，则这个对应是函数吗？集合B 和C 有何关系。

如x ∈R 呢？二． 数学建构用自己的语言说值域的定义。

三． 数学应用问题1：已知函数f （x ）=3x-6，（i ）当（1）x ≥2,（2）x ∈[-1，3]，分别求f （x ）值域.分析：(1)图象观察(2)代数推理（ii ）当函数f(x)的值域为[-1,3],求函数f(x)的定义域。

问题2：试画出函数f(x)=x 2+1的图象，并据图象回答下列问题：(1)比较f(-2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0<x 1<x 2，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小.(3)若x 1<x 2<0，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？(4)若|x 1|<|x 2|，试比较f(x 1)与f(x 2)的大小？问题3： 已知函数f （x ）=x 2-2x+3，当定义域分别为下列集合时，求f （x ）的值域。

（1）R （2）[2，3] （3）[-3，6]注：给定区间二次函数值域的求法步骤：1．配方画图。

2．确定对称轴和区间的位置，找出最高点和最低点。

3．写解。

思考：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域是[1，4]，这样的函数有多少个，试写出其中两个。

四．回顾反思五．练习1、求下列函数的值域(1)y=x +1；(2)y=x2-4x+6；x∈[1,5)(3)（选）y=2x-x-12、P28练习3、求函数值域f(x) =2x2-6x+c x∈[1,3]的值域第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

课题：函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。

注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。

（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。

3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。

解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。

y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3max -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。

函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。

函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。

了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。

【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。

函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。

在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。

1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。

在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。

2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。

二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。

换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。

2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。

【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。

函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。

2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。

函数值域求法1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 求函数y =x1的值域 解： x ≠0 ，∴ x1≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）。

例2 求函数y = 3 -x 的值域。

解： x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3 故函数的值域是：[ -∞，3 ] 2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]例2、求函数13432-+-=x x y 的值域。

解：()()[]713421342113426421+-+-=-+-=x x x x y =()31134212++-x ，所以27≥y ，故所求函数值域为[72 ，+∞]。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。

故所求函数值域为[-2，+∞）。

3 、判别式法例1 求函数y = 2211x x x +++的值域。

解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )2x +（y - 1 ）x= 0 （1）当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：21≤y ≤23 （2）当y=1，时 ，x = 0,而1∈[21, 23] 故函数的值域为[21，23] 例2 求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1） x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y ≥0解得：1-2≤y ≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x ≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[21，23]。

函数的值域（一）教学目标：理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的值域；2010年考试说明要求B。

知识点回顾:○1配方法(二次函数)；○2逆求法（反求法）；○3换元法（运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；○4三角函数有界性（x2,sinx,cosx,a x）。

基础训练：1.y=2x+1的值域_________2.y=x2+3x+4的值域__________3.y=1x的值域_________ 4.y=x 的值域5.y=log2x的值域_________ 6.y=2x的值域7.y=sinx的值域__________ 8.y=cosx的值域______________9.y=tanx的值域__________ 10．函数21y x=++____ 典型例题：函数22sin3cos1y x x=--的值域为___ _函数2sin 11cos y θθ-=+的值域为__________课堂检测:1.函数2211xx y +-=的值域为____________2.函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域为__________3. 函数313xx y =+的值域为_____ ____4．函数152+=x x y 的值域为___________5．若122=+y x ，则y x 43-的最大值是6.函数y=∣x+3∣(-4<x<1)的值域为7.函数y=132+-x x 的值域为8. 已知函数223y x x =-+在区间]0,m ⎡⎣上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为。

函数的值域学案--优质课竞赛一等奖本文档旨在呈现一份优质课竞赛一等奖得奖作品，题目为"函数的值域学案"。

以下是该教案的详细内容。

一、教案简介本教案主要针对中学数学课程中的函数概念，重点探讨了函数的值域。

通过本课的研究，学生将能够深入理解函数的值域概念，并能够灵活运用该概念解决实际问题。

二、教学目标1. 理解函数的值域的定义和意义。

2. 掌握确定函数的值域的基本方法。

3. 能够灵活应用函数的值域解决实际问题。

三、教学内容1. 函数的定义和基本性质复。

2. 函数的值域定义和解析法。

3. 基于函数的值域解决实际问题的案例分析。

4. 课堂练和作业布置。

四、教学重点1. 函数的值域的定义和解析法的掌握。

2. 解决实际问题时灵活应用函数的值域。

五、教学难点如何通过函数的值域解决复杂实际问题。

六、教学方法1. 探究式教学法：通过引导学生探究函数的值域概念和解析法，培养学生的自主研究能力。

2. 案例分析法：通过实际案例的分析，使学生理解和应用函数的值域。

3. 合作研究法：倡导学生之间的合作研究，共同解决问题，提高研究效果。

七、教学过程1. 复函数的定义和基本性质。

2. 引入函数的值域的概念，让学生探究其定义和意义。

3. 介绍函数的值域的解析法，并通过例题进行讲解。

4. 分组进行合作研究，解决一些实际问题，要求应用函数的值域解答问题。

5. 案例分析：选择一个复杂实际问题，引导学生使用函数的值域解决问题。

6. 课堂练，检验学生对函数的值域的掌握情况。

7. 作业布置：布置相关的题作业，巩固和拓展所学内容。

八、教学评价通过课堂表现和作业成绩评价学生对函数的值域的掌握情况，以及解决实际问题的能力。

九、教学资源1. 教材：中学数学教材。

2. 多媒体设备：投影仪，电脑等。

以上是"函数的值域学案--优质课竞赛一等奖"教案的详细内容，该教案通过引导学生理解函数的值域的定义和解析法，并通过案例分析和实际问题解决培养学生的数学思维和应用能力。

6x~ — 3x + 2 (2) 、Jx + 43矽(3)v 4x + 8\3x — 2 求下列函数值(1) y = -3x + 2 x G [-1,2] (2) y = 1-x * 1 2 3xe {-2,-1,0,1,2}(3)答案一：［-答案二：｛—f(x)=晶徵的值成1. 会求常见函数的值域.2.掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等.(4) f(x) = J3x —1 + J1 —2、+4； (5) f(x) = H-9 ；(6) f(x)=” 一「.x-1…2答案：(1) [x \ x 且 JVW 2}； (2) [―4, —2) U (―2,+oo) ； (3) (—,+00)； (4) [|,|]；(5) (―8,—3]U[3,+8)(6) [-2,1)U(1,2].二、新课讲解1.观察法求函数值域1- 例l,x > 00,x = 0 —1, x < 0答案三：(―8,l)U(l,+8);2.配方法求二次函数值域例2.已知函数y = x1 + 2x-3,分别求它在下列区间上的值域.(1) x eR ； (2) x e [0, +co): (3) x e [-2,2]: (4) x e [1,2].解：(1) •.•y = (x + l)2-4,** 'min = -4值域为[—4,+8).(2) V y = x2 + 2x-3的图象如图,当x = 0 时，y min = -3，.•.当xc[0,+oo)时,值域为[-3,+8).(3)根据图象可得：当X = -1 时，，min=—4，当X = 2时，Vmax = 5 '.•.当xe[-2,2]时，值域为[-4,5].(4)根据图象可得：当x = l 时，y min = 0,当X = 2时，扁乂=5 '.•.当xe[l,2]时，值域为[0,5].说明：(1)函数的定义域不同，值域也不同；(2)二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域.3.部分分式法求分式函数的值域5x + 4例3.求函数的值域.X — 1仙5x + 4 5(x-l) + 9「9解：y = ---------- =---------------- = 5 + ------- ,X ~1 X ~1X -19・.・——更0 .・.y更5 即函数值域为(-00,5) U (5,+oo).x-1说明：形如,=京* ” (c "0,bc如ad)的值域为{yly更f}.ax + b a4.利用“已知函数的值域"求值域例4.求下列函数的值域：(1) y— J1 - 3尤；(2) y = JX。