回归方程及回归系数的显著性检验演示教学
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回归系数的显著性检验
907求多元线形回归方程及预报一．功能 x1，x2, x3,………..xp 为自变量，Y 为随机变量， 求线形回归方程Y=b 0+x b 11+…+x b p p +ε其中,,10b b 。
，b p 为常数，ε是随机变量，且ε—N （0，26） 来描述Y 与X 的变化规律。
并用T 检验法检验线形回归是否显著。
如果线性回归显著，可用经验回归平面方程对Y 作出预报，并给出预报值的置信区间。
二．算法间介[16]，[15] (1) 求回归方程设x1,x2…xp 是确定变量，Y 是随机变量，他们之间有关系 Y=b 0+x b 11+…+x b p p +ε其中,,10b b 。
，b p 为常数，ε是随机变量，且ε—N （0，26），这是P 元线性回归模型， 我们讨论P>1的情形。
作n 次独立试验，得到n 组数据 （x k 1+2x k +,…),Y x p k p (k=1,2,…,n)记X j=∑=nk X n 11kj j=1,2,…,p,则（1）式可写为Y=+μb 1（x1-X 1）+…+(b p -xpXp)+ε其中 ε同于（1）中之ε，而μ=X b b 10+1+…+X b p p 对上面得到的几组试验数据，便有Y=X b k 11(+μ-X 1)+…+b p (X kp -X p )+εk 其中ε独立分布：εk —N （0，26）。
为了用最小乘法求（2）中μ，b b b p ,...,,21的估计值，我们引如下述符号Y =n1∑=ni Y11Y=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------X X XXXXX X X X X X XXX X X X p np n n P P PP......,1......................,1....,1.22112222121212111⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=∑∑==,,....,2,1,,)(),()(`11p k j y X X L X X X X L i n i j ij jy k ik ni j ij jkA==X X t⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------∑∑∑∑i p p ipp p ii X X X X X XX X X X X Xn 211111111112111)(...)()(0...................................))(....)(000 0(=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡L LLL L L L L L pp p P p p n ....0............... 0...00 0212222111211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡L n 00 A 为准对角阵，子块L 是P 介实对称可逆阵。
第三节 线性回归的显著性检验及回归预测
i
xy
i
n
]
2 b x i x i yi a x i 0 SS , SS E , SS R依赖： a y bx
5
注意：三个平方和SS , SS E , SS R的自由度分别记为 f , f E , f R , 则它们之间也有等式成立： f fE fR 且：f n-1, f E n 2, 则f R f f E 1.
2
x
i 1
n
i
x
2
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间. yc 100 解：根据前面的计算结果,已知n=16， • se=2.457，t(16-2)=2.1448 • 置信区间为 1 (73 57.25)2
一元线性回归的方差分析表
离差来源 平方和 自由度 F值 SS R 回 归 SS y y 2 1 F R ci SS E 2 剩余 n-2
SS E yi yci
( n 2)
总计
SS yi y
2
n-1
8
线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0; 2. 计算检验统计量F
i
(x
x ) nS xi
2 2
( xi )
2
③根据已知条件实际计算统计量t的值； ④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的假设
b Se 1
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
H0 : 0;
i
H1 : 0
xy
i
n
]
2 b x i x i yi a x i 0 SS , SS E , SS R依赖： a y bx
5
注意：三个平方和SS , SS E , SS R的自由度分别记为 f , f E , f R , 则它们之间也有等式成立： f fE fR 且：f n-1, f E n 2, 则f R f f E 1.
2
x
i 1
n
i
x
2
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间. yc 100 解：根据前面的计算结果,已知n=16， • se=2.457，t(16-2)=2.1448 • 置信区间为 1 (73 57.25)2
一元线性回归的方差分析表
离差来源 平方和 自由度 F值 SS R 回 归 SS y y 2 1 F R ci SS E 2 剩余 n-2
SS E yi yci
( n 2)
总计
SS yi y
2
n-1
8
线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0; 2. 计算检验统计量F
i
(x
x ) nS xi
2 2
( xi )
2
③根据已知条件实际计算统计量t的值； ④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的假设
b Se 1
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
H0 : 0;
i
H1 : 0
回归方程和回归系数的显著性检验
§3回归方程及回归系数的显著性检验1、回归方程的显著性检验（1）回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后.回归效果如何呢因变虽7与自变彊乃界2,…川廉是否确实存在线性关系呢这是需嬰进行统讣检验才能加以肯定或否定，为此，我们耍进一步研究因变虽丿取值的变化规律。
丿的每次取值片& = l,2,・・・j）是有波动的，这种波动常称为变差，每次观测值山的变差大小，常用该次观侧值》鮎戶次观测值的平均值” J1的差P （称为离差）來农示，而全部X次观测值的总变差可由总的离差平方和JS X? M一刃一九）2十亍庆一刀2詔十UJI JI J1f其中：j 称为回归平方和，是回归值/丘与均值p之差的平方和，它反映了自变虽"'◎，•••用欷的变化所引起的丿的波动，其自由度九5（朋为自变虽的个数）。
M£ =为=3「弘尸a3 称为剩氽平方和（或称残差平方和），是实测值丿免与回归值》丘之差的平方和，它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度fQ = n~m~1。
总的离差平方和'妙的自由度为«-1 s 如果观测值给定，则总的离差平方和巧^是确定的，即Q+u是确定的，因此17大则£小，反之，u 小则0大,所以u与丘都可用來衡址回归效果，且回归平方和17越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和£越小回归效果越显普，如果2=0,则回归超平血过所有观测点；如果。
大，则线性回归效果不好。
（2）复相关系数为检验总的回归效果，人们也常引用无虽纲抬标化「土»R称为复相关系数。
因为回归平方和卩实际上是反映回归方程中全部自变:&的“方差贡献”，因此丘2就是这种罚献在总回归平方和中所占的比例，因此尺表示全部自变虽与因变址丿的相关程度。
显然血尺。
复相关系数越接近1,回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意，艮|丿回归方程中自变虽的个数朋及观测组数以有关，、”“相对于朋并不很大时，常有较大的尺值，因此实际il•算中应注意朋与”的适为比例,一般认为应取乳至少为朋的5到10倍为宜。
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
回归方程及回归系数的显著性检验教程文件
回归方程及回归系数的显著性检验§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标, (3.1)或, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
回归方程及回归系数的显著性检验
§ 3回归方程及回归系数的显著性检验1、回归方程的显著性检验（1）回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后，回归效果如何呢？因变量丿与自变量旳=乜严\茂更是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定，为此，我们要进一步研究因变量丿取值的变化规律。
丿的每次取值找优■1,2严诃）是有波动的，这种波动常称为变差，每次观测值的变差大小，常用该次观侧值戸=』^^与觅次观测值的平均值” j 的差丿鸟-P（称为离差）来表示，而全部n次观测值的总变差可由总的离差平方和3护=另0丘-』卩=2。
氐-A?十刀庆-/PJU1 JU1其中:31 称为回归平方和，是回归值丿化与均值7之差的平方和，它反映了自变量xwr的变化所引起的丿的波动,其自由度f戸-E （帆为自变量的个数）。
Z 称为剩余平方和（或称残差平方和）,是实测值丿代与回归值之差的平方和，它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度巾。
总的离差平方和g邓的自由度为播-1。
如果观测值给定，则总的离差平方和'a是确定的，即2+B是确定的，因此^大则e小，反之，卩小则2大，所以了与e都可用来衡量回归效果，且回归平方和*^越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和2越小回归效果越显著，如果E = 0，则回归超平面过所有观测点；如果2大，则线性回归效果不好。
（2）复相关系数为检验总的回归效果，人们也常引用无量纲指标V 氏刃,(3.2)丘称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”，因此丘2就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例，因此丘表示全部自变量与因变量丿的相关程度。
显然0＜丘＜1。
复相关系数越接近1 ,回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意回归方程中自变量的个数闻及观测组数n有关，当？2相对于m并不很大时，常有较大的兄值,因此实际计算中应注意揪与N的适当比例，一般认为应取n至少为rn的5到10倍为宜。
回归方程及回归系数的显著性检验
.3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)与自变量, 是否确实存在线性关系呢？这回归效果如何呢？因变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 为此, 取值的变化规律。
的每次是需要进行统计检验才能加以肯定或否定常用该次观侧值, 每次观测值是有波动的, 这种波动常称为变差, 的变差大小取值而全部次观测值的总变差可由总的来表示, 的差(称为离差与次观测值的平均值)离差平方和,: 其中与均值之差的平方和, , 是回归值它反映了自变量称为回归平方和。
(其自由度为自变量的个数)的变化所引起的的波动,与回归值之差的平方和是实测值, 称为剩余平方和(或称残差平方和), 它的自由度为其自由度。
是由试验误差及其它因素引起的, 。
总的离差平方和,反之因此, 即小大则是确定的, , 如果观测值给定 , 是确定的则总的离差平方和且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 小则大, 所以与, 或者说剩都可用来衡量回归效果如果; ＝如果0, 越小回归效果越显著则线性回归效果大, 余平方和, 则回归超平面过所有观测点不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标为检验总的回归效果,, (3.1)或1 / 6., (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就因此。
是这种贡献在总回归平方和中所占的比例显然, 表示全部自变量与因变量的相关程度。
, , 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意与复相关系数越接近１, 回归效果就越好因此实际值相对于并不很大时, 及观测组数回归方程中自变量的个数有关, , 当常有较大的一般认为应取的５到计算中应注意的适当比例倍为宜。
, 与10至少为检验(3)要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设, (3.3)应用统计量当假设无线性关系, 成立时, 否则认为线性关系显著。
检验假设则与, (3.4)它服从自由度为及这是两个方差之比的分布, 即,, (3.5)应有统计量下, 用此统计量, 成立则当给定检验水平可检验回归的总体效果。
回归方程和回归系数的显著性检验
§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢因变量与自变量是否确实存在线性关系呢这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标,或,称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设,当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
检验假设应用统计量,这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即,用此统计量可检验回归的总体效果。
回归系数的显著性
2.解：人均GDP作为自变量x，人均消费水平作为因变量y:第1步：选择“数据”，点击“数据分析”命令。
第2步：在分析工具中选择“回归”，然后单击“确定”按钮。
第3步：当对话框出现时：在“Y值输入区域”框内输入人均消费水平的数据区域，在“X值输入区域”框内输入人均GDP的数据区域，选择输出区域，得到回归结果如下图：线性相关系数判定系数y的截距斜率（2）由上表可知：线性相关系数为0.998127959。
线性相关系数接近于1，说明人均GDP与人均消费水平之间有非常强的正线性相关关系。
（3）由表知：回归方程为：y=734.6928+0.308683x。
回归系数为0.308683。
意义：人均GDP每增加1元，人均消费水平平均增加0.308683元。
（4）判定系数R2=0.996259423。
意义：在人均消费水平的变差中，有99.6259423%是由人均GDP决定的。
（5）提出假设：H0：β1=0，H1：β1≠0。
由表知：Significance F=2.90942E-7 < α=0.05，所以拒绝原假设，说明人均GDP与人均消费水平之间的线性关系显著。
3.解：航班正点率作为自变量x，投诉次数作为因变量y:第1步：选择“数据”，点击“数据分析”命令。
第2步：在分析工具中选择“回归”，然后单击“确定”按钮。
第3步：当对话框出现时：在“Y值输入区域”框内输入投诉次数的数据区域，在“X值输入区域”框内输入航班正点率的数据区域，选择输出区域，得到回归结果如下图：y的截距斜率（2）由表知：回归方程为：y=430.18923-4.7x。
回归系数为- 4.7。
意义：航班正点率每增加1%，顾客投诉次数平均下降4.7次。
（3）由表得：回归系数检验的P-value=0.001108261 < a=0.05，所以拒绝原假设，且回归系数显著。
第章线性回归分析详解演示文稿
数学模型为： y=β0+β1x+ε
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数
回归分析(2))回归方程的检验ppt课件
小时，计算出的一般都较接近1，这给我们 判断所建的回归方程的回归效果是否显著 带来麻烦，因此在实际计算中应注意变量 个数与样本个数的适当比例，一般认为样 本个数至少应是变量个数的5到10倍。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验
由于在解决实际问题时，我们往往不能事先 ,x , ,x 1 2 m 断言变量 y 与变量 x 之间是否确有线性 关系，在建立数学模型时，往往是先假定实际 问题可能具有线性性，由此建立起线性回归模 型。显然在这样的假设前提下所建立起的线性 回归模型到底能否代表实际问题，或者通俗地 说所建立的线性回归方程能否用于实际问题， 需要判定（检验），该如何检验呢?这是统计 学中假设检验问题。
i 1
剩余平方和（或残差平方和），它是由试验 误差以及其他因素引起的。它的大小反映了 试验误差及其他因素对试验结果的影响程度， n m 1 其自由度为 。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
于是
S S S 总 回 剩
（2.13）
由式（2.13），我们可对所建立的回归方程能否 代表实际问题作一个判断。这是因为在式（ 2.13） 中，当 确定时， 越小， 越大，则 就越 S总 S回 S回 S剩 接近 。于是，我们可用 是否趋近于 1 来判断回 S回 S总 归方程的回归效果好坏。 S总
i 1 i 1
n
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
又由式（2.5）知，上式最后等式右端每一项 均等于0，于是
ˆ )( ˆ y (y y y ) 0
i 1 i i i n
因此
2 2 ˆ ˆ S ( y y ) ( y y ) i i i 总 i 1 i 1
回归分析(2))回 归方程的检验
§ 2.4 回归方程的显著性检验——F检验
由于在解决实际问题时，我们往往不能事先 ,x , ,x 1 2 m 断言变量 y 与变量 x 之间是否确有线性 关系，在建立数学模型时，往往是先假定实际 问题可能具有线性性，由此建立起线性回归模 型。显然在这样的假设前提下所建立起的线性 回归模型到底能否代表实际问题，或者通俗地 说所建立的线性回归方程能否用于实际问题， 需要判定（检验），该如何检验呢?这是统计 学中假设检验问题。
i 1
剩余平方和（或残差平方和），它是由试验 误差以及其他因素引起的。它的大小反映了 试验误差及其他因素对试验结果的影响程度， n m 1 其自由度为 。
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
于是
S S S 总 回 剩
（2.13）
由式（2.13），我们可对所建立的回归方程能否 代表实际问题作一个判断。这是因为在式（ 2.13） 中，当 确定时， 越小， 越大，则 就越 S总 S回 S回 S剩 接近 。于是，我们可用 是否趋近于 1 来判断回 S回 S总 归方程的回归效果好坏。 S总
i 1 i 1
n
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
又由式（2.5）知，上式最后等式右端每一项 均等于0，于是
ˆ )( ˆ y (y y y ) 0
i 1 i i i n
因此
2 2 ˆ ˆ S ( y y ) ( y y ) i i i 总 i 1 i 1
回归分析(2))回 归方程的检验
回归方程显著性的检验(t检验)
线性回归数据选用R中table.b31.回归方程显著性的检验（t检验）首先探索y与x之间是否具备线性关系，最直接的方法，画出y和x之间的散点图，如图所示，y与x之间是负相关的关系。
将y与x进行拟合模型lm（）用准确的统计学语言来描述回归结果y=33.72-0.047x回归方程的预测在对方程进行预测时，（需要拟合好的模型，新预测的数据集，定义预测的区间，定义95%的可信区间）回归诊断回归模型的前提假设：线性：因变量Y的总体平均值与X呈线性关系独立性：需要保证观测值之间是相互独立的正态性：线性模型的残差服从正态分布（残差毫无规律的分布在x=0的周围）等方差：不论X取什么值，Y都具有相同的方差出现情况：1.对于方差不齐的情况可以采用加权最小二乘法，对于距离较远的点赋予较小的权重，减少其不良影响。
2.共线性（拟合模型显著但自变量不显著）诊断方法方差膨胀因子，VIF>10有较强的共线性，VIF>100有严重的共线性，发现共线性的变量可剔除彼此共线性的变量2.高杠杆值（与离群点不同，其x值不在正常范围内）诊断方法（学生化残差，杠杆值，Cook距离）car包中的influencePlot函数找出该点外文文献总结一种基于模糊信息的乳腺癌危险因素方法评估目的：本篇文章是研究导致乳腺癌疾病的因素，研究发现有可控因素和不可控因素。
通过构建一个决策系统来观察导致乳腺癌的因素。
方法：通过BRFCM（基于规则的模糊认知图）方法来表示几种因素之间的属性和因果关系。
第一部分，利用基于模糊推理规则的方法，利用MATLAB（矩阵实验室）构造RBFCM的权重矩阵，得到了互连线的权重。
连接强度是根据这些因素的因果关系按权重值推断的。
第二部分通过模糊识别图评价影响BC发生的因素，并计算BC危险因素的影响程度。
第三部分，使用FCMapper软件分析结果。
在构建因果关系时，结合研究人员经验，来确定BRFCM的权重矩阵。
在FIS中的功能操作遵循以下四个步骤：评估每个规则的输入，获得每个规则的结论，汇总结论和去模糊化。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性PPT共48页
[ˆ j t 2 ( n k 1 )C jjˆ 2 ,ˆ j t 2 ( n k 1 )C jjˆ 2 ]
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1 年份 消费 收入 人口 已知某地区的相关数据如右表所示， 1994 9 13.1 48.2
试求该回归方程。 解：使用EviBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
n
i1 n
i1
i1
n
n
ˆ0
i1
xi1
ˆ1
i1
xi21
ˆk
i1
xi1xik
i1
xi1 yi
n
n
n
n
ˆ0 i1 xik ˆ1 i1 xikxi1 ˆk i1 xi2k i1 xik yi
多元线性回归模型及其参 数估计多元线性回归的显
著性
自信是向成功迈出的第一步
第二章 多重回归分析法
2.1 多元线性回归模型及其参数估计 2.2 多元线性回归的显著性检验 2.3 利用多元线性回归方程进行预测 2.4 解释变量的选择 2.5 多重共线性 2.6 预测实例
预测模型
y ˆ ˆ0 ˆ 1 x 1 i ˆ2 x 2 i ˆk x k i
R2 1SSE nk1 SST n1
其中n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总离差平方 和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能 力，则对残差平方和的减少没有多大帮助，却增加待 估参数的个数，从而使 R 2 有较大幅度的下降。
2.修正判定系数 R的计算
R21(1R2) n1 nk1
注： （1）如果k=0，则 R R2 （2）如果k>0，则 RR （3）R 2 有可能为负值。
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1 年份 消费 收入 人口 已知某地区的相关数据如右表所示， 1994 9 13.1 48.2
试求该回归方程。 解：使用EviBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
n
i1 n
i1
i1
n
n
ˆ0
i1
xi1
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i1
xi21
ˆk
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xi1xik
i1
xi1 yi
n
n
n
n
ˆ0 i1 xik ˆ1 i1 xikxi1 ˆk i1 xi2k i1 xik yi
多元线性回归模型及其参 数估计多元线性回归的显
著性
自信是向成功迈出的第一步
第二章 多重回归分析法
2.1 多元线性回归模型及其参数估计 2.2 多元线性回归的显著性检验 2.3 利用多元线性回归方程进行预测 2.4 解释变量的选择 2.5 多重共线性 2.6 预测实例
预测模型
y ˆ ˆ0 ˆ 1 x 1 i ˆ2 x 2 i ˆk x k i
R2 1SSE nk1 SST n1
其中n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总离差平方 和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能 力，则对残差平方和的减少没有多大帮助，却增加待 估参数的个数，从而使 R 2 有较大幅度的下降。
2.修正判定系数 R的计算
R21(1R2) n1 nk1
注： （1）如果k=0，则 R R2 （2）如果k>0，则 RR （3）R 2 有可能为负值。
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
ˆ b ˆ X b ˆY ˆ b Y t 0 1 t 2 t 1 ˆ b ˆ X b ˆ Y b ˆY ˆ b Y
t 0 1 t 2 t 1
3 t 2
其中t为当前期变量，t-k称为k期滞后变量。
1) 使用软件估计模型
将之前已经建立的Workfile文件打开 点击菜单中的“Quick”→“Estimate Equations”
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i bk X ki ui
样本回归方程为：
ˆ b ˆ X b ˆ X b ˆ X ˆ b Y i 0 1 1i 2 2i k ki
我们将Yi与其平均值Y之间的离差分解如下 ˆ ) (Y ˆ Y ) Y Y (Y Y
B)调整后的拟合优度(样本决定系数)
RSS n k 1 n 1 RSS R 1 1 TSS n 1 n k 1 TSS n 1 2 2 即，R 1 ( 1 R ) n k 1
2
说明：
n 1 “ ”与“1-R 2? 一增一减，此消彼长 n k 1 从而保证R 2不会随解释变量个数的变化产生大的波动。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
第2节 一元线性回归效果的显著性检验
F
(n 2) 1
R2
.
U bˆlxy
l
2 xy
l xx
lyyR2 ,
R l xy l xx l yy
Q l yy U l yy(1 R2 ) ,
于是
F
(n 2) U Q
R2 (n 2) 1 R2
.
24
U lyyR2 ,
Q lyy(1 R2 ) ,
R2
F
(n 2) 1
R2
.Hale Waihona Puke 由 Q lyy(1 R2 ) 知 , (1) | R | 1 ,
(2)
当l
y
一定时，
y
| R | 越接近 1，Q就越小 .
特别当| R | 1 时，Q 0；当 R 0时，Q l yy .
由上述证明还可得到
R2 U 1 Q ,
l yy
l yy
及
R2
1
1 n
2
.
F
25
练习：
P240 习题七
i 1
i 1
n
n
( yˆ i y)2 ( yi yˆ i )2 ,
i 1
i 1
n
n
记 U ( yˆ i y)2 , Q ( yi yˆ i )2 ,
i 1
i 1
则 lyy U Q .
5
n
n
U ( yˆ i y)2 , Q ( yi yˆ i )2 , aˆ y bˆx ,
i 1
l xy
n
n
( xi x)2 ( yi y)2
l xxl yy
i 1
i 1
R lxy bˆ lxx ,
l xxl yy
回归方程显著性检验
回归方程显著性检验
在实际问题中，我们不能预先断定因变量 y 与自变
量 x1， x2 ，… ， xp 之间是否确有线性关系。在求
线性回归方程之前，线性回归模型只是一种假设。
尽管这种假设常常不是没有根据的，但在求得线性
回归方程后，还是需要对回归方程进行统计检验， 以给出肯定或者否定的结论。
显著性假设
ˆ 在置信 j
注意：
在进行回归因子显著性检验时，当从原回归方程中 剔除一个变量时，由于各因子之间的相关性，其他
变量的回归系数将会发生变化，有时甚至会引起符
号的变化，因此，对回归系数进行一次检验后，只 能剔除其中的一个因子，然后重新建立新的回归方 程，再对新的回归系数逐个进行检验，重复以上过 程，直到余下的回归系数都显著为止。
2
~ N 0,1
ˆ j j cjj2
2
~ 2 1
S 剩
2 np1 ~ 2
组成检验原假设的统计量
S n p 1 剩
2 ˆ j c jj
~ F 1 ,n p 1
统计量
S n p 1 剩
2 ˆ j c jj
~ F 1 ,n p 1
求得统计量
S 回/ p F S剩/( n p1 ) n n 1 2 y y ˆ S ( y y ) i 回 i n i 1 i 1
S剩称为称剩余平方和或残差平方和
2 ˆ S剩 (yi yi ) i 1 n
在原假设成立时，统计量 F 应服从 F ( p , n - p -1) 分布
y
中它前面的系数βj 就应该取为零，因此,检验因子 是否显著的原假设应该为： H0： βj =0 由模型可估算求得： ˆ） E（ j j
在实际问题中，我们不能预先断定因变量 y 与自变
量 x1， x2 ，… ， xp 之间是否确有线性关系。在求
线性回归方程之前，线性回归模型只是一种假设。
尽管这种假设常常不是没有根据的，但在求得线性
回归方程后，还是需要对回归方程进行统计检验， 以给出肯定或者否定的结论。
显著性假设
ˆ 在置信 j
注意：
在进行回归因子显著性检验时，当从原回归方程中 剔除一个变量时，由于各因子之间的相关性，其他
变量的回归系数将会发生变化，有时甚至会引起符
号的变化，因此，对回归系数进行一次检验后，只 能剔除其中的一个因子，然后重新建立新的回归方 程，再对新的回归系数逐个进行检验，重复以上过 程，直到余下的回归系数都显著为止。
2
~ N 0,1
ˆ j j cjj2
2
~ 2 1
S 剩
2 np1 ~ 2
组成检验原假设的统计量
S n p 1 剩
2 ˆ j c jj
~ F 1 ,n p 1
统计量
S n p 1 剩
2 ˆ j c jj
~ F 1 ,n p 1
求得统计量
S 回/ p F S剩/( n p1 ) n n 1 2 y y ˆ S ( y y ) i 回 i n i 1 i 1
S剩称为称剩余平方和或残差平方和
2 ˆ S剩 (yi yi ) i 1 n
在原假设成立时，统计量 F 应服从 F ( p , n - p -1) 分布
y
中它前面的系数βj 就应该取为零，因此,检验因子 是否显著的原假设应该为： H0： βj =0 由模型可估算求得： ˆ） E（ j j
第三节线性回归的显著性检验及回归预测
③根据已知条件实际计算统计量F的值；
④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
7
方差分析——把总离差平方和及其自由度进行分 解,利用F统计量检验两变量间线性相关显著性的 方法称为方差分析.方差分析的结果归纳如下：
一元线性回归的方差分析表
离差来源
平方和
自由度 F值
回归 剩余
SSR SSE
yci y 2 yi yci 2
i 1
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间.
解：根据前面的计算结果,已知n=16，yc 100
•
se=2.457，t(16-2)=2.1448
• 置信区间为
1 (73 57.25)2
100 2.1448 2.457
② 构造检验统计量
i.构造 2分布统计量：
SSR
2
~
2
(1),
SSE
2
~
2(n 2),
ii.构造统F分布计量：
F
SSR
2
1
SSR
~ F (1, n 2)
SSE
2
(n 2)
SSE (n 2)
给定显著性水平α,查表计算出临界值 F (1, n , 2) 得出拒绝域 (F (1, n 2), ).
③根据已知条件实际计算统计量t的值；
④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的检验 (例题分析)
• 对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
1. 提出假设 H0 : 0; H1 : 0
2. 计算检验的统计量
t Se
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回归方程及回归系数验检性著显的．
3 回归方程及回归系数的显著性检验§
１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)
是否确实存在线性关系呢？这, 回归效果如何呢？因变量与自变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 取值的变化规律。
的每是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此常用该次观侧值每次观测值的变差大小, 次取值是有波动的, 这种波动常称为变差,
次观测值的总变差可由而全部, 的差(称为离差)来表示与次观测值的平均值总的离差平方和,
: 其中它反映了自变量称为回归平方和 , 是回归值与均值之差的平方和,。
)为自变量的个数的波动的变化所引起的, 其自由度(,
), 是实测值与回归值之差的平方和或称残差平方和称为剩余平方和(的自由度为其自由度。
总的离差平方和。
它是由试验误差及其它因素引起的,
,
, 是确定的即, 如果观测值给定则总的离差平方和是确定的, 因此大则反之小,
或者, 与, 大所以且回归平方和都可用来衡量回归效果, 越大则线性回归效果越显著小则如果越小回归效果越显著, ; 则线性回大, 说剩余平方和0, ＝如果则回归超平面过所有观测点归效果不好。
复相关系数(2)
人们也常引用无量纲指标, 为检验总的回归效果, (3.1)
或．
, (3.2)
称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此因此的相关程度。
显然, 就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例表示全部自变量与因变量
因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但, 回归效果就越好, 。
复相关系数越接近１
常有较大的并不很大时, 相对于,
与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当应注意
一般认为应取, 的适当比例的５到10至少为倍为宜。
值与, 因此实际计算中应注意
检验(3)
就是要检验假设, 是否存在线性关系要检验与
, (3.3)
应用统计量否则认为线性关系显著。
检验假设无线性关系, 与成立时当假设, 则
, (3.4)
它服从自由度为即及的分布, , 这是两个方差之比
, (3.5)
应有则当给定检验水平成立, α下, 可检验回归的总体效果。
如果假设用此统计量统计量
, (3.6)≤
由对于给定的置信度α值为, , 的值分布表可查得如果根据统计量算得的个自变量的总体回归效果是显著, 为O, 即不能认为全部, 则拒绝假设即否则认为回归效果不显著。
的,
检验对回归方程进行显著性检验的方法称为方差分析。
上面对回归效果的讨论可归结于一个利用。
如表方差分析表中, 3.1方差分析表表3.1
来方差比方差平方和自由度源回
归
剩余
总
计
: 的以下关系可以导出与根据与的定义,
,。
值多大时回归效果才算是显著的问题。
因为对给定的检验水平α, 由利用这两个关系式可以解决
分布表可查出: 的临界值, 然后由即可求出的临界值
, (3.7)
时, 当则认为回归效果显著。
的回归方程进行显著性检验。
2.13.1利用方差分析对例例。
3.2 方差分析结果见表 3.2 表方差比差方源来平方和自由度
归回
余剩
计总
, 所以例2.1取检验水平分布表得, 而α＝0.05, 查的回归方程回归效果是显著的。
２、回归系数的显著性检验前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果, 但总体回归效果显著并不说明每个自变量
对因变量都是重要的, 即可能有某个自变量对并不起作用或者能被其它的的作用所代替, 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除, 这样可以建立更简单的回归方程。
显然某个自变
: 就要检验假设, 是否显著因此检验每个自变量0, 就应取值为则它的系数, 作用不显著量如果对．
, (3.8) ,
: (1) 检验
: 假设下, 可应用在检验
, (3.9) ,
个元素。
其中为矩阵的对角线上第
对应的临界值分布表中可查出与α则拒绝假设对给定的检验水平α, 从, 如果有,
如果有0, 即认为与则接受假设,
有显著差异, 这说明有重要作用不应剔除; 对
应予剔除。
对成立, 即认为这说明不起作用,
: 检验(2)
分布的统计量1, 亦可用服从自由度分别为与的检验假设
, (3.10)
分布表其中, 的主对角线上第为矩阵个元素。
对于给定的检验水平α从
有重要作用。
对则拒绝假设中可查得临界, 如果有认为, ,
可以剔除。
一般一次对, 即认为自变量不起重要作用, 则接受假设, 如果
且这个自变量是所有不显著自变量中值最小者, 然后再建立回归方程, 检验只剔除一个自变量, 并继直到建立的回归方程及各个自变量均显著为止。
续进行检验,
(3.9)因为由, , 最后指出上述对各自变量进行显著性检验采用的两种统计量与实际上是等价的有式及(3.10), 式知
(3.11)
的回归方程各系数进行显著性检验。
3.2例2.1对例: 经计算
,
于是
,
其中＝0.004577。
由(3.7)式知＝0.002223,
,
,
, , 因为查分布表得,
比胸围, 及, 所以两个自变量都是显著的。
又由说明体长
的影响更大。
对体重
如果应用检验, 查分布表有, 又由
,
,
均为重要都是显著的,
, , 因为因此及应保留在回归方程中。
变量,
偏回归平方和(3)
还可应用偏回归平方和进行检验。
, 检验某一自变量是否显著
的回归平方和为个自变量
,
如果自并设, 个自变量的回归平方和设为, 则剩下的个自变量中去掉
,
就表示变量的偏回归平方和或贡献。
可以证明,
中的贡献在回归平方和称为则
, (3.12)
对回归方程的, 或者说越大, 说明在回归方程中越重要, 对的作用和影响越大偏回归平方和的一个指标。
)贡献越大。
因此偏回归平方和也是用来衡量每个自变量在回归方程中作用大小(贡献大小
的偏回归平方和分别为和2.1中,
例如在例
,
,
大。
的作用比 , 说明在回归方程中
: 的偏回归平方和分别为又如在例及 2.2中
,
,
,
,
在回归方程中所起的作用最小,
最大 , 的值最小即, 说明在回归方程中所起的作用最大。