高三数学一轮复习 第4章 第4课时 数系的扩充与复数的引入 文 新人教版

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4-4-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()图4-4-2A．A B.BC．C D.DB[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0 B.2C.2iD.2＋2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]4．(2016·北京高考)复数1＋2i2－i＝()A．i B.1＋i C．－i D.1－iA[法一：1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i.法二：1＋2i2－i＝i(1＋2i)i(2－i)＝i(1＋2i)2i＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.](1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则4iz z－1＝()A．1 B.－1C.iD.－i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.【导学号：01772156】(1)C (2)－2 [(1)因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以z z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4iz z－1＝4i4＝i.故选C.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋b i(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1](1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝i2＋i的虚部为()A ．－15 B.－25 C.15 D.25(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D.2 (1)D (2)B [(1)复数z ＝i2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]) A ．－2－i B.－2＋i C.2－iD.2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C. (2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B.1－i C ．－1＋iD.－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.]第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1) B.(－1,3) C ．(1，＋∞)D.(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )【导学号：01772157】A ．－5 B.5 C ．－4＋iD.－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，bc ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限B [由题意得z ×2i －(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝(1＋i )(－i )2i ＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．。

第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 与b 01实部与02虚部.03b ＝0，则a ＋b i 04b ≠0，则a ＋b i 05a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 06a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 07|z |或08|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|09a2＋b2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)10(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝11(a －c )＋(b －d )i. (3)乘法：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝12(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(4)除法：z1z2＝a ＋bic ＋di ＝错误!＝错误!＋错误!i(c ＋d i ≠0)．1．(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )． (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )．2．z z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z1z2|＝|z1||z2|，|z n |＝|z |n (n ∈N )．3．(1)复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→所对应的复数．1．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D解析 因为向量AB→对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，所以向量BA→对应的复数是－2－i ，且CA →＝CB →＋BA →，所以向量CA →对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故选D.3．(2020·浙江高考)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 因为a －1＋(a －2)i 为实数，所以a －2＝0，所以a ＝2.故选C. 4．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．z 的模为2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1 D ．z 的共轭复数为1＋i答案 C解析 根据题意可知，2－1＋i ＝错误!＝－1－i ，所以z 的虚部为－1，实部为－1，模为2，z 的共轭复数为－1＋i.故选C. 5．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.6．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________. 答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.考向一 复数的有关概念 例1 (1)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 B 解析 因为a ＋i 2－i＝错误!＝错误!是纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝12.(2)(2020·天津市河北区二模)若复数1＋2ai 2－i(a ∈R )的实部和虚部相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．16D ．－16答案 C解析 ∵复数1＋2ai2－i ＝错误!＝错误!＋错误!i 的实部和虚部相等，∴错误!＝错误!，解得a ＝16.故选C.(3)给出下列命题：①两个不是实数的复数不能比较大小； ②复数i －1的共轭复数是i ＋1；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 其中错误命题的序号是________. 答案 ②③④解析 ①显然为真命题．对于命题②，复数i －1的共轭复数是－i －1，所以该命题是错误的．对于命题③，若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则x 2－1＝0且x 2＋3x ＋2≠0，所以x ＝1，所以该命题是错误的．对于命题④，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，可以z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，所以该命题是错误的．求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列方程(组)求解．1.(2020·广西钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是( )A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12i D ．32＋12i答案 D解析 由复数2＋i1＋i ＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i ，所以共轭复数为错误!＋错误!i.2．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋t i(t ∈R )，且满足z －1z 2是实数，则z 2等于( ) A ．1－12iB ．1＋12iC.12＋i D ．12－i答案 B解析 ∵z －1z 2＝(2－i)(1＋t i)＝2＋t ＋(2t －1)i 是实数，∴2t －1＝0，即t ＝12，∴z 2＝1＋12i.故选B.多角度探究突破考向二 复数的几何意义例2 (1)已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3i B ．2 C ．(－1，3)D ．－1＋3i答案 D解析 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin120°＝2×32＝3，所以复数z 对应的点为(－1，3)，所以z ＝－1＋3i.(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1， ∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．3.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为z －＝－3－2i ，故z －对应的点的坐标为(－3，－2)，位于第三象限．故选C.4．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 答案 A解析 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1.故选A.5．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝________.答案 22解析 由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ，故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝错误!＝2错误!. 多角度探究突破考向三 复数的代数运算 角度1 复数的乘法运算例3 (1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.(2)(2020·宝鸡模拟)已知i 为虚数单位，实数a ，b 满足(2－i)(a －b i)＝(－8－i)i ，则ab 的值为( )A ．6B ．－6C ．5D ．－5 答案 A解析 由题意，得(2a －b )＋(－a －2b )i ＝1－8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝1，－a －2b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，∴ab ＝6.角度2 复数的除法运算例4 (1)(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i ＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 D 解析2－i1＋2i ＝错误!＝错误!＝－i ，故选D. (2)(2021·山东聊城月考)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z1z2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z1z2＝2＋i2－i＝错误!＝错误!＋错误!i.角度3 复数的混合运算例5 (1)(2020·山东省、海南省新高考高三4月模拟)已知(2－i)z －＝i 2021，则复平面内与z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由(2－i)z －＝i 2021，得z －＝i20212－i ＝i 2－i＝错误!＝－错误!＋错误!i ，∴z ＝－1 5－25i.∴复平面内与z对应的点在第三象限．故选C.(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0 B．1C．2D．2答案 D解析z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．6.(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－i D．i答案 D解析因为z－＝1－i1＋i＝错误!＝错误!＝－i，所以z＝i.故选D.7．(2021·临沂摸底)设z＝i3＋2－i1＋2i，则z的虚部是()A．－1 B．－4 5iC．－2i D．－2 答案 D解析根据复数的乘法与除法运算，则z＝i3＋2－i1＋2i＝i2·i＋错误!＝－i－i＝－2i.根据虚部的定义，可知虚部为－2.故选D.8．(2020·长沙市长郡中学高三适应性考试)已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2－i)(m＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则复数mi1－i的虚部为()A．1 B．iC．－1 D．－i答案 A解析(2－i)(m＋i)＝2m＋1＋(2－m)i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2－m＝0，得m＝2，复数mi1－i ＝2i1－i＝错误!＝错误!＝－1＋i，即复数的虚部是1，故选A.一、单项选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)复数11－3i的虚部是()A．－310B．－110C.110D．310答案 D解析因为11－3i＝错误!＝错误!＋错误!i，所以复数错误!的虚部为错误!.故选D.2．(2020·青岛市高三上学期期末)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则z1z2＝()A．1＋i B．－1＋iC．－1－i D．1－i答案 D解析∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，∴z1＝1＋i，z2＝i.∴z1 z2＝1＋ii＝错误!＝1－i.故选D.3．(2020·厦门一模)设z＝－i＋3，则z－＋|z－|＝()A．i－3＋10B．i＋3＋10C．－i＋3＋10D．－i－3＋10答案 B解析∵z＝－i＋3，∴z－＝i＋3，∴z－＋|z－|＝i＋3＋10，故选B. 4．(2021·海口高考调研考试)在复平面内，复数1＋i1－i对应的点与复数－i对应的点的距离是()A．1 B．2C．2 D．22答案 C解析因为1＋i1－i＝错误!＝错误!＝i，所以复数错误!对应的点为(0,1)．又因为复数－i对应的点为(0，－1)，所以这两点之间的距离为2.故选C.5．(2020·葫芦岛模拟)已知－m＋3i2－i＝n＋2i(m，n∈R)，则复数z＝m＋n i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 由－m ＋3i 2－i＝n ＋2i ，得－m ＋3i ＝(n ＋2i)(2－i)＝(2n ＋2)＋(4－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝2n ＋2，3＝4－n ，解得m ＝－4，n ＝1.∴复数z ＝m ＋n i 在复平面内对应的点的坐标为(－4，1)，位于第二象限．故选B.6．(2021·湖南省长郡中学高三月考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵1＋i 1－i ＝错误!＝错误!＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2021＝i 2021＝(i 4)505·i ＝i. 7．(2020·南宁模拟)若复数z 满足(1＋3i)z ＝(1＋i)2，则|z |＝( ) A.54B ．55C.102D ．105答案 D解析 由(1＋3i)z ＝(1＋i)2＝2i ，得z ＝2i1＋3i＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫152＝105.故选D. 8．(2020·成都模拟)已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则|z |＝( )A.5 B ．5 C ．25D ．217答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，则z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝5.故选A.9．(2020·聊城二模)在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )的一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则a1＋i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．2iD ．2＋i答案 B解析 ∵x 1＝1＋i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴x 2＝1－i 也是此方程的一个虚根，∴a ＝－(x 1＋x 2)＝－(1＋i ＋1－i)＝－2.所以a 1＋i ＝－21＋i＝错误!＝－1＋i.故选B.二、多项选择题10．(2021·新高考八省联考)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z －2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2 答案 BC解析 由复数模的概念可知，|z 2|＝|z 3|不能得到z 2＝±z 3，例如z 2＝1＋i ，z 3＝1－i ，A 错误；由z 1z 2＝z 1z 3可得z 1(z 2－z 3)＝0，因为z 1≠0，所以z 2－z 3＝0，即z 2＝z 3，B 正确；因为|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，|z 1z 3|＝|z 1||z 3|，而z －2＝z 3，所以|z －2|＝|z 3|＝|z 2|，所以|z 1z 2|＝|z 1z 3|，C 正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，显然满足z 1z 2＝|z 1|2，但z 1≠z 2，D 错误．故选BC.11．复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．下列点集中是“共轭点集”的有( )A ．{(x ，y )|y ＝log 2x }B ．{(x ，y )|y 2＝x } C.错误! D ．{(x ，y )|y ＝2x }答案 BC解析 复数z 的共轭复数记为z －，复数z ，z －分别对应点Z ，Z －.设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z －∈A ，就称A 为“共轭点集”．即z ，z －表示的点(x ，y )，(x ，－y )都满足集合，即为“共轭点集”．B ，C 中的集合都满足，A ，D 中的集合都不满足．12．(2020·济南模拟)已知复数z ＝1＋cos2θ＋isin2θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＜θ＜π2(其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．|z |＝2cos θ D.1z 的实部为12 答案 BCD解析 z ＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos θ(cos θ＋isin θ)，∵－π2＜θ＜π2.∴cos θ＞0，sin θ∈(－1,1)．则复数z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限；z 可能为实数；|z |＝2cos θ；1z＝错误!＝错误!＝错误!－错误!tan θ，错误!的实部为错误!.故选BCD.三、填空题13．(2020·江苏高考)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________. 答案 3解析 ∵复数z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ， ∴复数z 的实部为3.14．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.向量CA→所表示的复数为________，向量OB →所表示的复数为________.答案 5－2i 1＋6i解析 CA→＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.OB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.15．(2020·开封期中)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a＋3i与z2＝2＋b i互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2＋b2的最大值为________.答案8＋27解析由题意，|a＋3i－2－b i|＝1，故(a－2)2＋(3－b)2＝1，∴点(a，b)在圆(x －2)2＋(y－3)2＝1上，而a2＋b2表示点(a，b)到原点的距离，故a2＋b2的最大值为(错误!＋1)2＝(1＋错误!)2＝8＋2错误!.16．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案23解析解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋b i＋c＋d i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a＋b i－(c＋d i)＝a－c＋(b－d)i，∴|z1－z2|＝错误!＝a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd＝错误!＝错误!＝23.解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)·i＝3＋i，∴错误!两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－1 2.∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i| ＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.。

专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。

学习资料第四节数系的扩充与复数的引入授课提示:对应学生用书第85页［基础梳理］1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如a＋b i的数叫复数,其中实部为a，虚部为b,i叫做虚数单位a＋b i为实数⇔b＝0，a＋b i为虚数⇔b≠0，a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R)共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R）复数a(a为实数）的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面,x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量错误!的模叫作复数z＝a＋b i的模，记作|z｜｜z｜＝|a＋b i｜＝a2＋b2复数z＝a＋b i（a，b∈R)错误!复平面内的点Z(a，b）错误!向量错误!。

3．复数代数形式的四则运算（1）运算法则：1＝a＋b i,z2＝c＋d i(a，b，c,d∈R），则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝（a＋b i）±(c＋d i）＝(a±c）＋（b±d）i把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝（ac－bd）＋(ad＋bc）i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0）把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算（2)复数加法的运算律：设z1，z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2）＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．复数a＋b i(a,b∈R)数系表错误!错误!2．复数不能比较大小3．几个重要运算结论（1)（1±i)2＝±2i；错误!＝i；错误!＝－i.(2)－b＋a i＝i(a＋b i）．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i(n∈N＋）．(4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋)．[四基自测]1．(基础点：复数的几何意义）设z＝－3＋2i，则在复平面内错误!对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C2．（基础点:复数的乘除法运算）复数错误!错误!的共轭复数是(）A．2－i B．2＋iC．3－4i D．3＋4i答案:C3．（易错点：纯虚数）若复数z＝错误!＋1为纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：A4．(基础点:复数的模)复数z＝错误!，其中i为虚数单位，则｜z|＝________．答案： 2授课提示：对应学生用书第86页考点一复数的概念挖掘1复数的认识/ 自主练透[例1](1）设(1＋2i)（a＋i）的实部与虚部相等,其中a为实数，则a＝（)A．－3B．－2C．2 D．3［解析］(1＋2i）(a＋i）＝a－2＋(1＋2a）i,由题设知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A. [答案］ A（2)已知i是虚数单位，若复数(1－2i)（a＋i）是纯虚数，则实数a的值为________．[解析]由(1－2i）·(a＋i)＝a＋i－2a i＋2＝a＋2＋（1－2a)i，且(1－2i）·（a＋i）为纯虚数，可得:a＋2＝0且1－2a≠0，所以a＝－2。