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整数阶与分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性摘要：本文主要讨论了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性。
首先介绍了整数阶微分方程边值问题的解法，包括格林函数、变分法、等等。
而对于分数阶微分方程边值问题，基于Caputo导数的求解方法被广泛应用于各种实际问题中。
然后，通过在边值问题的严格数学框架下，该文证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在，这些条件包括边值问题的充分性和DFC（differential inequality of finite difference）条件的满足。
最后，多个实例说明了该文所证明的理论结论的实用性和有效性。
关键词：整数阶微分方程；分数阶微分方程；边值问题；正解存在性；格林函数；变分法；Caputo导数1. 引言微分方程在物理、工程、生物、经济等众多领域中都有重要应用。
边值问题是求解微分方程的一种常用方法，它使用一些限制条件来约束解的特性。
而关于整数阶和分数阶微分方程边值问题正解的存在性，一直是微分方程理论中的经典研究问题。
本文旨在探讨这个问题，并通过实例说明所得结论的实用性和有效性。
2. 整数阶微分方程边值问题的解法对于一般的整数阶微分方程边值问题，我们通常采用格林函数、变分法等方法，来求解其正解存在性。
格林函数是一种特殊的解析函数，在微分方程理论中扮演着重要角色。
变分法是另一种常见的求解方法，它可以转化为极值问题，得到问题的最优解。
3. 分数阶微分方程边值问题的求解方法分数阶微分方程边值问题的求解方法虽然和整数阶微分方程有相似之处，但依然有其特殊之处。
此处我们介绍一种基于Caputo导数的求解方法，它广泛应用于各种实际问题中。
该方法将原问题转化为一个无约束问题，并使用Laplace变换和拉普拉斯逆变换求解。
4. 整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性在边值问题的严格数学框架下，我们证明了整数阶和分数阶非线性微分方程边值问题的解在一定条件下存在。
分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性如何理解分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性正解，正解是指题目的正确答案或者正确的解决方案，通常用于测验、考试等场景。
正解边值问题，最小边值问题（Minimum Cut Problem）指在一个连通的加权图G（V，E）中找到一个切割S，使得S中包含的边的总权重最小。
G表示一个有向图或无向图，V代表其节点集合，E表示其边集合，边e的权重用w(e)表示。
S是V的子集合，S-S表示S的补集，切割S定义为从V到S-S的路径中的边的集合。
要得到最小的切割，我们就要求出最小的边权重和。
正解边值问题微分方程，边值问题微分方程定义是指一类常微分方程，给出了在某个区间的未知函数及其一阶导数的某些边界条件，要求求出该函数在这个区间内的解。
正解边值问题微分方程分数，式为：∂u/∂t + a∂u/∂x = b(∂²u/∂x²) + c(∂u/∂x)其中，u是函数的值，a、b、c是常量参数。
其中：∂u/∂t表示函数u随时间的变化率；∂u/∂x表示函数u随空间的变化率；∂²u/∂x²表示函数u随空间的二阶变化率。
分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性，答：一阶分数阶微分方程两点边值问题的正解存在性取决于给定边值问题的可解性。
一般来说，当方程有足够的初值解的连续性或足够的连续性以及给定的两点边值条件，正解就存在。
为什么需要分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性1.意义意味着当各种不同的初始/边界条件及其未知函数给定时，它能找到合适的解决方法。
2.它说明了求解此问题的算法的可靠性，从而保证了其精确性和有效性。
3.它能帮助科学家和工程师更好地了解其实际应用中出现的一系列问题的原因和解决方案，从而可以更有效地解决问题。
怎么进一步推进完成分数阶微分方程两点边值问题正解的存在性1. 利用Kirchhoff积分变换，尝试将微分方程转化为微分不等式来证明有限解的存在性。
非线性奇异微分方程及方程组解的存在性的开题报告一、选题缘起微分方程作为数学中的一个重要分支，在数学研究中有着举足轻重的地位。
线性微分方程的解法已经比较完备，而非线性微分方程则是研究的热点。
奇异微分方程是非线性微分方程研究中的重点之一，它不仅具有独特的特征，而且应用极广。
因此，本选题选择奇异微分方程及方程组解的存在性进行研究，旨在深入探究奇异微分方程的理论和应用。
二、研究内容本研究的主要内容是奇异微分方程及方程组解的存在性问题。
具体包括以下方面：1. 奇异微分方程的定义及性质：首先对奇异微分方程进行定义，并探讨其基本性质，以便深入地研究其解的存在性问题。
2. 奇异微分方程解的存在性问题：针对奇异微分方程的解的存在性问题进行研究，探讨相应的定理及证明过程。
3. 奇异微分方程组的解的存在性问题：针对奇异微分方程组的解的存在性问题进行研究，探讨相应的定理及证明过程。
4. 应用实例分析：通过对一些实际问题的分析，探讨奇异微分方程及方程组在实际中的应用。
三、预期目标本研究的主要目标是探究奇异微分方程及方程组解的存在性问题，解决实际问题，为生产实践提供理论支撑。
具体目标如下：1. 深入研究奇异微分方程及方程组解的存在性问题，掌握奇异微分方程及方程组的解法和求解方法。
2. 对实际问题进行分析，探讨奇异微分方程及方程组在实际中的应用。
3. 形成完整的理论体系和解决实际问题的方法。
4. 提高数学研究和应用水平，为经济、工业、科学和技术的发展提供一定的理论和技术支撑。
四、研究方法和步骤本研究采用文献资料法、理论分析法、实例分析法等研究方法进行探究，具体步骤如下：1. 收集奇异微分方程解的存在性问题的相关文献资料，系统地了解奇异微分方程的基本定义、性质、解法等相关知识。
2. 研究奇异微分方程解的存在性问题的主要定理及证明过程，并检验其适用性。
3. 探究奇异微分方程组解的存在性问题，研究相应的定理及证明过程。
4. 分析一些实际问题，并应用奇异微分方程及方程组解的存在性问题研究方法进行解决。
㊀第52卷第3期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.3㊀2020年9月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Sep.2020收稿日期:2020-03-16基金项目:国家自然科学基金项目(11501232);湖南省自然科学基金面上项目(2017JJ2213);湖南省教育厅科学研究项目(19B450;19C1474)㊂作者简介:周珏良(1993 ),女,辽宁丹东人,助教,主要从事非线性泛函分析研究,E-mail:188****3659@;通信作者:何郁波(1979 ),男,湖南岳阳人,副教授,主要从事微分方程解的理论分析及数值研究,E-mail:heyinprc@㊂非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性周珏良,㊀何郁波,㊀谢乐平(怀化学院数学与计算科学学院㊀湖南怀化418008)摘要:研究无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统解的存在性和唯一性㊂运用Banach 压缩映射原理,得到了该耦合系统解的存在性和唯一性的充分条件㊂关键词:非线性分数阶微分方程;Banach 压缩映射原理;存在性中图分类号:O177.91㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)03-0087-05DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20200790㊀引言分数阶微分系统的初边值问题具有深刻的科学背景㊂与整数阶微分系统相比,分数阶微分系统能够更加精确地描述动态的变化过程[1-3],主要体现在对生物㊁物理㊁化学反应等方面㊂近几十年,分数阶微分系统作为非线性分析的一个重要分支开始广泛应用于水动力学㊁生物力学㊁量子力学㊁控制论等领域,并取得了许多重要成果[4-11]㊂与单个分数阶微分系统相比,耦合系统的研究条件更加复杂,因此关于分数阶微分耦合系统初边值问题的研究结果相对较少㊂据我们所知,文献[12]利用格林函数和不动点定理在实空间中研究了非线性Riemann-Liouville 型分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性,之后又继续在实空间中研究下面非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性[13],D α0+u (t )=f (t ,v (t )),0<t <1,D β0+v (t )=g (t ,u (t )),0<t <1,u (0)=u (1)=v (0)=v (1)=0,ìîíïïïï(1)其中:1<α,βɤ2;D α0+㊁D β0+是Caputo 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑR ңR 连续,并且假设f ,g 满足增长性条件㊂2010年,Wang 等利用Banach 不动点定理在实空间中讨论了一类分数阶微分方程耦合系统边值问题正解的存在唯一性[14],D αu (t )+f (t ,v (t ))=0,0<t <1,D βv (t )+g (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=v (0)=0,u (1)=au (ξ),v (1)=bv (ξ),ìîíïïïïïï(2)其中:1<α,β<2;0ɤa ,b ɤ1;0<ξ<1;D α㊁D β是Riemann-Liouville 型分数阶导数;f ,g :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ң[0,+ɕ)连续㊂关于非线性分数阶微分方程耦合系统初边值问题的其他相关结论参阅文献[15-16]及其中的相关文献㊂最近关于耦合系统的成果有董佳华等利用不动点定理在实空间中研究了一类非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题解的存在性和唯一性[17]㊂受以上研究成果的启发,本文主要研究如下无限区间[0,+ɕ)上非线性Caputo 型分数阶微分方程耦合系统在Banach 空间中解的存在性和唯一性,郑州大学学报(理学版)第52卷C D α0+u (t )=f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),C D αᶄ0+v (t )=g (t ,u (t ),C D β0+u (t )),t ɪJ =[0,+ɕ),u (0)=u 0,v (0)=v 0,ìîíïïïï(3)其中:0<α,αᶄ<1,0ɤβ<1,并且0ɤβ<α,αᶄ<1;C D α0+㊁C D β0+㊁C D αᶄ+是Caputo 型分数阶导数;u 0,v 0ɪY ,Y 是Banach 空间;t r f (t ,x ,y ),t r g (t ,x ,y )ɪC (J ˑY ˑY ,Y ),r ɪ[0,1)㊂1㊀基本假设给定本文所用到的空间X ={x x (t )ɪC (J ,Y ),C D β0+x (t )ɪC (J ,Y ),supt ɪJx (t )1+t λ<ɕ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ<ɕ},其中:λ>1,定义其范数x X =max{supt ɪJx (t )1+t λ,supt ɪJC D β0+x (t )1+t λ}㊂㊀㊀为了证明本文的结果,还需给定空间X ˑX ={(x ,y )x ɪX ,y ɪX },定义其范数为(x ,y ) X ˑX =max x X , y X {}㊂易证(X , ㊃ X )和(X ˑX , ㊃ X ˑX )都是Banach 空间[18-20]㊂下面将给出本文所用到的假设条件㊂H1)连续函数x ,y ,t r f (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX ,t r g (t ,x ,y ):J ˑX ˑX ңX 满足t r [f (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-f (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 1(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 2(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,t r [g (t ,(1+t λ)x ,(1+t λ)y )-g (t ,(1+t λ)xᶄ,(1+t λ)yᶄ)] ɤL 3(t ) x (t )-xᶄ(t ) +L 4(t ) y (t )-yᶄ(t ) ,其中:非负连续函数L 1(t )㊁L 2(t )㊁L 3(t )㊁L 4(t )满足1Γ(η1)(1+t λ)ʏt(t -s )η1-1s r(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1,t ɪ[0,+ɕ),ρ1ɪ(0,1),η1=α或α-β,1Γ(η2)(1+t λ)ʏt 0(t -s )η2-1s r(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2,t ɪ[0,+ɕ),ρ2ɪ(0,1),η2=αᶄ或αᶄ-β㊂H2)存在常数M ,N >0,使得f (t ,0,0),g (t ,0,0)满足(t +1)βΓ(α-β)(1+t λ)ʏt(t -s )α-β-1s -r s r f (s ,0,0) d s ɤM <ɕ,t ɪ[0,+ɕ),(t +1)βΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt(t -s )αᶄ-β-1s -r s r g (s ,0,0) d s ɤN <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂2㊀存在性结果下面运用Banach 压缩映射原理,证明初值问题(3)解的存在性和唯一性㊂定理1㊀假设条件H1)和H2)成立,则初值问题(3)的解存在且唯一㊂证明㊀定义算子T ʒX ˑX ңX ˑX ,T (u ,v )(t )=(u 0+I α0+f (t ,v (t ),C D β0+v (t )),v 0+I αᶄ0+g (t ,u (t ),C D β+u (t )))≙(T 1v (t ),T 2u (t ))㊂㊀㊀显然算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂事实上,对任意的(u ,v )ɪX ˑX ,即u ɪX ,v ɪX ,有T 1v (t )1+t λɤu 01+t λ+1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+t λs -r s r f (s ,v (s ),C D β0+v (s )) d s ɤ u 0 +1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1s r(L 1(s )v (s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v (s )1+s λ)d s +88㊀第3期周珏良,等:非线性分数阶微分方程耦合系统解的存在性Γ(α-β)Γ(α)Γ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1(t -s )βsrs r f (s ,0,0) d s ɤu 0 +ρ1 v X +Γ(α-β)Γ(α)M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂T 2u (t )1+t λɤ v 0 +1Γ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1s r(L 3(s )u (s )1+s λ+L 4(s )C D β0+u (s )1+s λ)d s +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N ɤ v 0 +ρ2 u X +Γ(αᶄ-β)Γ(αᶄ)N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀另一方面,CD β0+T 1v (t )1+t λɤ u 0 +v XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s +M(t +1)βɤu 0 +ρ1 v X +M <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂CD β0+T 2u (t )1+t λɤ v 0 +u XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1s r(L 3+L 4)(s )d s +N(t +1)βɤv 0 +ρ2 u X +N <ɕ,t ɪ[0,+ɕ)㊂㊀㊀因此可知T (u ,v )ɪX ˑX ,故算子T ʒX ˑX ңX ˑX ㊂下面证明算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂事实上,对任意的u 1,u 2,v 1,v 2ɪX ,有T 1v 1(t )-T 1v 2(t )1+tλɤ1Γ(α)ʏt(t -s )α-11+tλf (s ,v 1(s ),C D β0+v 1(s ))-f (s ,v 2(s ),C D β+v 2(s )) d s ɤ1Γ(α)(1+t λ)ʏt 0[(t -s )α-1s r(L 1(s )v 1(s )-v 2(s )1+s λ+L 2(s )C D β0+v 1(s )-C D β+v 2(s )1+s λ)]d s ɤv 1-v 2 XΓ(α)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , T 2u 1(t )-T 2u 2(t )1+t λɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀另一方面,我们有C D β0+T 1v 1(t )-C D β0+T 1v 2(t ) 1+t λɤ v 1-v 2 XΓ(α-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )α-β-1sr(L 1+L 2)(s )d s ɤρ1 v 1-v 2 X , C D β0+T 2u 1(t )-C D β0+T 2u 2(t ) 1+tλɤu 1-u 2 XΓ(αᶄ-β)(1+t λ)ʏt 0(t -s )αᶄ-β-1sr(L 3+L 4)(s )d s ɤρ2 u 1-u 2 X ㊂㊀㊀由此可知,对任意的(u 1,v 1),(u 2,v 2)ɪX ,有 T (u 1,v 1)-T (u 2,v 2) X ˑX ɤρ (u 1,v 1)-(u 2,v 2) X ˑX ,ρ=max{ρ1,ρ2}ɪ(0,1),即算子T ʒX ˑX ңX ˑX 是严格压缩的㊂综上,根据Banach 压缩映射原理得到算子T ʒX ˑX ңX ˑX 在Banach 空间X ˑX 中存在唯一的(u ,v ),使得T (u ,v )=(u ,v ),即问题(3)在Banach 空间X ˑX 中存在唯一解㊂3 结论本文通过构造特殊的Banach 空间,运用Banach 压缩映射原理得到了保证一类非线性分数阶微分方程耦合系统(3)在无限区间[0,+ɕ)上解的存在唯一性的充分条件㊂参考文献:[1]㊀郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,2001.9809郑州大学学报(理学版)第52卷GUO D J.Nonlinear functional 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Key words:Android;malware family;classification;random forest(责任编辑:王浩毅)。
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。
它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。
2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。
根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。
3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。
研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。
摘要分数阶微积分已有很长的历史. 早在1695年，在Leibniz 和L’Hospital 的往来书信中就已经提到了分数阶微分的概念. 在近三个世纪内，人们对分数阶微积分理论的研究主要集中在数学的纯理论领域. 然而在最近几十年内，许多学者纷纷指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，这些性质在经典模型中是常常被忽视的．如今，分数阶微分方程模型越来越多地被用于描述声学、热学系统、材料力学、信号处理、系统辨识、控制理论、机器人科学以及其它应用领域中的问题．本文的工作如下：第一部分是绪论，主要简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的研究历史和发展现状，以及分数阶微分方程正解存在性方面的研究工作.第二部分研究了一类奇异的非线性semipositone Sturm-Liouville 边值问题正解的存在性. 我们的主要方法是对非线性部分()f y 进行重新定义，使其转化成非奇异的p ositone 边值问题， 然后应用锥上的不动点定理以及泛函分析的知识证明该奇异非线性s emipositone Sturm-Liouville 边值问题的正解的存在性.第三部分讨论了一类奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题正解的存在性. 我们的主要思想是重新研究非线性部分0(,(),())f t x t D x t β+，使其转化为非奇异的分数阶微分方程边值问题，然后再对每一个重新定义的非线性部分为0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈)的边值问题，证明其存在正解n x ，最后通过紧集上函数列极限的性质给出原奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题的正解的存在性.关键词：微分方程，分数阶微分方程，边值问题，正解，奇异性，不动点.AbstractFractional calculus has a long history. As early as in 1695, the concept of fractional differential was already mentioned in the correspondence of Leibniz and L'Hospital. During the past three centuries, the research of fractional calculus theory was mainly concentrated in the pure theoretical field of mathematics. However, in the recent several decades many scholars in succession pointed out that fractional calculus is very suitable to characterize materials and processes with memory and hereditary properties, which were often neglected in the classical models ．Nowadays, fractional differential equation models are increasingly used to describe the problems in acoustics, thermal systems, material mechanics ，signal processing, system identification, control theory, robotics and other applied fields ．This thesis is divided as follows:The first part is an introduction, briefly presents the research history and development status of the fractional calculus and fractional differential equations, and some past research works about the existence of positive solutions of the fractional differential equations.The second part studies a singular nonlinear semipositone Sturm-Liouville boundary value problem. We redefine the nonlinear part ()f y , and make the singular boundary value problem transform into a nonsingular positone boundary value problem, and then prove the existence of a positive solution for the original singular nonlinear boundary value problem by using the cone fixed point theorem as well as knowledge of functional analysis.The third part discusses the positive solution existence for Dirichlet boundary value problem of a singular nonlinear fractional differential equation. We study itsnonlinear part 0(,(),())f t x t D x t β+, and have it transform into a nonsingular boundaryvalue problem, and then prove the existence of a positive solution n x for eachboundary value problem with redefined nonlinear part 0(,(),())n f t x t D x t β+(N n ∈), andfinally we give the existence of a positive solution for the original Dirichlet boundary value problem via the limit properties of a sequence of functions on compact sets. Keywords: Differential equation, fractional differential equation, boundary value problem, positive solution, singularity, fixed point.目录摘要 (1)Abstract........................................................................................................I I 第一章绪论 (1)1.1分数阶微积分的历史 (1)1.2分数阶微分方程的研究现状 (2)第二章带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville边值问题解的存在性52.1 引言 (5)2.2 预备知识 (6)2.3 主要结果 (7)第三章带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet边值问题正解的存在性 173.1 引言 (17)3.2 预备知识 (19)3.3 主要结果 (29)参考文献 (31)攻读硕士期间发表的论文 (34)后记 (35)第一章 绪论1.1分数阶微积分的历史牛顿和莱布尼茨发明的微积分是现代数学和古典数学的分水岭，数学的发展和应用自此发生了根本性的变化，分析、几何和代数一同成为数学的三个基本研究方向和工具.对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是一个新奇的概念和数学工具，但它实际上早在300多年前就已被提出，和传统的整数阶微积分有着一样久远的历史.莱布尼茨最先引入/n n d y dx 来表示导数，也正是因为这个符号的出现，促使了L’Hospital 对分数阶导数问题的思考.1695年9月，L’Hospital 在写给莱布尼茨的信中问到：“一个函数()f x 的n 阶导数可以表示为()n n d f x dx ，如果当12n =时会有怎样的结果.” 莱布尼茨在回信中写道：“这显然是一个悖论，但总有一天会得出有用的结论.”由此，分数阶微积分诞生了，在之后300多年的学习研究过程中，莱布尼茨的这句话已经得到了验证，至少他说对了一半,尤其是在二十世纪，大量有关分数阶微积分的应用被人们所发现.尽管分数阶微积分有了这些应用以及一些数学背景，然而它的物理意义却很难把握，分数阶微积分的定义也不像整数阶微积分那样完善.历史上，莱布尼茨、欧拉、拉普拉斯、Lacroix 和傅里叶都曾对分数阶导数做出过重要贡献，其中,欧拉迈出了关键的第一步.他注意到，当n 时非整数时，幂函数a x 的导数na n d x dx在数学上有意义.1812年，拉普拉斯提出了积分形式的的函数()x T t t dt -⎰的分数阶导数的思想.1819年，Lacroix 第一次给出了1/21/21/2d x dx =1823年，Abel 在求解等时曲线的积分方程时，第一次使用分数阶算子并用分数阶微积分来表示该方程的解.1832年，Liouville 成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题，此后，Liouvile 发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的创始人.19世纪末，物理学家Heaviside发表的一系列文章表明，分数阶算子可以应用于求解特定的整数阶微分方程，从数学角度看，他的方法并不严格，但被证明对电缆中电流的传输这类问题非常有效.后来Heaviside的结果被证明是正确的，但他的处理过程在数学上并不完善，直到1919年Bromwich才把这一工作完善，Heaviside的想法极大的促进了分数阶算子的发展，但当时分数阶微积分还没有被应用于科学和工程的物理和力学建模.20世纪40年代，力学家Scott和Gerasimov分别独立的提出了介于牛顿流体和胡克定律表征的分数阶导数模型.地理学家Caputo和Mainardi将分数阶微积分方法运用到复杂黏弹性和流变介质，发展了若干的力学模型，更为重要的是，Caputo发展了一个不同于传统的Riemann-Liouville分数阶导数的新定义（被人们称为Caputo定义），克服了前者的强奇异性，并且自然的将初始条件含在定义中，在解决实际问题时得到了非常广泛的应用.1965年，美国耶鲁大学的Mandelbrot教授提出分形的概念，并首次指出自然界和工程中存在大量分数维的事实，并且整体与部分之间存在自相似现象，他认为分数阶布朗运动与Riemann-Liouville提出的分数阶微积分定义有紧密的内在联系.从此，作为分形几何和分形动力学的基础，分数阶算子理论特别是分数阶微分方程的研究开始得到广泛关注，分数阶微积分的研究重点也逐渐从纯数学领域转移到其它学科领域.20世纪末至今，由于反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学、黏弹性力学等研究的需要，分数阶导数的研究和应用再度引起广泛重视，成为多个领域学者研究的热点.1.2分数阶微分方程的研究现状现实的世界本质上是分数阶的.过去用整数阶微积分描述自然界中的事物，但自然界中许多现象依靠传统的整数阶微积分是不能精确描述的，必须对传统的微积分进行拓展才能更好的描述与研究这样的现象.分数阶微分方程是扩展传统微积分学的一种直接方式，即允许微分方程中对函数的导数阶次选择分数，而不是现有的整数.目前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grunwald-Letnikov型，Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型以及Marchaud-Hadamard型分数阶微积分[]23，前面三种定义用的最为广泛，同时这三种定义还存在着一定关系:Riemann-Liouville型分数阶微分定义和Caputo型分数阶微分定义都是在Grunwald-Letnikov型分数阶微分定义的基础上进行改进而得到的，但是它们同时又有各自的侧重点，其中对于Riemanna-Liouville 型定义是从数学角度出发，在计算时初始条件是必要的，但这个定义在应用方面缺乏物理背景，是得它在很大程度上不能适用于具体模型;而对于Caputo 型定义，它正好弥补了Riemanna-Liouville 型定义可以很好的应用到数学模型中去，因为此时的初始条件恰好是整数阶的导数，这样连带的初始条件就可以很好的描述一些物理现象的特征，并能准确的对它进行计算，它还比较适用于拉普拉斯变换，有利于分数阶微分方程的进一步讨论随着分数阶微积分定义的出现，分数阶微分方程的求解就成为数学家至今仍在研究的主要课题,在分数阶微分方程的解析解研究方面：Agarwal []26,29,30研究了分数常微分方程解的存在性、唯一性；Miller 和Ross []21给出了一种分数阶微分方程的求解方法；Wyss []36等人给出了分数阶Black-Scholes 方程的一个完整解；Zhanbin Bai []40,41, Chuanzhi Bai []11等研究了分数微分方程正解的存在性;然而，由于分数阶微分方程的解析解以及基本解大多带有特殊函数(如多变量的Mittag-Lemer 函数)，这些特殊函数的计算是相当困难的，而且并非所有的分数阶微分方程都能得到其解析解.因此，建立分数阶微分方程的数值方法是非常必要的，在分数阶微分方程的数值解研究方面：Diethelm []1314，等人对于Adams类型的分数阶微分方程，提出用预测校正法来得到微分方程的数值解并且讨论了分数阶非线性微分方程的求解问题，在特定初值和Riemann-Liouville 型分数阶微积分定义的条件下求解分数阶微分方程的数值解；Diethelm 和Ford []15在分数阶微积分的Caputo 定一下给出了给出了一种求解分数阶微积分的数值算法；Sayed []33等人对于线性分数阶微分方程给出了一种计算其近似的数值解的算法，该算法需要很大的计算量来得到计算权数；Agrawal []4等人在Caputo 型分数阶微积分的基础上，求解了分数阶漫射波方程，数值解在实际问题中得到了广泛的应用，数学家们给出了自己的解法，每种解法都随着计算机技术的快速发展得到了验证.在最近的十多年里，有关分数阶微分方程的论文和著作相继出现，在这些论文和著作当中，也有很大一部分文章是关注不同边值条件和不同阶数取值范围下的分数阶微分方程正解存在性和唯一性问题，在不同的边值条件和阶数条件范围下，可以采用不同方法来求解分数阶微分方程的解以及证明其正解的存在性.已知的求解方法中较多是采用各种推广的特殊函数来直接求解，其中Green 函数是研究的重点内容，不同的边值条件和阶数的取值范围会产生不同的Green函数以及相应的Green函数值的有所不同，进而导致在后续估计分数阶微分方程正解的存在的条件以及在证明正解存在性的方法上出现显著差别.本文主要利用非线性泛函分析中的不动点理论,把解的存在性转化为某个非线性算子不动点的存在性.研究了一类分数阶微分方程在边值条件下正解的存在性.第二章 带有奇异的非线性SemipositoneSturm-Liouville 边值问题解的存在性2.1 引言近年来，带有奇异的或非奇异的positone 问题(其中非线性项()f y 为非负值)的研究已引起了很多的学者的关注，详见文献[17，25,26,28].最近，文章[19,20]开始讨论了Semipositone 非奇异问题. 这里Semipositone 问题指的是非线性项()f y 可能在0y =处奇异并且f 可以取负值.本章主要研究了带有奇异的非线性Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.0μ>这里是常数，1[0,1],q L ∈:(0,)f R ∞→连续并且在0y =处奇异, ,,,0:0.αβγδργβαγαδ≥=++>及在文献[27]中作者研究了带有奇异的Semipositone Dirichlet 边值问题 ()()(())0,01(0)(1)0;y t q t f y t t y y μ''+=<<⎧⎨==⎩解的存在性.受以上文献启发，本文讨论了带有奇异的Semipositone Sturm-Liouville 边值问题(2.1.1)解的存在性.本章主要利用锥上的不动点理论来建立边值问题解的存在性，本章第二部分首先介绍了一些基本定义和引理,给出我们后面用到的基本定理，第三部分是我们的主要定理并给出了(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ特殊情形时的一个例子，边值问题(1)0,01(0)(1)0,0,0p q y y y t y y p q μ-''⎧++-=<<⎨==>>⎩ 当μ充分小时，有一个解()2[0,1](0,1),()0,0,1y C C y t t ∈⋂>∈且有()()(())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t y y y y μαβγδ''+=<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩2.2 预备知识定理 2.2.1[]27(,)E E K E =⋅∈设是一个Banach 空间，是一个锥，,r R 都是常数且有r R <<0.{}(=:)R R A K K x E x R Ω⋂→Ω∈<假设:这里，A 是一个连续的紧映射并且假设下列条件成立：(1) (),[0,1)E r x A x x K λλ≠∈∈∂Ω⋂且， (2) ,E R Ax x x K >∈∂Ω⋂， 那么算子{}:A K x E r x R ⋂∈≤≤在集合上有一个不动点.引理 2.2.1[]27设{}[0,1]()0,[0,1]()[0,1]K y C y t t y t ∈≥∈＝:并且是上的凸函数，如果y ,K ∈那么 01()(1),[0,1];=max ()t y t t t y t y y t ≤≤≥-∈这里. 引理2.2.2 1[0,1],()0,(0,1),q L q t t ∈>∈假设那么边值问题()()=0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t t y y y y αβγδ''+<<⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩(2.2.1) 的解0()(),[0,1]w t w t G t t C t ≤∈满足(,);G t t 其中(,)为边值问题 =0,(0)(0)0,(1)(1)0;y y y y y αβγδ''⎧⎪'-=⎨⎪'+=⎩其中1()(),01,1()(),01,t s s t G t s s t t s γδγβαργδγβαρ⎧+-+≤≤≤⎪⎪⎨⎪+-+≤≤≤⎪⎩(,)= 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 记 ():,():,01t t t t t ϕγδγψβα=+-=+≤≤.证明：因为(2.2.1)式的解Green G t s 的函数(,)当t=s 的情形,1011()()()()()()()t t w t t s q s ds s t q s ds γδγβαγδγβαρρ=+-+++-+⎰⎰10()()1()()()()t t t t s q s ds s q s ds ϕψβαγδγρρρ=+++-⎰⎰ 10()()()()()()t t t t t t q s ds q s ds ϕψϕψρρ≤+⎰⎰ 所以有00()()()(,)t t w t C G t t C ϕψρ≤=. 引理2.2.3 :(0,)f R M ∞→>设的连续函数并且存在一个常数0,使得 ()0,f u M +≥(0,)u ∀∈∞，若边值问题*()()(()())0,01(0)(0)0,(1)(1)0;y t q t f y t t t y y y y μφαβγδ''⎧+-=<<⎪'-=⎨⎪'+=⎩（2.2.2） 211[0,1](0,1)()(),(0,1),y C C y t t t φ∈⋂>∈有一解且 ()=(),t Mw t φμ这里 *()(),0f v f v M v =+>.1()()()u t y t t φ=-那么 为(1.1.1).式的一个非负解证明：因为1()()()u t y t t φ''''''=-=*1()(()())()q t f y t t Mq t μφμ--+ []1()(()())()q t f y t t M Mq t μφμ=--++1()(()())()(())q t f y t t q t f u t μφμ=--=-所以有()u t ''=()(())q t f u t μ-，即1()()()u t y t t φ=-是(2.1.1).式的一个非负解2.3 主要结果假设下列条件成立:(H1):(0,)f R M ∞→>的连续函数并且存在一个常数0,使得()0,f u M +≥ (0,)u ∀∈∞.(H2)()()()f u M g u h u +=+,(0,)u ∀∈∞，其中0g ∞为（，）上正的连续递减函数 并且存在000()()(),0,0K g ab K g a g b a b >≤∀>>使得. h ∞为[0,）上的连续非负函数并且有0hg∞为（，）上的递增函数. (H3) 存在常数,(,)(1),L G t t Lt t ≤-使得 存在0,r MLC μ>使得00001,()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 1021002max 2(1)(),2(1)(),b t t q t dt t t q t dt ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭⎰⎰其中，100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰. (H4)11((1))(0,),()(,)2()((1))((1))a a Rg a a R a R r q s G s ds g R g a a R h a a R εμσεε--∈>≤-+-⎰存在有这里 00MLC Rμεε>≥是任意常数且满足1-，11[0,1]01()(,)sup ()(,)a aaat q s G s ds q s G t s ds ξξ--∈≤≤=⎰⎰满足.定理2.3.1 假设条件(H1)、(H2)、(H3)和 (H4)成立，那么边值问题(2.1.1) 式有一个解2[0,1](0,1)(0,1)()0.y C C t y t ∈⋂∈>且有当时证明：记0*0001:(1)m N m N a a R m ηηε⎧⎫=∈<<-⎨⎬⎩⎭且. 我们首先证明边值问题0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.1） 对0m N ∀∈有一个解m y ，()0,()(),[0,1],,m m m y t y t t t r y R φ≥≥∈≤≤这里1()()(),()11()(),0.m f v M g v h v v mf vgh v v mm ⎧+=+≥⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩欲证（2.3.1）式，我们接下来看下式*0,()()(()())0,011(0)(0),1(1)(1),m y t q t f y t t t y y m y y m N m μφαβγδ⎧''⎪+-=<<⎪⎪'-=⎨⎪⎪'+=∈⎪⎩（2.3.2） *1()()(),11()()(),01()(0),0.m f v M g v h v v m f v g h v v mm g h v m ⎧+=+≥⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩这里所以我们有*()0,(,).m f v v ≥∀∈-∞∞0,([0,1],){[0,1]()0,[0,1]()[0,1]}.m N E C y C y t t y t ∈=∈≥∈固定并且Ｋ＝:且是上的凸函数()():[0,1]y t y t A K C →是边值问题（2.3.2）式的解当且仅当是算子1*01()()(()())(()())m Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ=-++⎰(,) （2.3.3）的不动点.:[0,1]A K C →由文献[27]知算子是连续的并且是全连续算子.:A K K →接下来验证*()0,(,)()0.m u K f v v Au t ∀∈≥∀∈-∞∞≥对,因为，所以有同时也容易看出()0A u t ''≤，(0,1),.t ∈ {}{}12=[0,1]:,[0,1]:.u C u r u C u R Ω∈<Ω=∈<设1,[0,1).y Ay y K λλ≠∈∈⋂∂Ω我们首先证明且=0.(0,1)=y Ay y Ay λλλλ≠∈当时，显然成立当时，假设成立，我们有*()()(()())0,01m y t q t f y t t t λμφ''+-=<< （2.3.4）00[0,1](0,1),(0,)()0,y t t t y t '∈∈≥由是凸函数可知，在区间上存在点使得当时有000(,1)()0,().t t y t t y t y r '∈≤==时有并且在处有0(,)()(1)=()(1)()(,),0,1(1)G t t y t t t y y t t t r w t G t t C L t t t ≥-≥-≤≤∈-因为以及,（）0()()()=()1()1()MLC Mw t y t t y t y t y t r μμφ⎡⎤⎡⎤--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以 0,r MLC μ>由于所以有0()()()10,0,1MLC y t t y t t r μφ⎡⎤-≥->∈⎢⎥⎣⎦（） （2.3.5） *11()=()()()0m v f v g v h v v v m m≥+∞≤≤当时，，因为g 在(0,)上递减，所以当时，*1()()()()()m f v g h v g v h v m=+≤+，*(()())(()())(()()),(0,1)m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈故有(0,1)(2.3.4)x ∈因此当时，由式我们有()()(()())(()())y x q x g y x x h y x x μφφ''≤-+--(()())()(()())1(()())h y x x q x g y x x g y x x φμφφ⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭(2.3.5)由式，我们有0(()())()()()11(()())MLC h y x x y x q x g y x r g y x x μφμφ⎧⎫-⎡⎤''≤-+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭-（） 00()1)1()())(MLC h r K gq x g y x rg r μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭（（） （2.3.6） 不等式00()t t t t ≤两边从到积分得，00()()(())1)1()(t t MLC h r y t K g y t g q x dx rg r μμ⎧⎫'≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.7） =y Ay λ由知，1*01()()(,)()(()())(()())m y t Ay t G t s q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤=-++⎰ 1*1(,)()(()())(()())m G t t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤-++⎰1*1(1)()(()())(()())m Lt t q s f y s s ds t t mμφϕψρ≤--++⎰ 因此++(0)(1)y y m mγδβαδβρρ++≤≤有，. 取++=max ,m mm γδβαδβηρρ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭0(2.3.7)t ，对式两边从0到积分,以及由分部积分得00+00()1)1()()(rt mMLC duh r K g xq x dx g u r g r γδβρμμ+⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰⎰（） 有 0000()11)11)()()(1mrt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬-⎩⎭⎰⎰（（）000(2.3.6()1t t t t t ≥类似的，如果我们对）式两边先从到积分，然后再对不等式两边从到积分得m1000()11)11)()()(rt MLC duh r K g x x q x dx g u r g r t ημμ⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭⎰⎰（（）有 000()1)1()(mrMLC duh r K b g g u r g r ημμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） （2.3.8） 其中0b 为条件（H3）中所定义，又因为由条件（H3）有00001()11()r du K b gu MLC h r g r g r μμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 所以当η充分小时有0001()11()r du K b gu MLC h r g r g r ημμ>⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 与（2.3.8）式产生矛盾.接下来我们证明，当 2y K Ay y ∈⋂∂Ω>时，有，2K ⋂∂Ω因为当时， 有()(1),[0,1]y t t t R t ≥-∈.0(0,1)()()()1()(1)MLC t y y t t y t y t t t R r μφεε⎡⎤∈∈-≥-≥≥-⎢⎥⎣⎦当时, [],1t a a ∈-因此，当时，我们有 ()()(1),y t t a a R φε-≥-1()()(1)y t t a a R m φε-≥->由 有 []*(()())=(()())(()()),,1mf y t tg y t th y t t t a a φφφ--+-∈- 1*01()()(()())(()())m Ay G s q s f y s s ds mξμξφϕξψξρ=-++⎰(,) 1*()(()())a m a G s q s f y s s dsμξφ-≥-⎰(,)1(()())()(()())1(()())a ah y s s G s q s g y s s ds g y s s φμξφφ-⎧⎫-=-+⎨⎬-⎩⎭⎰(,)1((1))()1()((1))aa h a a R g R G q s ds g a a R εμξε-⎧⎫-≥+⎨⎬-⎩⎭⎰(,s)(),(2.9).Ay R y ξ≥=由条件(H4)知因此式成立211.2.1(\),(1),[0,1]m m m A y r y R y t t r t ∈ΩΩ≤≤≥-∈由定理知有不动点并且有.0(1)(1)()()m y t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=因为m y 所以是边值问题(2.3.1)式的解.{}0[0,1].m m N y ∈下证是定义在区间上的有界，等度连续的函数族因为 *(()())(()())(()()),(0,1).m m m m f y t t g y t t h y t t t φφφ-≤-+-∈(()())()()(()())1(()())m m m m h y t t y x q x g y t t g y t t φμφφ⎧⎫-''≤-+⎨⎬-⎩⎭所以我们有-00()()1)1()())()m m MLC h R y x K g q x gy x rg R μμ⎧⎫''≤-+⎨⎬⎩⎭-（（ （2.3.9） 0(),()()()1()1,(0,1)()m m m m m MLC Mw s r y R y s s y s y s s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤≤≤-=-≥-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又因为，(0,1),(0,)()0,(,1)()0,m m m m m t t y t t y t ''∈≥≤同时存在使得在区间上在区间上 (2.3.9)()m m t t t t ≤对式两边从到积分得00()()1)1()())(mt m t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（） （2.3.10）(2.1.9)()m m t t t t ≥另一方面式两边从到积分得00()()1)1()())(m tm t m y t MLC h R K g q x dx g y t r g R μμ'⎧⎫-≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（（）（2.3.11） 由（2.3.10）、（2.3.11）式可知'00()()1)1(),(0,1)())(m m y t MLC h R K g v t t g y t rg R μμ⎧⎫≤-+∈⎨⎬⎩⎭（（）（2.3.12） 其中{}{}10max ,min ,()()t a t a v t q x dx =⎰，{}{}00010inf :sup :1m m a t m N t m N a <<∈≤∈<<.注：这里0,1()0m m m t y t '=是区间（）上唯一的一点，满足,有{}0inf :0m t m N ∈>. 倘若不成立，那么存在0N 的子列，使得0m m t →∞→当时，有. 对（2.3.10）式两边从0m t 到积分可得()00000()1)1()()(()m m m m y t t MLC duh R du K g xq x dx g u r g R g u ημμ⎧⎫≤-++⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰（） （2.3.13） 因为0,0m m m t η→∞→→当时，有，由（2.3.13）式可知m →∞当时有()0m m y t →，然而因为()m m y t 在区间[0,1]的最大值在m t 处取得，所以当0m m y →∞→当时，有这与()(1),[0,1]m y t t t r t ≥-∈矛盾 故有{}0:m 0m inf t N ∈>.类似的可以证明{}0sup :1m t m N ∈<. 定义映射0:[0,)[0,),()()y duI I y g u ∞→∞=⎰，显然{}0)m m N I y ∈（是有界的.(())(())m m I y t I y s -()()()()(())m m y t t my s sm y x dudx g u g y x '==⎰⎰00()1)1()(ts MLC h R K g v x dx rg R μμ⎧⎫≤-+⎨⎬⎩⎭⎰（） 可知{}0)m m N I y ∈（是等度连续的. 由，[]1()I I R -在区间0,上的一致连续性以及11())(()=((()))((()))m m m m y t I y s I I y t I I y s ----知{}0[0,1]m m N y ∈是定义在区间上的有界，等度连续的函数族.由Arzela Ascoli -定理知，存在0[0,1],N N y C ∈的子列以及函数 m →∞当时m y y 有在区间[0,1]上一致收敛到同时有(0)(0)0y y αβ'-=(1)(1)0y y γδ'+=，r y R ≤≤，()(1),[0,1]y t t t r t ≥-∈，且有0()(1)(1)()()y t t t r MLC t t Mw t t μμφ≥->-≥=. 固定(0,1)t ∈，不失一般性，我们假设12t >，固定(0,1),x x t ∈>满足，对1[,]2s x ∀∈ 0()()()()1()1()MLC Mw s y s s y s y s y s r μμφ⎡⎤⎡⎤-=-≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00(1)(1)112MLC MLC x s s r r r r μμ-⎡⎤⎡⎤≥--≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择0001(1)12MLC x n N r n r μ-⎡⎤∈<-⎢⎥⎣⎦使得，，设{}10:.N m N m n =∈≥ 当1,m y m N ∈时，由泰勒公式有12111()()()222x m m m y x y y x f s x s ds⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰=[]12111()(()())(()()()222x m m m m y y x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'+-+-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰因为(1)()m rs s y s R -≤≤，所以11,2my m N ⎧⎫⎛⎫'∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为有界序列，[]0,1s ∈. 故112m m N y ∈⎧⎫⎛⎫'⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭有一个收敛的子列，不妨设子列的极限收敛到0r R ∈， 在1N 中当m →∞时，我们有，[]10211()()(()())(()()()22x y x y r x q s g y s s h y s s s x ds μφφ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（2.3.14）对（2.3.14）式两边求二阶导有[]()()(()())(()())0y x q x g y x x h y x x μφφ''+-+-=所以有 [][]()()(()())(()())0,0,1y t q t g y t t h y t t t μφφ''+-+-=∈*()()(()())0,01y t q t f y t t t μφ''+-=<<.因此y 为（2.2.2）式的解并且有()()y t t φ>，(0,1)t ∈. 下面我们通过一个实例来给出了定理2.3.1的一个应用. 例：考虑边值问题(1)0,01(0)(1)0,p q y y y t y y μ-''⎧++-=<<⎨==⎩ (2.3.15) 这里0(0,)μμ∈且满足()100(1)12pp μμ++≤. (2.3.16)那么边值问题(1.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.我们将应用定理 2.3.1来证明，边值问题(2.3.15)式是(2.1.1)式当==1αγ，==0βδ的特殊情形. 设01,(),(),1p q M g y y h y y K -====,1L =，14a =，其中 100[0,1]11max ()()()()()()t t t C s q s ds s q s ds t t ψϕψϕ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭⎰⎰10[0,1]111max 112t t t sds sds t t ∈⎧⎫=+-=⎨⎬-⎩⎭⎰⎰. 11210021max 2(1),2(1)6b t t dt t t dt ⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭⎰⎰.01122r MLC r μμμ==<≤=取时有，，()1001112121121()11()ppp r p q du r gu r rp p MLC h r g r g r μμμ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (2.3.16)由式有()()00000011122222121()11()p pr du K b p p gu MLC h r g r g r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<≤≤=++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 取01111222MLC R R R μμε=>=-≥,当时有，1- . 最后当,1R q →∞>时有，13((1))320()((1))((1))333232pq p qp qR Rg a a R g R g a a R h a a R Rεεε-+-+⎛⎫⎪-⎝⎭=→-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此定理2.3.1的条件（H1）、（H2）、（H3）、（H4）均满足，故边值问题(2.3.15)式有一个解()0,(0,1)y y t t ≥∈且.第三章 带有奇异的非线性分数阶微分方程D i r i c h 边值问题正解的存在性3.1 引言近年来，人们开始并越来越多的关注、研究分数阶微分方程，主要是因为分数阶微积分自身理论的发展以及在多种学科中的应用，例如物理学，化学，工程学等等，详见文献[8,23,30,31].分数阶微分方程的Dirichlet 边值问题是很多学者研究是的焦点，在文献[40]中作者研究了边值问题()(),()0(0)(1)0D y t f t y t y y α+===正解的存在性和多解性，这里[][]()12,0,1,0,f C α<≤∈∞为非负函数，Bai Zhanbin 通过Krasnosel’skii 不动点定理和Leggett-Williams 不动点定理得到了相关结论.在文献[32]中，Zhang 研究了边值问题()(2)()(),,0,01,1n D u t q t f u u u t n n αα-'+=<<-<≤， (3.1.1)(2)(2)(0)(0)(0)(1)0,n n u u u u --'===== (3.1.2)这里0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数，q 可能在t=0处奇异，f 可能在(2)0,0,0n u u u -'===处奇异.在此基础上Goodrich 在文献[42]中研究了边值问题()0(),(),01,1,vD y t f t y t t n v n +-=<<-<≤ (3.1.3) ()0,02,i y i n =≤≤-（0） (3.1.4)00()0,12,t D y t n αα+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (2.1.5)这里的3n >,可以看出边值条件(3.1.2)式是边值条件(3.1.4)和(3.1.5)式的特殊情形，文献[42]在Zhang 研究的基础上进一步阐述了Green 函数的有关性质Harnack-like 不等式，这是在锥上寻找正解存在性的一个重要性质.文献[28]中Agarwal 等研究了边值问题()(),(),()0,D u t f t u t D u t αμ+= (3.1.6) (0)(1)0,u u == (3.1.7)正解的存在性，这里12,0,1αμαμ<<>-≥，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.f 是正的Caratheodory 函数并且(,,)0f t x y x =在处奇异，通过锥上的不动点定理以及函数列的相关性质证明了边值问题(3.1.6)、(3.1.7)式正解的存在性.本章主要在文献[28,42]的基础上研究下面的带有奇异的非线性分数阶微分方程Dirichlet 边值问题00()(,(),())0,01D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.8) ()(0)0,02i x i n =≤≤- (3.1.9)01()0,02t D x t n μμ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦ (3.1.10)正解的存在性.这里1n n α-<≤，01βα<≤-，f 是正的Caratheodory 函数并且在[0,1],(0,)B B ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件(([0,1]f C a r B ∈⨯，(,,)0f t x y x =在处奇异，0D α+是标准的Riemann-Liouville 分数阶导数.我们说函数f 在集合[0,1],(0,)B B R ⨯=∞⨯上满足Caratheodory 条件，如果函数f 满足下面三个条件：[]()(,,):0,1(,)a f x y x y B →∀∈是可测函数，成立， [](b)(,,):0,1f t B t →∈是连续的，a.e.成立， []1()0,1,c B L κκϕ∈对中的任一紧集，存在函数使得[](,,),0,1(,)f t x y t x y B κϕ≤∈∀∈a.e.，成立，函数[]0,1u C ∈称为边值问题(2.1.8)-(2.1.10)的一个正解，如果x 在区间(0,1)上有0x >，[]00,1D x C β+∈，[]100,1D x L μ+∈且满足边值条件(3.1.9)、(3.1.10)式和等式(3.1.8),对几乎所有的[]0,1t ∈成立.本文中假设函数f 满足下列条件：[]()1():0,1,(0,),H f Car C B B ∈⨯=∞⨯[]0lim (,,),..0,1,x f t x y a e t y +→=∞∈∀∈(3.1.11)并存在正整数m 满足(,,)(1)f t x y m t μ≥-，[]..0,1,(,)a e t x y ∈∈∀∈(3.1.12)()[]2():(,,)()()()(),..0,1,(,)H f t x y t q x p x y a e t x y B γω≤++∈∈∀∈这里[]()[)1()0,1,0,1,,0,1t L q C p C γω∈∈∈都是正的函数，其中q 单调递减，,p ω单调递增，且有[]10()((1))s q K s s ds αγ-<∞⎰，()1mK α=Γ+ (3.1.13)()()lim0x p x x xω→∞+= (3.1.14)因为(3.1.8)式是一个奇异方程，故我们定义1(,,)11(,,)0n f t x y x n f f t y x n n⎧≥⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩有[]()[)**0,1,0,n f Car C B B ∈⨯=∞⨯，n ∈，由条件1()H 和2()H 可得[]*1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭ (3.1.15)[]1(,,)()()()(),..0,1,(,)n f t x y t q p x y a e t x y B n γω⎛⎫≤++∈∈∀∈ ⎪⎝⎭(3.1.16)接下来我们首先讨论一般的分数阶微分方程00()(,(),())0,01n D x t f t x t D x t t αβ+++=<< (3.1.17) 3.2预备知识定义2.1[]40空间[]0,1C 上的范数[]{}max ():0,1x x t t =∈，空间[]10,1L 上的 的范数1()Lxx t dt =⎰.定义 3.2[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶积分由以下公式给出：1001I ()()()()ty t t s y s ds ααα-+=-Γ⎰ (3.2.1) 上式右端在(0,)∞上有定义，其中10()s e s ds αα∞--Γ=⎰.定义3.3[]40函数:(0,)(0)y R Riemann Liouville α∞→>-，阶数为的分数阶微分由以下公式给出：0101()()()()n tn d y s D y t ds n dt t s ααα+-+⎛⎫= ⎪Γ--⎝⎭⎰ (3.2.2)上式右端在(0,)∞上有定义，其中[]1n α=+，[]α表示实数α的整数部分.引理3.1[]28关于分数阶微积分有如下性质：（1）00I ()()D y t y t αα++=，..(0,1]a e t ∈, 1(0,1)y L ∈, 0α>（2）如果0α>，0λ>，那么110()()D ttαλλαλλα---+Γ=Γ- (3) []10()(,1),0,1tt s s ds t B t βααβαβ----=-∈⎰,其中B 为Beta 函数1110(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --=->>⎰，()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+(4) [][]1()(),0,1,()0,1.I I f t I f t t f t L αβαβ+=∈∈ 由性质(4)可知()111()()()(,)()()t s tt s s f d ds B t s f s ds αβαβττταβ+-----=-⎰⎰⎰引理3.2[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂，那么分数高阶微分方程0()0D y t α+=有唯一解1212()N N y t C t C t C t ααα---=+++，,1,2,,i C R i N ∈=,其中N 是大于或等于α的最小整数.引理 3.3[]40设0α>，如果(0,1)(0,1)y C L ∈⋂且关于α的分数阶导数0()(0,1)(0,1)D yt C L α+∈⋂，那么120012I ()()N N D u t u t C tC t C t ααααα---++=++++ (3.2.3)其中，,1,2,,i C R i N ∈=，N 是大于或等于α的最小整数.引理3.4[]42设[]0,1f L ∈，那么边值问题0()()0,01,1D u t f t t n n αα++=<<-<≤， ()(0)0,02i u i n =≤≤-01()0,02t D u t n ββ+=⎡⎤=≤≤-⎣⎦有唯一的解1()(,)()y t G t s y s ds =⎰，其中11111(1)(),01()(,)=(1),01()t s t s s t G t s t s t s ααμαααμαα-------⎧---≤≤≤⎪Γ⎪⎨-⎪≤≤≤⎪Γ⎩证明：由引理2.3知，边值问题的解为12120()I ()n n u t C t C t C t f t αααα---+=+++- (3.2.4)由边值条件（1.4）式知230n C C C ====，对上式两边求μ阶导数，由引理2.1以及边值条件(2.1.5)式知11010()1()()()()()tD u t C t t s y s ds μαμαμααμαμ----+Γ=--Γ-Γ-⎰ 当1t =时有，1110()10(1)()()()C s y s ds αμααμαμ--Γ=--Γ-Γ-⎰，故有 11101(1)()()C s y s ds αμα--=-Γ⎰ 1111001()(1)()()()()()t t y t s y s ds t s y s ds ααμααα----=---ΓΓ⎰⎰111111011((1)())()(1)()()()t tt s t s y s ds t s y s ds ααμαααμαα-------=---+-ΓΓ⎰⎰ 设[][]{}0,1:0,1X x C D x C β=∈∈，给空间X 赋以范数{}*max ,x x D x β=，由文献[14]知X 是Banach 空间.定义空间X 中的锥P ，[]{}:()0,0,1.P x X x t t =∈≥∈为了证明边值问题(3.1.9)、（3.1.10）、(3.1.17)有一个正解，我们首先通过公式定义锥上的算子n T ，10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰ (3.2.5)引理3.5如果条件1()H 和2H （）成立，那么:n T P P →是一个全连续算子. 证明：设x P ∈，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以[]10,1n f L ∈，故有10()(,)(,(),())n n T x G t s f s x s D x s ds β=⎰1110(1)(,(),())()n t s f s x s D x s ds ααμβα---=-Γ⎰ 101()(,(),())()t n t s f s x s D x s ds αβα---Γ⎰ []10()(,(),())0,1(,)0tn t s f s x s D x s ds C G t s αβ--∈≥⎰由以及，可知()()[]()()0,1,0n n T x t C T x t ∈≥ (3.2.6)接下来由引理3.1的性质（3）、（4）可知()()()()()()101nn tn n d D T x t t s T x s ds n dt βββ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰()()()111(,)(,(),())nn t nd t s G s f x D x d ds n dt ββτττττβ--⎛⎫=- ⎪Γ-⎝⎭⎰⎰=()()1111001s (1)(,(),())()nn tn d t s f x D x d ds n dt αβαμβτττττβα-----⎛⎫-- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()110011()(,(),())()nn t s n d t s s f x D x d ds n dt βαβτττττβα---⎛⎫--- ⎪Γ-Γ⎝⎭⎰⎰()()111101s (1)(,(),())()nn t n d t s ds f x D x d n dt βααμβττττταβ-----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰⎰ ()()()+101,(,(),())()nn t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰()()1+1101,(1)(,(),())()nn n d t B n f x D x d n dt αβαμβαβττττταβ----⎛⎫=-- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()()+101,(,(),())()n n t n d B n t f x D x d n dt αββαβττττταβ--⎛⎫--- ⎪ΓΓ-⎝⎭⎰ ()()(11101,(1)(,(),())()i n n B n it f x D x d n αβαμβαβαβττττταβ----≤≤--∏-+=-ΓΓ-⎰()10(,(),())tn t f x D x d αββτττττ--⎫--⎪⎭⎰所以有()()()(11101(1)(,(),())i n nn iD T x t ts f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ--⎫--⎪⎭⎰ (3.2.7)因此有[]0,1,:n n D T x C T P P β∈→.为了证明n T 是一个连续算子，设{}m x P ⊂是一个收敛序列而且有*lim 0m m x x →∞-=,可知*,m x M m ≤∀∈对，M 是一个正的常数，因为[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，我们有[]lim (,(),())(,(),()),..0,1n m m n m f t x t D x t f t x t D x t a e t ββ→∞=∈由(2.1.15)、(2.1.16)式可知，10(,(),())()()()()n m m f t x t D x t t q p M M n βγω⎛⎫<≤++ ⎪⎝⎭(3.2.8)由Lebesgue 控制收敛定理有1lim (,(),())(,(),())0n m m n m f t x t D x t f t x t D x t dt ββ→∞-=⎰ (3.2.9)()10()()()()(,)(,(),())(,(),())n m n n m m n T x t T x t G t s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ-=-⎰ ()1(1,)(,(),())(,(),())n m m n G s f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰10(,(),())(,(),())n m m n f s x s D x s f s x s D x s ds ββ≤-⎰()()()11101()()()()(1)(,(),())(,(),())i n n m n n m m n iD T x t D T x t ts f s x s D x s f s x s D x s dsn ββαβαμββαβαβ----≤≤-∏-+-≤--Γ+-⎰()()()101(,(),())(,(),())ti n nmm n it s f s xs D x s f s x s D x s dsn αβββαβαβ--≤≤-∏-++--Γ+-⎰()1012(,(),())(,(),())i n n m m n if s x s D x s f s x s D x s ds n ββαβαβ≤≤-∏-+≤-Γ+-⎰故有lim 0n m n m T x T x →∞-=，所以n T 是连续算子.最后，设P X Ω⊂是中的有界集，*,x x L ∀∈Ω≤有，L 是一个正的常数，由于[]*(0,1)n f Car B ∈⨯，所以存在[]10,1L ϕ∈使得()[]0(,(),())..0,1,n f t x t D x t t a e t x βϕ<≤∈∀∈Ω对[],0,1x t ∀∈Ω∈有，11()()(,)(,(),())(,(),())n n n L T x t G t s f s x s D x s ds f s x s D x s ds ββϕ=≤≤⎰⎰()11101()()(1)(,(),())i n n n iD T x t t s f s x s D x s ds n βαβαμβαβαβ----≤≤-∏-+=-Γ+-⎰()1(,(),())tn t s f s x s D x s ds αββ----⎰()012i n L i n αβϕαβ≤≤-∏-+≤Γ+-故()n T Ω是X 中的有界集，下证n T 是等度连续的,设1201t t ≤<≤，1111212101()()()()()(1)(,(),())()n n n T x t T x t t t s f s x s D x s ds αααμβα-----=--Γ⎰111120(()())(,(),())t n t s t s f s x s D x s dsααβ--+---⎰2112()(,(),())t n t t s f s x s D x s dsαβ---⎰1111111211201()(1)()(()())()()t t t s s ds t s t s s ds αααμααϕϕα------≤--+---Γ⎰⎰。
具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性1. 引言1.1 背景介绍分数阶微分方程是一种介于整数阶和整数阶之间的微分方程，其在描述复杂系统动力学行为和非线性现象方面具有独特的优势。
随着分数阶微积分的发展和应用，人们对分数阶微分方程的研究也越来越深入。
在实际问题中，往往会涉及到非线性项，而非线性项的特性决定了微分方程解的性质。
具有变号非线性项的分数阶微分方程是研究中的一个重要课题。
变号非线性项的引入会使得微分方程的解集合更加复杂，从而增加了研究的难度和挑战性。
边值问题是求解微分方程时常常遇到的问题之一，对于具有变号非线性项的分数阶微分方程来说，边值问题的正解存在性成为了研究的焦点之一。
正解的存在性理论不仅对深入理解微分方程的性质具有重要意义，还具有广泛的实际应用价值。
在本文中，我们将讨论具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性问题，并探讨相关的证明方法和存在性结论。
通过对这一问题的研究，我们希望能够为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供一定的参考和指导。
【2000字】1.2 研究意义分数阶微分方程是近年来研究的热点之一，由于其在描述复杂系统中的行为具有更好的适应性和精确性，因此受到了广泛关注。
具有变号非线性项的分数阶微分方程是一类更为复杂和具有挑战性的问题，对其性质和解的存在性进行研究具有极大的理论和应用价值。
在实际问题中，很多现象和过程并不能完全用传统的整数阶微分方程来描述，而需要引入分数阶微积分来更准确地刻画。
研究具有变号非线性项的分数阶微分方程可以更好地解释现实中复杂系统的行为，为相关领域的研究提供理论支持和指导。
正解的存在性问题一直是数学研究的重要课题之一，对于分数阶微分方程边值问题正解的存在性理论的研究不仅可以深化对这类方程的理解，还可以提高数学领域对于非线性问题的分析能力，拓展数学的应用范围和解决实际问题的能力。
研究具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性对于推动分数阶微分方程领域的发展具有重要的意义，对于理论研究和实际应用都具有积极的推动作用。
第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有 序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微 分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要 实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一 性.其中A 'A 是 单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文 研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是 的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数， 并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可 见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零 元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合 算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下 的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明 首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩 伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文 献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单 减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一 个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # 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"a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。
具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题正解的存在性分数阶微分方程是一类新颖的微分方程，它将传统的整数阶微分方程推广到了分数阶的情形，具有更强的表达能力。
而具有变号非线性项的分数阶微分方程边值问题又是分数阶微分方程中的特殊类型，其正解的存在性问题备受关注。
本文将探讨这一问题，并给出相关的定理和证明。
我们来看一般的分数阶微分方程边值问题的形式：\begin{equation}D^{\alpha}u(x) = f(x,u(x)), \quad a < x < b,\end{equation}\begin{equation}u(a) = A, \quad u(b) = B,\end{equation}其中D^{\alpha}表示分数阶导数，f(x,u)是非线性的函数，并且可能含有变号项。
a 和b是给定的常数，表示区间的边界，A和B是给定的常数，表示边值条件。
我们的目标是证明当给定的条件满足时，方程(1)(2)存在正解。
我们要证明方程(1)(2)的正解的存在性。
为了方便讨论，我们假设f(x,u)满足一定的增长条件和Lipschitz条件。
这些条件是存在正解的充分条件。
根据Caputo分数阶导数的定义，我们可以将方程(1)改写为积分形式：\begin{equation}u(x) = A + \int_{a}^{x}G(x,t)f(t,u(t))dt,\end{equation}其中G(x,t)是一个未知函数。
由于f(x,u)可能含有变号项，我们无法直接应用传统的定积分方法来证明正解的存在性。
我们需要使用变分方法来处理方程(3)。
接下来，我们来讨论边值条件的影响。
由于f(x,u)可能含有变号项，我们需要重新审视边值条件对正解的影响。
假设边值条件不是简单的Dirichlet条件，而是更一般的边值条件。
对于一般的边值条件，我们可以构造一个关于边值条件的适当的变分。
通过适当的变分，我们可以证明存在性的定理仍然成立。
非线性微分系统正解的存在性的开题报告
题目：非线性微分系统正解的存在性的研究
背景：
非线性微分系统在物理学、工程学和数学等领域中具有重要的应用。
它们可以用来描述许多实际系统的动态行为，如控制系统、电路、化学反应等。
非线性微分方程
的解析解通常比较难求得，而数值解只能精确到一定的程度。
因此，研究非线性微分
系统正解的存在性成为了非常重要的课题。
研究目的：
本文旨在研究非线性微分系统正解的存在性，并探讨其应用，为相关领域的研究提供参考。
研究内容：
本文将从以下几个方面进行研究：
1.非线性微分系统的定义和基本概念，包括系统稳定性、局部解和整体解等；
2.正解的定义和性质，比如唯一性、连续性、稳定性等；
3.一些经典的存在性结果，如Peano存在定理、Picard存在定理等；
4.一些新的存在性结果，如时间局部存在性定理、时间全局存在性定理等；
5.对于一些特殊的非线性微分系统，探究它们正解的存在性，比如各种类型的常微分方程、偏微分方程等。
研究方法：
本文将采用文献研究法，通过查阅相关文献，对非线性微分系统正解的存在性进行归纳总结。
同时，也将结合数学分析和计算机数值方法，探讨某些特殊情况下相应
的正解存在性问题。
预期结果：
本文将全面深入地探究非线性微分系统正解的存在性，并对其应用进行详细讨论，有望为相关领域的研究提供重要参考。
同时，本文也有望揭示一些非线性系统动态行
为的内在规律，对相关学科的进一步发展提供帮助。
收稿日期:２０２２Ｇ０６Ｇ０５.基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１９６１０６９);新疆优秀青年科技人才培训计划项目(２０１９Q ０２２);新疆维吾尔自治区自然科学基金(２０１９D ０１A ７１);新疆维吾尔自治区高校科研计划(X J E D U ２０１８Y ０３３);新疆师范大学青年拔尖人才计划项目.作者简介:马玉花(１９９７ ),女,硕士生.㊀∗通信作者:顾海波(１９８２ ),男,教授,硕士生导师.E Ｇm a i l :h b gu _m a t h ＠１６３．c o m .马玉花,顾海波,李㊀宁．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性[J ]．南昌大学学报(理科版),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．MA Y H ,G U HB ,L IN．E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN o n l i n e a r C a pu t o ＧH a d a m a r dF r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h I n t e g r a l B o u n d a r y V a l u eC o n d i t i o n s [J ]．J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e ),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性马玉花,顾海波∗,李㊀宁(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐㊀８３００１７)㊀㊀摘要:通过多值映射的不动点定理,证明了如下一类带有积分边值条件的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含问题多个正解的存在性:C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α代表C a p u t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.关键词:C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含;边值条件;正解;不动点定理中图分类号:O ７１５．１４㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００６Ｇ０４６４(２０２３)０２Ｇ０１１８Ｇ０７E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r n o n l i n e a r c a pu t o Ｇh a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n s MA Y u h u a ,G U H a ib o ∗,L IN i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sS c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :B y t h e f i x e d p o i n t t h e o r e mo fm u l t i Ｇv a l u e dm a p p i n gs ,w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e t h e o r e mo f a t l e a s t t w o p o s i t i v e s o Ｇl u t i o n s f o r t h e f o l l o w i n gp r o b l e mo fC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o nw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n :C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α,w h e r e C H D αd e n o t e s t h eC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑRңp (R )i s am u l t i v a l u e d m a p ,p (R )i s t h ef a m i l y o f a l l s u b s e t s o f R ．K e y Wo r d s :C a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n ;b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n ;p o s i t i v e s o l u t i o n s ;f i x e d p o i n t t h e Ｇo r e m㊀㊀分数阶微积分是应用数学中最重要的领域之一,它将现有的整数阶的微分算子推广到任意阶的微分算子.近年来,关于分数阶微分方程问题引起了人们广泛的关注.分数阶微分方程应用于反常扩散㊁流体力学㊁生物医学㊁最优控制等领域.相比起整数阶的微分算子,分数阶微分算子具有全局性,从而可以准确描述客观世界的发展规律.伴随着自然科学及社会科学发展㊁复杂工程应用需求的增加,分数阶微分方程已不能满足人类探索发展规律的需求,而微分包含可以看作是分数阶微分方程的推广,它可以对复杂的现象进行更加准确的刻画.对于微分包含解的存在性一直是人们研究的热点问题,同时人们已经不再满足去寻找微分包含的一般解,而是想找到更具有现实意义的正解.有关分数阶微分包含的理论研究有很多[１－１３].在现有的成果当中,有关分数阶微分包含正解的存在性定理的结果并不是很多[８－９],因此,对于微分包含具有多个正解的存在性研究是第４７卷第２期２０２３年４月㊀㊀㊀㊀㊀㊀南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )V o l ．４７N o ．２A pr ．２０２３㊀必要的.文[６]中,作者结合变分方法和临界点理论,给出了下面一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性.－[a ＋b (ʏa |Ñu |２d x )m ]Δu ＝f (x )u －γ－λu p －１,x ɪΩu ＞０,x ɪΩu ＝０,x ɪ∂Ωìîíïïïï其中Ω是R N (N ȡ３)是一个有界开区域且具有光滑边界阶∂Ω,a ,b ȡ０且a ＋b ＞０,m ＞０,λȡ０,１＜p ɤ２,０＜γ＜１.系数函数f 为非零非负函数.文[７]中,作者利用不动点定理,给出了下面一类非线性加权问题正解的存在性.cD η,ψ,ω０＋z (t )＝f (t ,u (t )),０＜t ɤ１z (０)＝z ０＞０{其中c D η,ψ,ω０＋是加权广义η阶的C a p u t o 分数阶导数,０＜η＜１,连续函数f :[０,１]ˑR ＋ңR ＋,严格增函数ψ:[０,１]ңR ＋,加权函数ω(t )ʂ０且满足ω－１(t )＝１ω(t).文[８]中,作者通过多值映射的压缩不动点定理,给出了下面非线性分数阶微分包含正解的存在性定理.C H D α０＋u (t )ɪF (t ,u (t )),t ɪ(０,１)u (０)＝u ㊆(０),u (１)＝λʏ１０u (s )d s ìîíïïïï其中C H D α０＋是α阶的Ca p u t o 分数阶导数,２＜α＜３,０＜λ＜２,F :[０,１]ˑR ңp (R )是具有紧值的多值映射,p (R )是R 的非空子集.受以上结果的启发,本文将研究如下带有积分边值的分数阶微分包含多个正解的存在性问题C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤex (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(１)其中C H D α代表C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.本文将利用[１０]中G u o －K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理,给出带积分边界值条件的分数阶微分包含方程(１)的正解存在的充分条件.本文具体安排如下:在第１节中,我们给出了相关预备知识,包括问题描述㊁基本定义和相关引理,以及本文所需的条件假设;在第２节中,我们利用不动点定理给出了(１)存在多个正解的充分条件;在第３节中,举出一个例子说明主要结果的有效性;在第４节中,对文章进行了总结.１㊀预备知识㊀㊀这部分我们将介绍一些相关的基础概念及定义,并介绍了一些对后续正解的存在性定理非常重要的引理.首先,我们将介绍一些关C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微积分相关的内容,定义１．１[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[)ңR 的α＞０阶的H a d a m a r d 分数阶积分为H I αx (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１)x (s )d ss,n －１＜αɤn㊀㊀定义１．２[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[]ңR 的α＞０阶的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数导数为C H D αx (t )＝１Γn －α()ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１),δn(s )d s s,n －１＜αɤn其中δn ＝t d d t æèçöø÷n ,n ɪN .下面我们将介绍一些关于多值映射的基本概念.令(X , )是一个赋范线性空间,一个多值映射F :９１１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性X ңp (X )满足:(１)若对于任意的x ɪX ,F (X )是闭的(凸的),则称多值映射F 是闭的(凸的).(２)若对于X 上所有的有界子集B ,有F (B )＝ɣx ɪBF (x )是有界的,则多值映射F 在有界集上是有界的.(３)若对于X 上所有的有界子集B ,F (B )是相对紧的,则多值映射F 是全连续的.定义１．３[１５]㊀(X , )是一个赋范线性空间,多值映射Θ:X ңp (X ).若对每一个x ０ɪX ,集合Θ(x ０)是X 的一个非空闭子集,对于X 中的每个包含Θ(x ０)开子集B ,存在x ０的一个开邻域V ,使得Θ(V )⊆B ,则称Θ在X 上是上半连续的.定义１．４㊀若对于每个x ɪC ([１,e ],R ),称S F ,x 是F 的选择集合,定义为:S F ,x ＝f ɪL １([１,e ],R ):f ɪF (t ,x (t )),对于几乎处处的t ɪ[１,e ]{}㊀㊀定义１．５㊀假设０＜αɤ１,λȡ０,d ＞０,x ɪC ([１,e ]),满足x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d 并且存在f ɪS F ,x ,使得x (t )满足积分方程:x (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,t ɪ[１,e ]则x 是以下边值问题的唯一解C HD α１x (t )＝f (t ),１＜t ɤe x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {㊀㊀定义１．６[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,C 是X 的闭凸子集,P c p ,c (C )表示C 中所有非空紧凸子集集合.对于任意有界子集Ω⊂X ,它的非紧测度为γ(Ω)＝i n f {d ＞０:Ω可以被有限多个直径小于等于d 的集合覆盖}定义１．７[１５]㊀多值映射F :[１,e ]ˑR ңP (R ),若满足:(１)对于x ɪ[０,ɕ),t ңF (t ,x )是可测的,且对几乎所有的t ɪ[１,e ],x ңF (t ,x )是上半连续的,则F 是C a r a t h e o d a r y 的.(２)如果对每一个δ＞０,存在φδɪL １([１,e ],R ＋),使得对几乎所有的 x ɤδ和t ɪ[１,e ],都有 F (t ,x ) ＝s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤφδ(t ),则F 是L １－C a r a t h e o d a r y .定义１．８[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,若对于映射T :E ⊂X ңX ,T 连续且满足条件:对每个有界子集Ω⊂E ,均有γ(T Ω))ɤk (Ω),则称T 为k －集压缩映射(k ȡ０).对于k ＜１的k －集压缩映射称为严格k －集压缩映射.特别地,全连续映射是０－集压缩映射,因此是严格k －集压缩映射.引理１．２[１６]㊀设X 为B a n a c h 空间,令F 是一个多值映射,满足F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (C )是L １－C a r a t h e od a r y 令Θ:L １([１,e ],R )ңC ([１,e ],R )是一个连续线性算子,则Θ S F :C ([１,e ],R )ңP c p ,c (C ([１,e ],R )),x ң(Θ S F )(x )＝Θ(S F ,x )是C ([１,e ],R )ˑC ([１,e ],R )中的一个闭图算子.其中C ([１,e ],R )表示[１,e ]ңR 上的连续函数.引理１．３[１６]㊀若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图象,即x n ңx ∗,y n ңy ∗,y n ɪA (x n ),有y ∗ɪA (x ∗).引理１．４[１０]㊀令E 是一个B a n a c h 空间,C ⊂E 是一个锥,且 在C 上是增的.若存在常数L ,r ,Q ,k ,(０＜L ＜r ＜Q ,０ɤk ＜１)和上半连续的k －集压缩映射F :Ωk －ɘC ңP c p ,c (C ),使得以下条件成立,则F 至少有两个不动点,x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).(１)对∀x ɪ∂E Ωr ɘC ,x ∉F (x );(２)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩL ɘC ,有 h ＞ x ;(３)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E Ωr ɘC ,有 h ɤ x ;(４)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘC ,有 h ȡ x .０２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀其中,Ωr ＝{x ɪE : x ＜r },∂E Ωr ＝{x ɪE : x ＜r }.对于∂E ΩL ,ΩQ 同理.为方便下文讨论,给出下列记号:设E ＝(C [１,e ], ),范数定义为 x ＝m a x t ɪ[１,e]|x (t )|,K ＝{x ɪC [１,e ]:x (t )ȡ０}显然K 是E 上的一个锥.定义算子A :K ңP c p ,c (C [１,e ]),A (x )＝h (t )ɪC [１,e ]:h (t )＝１Γ(α)ʏt １(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,f ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ]ìîíïïïüþýïïï下面给出本文假设条件如下:(H １)函数F :[１,e ]ˑ[０,ɕ]ңP c p ,c ([０,ɕ))是L １－C a r a t h e o d a r y ,并且有非空的紧凸值.(H ２)存在一个不减函数φ:[０,ɕ]ң(０,ɕ)和一个函数p ɪL ２([１,e ]ңR ＋),使得 F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤp (t )φ(x )㊀㊀(H ３)存在ηɪC [１,e ],η(t )＞０,有 F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡη(t )φ(x )㊀㊀(H ４)存常数r ＞０,使得(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０㊀㊀(H ５)存在ξɪ[１,e ],０＜L ＜r ,使得ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )㊀㊀(H ６)存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q ,使得ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )㊀㊀为了得到微分包含边值问题(１)的正解的存在性定理,先证明下面的引理:引理１．５㊀假设条件(H １)和(H ２)成立,则算子A 是一个上半连续的全连续算子.证明㊀第１步,A 将E 的有界集映射成为E 中的有界集.令B r ＝{x ɪE : x ɤr }是K 中的有界集.对于t ɪ[１,e ],x ɪB r 时,f ɪS F ,x ,令h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d ss＋λ则对t ɪ[１,e ],由条件(H ２)有|h (t )|ɤ１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１|f (s )|d ss＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤφ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故当t ɪ[１,e ]时有 h (t ) ɤp L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 从而A (B r )是一致有界的.第２步,A 是将有界集合映射到等度连续集.令t １,t ２ɪ[１,e ]且t １＜t ２,则由条件(H ２),有１２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性|h (t ２)－h (t １)|＝１Γ(α)ʏt ２１(l o g t ２s )α－１f (s )d s s －１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１f(s )d s sɤ１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷|f (s )|d s s ＋１Γ(α)ʏt ２t １(l o g t ２s )α－１|f (s )|d s s ɤ p L ２φ( x )Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２æèçöø÷１２＋p L ２φ( x )l o g t ２t １æèçöø÷α－１２Γ(α)(２α－１)１２利用L e b e s g u e 控制收敛定理知,当t １ңt ２时,有ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２ң０因此,当t １ңt ２时,|h (t ２)－h (t １)|ң０,即A 是等度连续的.由A s c o l i －A r z e l a d 定理,A 是全连续的.第３步,A 存在一个闭图,令x n ңx ∗,h n ңh ∗,h n ɪA (x n ),要证h ∗ɪA (x ∗).对于h n ɪA (x n ),则存在f n ɪS F ,x n,使得h n (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f n (s )d ss＋λʏe１x n (s )d s ＋d 定义线性算子:Θ:L １([１,e ],[０,ɕ))ңC ([１,e ],[０,ɕ))f ң(Θf )(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为h n (t )ɪΘ(S F ,x n),x n ңx ∗,h n ңh ∗.由引理１．２知,Θ是闭图象算子,故h ∗ɪΘ(S F ,x ∗),即存在f ∗ɪS F ,x ∗,满足h ∗(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f ∗(s )d ss ＋λʏe１x ∗(s )d s ＋d 再由引理１．３知,A 是上半连续的.综上,A 是一个上半连续的全连续算子.２㊀主要结果㊀㊀定理２．１㊀若假设条件(H １)－(H ６)都成立,则(１)至少存在两个正解.证明㊀由引理１．５知A 是一个上半连续的全连续算子,下面只需要证明A 满足引理１．４的所有条件,即可证明(１)至少存在两个正解.首先证明,A :K ңP c p ,c (K ),任给的x ɪK ,h ɪA (x ),那么存在w ɪS F ,x ,有h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为F :[１,e ]ˑ[０,ɕ)ңP c p ,c ([０,ɕ)),因此,当t ɪ[１,e ]时h (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡd 故有h ɪK .即A :K ңP c p ,c (K ).下证,对∀x ɪ∂E Ωr ɘK ,x ∉A (x ).用反证法,假设存在x ɪ∂E Ωr ɘK ,t ɪ[１,e ],使得x ɪA (x ), x ＝r ,存在w ɪS F ,x ,利用H öl d e r 不等式,有|x (t )|＝１Γ(α)ʏt １(l o gt s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏt１(l o gt s )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ２２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀φ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故与假设(H ４)矛盾.其次证,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩL ɘK ,有 h ＞ x .任意x ɪ∂E ΩL ɘK ,则 x ＝L .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,当t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ３)和(H ５)可知 h ȡh (ξ)＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏξ１l o g ξs æèçöø÷α－１η(s )d s s ＋d ＞L ＝ x 再证对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E Ωr ɘK ,有 h ɤ x .任意x ɪ∂E Ωr ɘC ,则 x ＝r .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ４)可知|h (ξ)|＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏξ１(l o gξs )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|ds ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)((２α－１))１２＋λ(e －１)r ＋d ɤr ＝ x 由ξɪ[１,e ]的任意性有 h ɤ x .最后证明,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘK ,有 h ȡ x .任意x ɪ∂E ΩQ ɘK ,则 x ＝Q .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ６)知,h (ζ)＝１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏζ１l o g ζs æèçöø÷α－１η(s )d s s＋d ȡQ ＝ x 由ζɪ[１,e ]的任意性有 h ȡ x .综上,A 满足引理１．４的所有条件,故A 至少有两个不动点x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr \ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).即L ɤx ０＜r ＜x １ɤQ 是(１)的两个正解.３㊀例子㊀㊀为了说明我们主要结果的有效性,下面给出一个简单的例子.C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe ,x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(２)其中α＝０．７,λ＝０,d ＝１.F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (R )的多值映射:３２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性x ңF (t ,x )＝e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２éëêêùûúú对于f ɪF (t ,x ),有１１０ɤm i n e x １０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ|f |ɤm a x e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ１２因此,F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤ１２＝p (t )φ( x ) F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡ１１０＝η(t )φ( x )φ(x )＝(e －１)３２p (t )＝１(e －１)３η(t )＝１１０(e －１)３计算知,当r ＞２．２０时,满足(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０若取r ＝２．２１,存在ξɪ[１,e ],当０＜L ＝１．２９＜r 时,有ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q＝２．５１时,有ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )从而边值问题(２)满足引理２．１的所有条件,故根据定理２．１,(２)至少存在两个正解.４㊀总结㊀㊀本篇文章结合前人有关分数阶微分方程正解的存在性研究,将单值推广到多值,再利用多值映射的压缩或拉伸不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的C a p u t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性问题,最后举出一个简单的例子说明结果的有效性.正解相比较一般的解更具有实际意义,而实际生活中问题复杂且受到多种因素的干扰,对于分数阶微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困难,因此如何更有效的寻找到分数阶微分包含的正解有待进一步的探究.参考文献:[１]㊀B E L MO RS ,J A R A DF ,A B D E L J AWA DT．O nC a p u t o ＧH a d a m a r d t y p e c o u p l e d s y s t e m s o f n o n c o n v e x f r a c t i o n a l d i f f e r e n Ｇt i a l i n c l u s i o n s [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE qu a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):１Ｇ１２．[２]L A C HO U R IA ,A B D O MS ,A R D J O U N IA ,e t a l ．H i l f e r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t hE r d él y i ＧK o b e r f r a c t i o n a l i n t e Ｇg r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE q u a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):２４４．[３]Y A N GD ,B A IC ．E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rA n t i ＧP e r i o d i cF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h ψＧC a u p t oF r a c t i o n a lD e Ｇr i v a t i v e [J ]．D i s c r e t eD y n a m i c s i nN a t u r e a n dS o c i e t y,２０１９,２０１９:１Ｇ８．[４]P I A Z Z ALD ,MA R R A F F A V ,S A T C OB ．M e a s u r eD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n s :E x i s t e n c eR e s u l t s a n dM i n i m u mP r o b l e m s [J ]．S e t ＧV a l u e da n dV a r i a t i o n a lA n a l y s i s ,２０２０,２９(２０２１):３６１Ｇ３８２．[５]MA R R A F F A ,V．,D IP I A Z Z A ,L ．,S A T C O ,B ．A p p r o x i m a t i n g t h e s o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sd r i v e nb y me a s u r e s [J ]．A n n a l i d iM a t e m a t i c a ,２０１９,１９８(２０１９):２１２３Ｇ２１４０．４２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀[６]林荣瑞,佘连兵,吴莲发．一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性[J ]．南昌大学学报(理学版),２０２１,４５(２):１１１Ｇ１１６．[７]A B D O M S ,A B D E L J AWA DT ,A l i S M ,e t a l ．E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o rw e i g h t e d f r a c t i o n a l o r d e r d i f f e r e n t i a l e Ｇqu a t i o n s [J ]．C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,２０２０,１４１:１１０３４１．[８]HA G H I ,T．,G HA N B A R I ,K．P o s i t i v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s [R ]．I nT h e ４６Ｇt hA n n u a l I Ｇr a n i a n M a t h e m a t i c sC o n f e r e n c e ,２０１５:８８２Ｇ８８５．[９]李春红,杨丹丹．带有积分边值的非线性分数阶微分包含多个正解存在性[J ]．沈阳大学学报(自然科学版),２０２０,３２(３):２５８Ｇ２６２．[１０]A G A RWA LRP ,O ＂R E G A N D．A N o t eo n t h eE x i s t e n c eo fM u l t i p l eF i x e dP o i n t s f o rM u l t i v a l u e d M a p sw i t hA p p l i c a Ｇt i o n s [J ]．J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,２０００,１６０(２):３８９Ｇ４０３．[１１]G U H ,S N U Y．N o n l o c a l c o n t r o l l a b i l i t y o f f r a c t i o n a lm e a s u r ee v o l u t i o ne q u a t i o n [J ]．J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a Ｇt i o n s ,２０２０,２０２０(１)．[１２]G O U H ,L IY．E x i s t e n c ea n dA p p r o x i m a t eC o n t r o l l a b i l i t y o fS e m i l i n e a r M e a s u r eD r i v e nS y s t e m sw i t h N o n l o c a lC o n d i Ｇt i o n s [J ]．B u l l e t i no f t h e I r a n i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ,２０２１,４８:７６９Ｇ７８９．[１３]Z HO U Y ,P E N GL ．T o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f s o l u t i o ns e t s f o r p a r t i a l f u n c t i o n a l e v o l u t i o n i n c l u s i o n s [J ]．C o m p t e s r e n d u s M a t h e m a t i qu e ,２０１７,３５５(１):４５Ｇ６４．[１４]G OHA R M ,L IC ,Y I N C ．O nC a p u t o ＧH a d a m a r df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fC o m p u t e r M a t h e m a t i c s ,２０２０,９７(７):１４５９Ｇ１４８３．[１５]G O R N I E W I C ZL ．A p r o x i m a t i o n M e t h o d s i nF i x e dP o i n tT h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s [M ]//T o p o l o g i c a l F i x e dP o i n t T h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s ．S p r i n g e r ,D o r d r e c h t ,１９９９:１０５Ｇ１５７．[１６]D E N K OW S K I Z ,S M I G O R S K I ,P A P A G E O R G I O U NS ．S E T ＧV a l u e dA n a l y s i s [M ]．B o s t o n :S p r i n ge r ,２００３．５２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性。
非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性的开题报告非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性一直是微积分学和微分方程的研究焦点之一。
本文将从前人的研究成果入手，综述非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性问题的研究现状，再着重介绍自己的研究内容和方法，目的是得出一个比较有意义的结论。
首先，我们将从非线性奇异微分方程的研究入手。
非线性奇异微分方程具有许多的特殊形式和性质，而解的存在性问题也因此变得复杂多样。
前人从不同的角度和方法出发，尝试解决这一问题。
例如，Brezis和Nirenberg研究了一类非线性约束椭圆型方程的解析解的存在性问题，指出在一定的条件下，解存在且唯一。
Kong等人考虑了一类具有不可积奇异性质的非线性奇异微分方程，得出了同样的结论。
其次，针对脉冲方程的边值问题的解的存在性问题，前人也开展了大量的研究工作。
脉冲方程是指在某些时刻突然产生冲击，对于解的存在性问题具有很大的挑战。
关于脉冲方程的解的存在性问题，已有许多研究成果。
例如，Gupta和Agarwal则考虑了一种分数阶脉冲微分方程，得出了其解的存在性的足够条件。
Wang和Xu等人则针对一类悬架方程提出了一种新的数值方法，并在实验中得到了较好的效果。
最后，我们将介绍自己的研究内容和方法，本文主要考虑一类非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性问题。
该问题在理论和应用上的意义均十分重要。
基于之前的研究成果，我们将采用一些新的方法对该问题进行研究。
具体来说，本研究中将采用变步长积分方法在数值计算中处理非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题，以得到数值解，并基于这些数值解对其解的存在性进行分析和讨论。
总之，本文将综述非线性奇异微分方程和脉冲方程边值问题的解的存在性问题的研究现状，并介绍自己的研究内容和方法，以探讨该问题的新的解决方法和结果。
《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》篇一一、引言随着科学技术的发展，分数阶微分方程在物理学、工程学、生物学等多个领域中得到了广泛的应用。
分数阶微分方程的解的存在性研究，对于理解这些方程的物理意义和实际应用具有重要意义。
本文旨在研究几类分数阶微分方程解的存在性，为相关领域的研究提供理论支持。
二、研究背景及意义分数阶微分方程的解的存在性研究，一直是数学领域的一个热点问题。
与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的适用范围和更丰富的物理内涵。
近年来，随着科研工作的深入，人们发现许多实际问题都可以通过分数阶微分方程进行描述。
因此，研究分数阶微分方程的解的存在性，不仅有助于完善数学理论体系，还能为实际问题提供理论支持。
三、几类分数阶微分方程的解的存在性研究1. 线性分数阶微分方程线性分数阶微分方程在物理、工程等领域有广泛应用。
本文采用固定点定理和Banach空间中的压缩映射原理，研究线性分数阶微分方程的解的存在性。
通过构造适当的函数空间和算子，证明了解的存在性定理。
2. 非线性分数阶微分方程非线性分数阶微分方程在生物学、金融学等领域具有广泛应用。
本文利用Schaefer不动点定理和Sobolev空间中的性质，研究非线性分数阶微分方程的解的存在性。
通过引入适当的泛函空间和不动点定理的条件，证明了解的存在性。
3. 抽象形式的分数阶微分方程抽象形式的分数阶微分方程在数学、物理学等领域具有广泛的应用。
本文采用抽象空间中的不动点定理和拓扑度理论，研究抽象形式分数阶微分方程的解的存在性。
通过建立适当的函数空间和拓扑度公式，证明了抽象形式分数阶微分方程的解的存在性定理。
四、结论本文研究了几类分数阶微分方程的解的存在性，包括线性分数阶微分方程、非线性分数阶微分方程和抽象形式的分数阶微分方程。
通过引入适当的函数空间和不动点定理等数学工具，证明了这些方程的解的存在性。
这些研究成果不仅有助于完善数学理论体系，还能为实际问题提供理论支持。
