22.2.4一元二次方程的根与系数的关系

22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1）主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名 学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a bx x -=+21，ac x x =21； 2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 学习过程：一）自我完成：阅读教材P 15 — 16页 ,并完成下列练习。

1、(1)一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；.②将（x －x 1）（x －x 2）=0 化为一般形式x 2－( x 1 +x 2)x + x 1x 2=0与x 2+px + q =0 对比, 易知: p =，q = 。

二）小组讨论： 探究2：完成下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？ ①用语言叙述发现的规律： ②ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。

x 1+x 2= x 1x 2=利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax 2+bx +c =0的两根1x = ,2x =12x x +=12.x x =三）学以致用：例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --=（2）22350x x +-=（3）21203x x -=例2、已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及K 的值。

练习：课本16页习题四）课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？五）、学习内容达标检测1．若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x , 则12x x +=12.x x = 2．方程22310x x --=则12x x +=12.x x =3．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为p =4．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是m =5．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p +q =6．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么（）A .p =q =0B .P =0,q ≠0C .p ≠0,q =0D .p ≠0, q ≠0） 7、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x 2－5x －10=0 （2）2x 2+7x +1=0（3）3x 2－1=2x +5 （4）x （x －1）=3x +7六、学习内容反思：22.2.4一元二次方程根与系数的关系（2）学习目标：1、掌握根与系数关系：a bx x -=+21，ac x x =21； 2、会用根的判别式及根与系数关系解题. 学习内容：【典型例题讲练】1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.1.已知方程x 2－6x +m 2－2m +5=0一个根为2，求另一个根及m 的值.解：2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x－7=0两根的符号情况.【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2－2(m+1)x+m－1=0的两个根都是正数.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k－2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.3. 关于x的一元二次方程x2－3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.【变式1】已知：方程x2+2(m－2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值. 【变式2】设与是方程x2－7mx+4m2=0的两个实数根，且(－1)(－1)=3，求m的值．4．求关于根的对称式的值．5．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．6．如+，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，7．如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，8．+=(x1+x2)2－2x1x2，……等．9． 4 ， .如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求的值．10．【变式】已知与是方程3x2－x－2=0的两个实数根，求代数式的值．课堂检测：一、选择题1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )A. 3，2B.C.D.2. 如果是方程的两个根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D.3. 以2，－3为根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=0二、填空题.1. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________.2.已知一元二次方程的两根为2+和2－，则这个方程为_______．三、解答题1.设x 1与x 2是方程x 2+4x －6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值： (1)； (2)+x 1x 2+； (3)(x 1－2)(x 2－2)．2. (1)已知方程x 2+mx +21=0的两个根的平方和是58，求m 的值； (2)已知方程x 2+2x +m =0的两个根的差的平方是16，求m 的值； (3)已知方程x 2+3x +m =0的两个根的差是5，求m 的值；（4)已知方程x 2+3x +m =0的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．3、已知12x x ，是关于x 的方程0222=++m x x 的两个实根，且22221=-x x ，求m 的值．。

一元二次方程的根与系数的关系专题复习1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a =4、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <05、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x += .则k 的值为（ ）A 、－1或34B 、－1C 、34D 、不存在 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A．3 C ．6 D ．97、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --8、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.9、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.10、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.11、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m的取值范围；（2）当22120x x-=时，求m的值．一元二次方程的根与系数的关系专题复习参考答案：1、23. 依据一元二次方程根与系数的关系可得1232x x +=. 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得1212x x b x x c +=-⎧⎨=⎩， ∴(12)3,122b c =-+=-=⨯=.3、B. △＝22()41140a a --⨯⨯=-=，∴2a =或2a =-，故选B.4、A5、C6、B7、D8、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121231x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴121212(1)(1)1()1311x x x x x x ++=+++=-+=-.9、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩， ∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 10、解：设方程230x x m -+=的两根为1x 、2x ，且不妨设122x x =. 则由一元二次方程根与系数的关系可得：12123x x x x m +=⎧⎨=⎩， 代入122x x =,得222332x x m=⎧⎨=⎩,∴21x =,2m =. 11、解:（1）∵一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+≥,∴14m ≤. （2）当22120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--,∴(21)0m --=,∴12m =. 又∵由（1）一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是14m ≤,∴12m =不成立,故m 无解；当120x x -=时，12x x =,方程有两个相等的实数根,∴△＝22(21)41410m m m --⨯⨯=-+=,∴14m =. 综上所述,当22120x x -=时，14m =.22．(1)解：∵方程x 2+px+q+1=0的一个根为2，∴22+2p+q+1=0，∴q=-2p-5-----------2分(2)证明：由方程x 2+px+q=0，得△=p 2-4q----------------------------------------------------------3分由(1)知：q=-2p-5，∴△=p 2-4(-2p-5)=p 2+8p+20=(p+4)2+4-------------------------5分∵(p+4)2≥0，∴(p+4)2+4>0，即△>0--------------------------------------------------6分∴方程x 2+px+q=0有两个不相等的实数根∴抛物线y=x 2+px+q 与x 轴有两个交点-----------------------------------------------7分(3)解： ∵x 1、x 2是方程x 2+px+q=0的两个根∴x 1 =242pq p --，x 2=242pq p ---∴AB=|x 1-x 2|=|242pq p ---242pq p ---|=q p 42--------------------------------8分∵抛物线顶点M 的坐标为(2p -，424p q -) ∴S △ABM =21AB ·|442p q -|=81(p 2-4q) q p 42---------------------------------------------9分 要使S △ABM 最小，只须使p 2-4q 最小，由(2)知p 2-4q=(p+4)2+4，当p=-4时p 2-4q 有最小值，最小值为4--------------------10分 此时S △ABM =14481=⨯⨯，q=-2p-5=-2×(-4)-5=3-----------------------------------------11分 ∴抛物线的解析式为y=x 2-4x+3------------------------------------------------------------12分。

人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》是二次函数部分的一个重要内容。

这部分内容主要让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用到实际问题中。

教材通过实例和探究活动，引导学生发现根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有一定的认识。

但是，对于根与系数之间的关系，他们可能还没有直观的理解。

因此，在教学过程中，需要通过实例和活动，让学生直观地感受到根与系数之间的关系，从而达到理解并掌握二次方程的解法。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.掌握求解一元二次方程的方法。

3.能够运用根与系数的关系解决实际问题。

四. 教学重难点1.重难点：根与系数之间的关系。

2.难点：如何引导学生发现并理解根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生直观地感受到根与系数之间的关系。

2.活动教学：通过小组合作、讨论等活动，让学生主动探究根与系数之间的关系。

3.问题驱动：提出问题，引导学生思考，从而达到理解并掌握二次方程的解法。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实例和活动。

2.实例材料：准备一些具体的实例，用于教学。

3.活动材料：准备一些活动材料，用于小组合作、讨论等活动。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解方程的根。

例如，给出方程x^2 - 5x + 6 = 0，让学生尝试求解。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的实例，引导学生观察方程的根与系数之间的关系。

通过计算和观察，引导学生发现根与系数之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组进行活动，每组选择一个一元二次方程，计算其根与系数之间的关系。

然后，各组汇报结果，进行交流和讨论。

学科：数学课题：22.2.4一元二次方程的根与系数的关系课型：新授主备人：审核：使用时间：【学习目标】1、掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2、通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3、通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

【重点和难点】1、根与系数的关系及其推导。

2、正确理解根与系数的关系。

3、一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

【学习过程】【知识回顾】(1)写出一元二次方程的一般式和求根公式。

(2)求出下列方程的两根，计算两根和与两根积的值，并猜想两根和、两根积与一元二次【探究研讨】1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1=_________ ,x2=_________________X1+x2=_______,x1x2=_______总结：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于_____________________________________________，两根的积等于____________________。

2、x1、x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，利用上面的结论可得：X1+x2=_______,x1x2=_______【活动一】不解方程，直接求出一元二次方程两根的和，两根的积（1）x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2(4)x 2-3x=15 (5)5x 2-1=4x 2+x (6)2x 2-3x+1=0【活动二】利用一元二次方程的根与系数的关系，求与两根有关的代数式的值 已知：x 1 和x 2 是一元二次方程 2x 2 =3x -1 的两 根，求 2221x x 2111x x + )1)(1(21++x x 221221x x x x +的值【活动三】利用一元二次方程的根与系数的关系，求字母系数的值 已知关于x 的一元二次方程x 2 -（m+1）x +2m-1=0, 当m 为何值时，此方程的两根互为相反数； 当m 为何值时，此方程的两根互为倒数。

东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生东 辛 店 中 学 验 标 题（满分： 100分 时间： 10 分钟 成绩： ）必做题：（共9题，每题10分）1、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为1x =3，2x =1，那么p= ，q = 。

2、不解方程，求下列方程两根之和，两根之积。

（1）0372=+-x x ， =+21x x ，=21x x 。

（2）7142==x ，=+21x x ，=21x x 。

（3）0132=-x ，=+21x x ，=21x x 。

（4）062=-y y ，=+21y y ，=21y y 。

（5）0)1(22=-+-m x m x ，=+21x x ，=21x x 。

3、请写出以-1，3为根的一元二次方程 。

4、方程02352=++m x x 的一个根为-5，则另一根为 ，m 为 。

选做题：（共1题，每题20分）（2012·日照）已知1x 、2x 是方程0161422=-+x x 的两实数根，求2112x x x x +的值。

1、（2011〃荆州） 关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．22、（2010〃孝感）已知关于x 的方程0)1(222=+-k x k x ，有两个实数根1x ，2x ，（1）求k 的取值范围，（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。

人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。

本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。

教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。

但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。

此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。

2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。

3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。

4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。

5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。