2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第2课时分层演练文

第5讲 椭圆 第1课时一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值是( )A ．6或9B ．5C ．1或9D ．3或5解析：选D ．由题意，得c ＝1， 当椭圆的焦点在x 轴上时， 由m －4＝1，解得m ＝5； 当椭圆的点在y 轴上时， 由4－m ＝1，解得m ＝3， 所以m 的值是3或5，故选D ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0 )．x 2＋y 2B ．x 212＋y 29＝1 D ．x 26＋y 24＝1e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2．以原点为圆心，2＋y 2＝b 2，由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b2C ． 3．设椭圆4＋3＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3解析：选C ．由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π3，△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2a ·2c ＝b 2c a ＝32．故选C ．4．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A ．14B ．34C ．12D ．32解析：选B ．由题可知点P 的横坐标是－c ，代入椭圆方程，有c 2a 2＋y 2b 2＝又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，化简得4c 2＋ac －3a 2＝0，即4e 2＋e －3＝0，解得e ＝34或e＝－1(舍去)．5．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )B ．3 D ．5|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．43B ．53C ．54D ．103解析：选B ．由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B ．二、填空题7．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：因为方程x 22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，k >1，故k 的取值范围为(1，2)．答案：(1，2)8．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16，2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1．答案：x 264＋y 248＝19．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，解得a 2＝16，b 2＝12.c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．答案：x 216＋y 212＝110．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3．故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3． 因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2． 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4． 答案：4 三、解答题11．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4． (1)求椭圆C 的离心率．(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1．所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2． 因此a ＝2，c ＝2． 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22． (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0． 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0．又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8．故线段AB 长度的最小值为22．12．(2018·陕西质量检测)已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，所以a ＝2． 所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2（y 2－1），验证易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1．将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k ＋1)2＝12k ＋1，解得k 2＝114．所以△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 22＝12·28k 2＋22k 2＋1＝3148．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过M (0，1)，与C 交于A ，B 两点，MA →＝－23MB →，求直线l 的方程．解：(1)依题意，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝（2＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋（2－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝133＋53＝6，即有a ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1．(2)若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，A ，B 为椭圆短轴的两个端点，不符合题意．若l 与x 轴不垂直，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝kx ＋1得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0． Δ>0，y 2－1)⎝⎭⎪⎫－9k 2＋5＝9k 2＋5，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝13x ＋1或y ＝－13x ＋1．2．(2018·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2． 所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2．因为OM ⊥ON ， 所以OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．。

学习资料9。

5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1。

椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.已知集合P=｛M｜|MF1|+｜MF2｜=2a}，|F1F2｜=2c,其中a>0，c〉0，且a,c为常数。

（1)若a c,则点M的轨迹为椭圆；（2)若a c,则点M的轨迹为线段;（3)若a c，则点M不存在.2.椭圆的标准方程及性质形—a≤x≤a,-b≤y—b≤x≤b，-a≤y(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点M （x 0,y 0）的切线方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1.（2）若点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外，过点P 作椭圆的两条切线,切点为P 1，P 2,则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1.（3）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b>0)上任意一点P （x ,y )，则当x=0时,|OP|有最小值b ,这时,P为短轴端点；当x=±a 时,|OP ｜有最大值a ，这时,P 为长轴端点.（4)若P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b>0）上任意一点，则a —c ≤｜PF|≤a+c 。

（5）椭圆的焦半径公式 设M （x 0，y 0）是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b 〉0)上的任意一点，椭圆的焦点为F 1(-c ,0），F 2（c ，0），则｜MF 1|=a+ex 0,|MF 2｜=a-ex 0(其中e 是离心率). （6)椭圆中点弦的斜率公式 若M (x 0,y 0)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM =—b 2a2，即k AB =-b 2x 0a 2y 0。

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第5课时椭圆（一)1．若椭圆错误!＋错误!＝1过点（－2，错误!），则其焦距为（）A．2 5 B．2错误!C．4 5 D．4错误!答案D解析∵椭圆过(－2,错误!）,则有错误!＋错误!＝1,b2＝4,c2＝16－4＝12，c＝2错误!，2c＝4错误!.故选D.2．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的焦点分别为F1，F2，b＝4,离心率为错误!.过F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为( )A．10 B．12C．16 D．20答案D解析如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝错误!＝错误!，即c＝错误!a，∴a2－c2＝错误!a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20。

3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为错误!，则该椭圆方程为( ）A。

错误!＋错误!＝1 B.错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1答案D解析∵2a＝12，错误!＝错误!，∴a＝6，c＝2，b2＝32.∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

4．若椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，则k的值为( ）A．－21 B．21C．－1925或21 D。

错误!或21答案C解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝错误!.由c＝错误!，即错误!＝错误!，得k＝－错误!;若a2＝4＋k,b2＝9，则c＝错误!。

解析 (1)由条件知 PM＝PF. ∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R＞OF. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆. (2)由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆 的定义得 BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC 的周长为 BA＋ BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a ＝4a＝4 3.
2.(2015·广
东
卷
改
编
)
已
知
椭
圆
x2 25
＋
y2 m2＝1(m来自0)的左焦
点
为
F1(－4，0)，则 m＝________.
解析 依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.
答案 3
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，
离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若△AF1B 的 周长为 4 3，则 C 的方程为________. 解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3， 故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33，得 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝2， 则 C 的方程为x32＋y22＝1. 答案 x32＋y22＝1
第5讲 椭 圆
考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程 及简单几何性质，B级要求.
知识梳理
1.椭圆的定义
(1)第一定义：在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 焦点 ， 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a＞0，c＞0， 且a，c为常数： ①若 a＞c ，则集合P为椭圆； ②若 a＝c ，则集合P为线段； ③若 a＜c ，则集合P为空集.

第5讲椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做□0102焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．椭圆．这两定点叫做椭圆的□集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若□04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若□05a＝c，则集合P表示线段；(3)若□06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e ＝1－b 2a2.1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.2．(2018·某某模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析 因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝ca ＝22，故选C.3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2C 的方程为x 29＋y 28＝1.4．(2019·某某模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )A.1633B ．12C ．16(2＋3)D ．16(2－3)答案 B解析 ∵椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S ＝12×2×3×4＝12，故选B.5．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1解析 方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k－1＝2，解得k＝1.6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析 设|PF 2|＝x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3x,2c ＝3x ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 核心考向突破考向一 椭圆定义的应用例1 (1)(2018·某某八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59 答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，cPF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513.故选B.(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析 由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等.即时训练 1.(2019·某某联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析 由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C.2．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.考向二 椭圆的标准方程例2 (1)(2019·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A.(2)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． 2待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1m >0，n >0，m ≠n ，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.即时训练 3.(2019·某某模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析 如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32. ①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22. ②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.4．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．答案x 29＋y 26＝1 解析 l 经过F 1垂直于x 轴，得y A ＝b 2a ，在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，得b 2a ＝33×2c ，12×2c ×2b 2a ＝43，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝9，b 2＝6，c 2x 29＋y 26＝1.考向三 椭圆的几何性质例3 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝22，所以椭圆C 的离心率为e ＝222＝22.故选C.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac <0，则该椭圆的离心率e 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 ∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0，∴2c 2a 2－1＋ca<0，即2e 2＋e －1<0，解得－1<e <12.又∵0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练 5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1 答案 D解析 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)m ，则离心率e ＝c a ＝2c 2a＝2m 3＋1m＝3－1.故选D.6．(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 为左顶点，B 为上顶点，F 为右焦点且AB ⊥BF ，则这个椭圆的离心率等于________．答案5－12解析 由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，∵AB ⊥BF ，∴AB →·BF →＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，∴e －1＋e 2＝0，解得e ＝5－12. 考向四 直线与椭圆的位置关系角度1 弦的中点问题例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P →＋F A →＋F B →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|F P →|＝32.于是|F A →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|F B →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|F B →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|F P →|＝|F A →|＋|F B →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.角度2 弦长的问题例5 (2019·某某某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.则|AB |＝1＋14× x 1＋x 22－4x 1x 2＝54－m 2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×54－m2＝m24－m2≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． 触类旁通1解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(3)直线与椭圆相交时常见问题的处理方法 涉及问题 处理方法弦长 根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点) 中点弦或弦 的中点 点差法(结果要检验Δ>0)即时训练 7.(2019·某某联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，0，求k 的值． 解 (1)由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b －432＋c 2＝43.又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k 2.因为P 为线段AB 的中点，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又因为直线PD 的斜率为－1k，所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝k 23＋4k2，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 23＋4k 2，0， 则k 23＋4k 2＝17，解得k ＝±1. 8．(2019·某某某某模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)． 当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22， 此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4k21＋2k22＋4k 21＋2k 2＝43， 所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析 解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →求解．故选C.2．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PFP ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.3．在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解 设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ， 由点到直线的距离公式得 d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋－32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3,2)． 答题启示椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解． 对点训练1．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．52B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析 解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到点Q 的距离d ＝x 2＋y －62＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52， P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)， 则|MQ |＝10cos 2θ＋sin θ－62＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D.2．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.。

1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )
2.椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( √ )
2
3. 2

2
+ 2 =1(a≠b)表示焦点在

2
4.椭圆 2

y 轴上的椭圆.( × )
2
2
+ 2 =1(a>b>0)与椭圆 2


2
+ 2 =1(a>b>0)的焦距相同.(

√ )
题组二回源教材
3
5.(湘教版选择性必修第一册习题3.1第5题改编)经过两点 A 1, 2 ,B
2
2
+ =1
3
的椭圆的标准方程为 4
.
-√3,
√3
2
解析 假设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),代入 A,B 两点的坐标可得
9Байду номын сангаас
+ 4 = 1,
解得
3
3 + = 1,
|PF2|=16,解得|PF1|·
|PF2|=2.
故选 B.
(2)已知
2
F1,F2 分别为椭圆
100
20
则|PF1|+|PF2|的值为
b 的值为
解析
8
2
+ 2 =1(0<b<10)的左、右焦点,P

是椭圆上一点,
64 √3
;若∠F1PF2=60°,且△F1PF2 的面积为 3 ,则
.
2
2
由100 + 2 =1(0<b<10)知 a2=100,则

数学表达式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2

2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2

A.x2+25=1
2
2


B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实

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§9。

6 抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

抛物线的方程、简单性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与简单性质标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p〉0)x2＝－2py（p〉0）p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0）对称轴x轴y轴焦点坐标F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝1准线方程x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!知识拓展1．抛物线y2＝2px（p>0)上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离｜PF｜＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．2．y2＝ax(a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!.3．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，若A(x1,y1），B(x2，y2),则（1)x1x2＝错误!，y1y2＝－p2。

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆练习 理基础巩固题组(建议用时：45分钟)一、填空题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1(m >0)的焦距为2，则m 的值等于________. 解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.答案 5或32.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________.解析 由题意知，在△PF 1F 2中，OM ＝12PF 2＝3， ∴PF 2＝6，∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.答案 43.(2016·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是________. 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1. 答案 x 24＋y 23＝1 4.若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________.解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4.答案 45.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________.解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ).∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①、②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案 x 29＋y 23＝1 6.(2015·南京师大附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66F 1F 2，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析 设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴ab a 2＋b2＝63c ，∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 答案 22 7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C的值等于________. 解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CA AB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3. 答案 38.(2016·遵义联考)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则椭圆的离心率为________.解析 ∵PF 1＋PF 2＝2a ，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|→2＋|PF 2|→2＝|F 1F 2|→2＝4c 2，∵tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2＝2PF 1，∴e 2＝c 2a 2＝|PF 21|＋|PF 22|4⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝54PF 2194PF 21＝59，∴e ＝53. 答案 53 二、解答题9.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程.解 (1)∵AF 1＝AF 2＝a ，且∠F 1AF 2＝90°，F 1F 2＝2c ，∴2a 2＝4c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝ca ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2， 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个.解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点P 有6个.答案 612.(2016·苏北四市模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________.解析 法一 设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ×（－3）＝－1，3×m －c 2＋n 2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ， 代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1， ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∵0<e <1，∴e ＝3－1.法二 借助于椭圆的定义，本题还有如下简洁解法：设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°，∵FF ′＝2c ， ∴AF ＝3c ，AF ′＝c ，∴e ＝2c 2a ＝FF ′AF ＋AF ′＝2c c ＋3c＝3－1. 答案3－1 13.(2016·云南统一检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则PM ＋PF 1的最大值为________.解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2， PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋（6－3）2＋42＝15.答案 15 14.(2015·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程.解 (1)由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1. (2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k代替k ， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3 将k ＝－1代入，得M (－2，0)，N (1，1).因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2. (3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1).因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1，1). 所以直线MN 的方程为y ＝－x .若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件. 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.。

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(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2． 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可 得 A，B 的坐标分别为t， 42－t2，t，－ 42－t2． 则 k1＋k2＝ 4－2tt2－2－ 4－2tt2＋2＝－1，得 t＝2，不符合题 设．从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入x42＋y2 ＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0． 由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0．
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【解】 (1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经 过 P3，P4 两点．又由a12＋b12>a12＋43b2知，C 不经过点 P1，所 以点 P2 在 C 上． 因此ba1122＝ ＋413b，2＝1， 解得ab22＝ ＝41.， 故 C 的方程为x42＋y2＝1．
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＝3t22t－2－6m6 2， 所以3t22t－2－6m6 2＝－23，即 2t2＝2m2＋3． 又 S△MON＝12|t||y1－y2| ＝12|t| －243t＋2＋2m482m2＋72， 所以 S△MON＝24t62t2＝ 26， 即△MON 的面积为定值 26．
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椭圆中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法， 从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二 次函数法、基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式 构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方 法求最值、范围；二是几何法，从椭圆的几何性质的角度考 虑，根据椭圆的几何意义求最值．

课时跟踪训练(四十九) 椭圆(一)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 [解析] 因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两条曲线的焦距相等． [答案] D3．(2018·河南开封开学考试)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B．(0,2) C ．(1，＋∞) D．(0,1)[解析] ∵方程x 2＋ky 2＝2，即x 22＋y 22k＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k>2，故0<k <1，故选D.[答案] D4．(2017·吉林长春外国语学校期末)椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2][解析] 由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，∴PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，则PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]，故选C.[答案] C5．(2017·湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C的离心率为( )A.35B.57C.45D.67[解析] 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠FAF 1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. [答案] B6．(2017·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1[解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°. 在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2018·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝18．(2018·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案]22三、解答题10．(2017·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．[解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0. 所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13[解析] 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5＋14 B.⎝⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12D.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0，即e 2＋e－1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. [答案] D13．(2017·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2018·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝c a ＝53. [答案]5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2017·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan ∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12.(2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a.∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋c ＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b2＝1，将b 2＝4a 代入得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27. [延伸拓展]1．(2017·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|PA |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |＝4|PA |＋|PB |的最大值为22613.[答案] B2．(2017·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析]∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.[答案]4 3附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2 2
+ 2
2

=1(a>b>0)中,
(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;
(2)S=b2tan

=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
2
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
B1 (0,-b) ,B2 (0,b)
B1 (-b,0) ,B2 (b,0)
性质 轴
长轴A1A2的长为 2a
,短轴B1B2的长为 2b
焦距
|F1F2|= 2c
离心率 e=
c
a
∈(0,1)
越接近于1,椭圆越扁平;
越接近于0,椭圆越接近于圆
微点拨1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上.
2.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得
椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=6,则椭圆C的方程为(
2 2
A.36 + 16=1
2 2
B.40 + 15=1
2 2
C.49 + 24=1
2 2
D.45 + 20=1
)
答案 C
解析 由题意可得c=5.如图,作右焦点F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|
时|ME|-|MN|取最大值,且最大值为1,所以|MF|+|MN|的最小值为6-1=5.故
选B.
考点二
椭圆的标准方程
典例突破
3
4

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第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例1】 (1）（2017·全国Ⅲ卷）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左、右顶点分别为A1，A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（)A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!(2）已知椭圆E：x2a2＋错误!＝1(a〉b〉0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点。

若|AF｜＋｜BF|＝4,点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析（1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切,所以圆心(0，0)到直线的距离d＝错误!＝a，整理为a2＝3b2,即错误!＝错误!。

∴e＝ca＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋｜BF｜＝4，∴｜AF|＋｜AF0|＝4，∴a＝2。

设M（0，b），则4b5≥错误!，∴1≤b<2.离心率e＝ca＝错误!＝错误!＝错误!∈错误!。