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§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。
本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
（3）精编考研真题，培养解题思路。
量子力学中的矩阵表示方法量子力学是一门探索微观世界的科学，而矩阵表示方法是量子力学中非常重要的一部分。
通过矩阵表示方法，我们能够描述和计算微观粒子的性质和相互作用。
本文将介绍矩阵表示方法在量子力学中的应用，以及其背后的数学原理。
首先，我们来了解一下量子力学中的态。
在量子力学中，粒子的态可以通过波函数来描述。
波函数是一个复数函数，在给定的时刻和空间点上，它代表了粒子的状态。
对于多粒子系统，其波函数包含多个变量，比如位置和自旋等。
然而，波函数并不是常用的物理量，我们更关注的是物理量的平均值和概率分布。
而在量子力学中，物理量是由算符来表示的。
算符是一种对波函数作用的数学对象，它可以描述某个物理量的性质。
量子力学中最常用的算符就是哈密顿算符，它表示了系统的总能量。
接下来，我们讨论如何将算符用矩阵表示。
矩阵表示方法是量子力学中一种非常常用的计算工具。
它的基本思想是将量子力学中的算符映射为矩阵，从而可以方便地对波函数进行计算和分析。
对于一个算符A，我们可以将其对应的矩阵表示为A。
矩阵A的元素A(i,j)表示了算符A在波函数基矢量|i⟩和|j⟩之间的矩阵元。
矩阵元代表了算符A在不同态之间的跃迁概率。
通过矩阵表示方法，我们可以方便地进行算符之间的运算。
例如，两个算符A和B的乘积AB可以通过将它们对应的矩阵相乘来得到。
这样，我们就能够方便地计算复杂的量子力学表达式。
除了表示算符，矩阵表示方法还可以用于描述量子态之间的变换。
量子力学中的变换由幺正算符来表示，而幺正算符可以看作是保持态空间长度不变的线性变换。
幺正算符对应的矩阵是正交矩阵，它满足矩阵的厄米共轭等于其逆矩阵。
通过矩阵表示方法，我们可以方便地描述和求解量子系统的本征态和本征值。
对于一个算符A，如果满足A|i⟩=a(i)|i⟩，其中|i⟩是A的本征态，a(i)是对应的本征值，那么算符A对应的矩阵A的特征方程就是AΨ=aΨ。
通过求解特征方程，我们可以得到算符A的本征值和本征态。
(完整版)中外著名《量子力学》教材之比较编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)中外著名《量子力学》教材之比较）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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中外著名《量子力学》教材之比较涂成厚(南开大学物理科学学院博士、副教授）［内容摘要] 分别选择了中外著名大学使用的3本经典量子力学教材，逐一介绍了各自的内容与特点.在此基础上，对中外著名量子力学教材进行了比对分析，找出了它们的共同点和各自的特色。
另外，以“不确定性原理”为例,具体比较了经典知识点在论述方式上的区别。
［关键词］中外著名大学;量子力学；经典教材；比较分析量子力学(Quantum Mechanics）是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。
量子力学的表象变换量子力学是描述微观粒子行为的理论，它具有许多奇特的特性和规律。
其中一个重要的概念就是表象变换，它是一个数学工具，用于描述在不同的观测角度下，量子系统的性质和行为。
量子力学的表象变换可以理解为从一个视角切换到另一个视角，就像在观察一幅画时，可以从不同的角度看到不同的景象一样。
这种变换的目的是为了更好地理解和描述量子系统的行为。
在量子力学中，存在多种不同的表象，如波函数表象（也称为薛定谔表象）和狄拉克表象（也称为自由度表象）。
在波函数表象中，系统的状态由波函数描述，而在狄拉克表象中，系统的状态由态矢量描述。
表象变换的基本原理是变换矩阵的应用。
这个变换矩阵是一个数学工具，用于在不同的表象之间建立联系。
它可以将一个态矢量或波函数从一个表象变换到另一个表象，从而描述量子系统在不同观测角度下的行为。
在量子力学中，表象变换有两种基本形式，即基态表象变换和幺正变换。
基态表象变换是将系统的基矢量从一个表象变换到另一个表象，通过变换矩阵的作用，得到新的基矢量。
幺正变换则是将整个系统的态矢量或波函数进行变换，通过变换矩阵的作用，得到新的态矢量或波函数。
通过表象变换，我们可以更好地理解和描述量子系统的性质和行为。
例如，在不同的表象下，量子系统的能量、动量和位置等物理量的表达式可以有所不同。
通过表象变换，我们可以在不同的表象下计算这些物理量，从而得到更全面的量子力学描述。
除了基本的表象变换之外，量子力学还涉及到更复杂的变换，如相互作用表象变换和相互作用绘景变换。
这些变换是为了更好地描述量子系统在相互作用下的行为和演化。
表象变换在量子力学中发挥着重要的作用。
它不仅为我们提供了一种理解和描述量子系统行为的数学工具，也为实际应用提供了基础。
例如，在量子计算和量子通信中，表象变换可以用于描述和控制量子态的演化和传输，从而实现更高效和安全的量子信息处理。
最后，需要注意的是，量子力学的表象变换本质上是一种数学工具，它并不涉及具体的实验操作。
-/§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ 基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示-/态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数 )(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm nˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。
量子力学的矩阵形式(I) Hilbert 空间3维矢量空间基矢 n e，n=1,2,3i j i je e δ⋅=任意实矢量n n nA A e =∑()121233, ,,A A A A A A A A +⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ n n A A e =⋅n n nA B A B A B +⋅==∑Hilbert 空间：3 维→有限维，无限维，连续维 常矢量→复变函数矢量 基矢 ()n χτ 分离，1,2,3,n =(),q χτ 连续基矢的正交归一 ()()*n m mn d τχτχτδ=⎰()()()*,','d q q q q τχτχτδ=-⎰完备性 任意复变函数矢量 ()()()(),n n n dq q q ψχτψτψχτ⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰矩阵形式()1212**, ,, ψψψψ+⎛⎫⎪ψ=ψ= ⎪ ⎪⎝⎭或者()q ψψ=分量 ()()*n n d ψτχτψτ=⎰()()()*,q d q ψτχτψτ=⎰标积()()**n n nd τψτϕτψϕ+==ψΦ∑⎰1) 态和力学量的矩阵形式a. 矢量空间的迭加原理：若,ψϕ是矢量，其线性迭加仍是Hilbert 空间的矢量。
态迭加原理：若,ψϕ是状态，其线性迭加仍是系统的状态。
→Hilbert 空间的矢量↔量子力学的态b 任意力学量ˆF 的本征态nχ的正交归一性，完备性 →任意力学量ˆF的本征态可构成Hilbert 空间的基矢。
任意态ψ在该Hilbert 空间()ˆF表象的矩阵表示：()()1122 , =q , q ψψψψψψ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ψ=ψ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭或或 分量n ψ的物理意义：系统处于态ψ时，力学量ˆF 取值为nF 的几率为2n ψ. 态的归一化：()()*1d τψτψτ=⎰211n nψ+=ψψ=∑方程ˆGψϕ=在ˆF 表象的矩阵形式：()()()()()()()()**ˆˆ nn n n nnmnnmn n nnmGd Gd ψχτϕχττχτχτψτχτχτϕϕ===∑∑∑∑⎰⎰定义()()*mn m n G d G τχτχτ=⎰mnn m nGψϕ=∑111211212222,,,, G G G G ψϕψϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭G ψ=Φ故在Hilbert 空间中，态用一列矩阵表示；力学量用方阵表示，方阵的矩阵元()()*ˆmn m nG d G τχτχτ=⎰()()()()()()nm ****ˆ ˆ G n mn m d G d Gτχτχττχτχτ===⎰⎰表明力学量矩阵是厄密矩阵G G += (转置复共轭)例1：算苻在自身表象的矩阵元力学量算苻ˆG基矢n χ满足ˆn n nG g χχ=()()()()**ˆ mn m nn m n n mnG d G g d g τχτχττχτχτδ===⎰⎰100n g G g ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 为对角矩阵，对角元为本征值→ 求力学量的本征值归结为将力学量矩阵对角化。
量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie d e-波长，指出那种情况要用量子力学处理：（1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikrikr ere r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为 ()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x 2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
第四章 表象与变换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。
这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。
另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。
在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。
但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。
这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。
同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。
在本章将介绍这种表示法以及运算规则。
除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。
§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。
运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。
加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。
一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。
3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ②③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。
