2019-2020高中数学 1.3.1函数的单调性练习 新人教A版必修1

活页作业(十) 函数的单调性(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，在区间(0,2]上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：y ＝3－x ，y ＝1x 和y ＝－|x |在区间(0,2]上为减函数，y ＝x 2＋1在区间(0,2]上为增函数，故选B.答案：B2．函数y ＝6x 的单调递减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：函数y ＝6x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当0＜x 1＜x 2时，6x 1－6x 2＝6(x 2－x 1)x 1x 2＞0成立，即6x 1＞6x 2.∴y ＝6x在(0，＋∞)上是减函数．同理可证y ＝6x 在(－∞，0)上也是减函数．故选C.答案：C3．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫34＞f (a 2－a ＋1) B ．f ⎝⎛⎭⎫34≥f (a 2－a ＋1) C ．f ⎝⎛⎭⎫34＜f (a 2－a ＋1) D ．f ⎝⎛⎭⎫34≤f (a 2－a ＋1) 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34.答案：B4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且 f (2m )＞f (－m ＋9)，所以2m ＞－m ＋9，即m ＞3. 答案：C5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0C ．f (a )＜f (x 1)＜f (x 2)＜f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)＞0 解析：∵函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，∴对任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，当x 1＜x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，选项A 、B 、D 正确，且f (a )≤f (x 1)＜f (x 2)≤f (b )，选项C 错误．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≥0)，－x 2＋1 (x ＜0)的单调递增区间是________________．解析：作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知f (x )的增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞)7．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f (1)＝______.解析：f (x )的图象的对称轴为x ＝m4＝－2，∴m ＝－8.∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3. ∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 答案：138．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3,2)是其图象上的两点，那么不等式－2＜f (x )＜2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3,2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2＜f (x )＜2可化为f (0)＜f (x )＜f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3＜x ＜0.答案：(－3,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求证：函数f (x )＝－x 在定义域上为减函数． 证明：f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)． 设0≤x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1) ＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0， ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )＝－x 在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．10．若函数f (x )＝－ax 在(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)， 且x 1＜x 2，由题意知， f (x 1)＜f (x 2)，即－a x 1＜－ax 2，∴a (x 2－x 1)x 1x 2＞0. 又0＜x 1＜x 2，∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴a ＞0.一、选择题(每小题5分，共10分)1．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤0解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a ＞0时，由函数f (x )＝ax 2＋2x －3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a ＜0时，只有－22a ≥4，即a ≥－14满足函数f (x )在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知实数a 的取值范围是－14≤a ≤0.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x ＜0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D ．⎣⎡⎭⎫0，13 解析：当x ＜0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)3．f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )＜f (－2x ＋8)的解集是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x ＞－2x ＋8，解得83＜x ≤4.答案：x 83＜x ≤44．函数f (x )是R 上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f (x )|＜2的自变量x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是R 上的减函数，f (－3)＝2， f (1)＝－2，∴当x ＞－3时，f (x )＜2，当x ＜1时， f (x )＞－2，则当－3＜x ＜1时，|f (x )|＜2. 答案：(－3,1)三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．证明：设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b . 又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))．∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．6．判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．解：任意的x 1，x 2∈(－1,1)，设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵x 21－1＜0，x 22－1＜0，x 1x 2＋1＞0，x 2－x 1＞0，∴(x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1)＞0. ∴当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，函数y ＝f (x )在(－1，1)上是减函数；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，函数y ＝f (x )在(－1,1)上是增函数．。

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

函数的单调性(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列四个函数中在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝8－x B ．f (x )＝(x －2)2C ．f (x )＝1x＋1D ．f (x )＝x 2＋2x【解析】选D.A 在R 上为减函数，B 在(0，2)上为减函数，C 在(0，＋∞)上为减函数． 2．若函数f (x )在[－1，2]上是单调递减函数，则下列关系成立的是( ) A ．f (－1)＜f (1) B ．f (－1)＞f (1) C ．f (0)＜f (2)D ．f (0)＞f (3)【解析】选B.对A ，因为－1＜1，故f (－1)＞f (1)，故A 错，B 对．【补偿训练】函数f (x )＝－2x ＋1 的单调减区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞【解析】选C.由－2x ＋1≥0，得x ≤12，又一次函数y ＝－2x ＋1为R 上的减函数，故f (x )＝－2x ＋1 的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 .Ｋ3．设f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则有( ) A ．a ≥12 B ．a ≤12 C ．a ＞－12 D ．a ＜12【解析】选D.因为f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2a －1＜0，即a ＜12 .4．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定【解析】选D.因为x 1，x 2不在同一单调区间内，所以大小关系无法确定．5．(2021·钦州高一检测)函数y ＝x 2＋2mx ＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]【解析】选A.函数y ＝x 2＋2mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－m ，函数y ＝x 2＋2mx ＋1在[2，＋∞)上单调递增，则－m ≤2，解得m ≥－2.6．(多选题)函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上单调递增，则下列选项正确的是( )A ．f (1)≥25B ．f (－1)≤－7C ．f (1)≤25D ．f (－1)≥－7【解析】选A 、B.因为函数f (x )的对称轴为x ＝m8，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫m8，＋∞ 上是递增的． 所以m8 ≤－2，所以m ≤－16.则f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.f (－1)＝4＋m ＋5＝9＋m ≤－7.【补偿训练】如果f (x )＝ax 2－(2－a )x ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 上为减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1] B ．[0，1) C ．[0，1]D ．(0，1)【解析】选C.a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 上为减函数，符合题意；当a ≠0时，如果f (x )＝ax 2－(2－a )x ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 上为减函数，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，2－a 2a ≥12， 解得0＜a ≤1，综上所述， a 的取值范围是[0，1]. 二、填空题(每小题5分，共10分)7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________，在定义域上是否递增________(回答是或否).【解析】由题图可知，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1)和(1，＋∞).一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”或“，”来表示． 答案：(－∞，1)和(1，＋∞) 否8．已知函数y ＝x 2－2(a ＋1)x －2在区间(－∞，4]上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】由函数y ＝x 2－2(a ＋1)x －2在区间(－∞，4]上是严格减函数，可得对称轴x ＝a ＋1≥4，解得a ≥3. 答案：a ≥3三、解答题(每小题10分，共20分)9．证明：函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上单调递减．【证明】设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2 ＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2，因为0<x 1<x 2<1，所以x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x ＋1x在(0，1)上单调递减． 10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＋3a ≥a ， 解得：a ≥12 ，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ .(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(多选题)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的有( )A ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D ．f (x 1)>f (x 2)【解析】选AB.由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确． 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3 ，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)【解析】选B.设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，得x ≤－1或x ≥3，所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).当x ≥3时，t ＝x 2－2x －3单调递增．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(0，3)D ．(0，3]【解析】选B.因为f (x )为R 上的减函数，所以x ≤1时，f (x )递减，即a －3＜0①，x ＞1时，f (x )递减，即a ＞0②，且(a －3)×1＋5≥2a ③，联立①②③解得，0＜a ≤2. 4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上单调递增，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】选 B.y＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x <0. 画出函数的大致图象如图所示．由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 上单调递增． 二、填空题(每小题5分，共20分)5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋1在区间(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是________．若函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋1的减区间是(－∞，3)，则a 为________． 【解析】①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋1在(－∞，3)上单调递减；②当a >0时，要使f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋1在区间(－∞，3)上单调递减，则对称轴x ＝3－a a必在x ＝3的右边，即3－a a ≥3，故0＜a ≤34；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒单调递减．综合知：a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.若函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋1的减区间是(－∞，3)，则对称轴x ＝3－aa＝3，则a ＝34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 346．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．【解析】由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，得函数f (x )为增函数．又－3>－π，所以f (－3)>f (－π).答案：f (－3)>f (－π)7．已知函数f (x )在定义域(－1，1)上单调递减，且f (1－a )≤f (3a －2)，则a 的取值范围是________．【解析】因为函数f (x )在定义域(－1，1)上单调递减，且f (1－a )≤f (3a －2)，所以－1＜3a －2≤1－a ＜1，解得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 .答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0， 则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0 的图象如图所示，不等式f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x >0，1－x 2>2x ， 解得－1<x <2 －1. 答案：(－1，2 －1) 三、解答题(共30分)9．(10分)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出该函数的单调区间．【解析】x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3；x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0，1]；单调递减区间是(－1，0]，(1，＋∞).10．(10分)已知函数f (x )＝x 2－1x＋2.判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性并加以证明．【解析】f (x )在[1，＋∞)上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1 ＋2－⎝⎛⎭⎪⎫x 22 －1x 2＋2 ＝x 21 －x 22 －x 2－x 1x 1x 2 ＝(x 1－x 2)[(x 1＋x 2)＋1x 1x 2]. 因为1≤x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＋1x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增．11．(10分)函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数．(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. 【解析】(1)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. 所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x )是R 上的增函数． (2)因为f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， 所以f (2)＝3，所以原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， 因为f (x )是R 上的增函数，所以3m 2－m －2<2， 解得－1<m <43 ，故解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，43 .。

1.3函数的基本性质第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)[基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P 27～P 28，完成下列问题．增函数与减函数的定义判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )在[－1,2]上是增函数．( )(2)若f (x )为R 上的减函数，则f (0)>f (1)．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( )【解析】(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．(2)√.由减函数的定义可知f (0)>f (1)．(3)×.反例：f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈(1，2]x －1，x ∈(2，3).【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2函数的单调性与单调区间阅读教材P29第一段，完成下列问题．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】(－∞，1)[小组合作型]求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧2x＋1，(x≥1)5－x，(x<1)；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．【自主解答】(1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[再练一题]1．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3(a ∈R )的单调减区间为________.【解析】因为函数f (x )是开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以f (x )的单调减区间为(a ，＋∞)．【答案】(a ，＋∞)(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋2x(2)用单调性定义证明函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数． 【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】 (1)A .f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上为减函数．B .f (x )＝(x －1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C .f (x )＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．D .f (x )＝x 2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】D(2)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 21－1－x 22x 22－1＝x 22－x 21(x 21－1)(x 22－1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(x 1－1)(x 1＋1)(x 2－1)(x 2＋1). ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∵x 1，x 2∈(0,1)，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以，函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤[再练一题]2．已知函数f (x )＝1a －1x ，用单调性定义证明f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.【证明】 设任意x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．[探究共研型]探究1若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？【提示】若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .探究2若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？【提示】因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤2.(1)f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( )A ．f (a )＜f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )(2)如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．(2)分析函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b 的取值范围．【自主解答】 (1)因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.(2)函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线，若函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b ≤3，故选C.【答案】(1)C (2)C1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．(3)要注意：“函数f (x )的增区间是(a ，b )”与“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a ，b )是函数f (x )的增区间的一个子集．[再练一题]3．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围为________．【解析】 ∵f (x )是R 上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，即x <－3.【答案】 (－∞，－3)1．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)【解析】 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．【答案】 B2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1【解析】 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数．【答案】 C3．若x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，函数f (x )＝－1x ，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能【解析】 ∵函数f (x )＝－1x在(－∞，0)上是增函数，又∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)．【答案】 B4．已知函数f (x )＝ax ＋2是减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 易知函数f (x )＝ax ＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a <0.【答案】 (－∞，0)5．证明：函数f (x )＝x ＋1x 在(－1,0)上是减函数．【证明】 设－1＜x 1＜x 2＜0，则有f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2，由于－1＜x 1＜x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，又x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．第2课时函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题． 1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( )A ．有最大值12，最小值－1B ．有最大值12，无最小值C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5. 【答案】 1 5[小组合作型]画出函数y ＝x －|x －1|的图象，并求其值域．【精彩点拨】先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域．【自主解答】y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x ≥12x －1，x <1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤 作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5]. (1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间及值域.图1-3-2【解】(1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数．同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝x2－x1(x1－2)(x2－2).∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴x2－x1(x1－2)(x2－2)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N －3x 2＋68x －115，6<x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元．当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113， ∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .∵R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)， ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)8.2－x (x >5). (2)当x ＞5时，函数f (x )递减，∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增． 若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b 2a与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值．【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a 2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12，①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34. 探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解】f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1)当a <0时，由图①可知，f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )m ax ＝f (2)＝3－4a .(2)当0≤a ≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )m ax ＝f (2)＝3－4a .(3)当1<a ≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )m ax ＝f (0)＝－1.(4)当a >2时，由图④可知，f (x )在[0,2]上为减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )m ax ＝f (0)＝－1.1．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A ．3,5B ．－3,5C ．1,5D ．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2 x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。

第2课时 函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题．1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( ) A ．有最大值12，最小值－1 B ．有最大值12，无最小值 C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域． 【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x≥12x －1，x<1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝错误!(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可． 【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x1－x 2－4x2＝x 1－x 2＋错误!＝(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x1x2＝(x 1－x 2)x1x2－4x1x2＝错误!. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数． 同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；【导学号：97030054】(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝错误!.∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴错误!＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值． 【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x≤6，x ∈N－3x2＋68x －115，6<x≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元． 当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝错误!假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x . ∵R (x )＝错误! ∴f (x )＝R (x )－G (x ) ＝错误!(2)当x ＞5时，函数f (x )递减， ∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1， (1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值． 【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ； 当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax ＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a ＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝错误!＝错误!.由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。

期日：点 十二分。
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不 能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接，如函数 y ＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能 认为 y＝1x(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：点 十二分。
象是上升的还是下降的：_上__升__的___. ②在区间__(－__∞__，__＋__∞__)__上，随着 x 的增大，f(x)的值
__增__大____，在此区间上函数是增函数还是减函数：_增___函__数__.
第九页，编辑于星期日：点 十二分。
(3)已知函数 f(x)＝－2x＋1 的图象如图 2 所示，①从左
由图象知函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)． 其中，单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋ ∞)．
第二十一页，编辑于星期日：点 十二分。
拓展提升 常用画图象求单调区间
(1)对于初等函数y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kx单调 区间的确定，常借助于函数图象直接写出．
(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处 理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性 (区间)．
第三十八页，编辑于星期日：点 十二分。
3．函数 y＝f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)>f(－m＋9)，
则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
(2)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． 又∵已知 f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴1－a≥4，即 a≤－3. ∴所求实数 a 的取值范围是(－∞，－3]．

1.2.1函数的概念双基达标 (限时20分钟)1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )． A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析 对A ，由x ＝y 2＋1，得y ＝±x －1，即当给定一个自变量值(如x ＝4)，有两个y 值与之对应，不符合函数定义． 答案 A2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )． A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析 由⎩⎨⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1，故选D.答案 D3．与y ＝|x |为相等函数的是( )． A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧x (x >0)－x (x <0)D ．y ＝3x 3解析 对A ，定义域不同；对C ，定义域不同；对D ，值域不同． 答案 B4．给出下列函数：①y ＝x 2－x ＋2，x >0；②y ＝x 2－x ，x ∈R ；③y ＝t 2－t ＋2，t ∈R ；④y ＝t 2－t ＋2，t >0.其中与函数y ＝x 2－x ＋2，x ∈R 是相等函数的是________．解析 对①④定义域不同；对②，对应关系不同，对③，虽然表示自变量的字母不同，但函数三要素相同，故③与该函数是相等函数． 答案 ③5．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析 由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1,2,3,4}． 答案 {1,2,3,4}6．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5，f (a )＝10，求a 的值． 解 由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10， 即a 2－4a －5＝0， ∴(a －5)(a ＋1)＝0， ∴a ＝5或a ＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．下列各组函数表示相等函数的是( )． A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析 A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应关系不同，C 中定义域与对应关系都相同． 答案 C8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )．A ．1B ．－1 C.35 D ．－35解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35，∴f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.答案 B 9．y ＝x ＋4x ＋2的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧x ＋4≥0，x ≠－2，∴x ≥－4且x ≠－2.答案 {x |x ≥－4且x ≠－2}10．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 解析 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 答案 [－1,0)∪(1,2] 11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解 要使函数式有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋2≥06－2x ≥06－2x ≠1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇔－2≤x ≤3，且x ≠52.∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2≤x ≤3，且x ≠52.用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.12．(创新拓展)若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域． 解 要使g (x )有意义，必须有 ⎩⎨⎧ －2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即⎩⎨⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1，∴g (x )的定义域为[－1,1]．1.2.2函数的表示法双基达标 (限时20分钟)1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )． A ．9 B ．7 C ．5 D ．3解析 令x ＋2＝3，则x ＝1，∴g (3)＝2×1＋3＝5. 答案 C2．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )．A．y＝12x B．y＝24xC．y＝28x D．y＝216x解析正方形的对角线长为24x，从而外接圆半径为y＝12×24x＝28x.答案 C3．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()．解析对C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象．答案 C4．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝32(2x＋1)－72，∴f(x)＝32x－72，∴f(a)＝4，即32a－72＝4，∴a＝5.答案 55．已知f(x)与g(x)分别由下表给出那么f(g(3))＝________.解析∵g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 答案 16．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.综合提高 (限时25分钟)7．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A.B.C.D.解析 A 中，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N (Z ，Q )，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确． 答案 C8．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )． A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4 解析 令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 答案 C9．下列图形中，可以是函数y ＝f (x )图象的是________．答案：①②③10．若f (2x )＝4x 2＋1，则f (x )的解析式为________． 解析 f (2x )＝4x 2＋1＝(2x )2＋1，∴f (x )＝x 2＋1. 答案 f (x )＝x 2＋111．作出下列函数的图象：(1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)． 解 (1)如图1 (2)如图212．(创新拓展)已知函数f (x )对任意实数a 、b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值； (2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值． (1)解 令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令a ＝1，b ＝0，得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0. (2)证明 令a ＝1x ，b ＝x ，得f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )． (3)解 令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p ， 令a ＝b ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q . 令a ＝4，b ＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p ＋2q .1.2.2分段函数与映射双基达标 (限时20分钟)1．下列对应不是映射的是( )．解析 应满足一对一或多对一，且M 中元素无剩余． 答案 D2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅.其中正确的论断有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数是特殊的映射，由此知①正确；②中的定义域为{－2，－1，0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确． 答案 C3．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b (a ≥b )，a (a <b )，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析 由题意知f (x )＝⎩⎨⎧2－x (x ≥1)，x (x <1)，当x ≥1时，2－x ≤1；当x <1时，x <1，∴f (x )∈(－∞，1]． 答案 A4．下列图形是函数y ＝⎩⎨⎧x 2， x <0x －1，x ≥0的图象的是________．解析 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形③符合． 答案 ③5．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析 当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案 46．作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)，x (x ≥1)的图象，并求其值域．解 当0<x <1时，y ＝1x 的图象是反比例函数图象的一部分． 当x ≥1时，图象为直线y ＝x 的一部分． 如图所示，由此可知，值域y ∈[1，＋∞)．综合提高 (限时25分钟)7．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )．解析 f (x )＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1 (x ≥1)，1－x (x <1)，其图象为B.答案 B8．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x解析 判断是否是映射，只需判断集合P 中任何一个元素能否在集合Q 中找到唯一确定的元素与它对应．由于是选择题，可直接找出不是映射的对应．通过对比发现，在对应关系f ：x →y ＝23x 的作用下，4×23＝83>2.故选C. 答案 C9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2 (x ≤2)，2x (x >2)，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 当x >2时，有2x 0＝8，得x 0＝4；当x ≤2时，有x 20＋2＝8，得x 0＝－6或6(舍去)． 综上x 0＝4或x 0＝－ 6. 答案 4或－ 610．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________． 解析 由⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，即对应点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12 11．已知f (x )＝⎩⎨⎧x (x ＋4) (x ≥0)，x (x －4) (x <0)，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)，当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知a ＝－1.12．(创新拓展)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)． 解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2. ∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 (0≤v <252)12 500v 2S (v ≥252)1.3.1函数的单调性双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )． A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析 画出y ＝－x 2在R 上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．答案 A2．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )． A ．函数f (x )先增后减 B ．函数f (x )先减后增 C ．函数f (x )是R 上的增函数 D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析 由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数． 答案 C3．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数； ④y ＝1x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 答案 A4．函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析 二次函数f (x )的对称轴是直线x ＝m4，又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，则m 4≤1或m4≥4，即m ≤4或m ≥16.答案 (－∞，4]∪[16，＋∞)5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________． 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0)，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，326．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，求x 的取值范围．解由题意可得⎩⎨⎧－1≤x －1≤1，－1≤1－3x ≤1，x －1<1－3x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤x ≤23，x <12，∴0≤x <12.综合提高 (限时25分钟)7．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )． A ．必是增函数 B ．必是减函数 C ．是增函数或减函数 D ．无法确定单调性解析 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性． 答案 D8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3. 答案 C9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案 －1≤x <1210．已知函数y ＝8x 2＋ax ＋5在[1，＋∞)上递增，那么a 的取值范围是________． 解析 函数y ＝8x 2＋ax ＋5的对称轴为－a 16.结合函数图象知－a16≤1，即a ≥－16.答案 a ≥－1611．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围． 解 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和(a ，＋∞)上分别单调，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上单调，只需a ≤1或a ≥2(其中当a ≤1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增；当a ≥2时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减)，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)． 12．(创新拓展)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． (1)解 ∵f (1)＝0，f (3)＝0，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1<x 2，由f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22＋4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2<0，x 1>2，x 2>2， ∴x 1＋x 2－4>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．1.3.1函数的最值双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析 由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2. 答案 C2．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )．A.14 B ．－1 C ．4 D ．－4解析 显然y ＝x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，故y ＝1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减，∴y max ＝4.答案 C3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )． A ．42,12 B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－14 解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，x ∈(－5,5)，∴当x ＝－32时，f (x )有最小值－14，f (x )无最大值． 答案 D4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． 解析 ∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3. 答案 35．若函数y ＝kx (k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析 因为k >0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y ＝k4最小，由题意知，k4＝5，k ＝20. 答案 206．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析 y ＝2x 在[2,4]上是减函数，∴y max ＝1，y min ＝12. 答案 A 8．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )．A.45B.54C.34D.43 解析 f (x )＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43.答案 D9．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数 ∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3410．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a ≤3. 答案 (1,3]11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元． (1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)租金增加了900元．所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆，租车公司的月收益为y 元． y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－60x ， 其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理得：y ＝－60x 2＋3 100x ＋284 000 ＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253，当x ＝26时，y max ＝324 040，此时，月租金为：3 000＋60×26＝4 560元．即当每辆车的月租金为4 560元时，租车公司的月收益最大，为324 040元． 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴方程为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5，或－a ≥5. 即实数a 的取值范围是a ≤－5，或a ≥5.1.3.2函数奇偶性的概念双基达标 (限时20分钟)1．已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )． A ．5 B ．10 C ．8 D ．不确定解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5， ∴f (4)＋f (－4)＝10. 答案 B2．对于定义域是R 的任意奇函数y ＝f (x )，都有( )．A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0解析对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C.答案 C3．已知函数f(x)＝1x2(x≠0)，则这个函数()．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析∵x≠0，∴f(－x)＝1(－x)2＝1x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案 C4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.解析函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.答案 15．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y＝f(x)为偶函数，那么a＝________.解析因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a ＝6.答案 66．如图是偶函数y＝f(x)在x≥0时的图象，请作出y＝f(x)在x<0时的图象．解偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数y＝f(x)在x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即(－x ＋1)(－x －a )＝(x ＋1)(x －a )， ∴x ·(a －1)＝x ·(1－a )， 故1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 答案 C8．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )． A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析 ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )．∴选C. 答案 C9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a 的值为________．解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称， ∴a －1＝－2a ，a ＝13. 答案 1310．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立， 即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立． 所以m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.因为f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴， 所以f (2)<f (1)<f (0)，即f (－2)<f (1)<f (0)． 答案 f (－2)<f (1)<f (0) 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x －1＋1－2x ； (2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2－x 2－2(x >0)，(x ＝0)，(x <0)；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1.解(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，不关于原点对称．该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称，f (1)＝2，f (－1)＝0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，故其既不是奇函数也不是偶函数． (3)定义域为R ，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0.故该函数为奇函数．(4)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，不关于原点对称． 所以函数f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．12．(创新拓展)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，求f (6)的值． 解 ∵f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (6)＝f (4＋2)＝－f (4)＝－f (2＋2) ＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)． ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.1.3.2函数奇偶性的应用双基达标(限时20分钟)1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于()．A．0 B．－1 C．3 D．－3解析由题知，f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.答案 D2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()．A．0 B．1 C．2 D．4解析∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.答案 A3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点，③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)＝0.其中正确命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4解析偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f(x)＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.答案 A4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 解析设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－－x －1.因此，当x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝－－x －1. 答案 －－x －15．若函数f (x )＝－x ＋abx ＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．解析 f (x )为[－1,1]上的奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f (0)＝0，故a ＝0，则f (x )＝－x bx ＋1.又f (－1)＝－f (1)，所以－－1－b ＋1＝1b ＋1，故b ＝0，于是f (x )＝－x .函数f (x )＝－x 在区间[－1,1]上为减函数，当x 取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 答案 16．已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0， ∴b ＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12a1＋14＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2. 综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝1－x 2＋91＋|x |是( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 先求定义域，由⎩⎨⎧1－x 2≥01＋|x |≠0⇒－1≤x ≤1.∴定义域为[－1,1]．定义域关于原点对称． 又f (－x )＝1－(－x )2＋91＋|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 答案 B8．设偶函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )． A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析 因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以有f (2)<f (3)<f (π)．又f (x )是R 上的偶函数，故f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)<f (－3)<f (π)． 答案 A9．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)． 解析 由f (a )＋f (b )>0，得f (a )＞－f (b ) ∵f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴f (a )>f (－b )，又f (x )为减函数， ∴a <－b ，即a ＋b <0. 答案 <10．若y ＝f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f (－2)＝0，则不等式x ·f (x )<0的解集为________． 解析 根据题意画出f (x )大致图象：由图象可知－2<x <0或0<x <2时，x ·f (x )<0. 答案 (－2,0)∪(0,2)11．已知奇函数y ＝f (x )在[－1,1]上为增函数，解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)>0.解 ∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2>f (1－x )．又∵f (x )为定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x2≤1，－1≤1－x ≤1，x 2>1－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，0≤x ≤2，x >23.即23<x ≤2.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x ≤2.12．(创新拓展)已知y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x 2＋2x －2，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2－x 2＋2x ＋2(x <0)，(x ＝0)，(x >0).(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为(－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及(1，＋∞)．。

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

3.2.1函数的单调性1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|解析：选B.y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.4．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．5．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．7. 已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.8. 函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}．∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B ．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合题意；当a >0时，f (x )图象的开口向上，不符合题意；当a <0时，由题意可得－1a ≥4，解得a ≥－14.综上可知：－14≤a ≤0.10．若f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )>f (0)B ．f (x 2)>f (0)C ．f (3a ＋1)<f (3a )D ．f (a 2＋1)≥f (2a )解析：∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2A ．当a ＝1时，f (a 2＋1)＝f (2a )；当a ≠1时，f (a 2＋1)>f (2a )．故选D ．11. 若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5.答案：(5，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是 .解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2] 14．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0. 答案：(－3，0)15. 已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是 .解析：二次函数f (x )的图象的对称轴是直线x ＝m 4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即m 4∉(1,4)，所以m 4≤1或m 4≥4，即m ≤4或m ≥16.16.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)．17. 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明: ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2. 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 18．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1. (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝（2x 2－1）（x 1＋1）－（2x 1－1）（x 2＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝3（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）. 因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 2＋1>0，x 1＋1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数． 19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0. 因此f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 且f (|x |)<－2＝f (9)，所以|x |>9，解得x >9或x <－9.∴f (|x |)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．。

⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。

2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

义 则称函数f(x)在区间I上单调递增,
区间I为f(x)的单调递增区间.
区间I为f(x)的单调递减区间.
图
示
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有（严格的）单调性.
概念辨析：单调性的定义
思考1：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2
，
如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;
如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.
函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数；
函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
于是 1 − 2 > 0, 1 > 2 ,
1

此时函数 = 在 (−∞, 0) 上单调递减;
2 −1
,
1 2
练习（第79页）

讨论函数 = 的单调性.

∀1 , 2 ∈ 0, +∞ , 且1 < 2 ,则 1 − 2 =
1
1
−

2
=
2 −1
单调递减
增函数
减函数
学习新知 【例1】根据定义,研究函数 f (x)=kx+b(k≠0) 的单调性．
解 ： 函 数 f ( x ) kx b ( k 0)的 定 义 域 是 R , x 1 , x 2 R ,
且 x 1 x 2 , 则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( kx 1 b ) ( kx 2 b ) k ( x 1 x 2 )

高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值导学案 新人教A 版必修1学习目标：掌握函数的单调性的概念和最大值、最小值的定义 学习重点：函数单调性及最值的应用 学习过程：一、 观察与总结观察下列函数的图象特征，分别反映了函数数与形的哪些变化规律1、增函数___________________________________ 减函数___________________________________2、最大值_______________________________________ 最小值_____________________________________ 二、 理论与实践 1、已知函数xx f 1)(（1） 求其定义域（2）画出其图象（3）指出它的单调区间（4）利用定义证明其在()∞，0单调递减+2、作出6xxf的图象，=x5)(2--指出其单调区间并求其值域3、函数12)(-=x x f （[]6,2∈x ）， 求函数的最大值和最小值 4、 求函数322-+=x x y 的增区间和减区间5、已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f（1）若)-，(xf的单调递减区间是(]4,∞求a的取值范围（2）若)-上市减函数，f在(]4,∞(x求a的取值范围三、课后感悟【课后作业与练习】一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。

A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。

A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f)(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23） B ．（∞-，23）C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,328.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14] D ．(－∞，3)二、填空题 1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：① （ 为常数）是___________；② （ 为常数）是___________；③ 是____________；④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题1．求函数 的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

( ) ( ) 1
1
x1－x2
－ ＋1 － ＋1
＝ x1 － x2 ＝ x1x2 ，
由 x1，x2∈(0，＋∞)，得 x1x2>0，
又由 x1<x2，得 x1－x2<0，
于是 f(x1)－f(x2)<0，
即 f(x1)<f(x2)， 1
∴f(x)＝－x＋1 在(0，＋∞)上是增函数． 10．作出函数 f(x)＝Error!的图象，并指出函数的单调区间．
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有 fa－fb
a－b >0，则必有( ) A．函数 f(x)先增后减 B．f(x)是 R 上的增函数 C．函数 f(x)先减后增 D．函数 f(x)是 R 上的减函数 fa－fb
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
解析：因为对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，C，D 在(0，＋∞)上都为增
函数，B 在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B
4．函数 f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
[ )3
1， 所以 x 的取值范围为 2 .
答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
1 9．判断并证明函数 f(x)＝－x＋1 在(0，＋∞)上的单调性．
1
解析：函数 f(x)＝－x＋1 在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设 x1，x2 是(0，＋∞)上的任意两个实数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)

1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x <－1；2x －1， －1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值， 而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－a 2＋6a ＋9＝－7，fb ＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0.答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在(0，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36.答案：369．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2x 1＋x 2＋＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5， 即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a . 当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧27－10a a ，2－a 2－5≤a ＜，27＋10a a <－[B 组 能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值C ．有最小值12，最大值54D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y 在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A. 答案：A2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2.(1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0，∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－4<m <－2，f＝1＋m ＋4≤0，f＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1.答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y 24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283.故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。

函数的单调性
新课引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这 样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物 变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
0.2
第二个函数在(, 1)及(0.21)两个区间上，从左到右 图象分别上升， y随 x的增大而增大；
0.2
在(1,0.2)及(1, )两个区间上，从左到右图象分别下 降， y随 x的增大而减小．
0.2
本节课我们要用定量的方法刻画函数值随自变量 的增大而增大（或减小）的变化规律——函数的单调性．
x … -5 -4 -3 -2 -1 … f (x) x2 … 25 16 9 4 1 6； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
当 x从-5 增大到-4，函数值 f (x)从 25 减小到 16； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．

姓名，年级：时间：1.3函数的基本性质1。

3.1单调性与最大（小)值第1课时函数的单调性1.下列函数在区间（0，+∞)上不是增函数的是(）A.y=2x+1B.y=x2+1C。

y=3—x D。

y=x2+2x+1y=3-x在区间（0，+∞）上是减函数.2。

函数f（x）=—x2+2x+3的单调减区间是()A.（—∞，1)B.(1，+∞）C.(-∞，2）D。

（2,+∞)f（x）=—x2+2x+3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x=1，所以其单调减区间是（1，+∞）。

〉0成立，则必有3。

若定义在R上的函数f(x）对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b()A。

f(x）在R上是增函数B。

f（x）在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f（x）是先减后增>0知f（a）—f(b）与a-b同号,即当a<b时，f(a)<f(b）,或当a>b时,f解析由f(a)-f(b)a-b（a)>f(b）,所以f(x)在R上是增函数。

4。

函数f（x)=x2—2(a—1）x+1在区间(2，3)上为单调函数,则实数a的取值范围是(）A.(—∞,3]∪［4,+∞）B。

（-∞，3）∪(4,+∞）C。

（—∞,3］ D.［4，+∞)x=a—1，因为函数在区间（2,3)上为单调函数，所以a—1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4，故选A.5。

已知函数f(x)在(—∞,+∞）上是减函数,若a∈R，则() A。

f（a)>f(2a) B.f（a2）〈f(a)C.f(a2+a)〈f（a）D.f（a2+1）<f(a)D中,因为a2+1>a,f(x)在（-∞,+∞）上是减函数,所以f(a2+1)〈f（a）。

而在其他选项中，当a=0时,自变量均是0，应取等号.故选D。

6.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5）上为减函数,则实数a的取值范围是(）A.(-∞,-10] B.[-103,+∞)3C.(-∞,10]D.[103,+∞)3f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为(-∞,-3a)，2所以(-∞,5）⊆(-∞,-3a)，2。