高中数学必修一 函数单调性教案(知识点+例题+练习)

函数的单调性【教学目标】知识与技能：1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。

2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。

过程与方法：1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。

2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明情感态度与价值观：1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

【重点难点】教学重点：函数单调性概念的理解及应用。

教学难点：函数单调性的判定及证明。

【教法分析】为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

【教学过程】（一）问题情境教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。

如何用学过的函数图象来描绘这些成语？设计意图：创设成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？例如：初中研究2=时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当y xx>0时，函数值y随x的增大而增大。

课题：函数的单调性（教案）教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修1第一章【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅力。

【教学重点】形成增（减）函数的形式化定义【教学难点】用定义证明函数的单调性【教学方法与手段】1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方法。

从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：多媒体投影、几何画板.【教学过程】一、创设情境，引入课题由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。

二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知问题1：下面分别是函数2,y x y x ==的图象，观察函数图象的升降趋势。

分析：学生会观察到一次函数y x =的图象从左到右都是上升的，而二次函数2y x =的图象在y 轴的左侧从左到右是下降的，在y 轴的右侧从左到右是上升的。

函数单调性优秀教案【篇一：《函数单调性》教学设计】《函数单调性》教学设计【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。

在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。

【教学目标】1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法． 2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【背景分析】1、教材分析本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。

是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。

高中必修一数学教案《函数的单调性》教材分析函数的单调性与最值指的是在初中基础上对函数的单调性的再认识，是利用集合与对应的思想理解函数的定理，从而加深对抽象函数单调性的定义理解，根据定义，证明函数的单调性，理解单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。

因为函数的单调性是初等数学与高等代数学衔接的枢纽，是函数的第一个也是最基本的性质，为研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及导函数的内容，对函数定性分析、求极值最值、比较大小、解不等式、判定零点都有重要的作用，所以具有重要的地位。

学情分析本节课的教学对象是高一理科的学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，不过由于年龄和思维原因，看问题容易片面。

在之前的学习中，学生已经掌握了函数的三要素，并且学生初中学过y随x的增大而增大（或减小），这些都有利于学生的理解。

但是本节课的单调性的定义更抽象，对学生而言是一个较大的考验。

教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；2、掌握增（减）函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间。

教学重点形成增减函数的定义。

教学难点在形成增减函数概念的过程中，从函数升降的直观认识，过渡到增减函数的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。

德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-1-7所示的记忆规律。

如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量，则不难看出，图3-1-7中，y是x的函数，记这个函数为y = f（x）这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？二、教学过程1、单调性的定义与证明情境中的函数y = f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。

学科教师辅导教案―函数单调性教学内容1、概念： 单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) < f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A.如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时，都有f(x 1) > f(x 2)，那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间.2、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间 和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小：一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如xy 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.知识模块1函数单调性的概念y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2x 1[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2] 说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）xy1=（2）11-=xy（3）32+=xy（4）322-+=xxy[巩固2]下列说法不正确的是____________①若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1) < f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数②函数y=x2在R上是单调增函数③函数xy1-=在定义域上是单调增函数④函数xy1=的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1< x2；（2）比较大小：比较f(x1) 和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.[例1] 证明函数322-+=xxy在（-1，+∞）上的单调性.知识模块2函数单调性的判定与证明精典例题透析。

单调性的应用教案高中数学
年级：高中
教材：数学
目标：学生能够理解单调性的概念，并能够应用单调性解决问题。

教学步骤：
1. 引入单调性的概念：解释单调性是指函数在某个区间上严格单调递增或严格单调递减的性质。

让学生通过举例子理解单调性的概念。

2. 单调性的判断：讲解如何通过求导来判断函数的单调性。

解释在导数大于0的区间上函数是递增的，在导数小于0的区间上函数是递减的。

让学生通过练习来掌握如何判断函数的单调性。

3. 单调性的应用：讲解单调性在求解最值和方程不等式中的应用。

通过具体的例题让学生掌握如何利用单调性解决问题。

4. 练习与作业：布置几道练习题，让学生在课后巩固所学内容。

要求学生思考如何利用单调性解决问题，并写出详细的解题过程。

评估方法：
1. 教师观察学生在课堂上的回答和解题过程，评价他们是否理解了单调性的概念以及如何应用单调性解题。

2. 布置的作业可以作为评估学生对单调性的掌握程度的依据。

教师可以根据学生的作业情况来评价他们的学习效果。

3. 可以设计一些小测验或考试题目来测试学生对单调性的理解程度和应用能力。

3.1.2 函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案知识点概述函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

如果在定义域内，随着自变量的增大，函数值也增大，那么该函数就是单调递增的。

反之，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那么该函数就是单调递减的。

本节课程将介绍函数单调性的判断方法，通过一些例题帮助学生掌握这一知识点。

教学目标1.掌握函数单调性的定义；2.熟悉函数单调性的判断方法；3.通过例题训练，提高学生应用函数单调性的能力。

教学重点函数单调性的判断方法教学难点如何应用单调性判断函数的增减性教学过程1. 导入新知识通过一个实例来引导学生理解函数单调性的概念。

给学生出示一个数轴图像，用手指在数轴上滑动，问学生，随着手指从左到右的滑动，哪些方向的箭头所指方向与手指滑动方向相同？引导学生发现箭头向右的部分，与手指从左到右滑动的方向一致，这表明该数轴部分是单调递增的。

而箭头指向左的部分，则相反，是单调递减的。

然后，将此概念应用到函数中，强调函数的单调性是指函数值的递增或递减的性质，通常用单调递增和单调递减两个概念来描述。

2. 函数单调性的判断方法为了帮助学生更好地理解函数单调性，本节课程将介绍两种判断函数单调性的方法。

方法一：一阶导数法对于可导函数f(x)，如果在定义域上f′(x)>0，那么f(x)单调递增；如果在定义域上f′(x)<0，那么f(x)单调递减。

这是一种常见的判断函数单调性的方法，但是需要前提是函数f(x)在定义域上可导。

同时，需要注意的是，f′(x)=0的点可能是转折点，此时函数从单调递增变为单调递减，或者从单调递减变为单调递增。

方法二：二阶导数法对于二次可导函数f(x)，如果在x=a处f″(a)>0，那么f(x)在x=a处有一个局部最小值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递增；如果在x=a处f″(a)<0，则f(x)在x=a处有一个局部最大值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递减。

高一数学必修1 函数的单调性
教学目标
知识与技能
（1）通过对初中已学习过的函数（特别是二次函数）图象的观察，分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义。

（2）能根据图像的升降特征，划分函数的区间；理解增（减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。

过程与方法
从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题，引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立增（减）函数的概念。

情感态度与价值观
(1)理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言，
提升学生的数学思维能力，使学生学会科学地思考问题，科学地
解决问题。

(2)加强判断能力，推理能力和化归转化能力。

重点难点
重点
借助图像，表格和自然语言，数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题。

难点
形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；用定义证明函数的单调性。

教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。

高中数学教案课题：函数的单调性课型新授课课时1 课时教学目标知识目标理解增函数、减函数的概念；能力目标 1.掌握判断和证明某些函数增、减性的方法；2.培养学生观察、比较、分析的能力；3.增强数形结合的意识与能力；德育目标熟悉从感性认识到理性认识，从具体到抽象的研究问题的方法。

教材内容要求分解表教学重点《教学论》中指出了教科书中现有理论知识，要有应用的技能、技巧，教材的内容、要有反映生活、建设上的实际材料。

这一准则对数学教学尤其重要。

函数的单调性是函数的重要性质之一，也有广泛的应用。

但因这节课为新授课，不宜过于深入，点到为止，因而单调性的相关概念是重点。

教学难点利用概念证明或判断函数的单调性学法指导1. 理解和掌握函数的单调性的相关概念2.由于图象法是认识函数性质的重要方法，也是记忆和掌握函数性质的有效工具。

掌握下表内容，有助于提高研究函数的能力，特别是有助于数形结合思想与方法融会贯通。

函数图象直观显示函数的性质（部分）（1）着重注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识（2）注重运用对比的方法和及时利用反馈信息纠错与强化（3）坚持结合直观图形或函数图象来说明和帮助学生理解概念（4）充分利用电脑与几何画板等辅助作用，增强教学效果。

教学流程设计开始师生问好学生作图观察教师提出问题师生对话:单调性定义不正确反馈正确例1，2，3（阅读、讲评）师生对话不正确反馈正确学生练习教师评讲引入例4（讲解）不理解反馈理解分组练习、教师讲评教师：课堂小结（布置作业）结束教学用具多媒体、实物投影仪、CAI课件、几何画板软件教学过程一.新课引入：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降；上下楼梯也是一样很多函数也具有类似性质。

如（学生在电脑上用几何画板画出图象）：y=3x+2 y=1/x (x>0)图一图二从左往右看，函数的图象逐步上升（图一）或逐步下降（图二），这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（电脑给出课题、教学目标）二.新授课1. 先由学生结合图象猜想函数的单调性的定义，然后纠错补充再让学生阅读书上从P58到P59的例1以上的部分。

2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。

函数的单调性1.定义：一般地，设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数。

当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。

强调：单调性用开区间并且用“，”或“和”连接。

2.单调性常规结论总结：(1)①是增函数⇔2，⇔，。

②是减函数⇔，⇔，。

总结：同号为增函数，异号为减函数。

(2)分段函数的单调性，①m(x)、n(x)必须是单调函数，②f(x)为增函数，；如果是减函数，。

(3)复合函数的单调性总结：同增异减。

(4)常用结论：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；=增(减)(5)已知在定义域内单调递增（减），且，求m的取值范围。

解题方法：根据单调性，如果单调性，确定、的大小关系，解不等式。

题型一：定义法求函数的单调性1.证明函数在定义域上是单调递增函数。

2.已知函数在区间上是减函数，求a的取值范围。

题型二根据单调性求参数取值范围3.已知函数在区间是递增，则的取值范围是，4.若函数在是增函数，则实数的取值范围，5.已知函数，若a>0，则f(x)的定义域，若的区间在(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围，6.设函数满足：对任意的,都有,则与大小关系是 ( )A. B.C D.题型三：分段函数的单调性7.已知函数对于任意的，都有成立，则实数a的取值范围是，8.已知， f(x)在R上单调递增函数，则a的取值范围 .题型四：已知函数求函数单调性(最值)9.函数的单调减区间是 .10.函数的单调递减区间为 .11.已知函数,则函数的单调性，若函数的定义域，则值域 .12.函数在区间[1，2]上最小值为________．13.函数的值域为．14.已知函数.(1)求实数a的取值范围，使得在区间的单调性；(2)当时，求题型五：复合函数的单调性15.已知函数，则函数的单调区间 .16.已知函数在是增函数，则a的取值范围 .题型五：根据函数的单调性，解不等式17.若函数，,则不等式的解集为 .已知函数若函数在,且在上是单调增函数, ,则不等式的解集为______18.已知函数，若,则实数a的取值范围 .19.定义在[-2,2]上的函数f(x)满足，，且，则实数a的取值范围 .20.已知f(x)的定义域为(，且对一切都有，当是时，有。

高中数学教案单调性题目
教学目标：
1. 理解函数的增减性和单调性的概念。

2. 掌握求函数的单调区间的方法。

3. 能够运用单调性判断函数图像的变化。

教学重点：
1. 函数的增减性和单调性的定义。

2. 求函数的单调区间的方法。

教学难点：
1. 运用单调性判断函数图像的变化。

教学准备：
1. 教案、黑板、彩色粉笔。

2. 教材、课件。

3. 习题册、试卷。

教学流程：
一、引入
导入单调性的概念，讲解函数的增减性和单调性，并举例说明。

二、讲解
1. 函数的增减性：介绍函数在某一区间内的增减情况。

2. 单调性：定义函数在某一区间内的单调性，分为单调递增和单调递减。

三、练习
1. 列举几个函数，让学生判断其单调性。

2. 给定一个函数，让学生求其单调区间。

四、拓展
让学生通过求解问题，运用单调性判断函数图像的趋势。

五、总结
复习本节课的重点内容，巩固学生知识。

六、作业布置
布置相关作业，巩固学生知识。

七、课堂小结
对本节课内容进行总结，鼓励学生积极学习。

第5讲 函数的单调性我们在初中研究了一次函数、二次函数的图象，研究了y =ax +b(a ≠0) 与y = ax 2 +bx +c(a ≠0) 函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们探讨一般函数的单调性。

[问题1] 分别作出函数y=3x 和y=x 2-2x+1的图象，并观察说出在定义域(−∞,+∞)内函数值的增减变化情况。

（1） f (x ) =3x 的图象在定义域(−∞,+∞) 内，自左至右是上升的，即：函数值f (x ) 随自变量x 的增大而增大。

（2） g (x )= x 2-2x+1的图象在对称轴左方的区间(−∞,1) 是下降的，在对称轴右方的区间(1,+∞) 是上升的，既：在区间(−∞,1) 内，g (x ) 随自变量x 的增大而减小，在区间(1,+∞)内， g (x ) 随自变量x 的增大而增大定义1：设函数y = f (x )(x ∈A ) ，对于区间(a , b ) ⊆ A ,1、如果任意x 1、x 2∈(a , b ), x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．那么就说，函数y = f (x ) 在区间(a , b ) 内是增函数2、如果任意x 1、x 2∈(a , b )，x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．那么就说，函数y = f (x ) 在区间(a , b ) 内是减函数定义2：若函数y = f (x ) 在某个区间内是增函数或减函数，则称f (x )在这一区间内具有单调性，该区间叫做f (x ) 的单调区间。

[问题2] 思考函数的单调性与函数的图象之间的关系。

1、f (x ) 是增（减）函数⇔ 图象自左到右上升（下降）2、图象的峰（谷） ⇔ 函数增（减）变减（增）点⇔ 函数的极大（小）值点定义3：设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x)≤M（ f (x)≥M）（2）存在x0∈I ，使得f(x0)=M那么，我们称M 是函数y = f(x)的最大值（最小值）。