第十二章 数 项 级 数
目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．
重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.
第一节 级数的收敛性
一 级数的概念
在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如
+++++n 2
1
21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；
若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念
定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1）
称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞
=1n n u ，或∑n u .
2 级数的部分和
n n
k k n u u u u S +++==∑= 211称之为级数∑∞
=1
n n u 的第n 个部分和，简称部分和.
3 级数的收敛性
定义 2 若数项级数∑∞
=1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞
→lim ），则称数项级
数∑∞=1
n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞
=1
n n u 的和，记作
=S ∑∞
=1
n n u = +++++n u u u u 321.
若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞
=1
n n u 发散.
例1 试讨论等比级数（几何级数）
∑∞
=--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a
的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数
++++?+?+?)
1(1
431321211n n
的收敛性. 解：见P2.
二 收敛级数的性质 1 级数与数列的联系
由于级数∑∞
=1n n u 的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级
数∑∞
=1
n n u 是数列{}n S 的另一表现形式.反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数
∑∞
=1
n n
u
+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a
的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有相同的敛散性，因此，有 2 级数收敛的准则
定理1（级数收敛的Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正
整数N ，使得当N m >以及对任意的正整数p ，都有
ε<++++++p m m m u u u 21.
注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数
00),(p N m >，有
0210000ε≥++++++p m m m u u u . 3 级数收敛的必要条件
推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则
0lim =∞
→n n u .
注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3. 例3 讨论调和级数 +++++n
1
31211 的敛散性.
解：显然，有 01
lim
lim ==∞→∞→n
u n n n ，但当令 m p =时，有
m m m m u u u u 2321+++++++ m m m m 21
312111+
++++++= 2
1
21212121=++++≥m m m m .
因此，取2
1
0=ε，对任何正整数N ，只要N m >和m p =就有
0210000ε≥++++++p m m m u u u ， 故调和级数发散.
例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑21
n
收敛. 证明：由于
p
m m m u u u ++++++ 21=
2
22)(1
)2(1)1(1p m m m ++++++
))(11)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-+++++++<
m
p m m 1
11<+-=.
故对0>?ε，取]1
[ε
=N ，使当N m >及对任何正整数p ，都有
p
m m m u u u ++++++ 21ε<<
m
1
.
故级数 ∑
2
1
n 收敛. 4 收敛级数的性质
定理2 若级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n v 都有收敛，则对任意常数d c ,，级数)(1
n n n dv cu +∑∞
=也收敛，
且 )(1
n n n dv cu +∑∞=∑∑∞
=∞=+=1
1n n n n v d u c .
即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.
定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）.
若级数∑∞
=1n n u 收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为
n n S S R -=.并称为级数∑∞
=1
n n u 的第n 个余项（简称余项），它代表用n S 代替S 时所产生的误
差.
定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.
如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000收敛， 而级数 +-+-1111是发散的. 作业 P5 1，2，3，4，5，6，7.
第二节 正 项 级 数
一 正项级数收敛性的一般判别原则
若级数各项的符号都相同，则称为同号级数.而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性.
1 正项级数收敛的充要条件
定理5 正项级数∑∞
=1n n u 收敛?部分和数列{}n S 有界.
证明：由于对n ?，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞
=1n n u 收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界.
2 比较原则
定理6（比较原则） 设∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对
N n >?都有
n n v u ≤，
则 （1）若级数∑∞
=1n n v 收敛，则级数∑∞
=1n n u 也收敛；
（2）若级数∑∞
=1
n n u 发散，则级数∑∞
=1
n n v 也发散.
证明：由定义及定理5即可得.
例1 考察∑
∞
=+-12
1
1
n n n 的收敛性. 解：由于当2≥n 时，有
2
22)
1(1
)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞
=-22)1(1n n 收敛，故∑∞
=+-1
2
11
n n n 收敛. 3 比较判别法的极限形式
推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 是两个正项级数，若
l v u n
n
n =∞→lim
， 则 （1） 当+∞< =1 n n u 、∑∞ =1 n n v 同时收敛或同时发散； （2）当0=l 且级数∑∞=1 n n v 收敛时，级数∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当+∞=l 且∑∞=1 n n v 发散时，级数∑∞ =1 n n u 也发散. 证明：由比较原则即可得. 例2 讨论级数 ∑-n n 21 的收敛性. 解：利用级数∑ n 21 的收敛性，由推论可知级数∑-n n 21收敛. 例3 由级数∑n 1的发散性，可知级数∑n 1 sin 是发散的. 二 比式判别法和根式判别法 1 比式判别法 定理7 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设∑n u 为正项级数，且存在某个正整数0N 及常数)1,0(∈q ： （1） 若对0N n >?，有 q u u n n ≤+1 ，则级数∑n u 收敛 ； （2） 若对0N n >?，有 11 ≥+n n u u ，则级数∑n u 发散. 证明：（1）不妨设对一切n ，有 q u u n n ≤+1 成立，于是，有 q u u ≤12 ， ,23q u u ≤， ,1 q u u n n ≤-. 故 11 23 12--≤???n n n q u u u u u u ， 即 11-≤n n q u u ，由于，当)1,0(∈q 时，级数 ∑∞ =-1 1 n n q 收敛，由比较原则，可知级数∑n u 收敛. （2） 因此时0lim ≠∞ →n n u ，故级数∑n u 发散. 2 比式判别法的极限形式 推论（比式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 q u u n n n =+∞→1 lim ， 则 （1）当1 （2） 当1>q （可为∞+）时，级数∑n u 发散； 第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 一． 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. ”定义. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ 例1 对定义在 义验证其收敛域为 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性 质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列 . , ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 , ，. 推论1 在D上 D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 应用系2 判断函数列 第十二章 数项级数 2 一般项级数 一、交错级数 概念：若级数各项符号正负相间，即 u 1-u 2+u 3-u 4+…+(-1)n+1u n +…(u n >0, n=1,2,…)，则称它为交错级数. 定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数∑∞ =+1n n 1n u (-1)满足： (1)数列{u n }单调递减；(2)∞ n lim +→u n =0，则该级数收敛. 证：交错级数的部分和数列{S n }的奇数项和偶数项分别为： S 2m-1=u 1-(u 2-u 3)-…-(u 2m-2-u 2m-1)，S 2m =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)…+(u 2m-1-u 2m ). 由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而 数列{S 2m-1}递减，数列{S 2m }递增. 又由条件(2)知 0 条件收敛级数. 定理12.12：绝对收敛级数一定收敛. 证：若级数|u 1|+|u 2|+…+|u n |+…收敛，由柯西收敛准则知， 对任意ε>0，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 |u n+1|+|u n+2|+…+|u n+r |<ε，∴|u n+1+u n+2+…+u n+r |<ε， ∴u 1+u 2+…+u n +…收敛. 得证！ 例1：证明：级数∑! n a n 收敛. 证：∵n 1n ∞n u u lim ++→=1n a lim ∞n ++→=0<1,∴原级数绝对收敛. 性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射 f:n →k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{u n }按映射F:u n →u k(n)所得到的数列{u k(n)}称原数列的重排；同样的，级数∑∞ =1n k(n)u 也是级数∑∞ =1 n n u 的重排. 记v n =u k(n)，即∑∞ =1 n k(n)u =v 1+v 2+…+v n +…. 定理12.13：若级数∑n u 绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排后所得到的级数∑n v 也绝对收敛，且有相同的和数. 证：不妨设∑n u 为正项级数，用S n 表示它的第n 个部分和， 记T m =v 1+v 2+…+v m 表示级数∑n v 的第m 个部分和. Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n =n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n . ⑴ )(x f n =x x x x n n n n --+-. )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑵ )(x f n =1 21+n x . )(x f n →,sgn x R ∈x . ⑶ 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =???≠∈=. ,,, ] 1 , 0 [ , 0, ,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且 )(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [. ⑷ )(x f n =2 22 2x n xe n -. )(x f n →0, R ∈x . 156 ⑸ )(x f n =?? ? ? ? ? ???≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,41 11x x x x x n n n n n n n 有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意 ? ≡1 1)(dx x f n .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 ∞ →n lim () ? ?∞ →≠1 1 0)(lim )(dx x f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, ∞ →n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,? N , 0?>?ε, , , N n m >?? ε<-n m f f . ( 介绍另一种形式ε<-+n p n f f .) 证 )? ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-) 第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思 想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的 和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ; 时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性. 解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛 第十二章 数项级数 1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程"'0xy y xy ++=有多项式解 2012,n n y a a x a x a x =+++ + 则必有0i a i n = ( =1,2, ,) . 2．试确定系数01,, ,, ,n a a a 使0n n n a x ∞ =∑满足勒让德方程 2(1)"2'(1)0.x y xy l l y --++= 2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ;(54)(51)n n n ∞ =-+∑ (2) 2 11 ;41 n n ∞ =-∑ (3) 1 1 1(1);2 n n n -∞ -=-∑ (4) 1 21 ;2n n n ∞ =-∑ (5) 1sin ,n n r nx ∞ =∑||1;r < (6) 1 cos ,n n r nx ∞ =∑|| 1.r < 2．讨论下列级数的敛散性： (1) 1;21n n =-∑ (2) 111( );23n n n ∞ =+∑ (3) 1cos ;21n n π ∞ =+∑ (4) 1 1 ;(32)(31)n n n ∞ =-+∑ (5) 1 n ∞ = 3．证明定理10.2. 4．设级数 1 n n u ∞ =∑各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 ,n n U ∞ =∑即 1112,n n n n k k k U u u u ++++=++ +0,1,2, n =， 其中001210,.n n k k k k k k +=<<<<<< 若1 n n U ∞ =∑收敛，证明原来的级数也收敛. 3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) n ∞ = (2) 21 11 ;(21)2 n n n ∞ -=-∑ (3) 1n ∞ = (4) 1 sin ;2 n n π ∞ =∑ 第十三章 函数列与函数项级数 目的与要求：1.掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数列与函数项级数一致收敛性判别的柯西收敛准则,函数项级数一致收敛性的判别法. 2. 掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性、可积性、可微性的结论． 重点与难点：本章重点是函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,判别法和性质；难点则是利克雷判别法和阿贝尔判别法. 第一节 一致收敛性 我们知道,可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数,在此,将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数. 一 函数列及其一致收敛性 设 ,,,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.也可简记为： }{n f 或 n f , ,2,1=n . 设E x ∈0,将0x 代入 ,,,,21n f f f 得到数列 ),(,),(),(00201x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点. 若数列(2)发散,则称函数列(2)在点0x 发散. 若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛,则称}{n f 在数集D 上收敛. 这时对于D x ∈?,都有数列)}({x f n 的一个极限值与之对应,由这个对应法则就确定了D 上的一个函数,称它为函数列}{n f 的极限函数.记作f .于是有 )()(lim x f x f n n =∞ →, D x ∈,或 )()(x f x f n →)(∞→n ,D x ∈. 函数列极限的N -ε定义是： 对每一个固定的D x ∈,对0>?ε,0>?N （注意：一般说来N 值的确定与ε和x 的值都有关）,使得当N n >时,总有 ε<-)()(x f x f n . 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点的集合,称为函数列}{n f 的收敛域. 例1 设n n x x f =)(, ,2,1=n 为定义在),(∞-∞上的函数列,证明它的收敛域是]1,1(-,且有极限函数 ? ??=<=1,11 ,0)(x x x f (3) 证明：因为定义域为),(∞-∞,所以根据数列收敛的定义可以将),(∞-∞分为四部分 (i) 10< 第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈， 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 一、本课题研究现状及可行性分析 目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M 判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。故需对特殊级数情况要总结和发展。 函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。教材中给出了对于()n u x 一致收敛性的判别法，如Cauchy 判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。 基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。 数学分析：第章数项级数 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第十二章 数 项 级 数 目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2. 掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1. 其和无意义； 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同）. 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么. 1 级数的概念 定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项. 级数（1）简记为：∑∞ =1n n u ，或∑n u . 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和. 3 级数的收敛性 定义2 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项 级数∑∞=1 n n u 收敛 ，称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321. 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例1 试讨论等比级数（几何级数） ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ，)0(≠a 的收敛性. 解：见P2. 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 读书破万卷下笔如有神 中科院研究生院硕士研究生入学考试 《数学分析》考试大纲 本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 一、考试基本要求 要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试方法和考试时间 数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 三、考试内容和考试要求 （一）考试内容 1. 分析基础 (1) 实数概念、确界 (2)函数概念 (3) 序列极限与函数极限 (4) 无穷大与无穷小 (5)上极限与下极限 (6) 连续概念及基本性质，一致连续性 （7）收敛原理 2. 一元微分学 (1) 导数概念及几何意义 (2) 求导公式求导法则 (3) 高阶导数 (4) 微分 (5) 微分中值定理 (6) L'Hospital法则 (7) Taylor公式 (8) 应用导数研究函数 一元积分学3. 读书破万卷下笔如有神 (1) 不定积分法与可积函数类 (2) 定积分的概念、性质与计算 (3) 定积分的应用 (4) 广义积分 4. 级数 (1) 数项级数的敛散判别与性质 (2) 函数项级数与一致收敛性 (3) 幂级数 (4) Fourier级数 5. 多元微分学 (1) 欧氏空间 (2) 多元函数的极限 (3) 多元连续函数 (4) 偏导数与微分 (5) 隐函数定理 (6) Taylor公式 (7) 多元微分学的几何应用 (8) 多元函数的极值 6. 多元积分学 (1) 重积分的概念与性质 （2）重积分的计算 （3）二重、三重广义积分 （4）含参变量的正常积分和广义积分 （5）曲线积分与Green公式 （6）曲面积分 （7）Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关 （8）场论初步 （二）考试要求 1．分析基础 (1)了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。 (2)熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。 (3)掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定理）和运算??N方法。法则，熟练掌握求序列极限的 (4)掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两???方法，了解广义极限和单侧极限种情形），熟练掌握求函数极限的的意义。 (5)熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。 (6)理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷大（小）量的意义。 (7)了解上极限和下极限的意义和性质。 理解函数两类间断点的熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，(8)． 读书破万卷下笔如有神 意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。 (9)掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。 2．一元微分学 (1)掌握导数的概念和几何意义，了解单侧导数的意义，解依据定义求函 数在给定点的导数。 第十讲 函数列与函数项级数 一、知识结构 1、函数列收敛性 （1）函数列收敛的概念和定义 定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n . 定义 2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列 ,,,,21n f f f 的数列 ()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛, 点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ?上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈,)(x f 称为函数列 }{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f . 定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于) (x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0, 对0>?ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞ →,D x ∈或) ()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈. 说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关. （2）函数列收敛的判定方法 数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列 第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n 第十二章 无穷级数 (一) 1．解：∵( ) ∑ =∞→-+=+-+=n k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数 发散。 2．解：∵() ∑∑==→??? ??+-=??? ??+-=+=n k n k n n k k k k S 1141 221212122121212221， (∞→n )，∴原级数收敛且和为 4 1。 3．解：∵41 215 11511513113113151315131 111+→-? ?? ?? -+-??? ??-= +=??? ??+=∑∑∑===n n n k k n k n k k k k n S 4 3= ，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。 4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001 lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n n n ，∴由比值判别法知原级 数发散。 5．解：∵()11 11lim 1lim lim 11<=??? ??+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e n e n n e n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 6．解：∵02 1 21lim lim ≠=+=∞ →∞ →n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim =++=∞→∞→n n n n n U n n n ，而∑∞ =11 n n 发散，∴由比较判别法知原级数发散。 8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=?? ? ??+=∞→∞→∞→n n n n U n n n n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。 9．解：∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 2 ||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原 级数绝对收敛。 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 第十一章练习题 一、 填空题 1．级数 )21)1(1(1 n n n n -+∑∞ =的和为（ ） ． 2．若∑∞ =1 n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞ =1 n n u 收敛的充要条件是（ ）． 3.级数∑∞ =1 22 sin 2n n n π 的敛散性为（ ）． 4.幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛区间为（ ）． 5.幂级数∑∞ =-1 22) 1(n n n n x 的收敛域为（ ）． 6.将函数 2 ) 1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）． 7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0 x f S f x +→=-=则=（ ） ． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）． 二、 单项选择题 1. 若级数∑∞ =1 n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）. A. 交换律成立； B.结合律成立； C.分配律成立； D.以上都不成立。 2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）． A. ∑ ∞ =+1121n n ； Ｂ．n n n )2 3()1(1 ∑∞ =-； Ｃ． 3 1 1) 1(n n n ∑ ∞ =-； Ｄ．n n n n 1) 1(1 --∑∞ =． 3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）. A. ∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n ；Ｂ．∑∞ =-1 1) 1(n n n ；Ｃ．∑∞ =-1 2 1) 1(n n n ；Ｄ．∑∞ =+-1 ) 1(1)1(n n n n 4. 已知级数∑∑∞ =∞ =--==-1 1 1 21 5, 2) 1(n n n n n a a ，则级数∑∞ ==1 n n a （ ） A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 9 5．幂级数n x n n ∑ ∞ =1 的和函数是（ ）． Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）. A. ∑ ∞ =0 2! n n n x Ｂ．∑ ∞ =?-0 2! )1(n n n n x Ｃ．∑ ∞ =0 ! n n n x Ｄ．∑ ∞ =?-0 ! )1(n n n n x 7. 若∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）. A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。 8.已知级数∑∞ =1 2n n a 收敛，常数λ>0,则级数∑∞ =+-1 2 ) 1(n n n n a λ （ ）. A. 发散 ； Ｂ．条件收敛； Ｃ．绝对收敛； Ｄ．收敛性与λ有关。 9.设),3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞ →n n u n ，则级数∑∞ =+++ -1 1 1 )11( ) 1(n n n n u u （ ）. A.发散。Ｂ．绝对收敛。Ｃ．条件收敛。Ｄ．收敛性根据所给条件不能判定。 三、计算题 1. 判定下列级数的收敛性。 (1) ∑ ∞ =+1 3 2 ) 1(3cos n n n n λ, (2) )sin ( 1 ∑ ∞ =-n n n π π ; (3) ∑ ∞ =--1 1 2) 1 3( n n n n 2．讨论下列级数的敛散性 （1）∑ ? ∞ =+1 1 2 1n n dx x x （2）∑∞ =+ -1 )]11ln(1[ n n n 3．求幂级数∑ ∞ =1 22 n n n x n 的收敛域。 第十二章 数 项 级 数 目的与要求:１。使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2． 掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． 重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义，基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法;难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性. 第一节 级数的收敛性 一 级数的概念 在初等数学中，我们知道:任意有限个实数n u u u ,,,21 相加,其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。如 +++++n 2 1 21212132 从直观上可知，其和为1. 又如， +-++-+)1(1)1(1． 其和无意义; 若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为:0； 若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1.（其结果完全不同)。 问题:无限多个实数相加是否存在和; 如果存在,和等于什么。 1 级数的概念 定义１ 给定一个数列{}n u ,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 +++++n u u u u 321 (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数）,其中n u 称为级数(1）的通项． 级数(1）简记为：∑∞ =1n n u ,或∑n u 。 2 级数的部分和 n n k k n u u u u S +++==∑= 211 称之为级数∑∞ =1 n n u 的第n 个部分和，简称部分和． 3 级数的收敛性 定义２ 若数项级数∑∞ =1n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S (即S S n n =∞ →lim ),则称数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛 ,称S 为数项级数∑∞ =1 n n u 的和，记作 =S ∑∞ =1 n n u = +++++n u u u u 321． 若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞ =1 n n u 发散. 例１ 试讨论等比级数(几何级数) ∑∞ =--+++++=1121n n n aq aq aq a aq ,)0(≠a 的收敛性. 解：见P2． 例2 讨论级数 ++++?+?+?) 1(1431321211n n 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0>n ?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞ =1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 数学分析教案(华东师大版)第十三章函数列与函数项级数
数学分析12.3一般项级数
函数列与函数项级数
数学分析 数项级数
第十二章数项级数31263
第十三章函数列和函数项级数
第十二讲函数列与函数项级数
函数列与函数项级数
函数项级数一致收敛的判定开题报告
数学分析：第章数项级数
中科院数学分析考研
数学分析第十讲函数项级数资料
第十二章-无穷级数(整理解答)
第十二章 无穷级数(答案)
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
第十二章无穷级数自测题(含答案)
数学分析第12章数项级数
正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式 q u u n n ≤+1，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞ =1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
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