第十三章函数列与函数项级数的复习题
一、 判断题。
1. 函数项级数∑u n ()x 在数集D 上一致收敛的充分必要条件是函数列{u n
()
x }在D 上一致收敛于零。
( )
2. 函数列{f （X ）}在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m ﹥N 时，对一切X ∈D ，都有｜f n
（X ）﹣
f m
（X ）｜﹤ε。
( )
3. 若函数列{ f n }在区间Ⅰ上一致收敛，且每一项都连续，则其
极限
函数
f
在Ⅰ上也连续。
( )
4. 若函数项级数∑u n （X ）在区间[a,b]上一致收敛，且每一项
不都连续，则其和函数在[a,b]上是连续的。 ( )
5. 若函数列{ f n }在区间[a,b]上一致收敛, 且每一项都连续,
则
?∞
→b
a
n lim f n
（X ）dx =
?
∞
→b
a
n lim f n
（X ）dx 。
( ) 二、 填空题。
6．默写M 判别法： 。
7. 设{s n ()x }是函数项级数∑u n ()x 的部分和函数列。若{s n ()x }在数集D 上一致收敛于函数S ()x ,则称函数项级数∑u n ()
x
在D 上
于函数S ()x ，或称∑u n
()x 在D 上
。
8. 若函数项级数∑
n
ns
2
sin 在(∞+，)∞-上一致收敛，
则∑
n
nx
2
cos 在(∞+，)∞-上 。
9. 若函数项级数∑u n ()x 在[a,b]上一致收敛，且每一项u n ()x 都连续，则()x b
a n u ∑?dx = 。
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10．∑
+x
n
x 2
4
1，x ∈[1,10]
11. ∑n x n
2，x ∈[0,1]
12. ∑!
2
n x ，x
∈[-a,a]
13.
()x f n =n
x 2
2
1
+
,n =1,2,3…,D=(-1,1)
四、 设s ()x =∑∞=-1
21
n n n
x ，x ∈[-1,1]，计算积分?x
s 0()t dt.
五、 证明：设
f n
()x f →()x ，x ∈D ，→a
n
0（→n ∞）
（a n ＞0）。 若对每一个正整数n 有∣f n
()x f -()x ∣≦a n
，x
∈D ，则{
f
n
}
在D 上一致收敛于f
。
答案
一、 判断题。
1.（×）;
2.( √ ) ;
3.( √ );
4.( × );
5.( √ )。 二、 填空题。
6.M 判别法：设函数项级数∑u n ()x 定义在数集D 上，∑M n 为收敛的正项级数，若对一切∈x D,有∣()x u n ∣≦M n ，n =1，2，3…，则函数项级数∑u n ()x 在D 上一致收敛。 7．一致收敛,一致收敛。 8. 一致收敛。 9. ()x b
a n u ?∑dx
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10.解：∈x [1,10]，∣x
n
x 2
4
1+∣≦n
4
10
∵∑
n
2
10
收敛
∴根据M 判别法可知：∑
x
n x 2
4
1+在∈x [1,10]上一致收敛。
11．解：x ∈[0,1]，∣n x n
2∣≦
n
2
1
∵∑
n
2
1
收敛
∴根据M 判别法可知：∑n
x n
2在[0,1] 上一致收敛。
12. 解：x ∈[-a,a]，而∣
!n x n
∣≦!
n a n
∵∑!
n a n 收敛
∴根据M 判别法可知：∑!
n x n
在[-a,a]上一致收敛。
13. 解：()x f n n lim
∞
→=n
x n 2
2
1
lim +
∞
→ =
x
2
=∣x ∣
()
x f n
→→
∣x ∣，∞→n ，()εN
N =，()1,1-∈?x
ε?﹥0，要使∣
()x f n
-∣x ∣∣﹤ε
∣
n
x
2
2
1
+
-∣x ∣∣=x
n
x
n +
+
2
2
2
1
1
≦n
n 1
1
2
=
n
1
﹤ε
n ﹥
ε
1
，则取=
N ε
1
﹥0
ε?﹥0，?=
N ε
1
﹥0，?n ﹥N ， ()
1,1-∈?x
有∣
()x f n
-∣x ∣∣﹤ε
所以
()x f n
在（-1,1）是一致收敛的。
四、 解：∈x [-1,1]，而∣n x n 21
-∣≦
n
2
1
∵∑
n
2
1
收敛
∴根据M 判别法可知：∑∞
=-1
21
n n n
x 在[-1,1]上一致收敛，
又n
x n 21
-在[-1,1]上连续，从而由逐项求积可知
()∑∑??∞
=∞
=-==1
31
0210n n
n x
n x
n
x n
t s dt dt t
五、 证明：=∞
→a n n lim 0? ε?﹥0，N N +∈?,?n ﹥N 时，
有∣0-a n ∣﹤εa n ?﹤ε
()x f n
()x f → ，D
x ∈,∣
()x f n
-()x f ∣≦a
n
﹤ε
即证()x f n
→
→
()x f （∞→n ）
，D x ∈。
数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
专题复习(五) 函数的实际应用 题 类型1 一次函数的图象信息题 1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础． 2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段． 1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示： (1)家与图书馆之间的路程为4__000 m，小玲步行的速度为100m/min； (2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇的时间．
解：(1)结合题意和图象可知，线段CD 为小东路程与时间的函数图象，折线O —A —B 为小玲路程与时间的函数图象， 则家与图书馆之间路程为 4 000m ，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m /min . 故答案为：4 000，100. (2)∵小东从离家4 000 m 处以300 m /min 的速度返回家， 则x min 时，他离家的路程y ＝4 000－300x ， 自变量x 的范围为0≤x≤40 3 . (3)当x ＝10时，y 玲＝2 000，y 东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴令4 000－300x ＝200x ，解得x ＝8. ∴两人相遇时间为第8分钟． 2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花 卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m 2 )之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元． (1)直接写出当0≤x≤300和x ＞300时，y 与x 的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m 2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m 2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 解：(1)y ＝错误! (2)设甲种花卉种植为a m 2，则乙种花卉种植(1 200－a)m 2 . ∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800. 又a≥200，∴200≤a≤800. 当200≤a＜300时， W 1＝130a ＋100(1 200－a)＝30a ＋120 000.
第十三章函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 §1 一致收敛性 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 一． 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. ”定义. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ 例1 对定义在 义验证其收敛域为 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
⑴. . ⑵. . ⑶设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷. , . ⑸ 有 , , . （注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 .
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性 质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列 . , ( 介绍另一种形式.) 证( 利用式) ,……,有 易见逐点收敛. 设 , 对D成立, . 令 , ，D. 即 , ，. 推论1 在D上 D , 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 使, 则函数列 应用系2 判断函数列
《数学分析》10第三章-函数极限
第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:
1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。
高一数学函数试卷及答 案 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-