分式函数最美图像参考答案
1、2；
2、
11m n
+；3、(1009,2017)-；4、C ；
1、（其他老师的解答）原不等式等价为2(2)()0()()x a b x a b ab x a x b -+++++≤--，令2()(2)()f x x a b x a b ab =-+++++，不妨令a b ≤，()0,()0f a f b ≥≤，画出二次函数图像可知其与x 轴的两个交点12,x x 满足：12a x b x ≤≤≤，再利用数轴标根法解上述不等式，其
解为12(,](,]x a x b x ∈，那么其区间长度的和为：
2112()()2()2x b x a x x a b a b a b -+-=+-+=++-+=．
5、（1）略；（2）2017；（3）()f x 关于2(,)2
n n +-中心对称. 6.（1）1212x -=，解得1x =-或23log 2
x =， 210x -=，解得0x =，
画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2
（2）(),3,(1,1)23x x A B F x x x x ?∈??=??∈-?-?
当x A B ∈，2112(),,3333F x ????∈--??????
??， 当(1,1)x ∈-，1
()(1,)5F x ∈-，
所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ??∈-????
所以值域区间长度总和为2315
。 （3）由于当23x <<时，取001.2=x ，()0001.2>f ，取999.2=x ，()0999.2 所以方程()0f x =在区间(2,3)内有一个解 考虑函数1234()11234 f x x x x x =+++-----，由于当1x <时，()0f x <，故在区间(,1)-∞内，不存在使()0f x >的实数x ； 对于集{1,2,3,4}中的任一个k ，由于当1k x k -<<时， 取001.0+=k x ，()0>x f ，取001.01-+=k x ，()0 又因为函数()y f x =在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,)+∞内单调递减， 所以方程()0f x =在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,)+∞内各有一个解； 依次记这4个解为1234,,,x x x x ， 从而不等式()0f x >的解集是1234(1,) (2,)(3,)(4,)E x x x x =，故得所有区间长 度的总和为 1234(1)(2)(3)(4)S x x x x =-+-+-+- 123410x x x x =+++- ………① 对()0f x >进行同分处理，分子记为()p x ()(2)(3)(4)2(1)(3)(4)3(1)(2)(4)4(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4) p x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+---+---+-------- 如将()p x 展开，其最高项系数为1-，设 4323210()p x x a x a x a x a =-++++ ……② 又有1234()()()()()p x x x x x x x x x =----- …………③ 对比②③中()p x 的3x 系数， 1234()1234(1234)20x x x x +++=+++++++= 可得：12341010 S x x x x =+++-= 7、 (1) 定义域为:{|1,2,3,}x x x x x R ≠≠≠∈ 值域为: (,0)(0,)-∞?+∞ 函数的单调递增区间为: (1,2)和(2,3) (2) 图像要求能反映出零点((1,0)和(3,0),渐近线2x =,过定点,单调性正确. (3) 结论可能各异如:3(2)()|1||3| x f x x x -=--, 2222(3)()22(1)x x x f x x x x -?>?-?=?-? 211()2tan()132233x x f x x x x x π-??-?,等 第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否 y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y 高一数学选修课系列讲座（一） -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += -，12 3x y x -+= +等。 二、学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质： （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：单调区间为； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示 问题2：(0)b y ax ab x =+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1 y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结：分式函数(,0)b y ax a b x =+ >的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：； （3）奇偶性：； （4）单调性：在区间上是增函数， 在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像，绘制函数1 y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 结合刚才的两个例子，思考1y x x =-- 与1 y x x =-的图像又是怎样的呢？ 思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？ 小结：(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像如下： （i ）(0,b y ax a b x =+>> 一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问 题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 第九节 函数的图象 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级 基础夯实练 1．(2018·吉林二模)函数y ＝log 3x 的图象与函数y ＝log 13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于y ＝x 对称 解析：选A.y ＝log 13 x ＝－log 3x ，y ＝log 3x 与y ＝－log 3x 关于x 轴对称． 2．(2018·济南模拟)下列函数f (x )的图象中，满足f ? ?? ??14＞f (3)＞f (2)的只可能是( ) 解析：选D.因为f ? ????14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.又C 中，f ? ????14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ? ?? ??14＜f (3)，所以排除C. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得 f (x )＝? ????x 2 －2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 4．(2018·衡水质检)若函数f (x )＝? ????ax ＋b ，x ＜－1， ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3) 等于( ) A ．－1 2 B ．－54 C ．－1 D ．－2 解析：选C.由函数图象可知：a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，f (x ) ＝? ????2x ＋5，x ＜－1，ln （x ＋2），x ≥－1，所以f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 5．(2018·潍坊二模)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．[－1，0) C ．(－2，0) D ．[－2，0) 解析：选A.在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)． 6．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4 ＋x 2 ＋2的图象大致为( ) 解析：选D.令y ＝f (x )＝－x 4 ＋x 2 ＋2，则f ′(x )＝－4x 3 ＋2x ，当x ＜－22或0＜x ＜2 2 时，f ′(x )＞0，f (x )递增；当－ 22＜x ＜0或x ＞2 2 时，f ′(x )＜0，f (x )递减．由此可得 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋ φ)(A >0，ω>0)，x ∈ [0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2πω f ＝1 T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 2.如下表所示. x 0－φ ω π2 －φω π－φ ω 3π2 －φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A －A 3.函数y x y A x 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π 2，1)，(π，0)，(3π2，－ 1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π 4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋ π 4 )．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π 2 个单位长度得到的．( √ ) (4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π 4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ ) (6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 .( √ ) 1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1 2个单位长度 B ．向右平行移动1 2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1 2)的图象，即函数y ＝ sin(2x ＋1)的图象． 2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π 2)的部分图象如图所 示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π 3 B ．2，－π 6 C ．4，－π 6 D ．4，π 3 答案 A 解析 ∵34T ＝5π12－????－π 3，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π 3，k ∈Z ， 又φ∈??? ?－π2，π2，∴φ＝－π 3，故选A. 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---， 即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 盘点高考考查函数图象的题型及解法 函数图象、图表它们从“形”的方面表现出“数”的性质，“数”与“形”是数学研究的两类基本对象，它们相辅相成，相得益彰，在多年的高考试题中突出了这一“数形结合”思想方法的考查，本文给出函数图象问题的解法，供参考. 一、图象识别 这类问题通常是给出函数的解析式，要求选择与之对应的图象. 例1 函数1 1 1-- =x y 的图象是（ ） A 1 O x y B -1 O x y C -1 O x y D -1 O x y 解析：取0=x ，则2=y ，图象过点)2,0(，于是，排除A 、D ；取0=y ，则2=x ，图象过点)0,2(，于是，排除C ，故选.B 二、给图求式 这类问题通常是给出函数的图象，要求写出与之对应的函数的解析式. 例2 已知图（1）中函数图象对应的解析式为)(x f y =，则图（2）中的图象对应的函数在下列所给的四式中，只可能是（ ） A 、|)(|x f y = B 、|)(|x f y = C 、|)|(x f y -= D 、|)(|x f y -= 解析：两图比较，（2）中左边部分相对于（1）不变，而右边部分是由左侧图象沿y 轴翻转 180所得，则当0 看图说话——导数中的图象识别 一、两个实用结论 结论1：在导函数图象中，在x 轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x 轴下方区域对应原函数单调递减区间． 结论2：在导函数图象中，图象由x 轴上方到x 轴下方与x 轴的交点为极大值点；由x 轴下方到x 轴上方与x 轴的交点为极小值点． 二、结论应用 题型1：由导函数图象确定函数单调区间 例1 （2004年高考浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函 数，()y f x '=的图象如图1所示，则()y f x =的图象最有可 能的是（ ） 解：由导函数图象结合结论1知：函数在(0)-∞，上递增，在（0，2）上递减，在(2)+，∞ 上递增．故选（C ）． 点评：要求对导数含义要深刻理解． 题型2：由导函数图象确定函数极值 例2 （2006年高考天津卷）函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图2所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） （Ａ）1个 （Ｂ）2个 （Ｃ）3个 （Ｄ）4个 解：由结论2易知，函数()a b ，只有1个极小值点． 点评：本题主要考查导函数的概念、极值点及对图象的识别能力． 题型3：由导函数图象确定其参数值 例3 （2006年高考北京卷）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点（1，0），（2，0），如图3所示，求： （1）0x 的值； （2）a ，b ，c 的值． 解：（1）由图象可知，在(1)-∞， 上()0f x '>，在（1，2）上()0f x '<，在(2)+，∞上()0f x '>． 故()f x 在(1)-∞，、(2)+，∞上递增，在（1，2）上递减，（结合结论2知）()f x 在1 x =处取得极大值，所以01x =； （2）2()32f x ax bx c '=++， 由(1)0f '=，(2)0f '=，(1)5f =，得32012405a b c a b c a b c ++=??++=??++=? ，，，， 解得2912a b c ==-=，，． 点评：函数的增减性可由导数的值的符号反映出来，利用图象把导函数与函数紧密结合起来考查成为高考亮丽的风景线． 6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断 有理分式函数的图象及性质 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质： 【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是 （ ） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为 （ ） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是 。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是 。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是 。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是 。 透视函数图象识别题 选择与所给函数解析式匹配的函数图象问题即识图问题一直是高考中的热点，本文试图将之进行归纳，以帮助同学们复习。 一、利用基本函数的图象变换 例1 函数1 1 1--=x y 的图象为（ ） 解析：易知该函数是由x y 1 - =向右平移一个单位、向上平移一个单位得到的，从而选B. 当然，该函数过（0，2）排出A 、D ，又过（2，0）从而排出C.利用图象变换作函数图象关键是要判断出该函数是由哪个基本函数通过什么样的变换得到的. 二、利用基本函数的基本特征（斜率、截距、对称轴、开口方向等） 例2 bx ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象只可能是（ ） 解析：由于给出的两函数解析式都不确定，故只能通过一些特征条件选出最恰当的图形来.首先，二次函数过原点排除A ，其次，两函数在x 轴上的截距都为a b - ，从而排除B 和C.当然，本题也可以结合开口方向、斜率、二次函数的对称轴来分析，也不难得出结论.因此，对常见函数图象的处理要牢牢抓住该函数的一些特征条件. 三、将函数性质与函数图象特征有机结合进行判断 函数性质的直观表示便是函数图象，因此，有时借助于函数的性质来分析函数的图象就显得十分方便了.函数的性质一般指函数的单调性、奇偶性、周期性等. 例3函数x x y cos -=的部分图像是 x y O A x y O B x y O C x y O D 1 x A 0 B x -1 C x 1 1 y y 1 1 0 x y 0 -1 y 1 D 解析：因为函数x x x f cos )(-=是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C.当 )2 ,0(π ∈x 时，x x y cos -=<0，排除B. 四、利用原函数与反函数的关系（定义域和值域以及单调性之间的关系） 例4函数)1(21≥+-=x x y 的反函数的图象为（ ） 解析：原函数定义域和值域分别为[)[)+∞+∞,2,,1，它们分别对应反函数的值域和定义域.由此可以判断正确答案为C. 五、结合生活实际判定函数图象 例5向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是 解析：取水深2H h = 时，注水量20V V V >'=，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总量之半.A 中20V V <'，C 、D 中的2 0V V ='，故应排除A 、C 、D ，选B.当然，本题利用 上述导数的几何意义也不难得出正确答案. 六、利用曲线上某点导数的几何意义（切线斜率的变化） 例6如图，ΔOAB 是边长为2的等边三角形，直线t x =截这个三角形位于此直线左方 B 1 C x y A x y y 1 x y 0 D 2 1 0 2 0 2 1 0 x 2 h V H 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示. 第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 点击生活中的图象识别题 图象的识别是近几年中考数学中的一个重要考点，在各类试卷中，许多与生活问题密切 相关的图象识别题成为一大亮点?现撷取几例加以剖析，望能对同学们学习有所帮助?例1某游泳池分为深水区和浅水区，每次消毒后要重新将水注满泳池，假定进水管 的水速是均匀的，那么泳池内水的高度随时间变化的图象是（） h 」 L h」 J1h 」 L h 」 J II O t O t O:O t A . B. C. D. 析解：由生活经验可知，深水区和浅水区的底面积不同，且深水区面积较小，故水面的 高度上升得快，到浅水区后，水面上升时的面积比深水区要大，所以水面的高度上升得相对慢，符合变化的只有B,故选B. 例2小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿 子到后细端详，父子高兴把家还。”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是 （A）（B）（C）（D） 析解：本题通过读诗来识别图象，是一道设计新颖，具有人文气息的试题.整首诗叙述 了一个变化过程，这个变化过程分三个阶段：（1）儿子学成今日还，老父早早到车站； （2） 儿子到后细端详；（3）父子高兴把家还.能够和三个阶段大致符合的只有 C.故应选C. 例3如图是水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），下列图象能正确反映 容器中水的高度（h）与时间⑴之间函数关系的是（) 析解：观察玻璃容器可知，其底面较大，然后逐渐减小，故滴进水后，其中上升的水面 高度应是先慢后快，到后来便匀速上升，符合上述特征的图象只有 C,故应选C. 练习： 是时间t （小时）的函数，这个函数的大致图象可能是（ ） 2.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排 水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y （升）与时间x （分钟） 之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） 1.某海产品深加工厂的生产流水线每小时可生产 100件产品，生产前没有产品积 压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时可以装产品 150件，则未装箱的产品数 y （件） 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，413 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-， sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 由此可以画出函数211 x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c ≠- ； （2）值域：{|}a y y c ≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c -； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数； 图像理解与模式识别 1．模式识别的基本概念以及模式识别在图像识别中的位置 什么是模式呢?广义地说，存在于时间和空间中可观察的事物，如果我们可以区别它们是否相同或是否相似，都可以称之为模式。模式识别就是根据观察到的事物的模式对事物进行分类的过程。在图像识别技术中，模式识别占有核心的地位。所以的图像处理技术都是为了更好地进行模式识别做准备。模式识别是图像识别的实质性阶段。 有两种基本的模式识别方法，即统计模式识别方法和结构(句法)模式识别方法，与此相应的模式识别系统都由两个过程所组成，即设计和实现。设计是指用一定数量的样本(叫做训练集或学习集)进行分类器的设计。实现是指用所设计的分类器对待识别的样本进行分类决策。 图 6-2 模式识别系统的基本构成 模式识别系统（如图6-2）中，信息获取和预处理部分大致可以与图像的获取与处理对应。一般情况下，模式识别技术主要包含“特征提取和选择”和“分类器的设计”。 近几十年来，模式识别技术发展很快。然而，发展较成熟、应用较广泛的主要是统计模式识别技术。本节将主要介绍统计模式识别技术主要内容，并对其它模式识别技术如结构模式识别、模糊模式识别方法、神经网络识别方法加以概述。2. 统计模式识别 从一个广义的角度看，模式识别可以看成是一种机器学习的过程。按照机器学习过程的性质，可以将模式识别方法分成有监督的模式识别方法和非监督的模式识别方法，后者又称为聚类分析方法。这两种方法在图像识别中都有广泛的应用。 （1）有监督的模式识别方法 从识别技术的基本思路和方法看，有监督的模式识别可以分成两类：基于模型的方法和直接分类的方法。基于模型的方法的基础是贝叶斯(Bayes)决策理论方法，它对模式分析和分类器的设计有着实际的指导意义，是统计模式识别中的一个基本方法，用这个方法进行分类时要求： ①各类别总体的概率分布（即所谓的先验概率和类条件概率）是已知的；②要决策分类的6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计
分式函数的图像与性质
分式函数的图像及性质
一次函数图象的应用
2020高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语函数第九节函数的图象检测理新人教A版
三角函数图象及应用
分式函数的图像与性质
高中各种函数图像画法与函数性质
盘点高考考查函数图象的题型及解法
看图说话——导数中的图象识别
5函数图象及其应用
有理分式函数的图象及性质
SX2020A028透视函数图象识别题
一次函数的图像与性质
反比例、分式函数
《函数的图象》生活中图像识别
分式函数的图像与性质
图像理解-识别
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