分式函数
在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型()()ax b f x ad cb cx d +=
≠+；
（2）倒数结构型()b
f x ax x
=+。下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型()()ax b
f x ad cb cx d +=
≠+ 图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,)d a
c c
-，通
常用代点法确定两支双曲线的位置。例如：21
35
x y x -=+的图象如图所示：
二、倒数结构型()b
f x ax x
=+
（1）0a >且0b <时，示意图如下：
此时()f x 为奇函数，分段递增，
当0(0)x x ><或时，y R ∈
（2）0,0a b >>时，示意图如下：
可看成以直线y ax =与y 轴为渐近线的双曲线，
两个顶点A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时()f x 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
注意：当0,0a b <>时或0,0a b <<时，可转化为上述两种。
y O
23 23y = 53-
1
5
- x y
b a
--
b a
-
O x
y ax = b
a
O x
y B 2ab
三、例题精选
（一）选择题
1.已知函数()1
a x f x x a -=--，1
()f x -的图象的对称中心为M (,3)m ，则a 等于（ ）
A.2
B.3
C.2-
D.4-
解：由一次分式性质知()f x 对称中心为(1,1)a +-，∴1
()f x -的对称中心为(1,1)a -+，与
M (,3)m 对比知2a =
2.若函数2
p p
y x x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数p 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞- B.[1,)-+∞ C.(,1]-∞ D.[1,)+∞
解：若0p ≥，则p
y x x
=-在(0,)+∞上递增，符合题意，排除A 、C 、D （当0p <时，
p
y x x
-=+在(,)p -+∞上递增，只须1p -≤） 3.已知,x y 都在(2,2)-内，且1xy =-，则函数22
49
49u x y =+--的最小值是（ ） A.85 B.2411 C.127 D.125
解：易得1y x =-且11(2,)(,2)22x ∈--，∴2
1(,4)4
x ∈
422242
22499724351211449937453729437(9)x x u x y x x x x
-+=+===++=---+-?-+≥ （注意到21(,4)4x ∈，2
249[12,37)x x
+∈）
（二）填空题
4.函数1()f x x x =+，若1[,3]2x ∈，则y ∈___________；若12
[,]33x ∈，则y ∈________. 解：作出1y x x =+的图象，易得答案为101310
[2,],[,]363.
5.43
()5
x f x x +-=-的值域是____________.
解：243()(4)943
x f x x x +-==
+-++ （54x x ≠-且≥）
易得43[3,6)(6,)x ++∈+∞，
∴1
11()(0,)
(,]663
f x ∈ 6.若数列{}n a 的通项公式为2004
2005
n n a n -=
-，
则数列的最大项为第_____项，最小项是第____项.
y
1
O 44 x
2005
45
解：作出()f x =22
44200545<<，知44a 最小，45a 最大.
7.若方程sin sin 294380x x
a a a ?+?+-=有解，则a 的取值范围是__________.
解：令sin 3x t =，则1[,3]3
t ∈，方程可转化为：2
2480at at a ++-=……①
（方法一）记2
()248f t at at a =++-，则原问题转化为()0f x =在1[,3]3
内有解（一解
或两解），留意到()f t 的对称轴11[,3]3t =-?，∴()0f t =在1
[,3]3
内不可能有两根，
∴()0f t =在1[,3]3有一根只须1
()(3)03
f f ?≤，
即24(8)(18128)093a a a a a a ++-?++-≤
∴23(8)(318)09a a -?-≤，∴8723123
a ≤≤
（方法二）①化为2288
2412(1)1
a t t t ==+++-
∵1[,3]3t ∈，∴2
232(1)1[,31]9t +-∈，∴872[,]3123
a ∈
（三）解答题 8.
判断函数()f x =
在区间33
[,]22
-上是否存在最值？若存在，求出最大
（小）值；若不存在，请说明理由.
解：当3(0,]2
x ∈
时，()f x =
()f x 是增函数 又()f x 显然为奇函数，(0)0f =且()f x 在0x =处连续，
∴()f x 在33
[,]22
-上是增函数，
∴max 33()()257f x f ==+
，min 33()()257
f x f =-=--
注意：本题可用单调性定义或导数法去求解，但计算量很大，容易出错.
9.已知,*x y R ∈，21x y +=，求
11
x y +的最小值. 解：（方法一）：21x y +=，得12
x
y -=，(0,1)x ∈，
∴22
111211
1(11)11
x x x y x x x x x x +++=+==---+-++-
1
32
3[(1)]1
x x =
=+-++
+（当且仅当2
11
x x +=
+
即1x =-时，取“=”）
（方法二）
：
11112()(2)33y x
x y x y x y x y
+=++=+++≥（当且仅当22221x y x y ?=?+=?
即11x y ?=?
?=-
??=”
） （方法三）：
（柯西不等式）2
1111()(2)3x y x y x y +=++=+≥（当且仅当
11
::2x y x y
=时，取“=”） （方法四）：设22
sin ,2cos x y θθ==，
则2222
1112
3cot 2tan 3sin cos x y θθθθ
+=+=+++≥（当且仅当2
1tan 2
θ=时，取“=”）
10.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高之比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 的空白，左、右各留5cm 的空白，怎样确定画面的宽与高的尺寸，能使宣传画
所用纸张面积最小？如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，宣传画面积最小？
解：设画面高为x ，宽为x λ，则2
4840x λ=，
∴x =
∴纸张的高为1616x +=
，
宽为1010x λ+=
∴纸张的面积()10)5000S λ=+=+
50006760+=≥cm 2
（当仅且当=
即5
8
λ=
时，取“=”） 故当画面高为88cm ，宽为55cm 时，纸张面积最小，此时最小面积为6760cm 2
当23
[,]34
λ∈
时，令t =
则5()8,g t t t t =+∈
显然当()g t 最小时，()S λ最小，
∵2551
()88022 3
g t t '=--=>≥，∴()g t 为增函数
∴t =23λ=）时，()g t 最小，()S λ也最小
∴2
3
λ=时，宣传画面积最小.
11.已知()22
x
x a f x =-
， （1）将()y f x =的图象向右平移2个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式； （2）若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称，求()y h x =的解析式； （3）设1
()()()F x f x h x a
=?+，已知()F x 的最小值是m
，且2m >a 的取值范围.
解：（1）2
2
()(2)2
2x x a
g x f x --=-=-
（2）2
2()2()222
x x a h x g x --=-=-+
（3）1124111
()222()2(14)24242
x x x x x x a F x a a a =?-+-
+=+-+-+ 令2x
t =，则0t >，记111()()(14)4G t t a a t
=-+-（0t >）
则()2()F x G t =+
故()G t 有最小值2m -
，且2m ->
当11()(14)04a a --+≤时，即1
04
a <≤或4a ≥时，
()G t 在(0,)+∞上是单调函数且值域为R ，与min ()2G t m =-矛盾；
当1104140a a ?-
，与()G t > 当11
4140a a ?->???-+>?，即142a <<时，
由不等式中均值定理可得()14
2
G t a ?>????<
解得1
(,2)2
a ∈为所求.
12.如果不等式||0x x a b -+<（b 为常数）对[0,1]中的任何x 的值恒成立，求a 的取值范围.
解：当0x =时，不等式成立可得0b <； 当0x ≠时，不等式可化为||b b b
a x x a x x x x
-<-?+<<-……① 易知()b
u x x x =+
（0b <）在[0,1]上是增函数∴max ()1u x b =+
设()b b
v x x x x x
-=-=+≥
x ==”
）
又(0,1]x ∈
1°当(0,1]b -∈即10b -<≤时，min ()2v x b =- 结合①知12b a b +<<-，又12122310
b b
b b ?+<-??-<-?
-
2°当1b ->时即1b <-时，易证()v x 在(0,1]上递减 ∴min ()(1)1v x v b ==-，结合①知11b a b +<<- 综上所述，当1b <-时，11b a b +<<- 当1223b -<-≤时，12b a b +<<-
13.已知24()1
x a
f x x -=
+在[,]αβ上为增函数，且()()4f f αβ?=-， （1）求()()f f βα-的最小值，并求出取最小值时a 的值； （2）求,αβ的值.
分析：通常11
2
222
a x
b y a x b x
c +=++在110a x b +≠时，可化为如下形状：m
y b ax n
x
=++结合110a x b +=时0y =可猜测，若0,0a b >>，则它的图象可能是：
解：∵24()1
x a
f x x -=+，∴222
2(22)()(1)x ax f x x ---'=
=+
由()0f x '≥得2
220x ax --≤，解得22121616
44
a a a a x x x -+++=
=≤≤ ∴()f x 在R 上的单调递增区间为12[,]x x
（1）∵()f x 是增函数，∴()()f f αβ<且12x x αβ<≤≤， 又()()40f f αβ?=-<，∴()0,()0f f αβ<> ∴()()()(())2()()4f f f f f f βαβααβ-=+--=≥
1x 2x O 1
1
b a - x y
当()()4f f βα-=时，有：222
242()22(1)01
()22(1)0
421
a
f a f a a ββββαααα-?=?=?=--≤?+??????=-=+≥-???=-?+? ∴0a =
（2）由（1）知12()()0()()f x f f f x αβ<<≤≤，
可得到12()()()()4f x f x f f αβ??=-≤
∴12()()4f x f x ?-≤（当且仅当12,x x αβ==时，取“=”）……①
但12()(414a a a f x f a -===?-+ ???
同理2()f x =，∴122264
()()416f x f x a a ?=-=-+-
由①知12x x αβ?==????
==??.
（另解：）()()4f f αβ?=-即2
244411
a a
αβαβ--?=-++ 22222244()44()40a a αβαβαβαβ?-++++++= 2224()844()4()0a a αβαβαβαβ?++++-++=
（∵2
2
2
()2αβαβαβ+=+-）
224(1)[2()]0a αβαβ?+++-= ∴1
2
a αβαβ=-??
?+=??结合αβ<
，解得44a a αβ-+=
= （变式题）关于x 的方程2
220x tx --=两实根为,()αβαβ<，2
4()1
x t
f x x -=+在[,]αβ上的最大值为()u t ，最小值为()v t ，求()()()
g t u t v t =-的最小值.
解：设12x x αβ<≤≤，则有211222220220
x tx x tx ?--?--?≤≤，相加得22
12122()()40x x t x x +-+-≤
又22
12122x x x x +>（∵12x x ≠∴“=”不成立）
∴22
12122()()40x x t x x +-+-<……①
∴12211212122222
121244()[4()4]
()()11(1)(1)
x a x a x x x x t x x f x f x x x x x ---?-+--=
-=++++ ∵210x x ->，结合①知12()()0f x f x -< ∴()f x 在[,]αβ上是增函数 ∴()(),()()u t f v t f βα==
由2
220x tx --=
，解得44
t t αβ?-=???
+?=??
∴2
44()()(41t
t u t f f β+===+??
2
16t ==+
同理()v t =
∴()()()4g t u t v t =-=
= （当且仅当0t =时，取“=”）
注意：以上所讲的书本（或教材）上没有的图象性质，在解答题中尽量不要使用，但可帮助你分析题意，用导数或定义法证出你已知道的结果.
第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；
2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 初中数学一次函数的最值问题 一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论： （1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。 图1 （2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。 图2 （3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。 图3 （4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。 凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。 下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考： 某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站 方案： 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小； 方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。 （1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？ （2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？ （3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。 解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时， 8800 x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +?-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。 ②当100x 40≤<时， )x 100(60)40x (70x 20y -+-+= 3200x 30+=， 此时y 的值大于4400。 因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。 （2）设取奶站建在距A 楼xm 处。 ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x 20-=-+， 解得03 320x <- =（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80， 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。 （3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人， ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得30 a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得a 1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。 分式型函数求值域的方法总结 一、形如()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求21()32 x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。 解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332 x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ?≠?? 一般性结论，()ax b f x cx d += + (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ?≠?? 注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。 例2：求21()32x f x x += +，()1,2x ∈的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1 3y x =-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58?? ??? 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 x 分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x > 时，(x ∈-∞? +∞），'()0f x <时， (x ∈?，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常 其图像 例3：求4()2,((1,4)f x x x x =+ ∈上的值域。 解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为) ?? 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c +=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。 例3：已知0t >，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t -+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥- 一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y 一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0 归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象． 反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示. 第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad 苏州市学案 一、课前准备： 【自主梳理】 1．一次分函数的定义 我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b 2.1 图象：其图象如图所示 . y x b a b c o x (, ) a a ax+b 一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。 y o c x y a y c b c ( , ) a ad bc a a x b ad bc a 2.2 定义域：2.3 值域：x x b ； a y y c ； a 2.4 对称中心：b , c； a a 2.5 渐近线方程： x b和 y c ； a a 2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间 ( , b ) 和 ( b , ) 分别单调递减； 当 ad 【自我检测】 1．函数 y 1 1 ．的图象是 x 1 y y y y 1 1 1 1 O 1 x O 1 -1 O x -1 O x x (A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x) 3x 1 的定义域是 ． 1 x x x 1 3． y 0 的值域是 ． x 4．函数 f ( x) 2x 1 的单调增区间是 ． x 3 5．函数 f ( x) 2x 1 的对称中心是 ． x 3 6．函数 f ( x) x 是 函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非 偶 ”） x 二、课堂活动： 【例 1】填空题： （ 1）函数 f ( x) 2x 1 （ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 2）函数 f ( x) 2x 1 （ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3 （ 3）已知函数 f x 2x 1 ，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f (x) 2x 1 的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝ . x a 2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x 【 例 (x R) ， 区 间 M=[a ， b](a 求分式函数值域的几种方法-精品 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、难点、良好、沟通、发现、掌握、研究、特点、关键、理想、思想、需要、途径、重点、反映、检验、化解、分析、树立、解决、方向 摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问 题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等. 关键词：分式函数 值域 方法. 1 引言 求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析． 2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域 如果分式函数变形后可以转化为2 122 a y b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域. 例1 求2 1 231 y x x =-+的值域. 解：2 131248y x = ? ?-- ?? ?， 因为2 31248x ? ?-- ?? ?≥18-， 所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞. 例2 求函数221 x x y x x -=-+的值域. 解：2 1 11 y x x -= +-+， 因为2 2112x x x ? ?-+=- ?? ?34+≥34， 所以34- ≤21 01 x x -<-+， 故函数的值域为1,13?? -???? . 先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件. 2.2 利用判别式法求分式函数的值域 我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ?=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域. 例1 求2234 34 x x y x x -+=++的值域. 解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①， 当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以?≥0， 即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得， 17 ≤ y ≤1或1y <≤7， 又当1y =时，0x =， 故函数的值域为1,77?? ???? . 例2 函数22 21 x bx c y x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值. 解：化为()20y x bx y c --+-=， ⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈??=---≥0， ?()224428y c y c b -++-≥0， 分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，413 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-， sin 23sin 3x y x +=-，y =等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 由此可以画出函数211 x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c ≠- ； （2）值域：{|}a y y c ≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c -； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数； 二次分式函数值域的求法 甘肃 王新宏 一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程 2 方程有实根，△≥0 3 求的函数值域 1：求y =2 2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立 由y =2 2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0 ①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R ②当y-2≠0时，即y ≠2时, ∵x ∈R ∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根 ∴△=(y+1)2 -(y-2) ×(y-2) ≥0 ∴3y 2-18y+15≤0 ∴1≤y ≤5 ∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ?? ????-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。 先来学习“√”函数。 形如y =x+ x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 图像 单调性：在x ∈[] k ,0时，单调递减。在x ∈[] +∞,k 时，单调递减。 值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围 ②把原函数化为关于t 的函数 ③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域 例2 求y =12122-+-x x x （32 1≤ 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。 解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。 二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。 分析：此类函数中，当0a 时， 对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)(' 分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4 ）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象（如图所示）和性质（略）： 类型一：( ,, ,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + （“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数 1 1 + - = x y的图象是（） A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ，即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上 由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,) -∞+∞； 值域：(,2)(2,) -∞+∞ U； 对称中心：(1,2)。 x O y x O y 1 2 x O y 1 一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020 拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。 此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。 下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。 【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且 ，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域； 秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明， 求函数最值的常用以下方法： 1．函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现． 例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1 2，则a ＝________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝1 2 ，a ＝4.故填4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ] 上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________． 【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)， ∴x＝1－t2， ∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t 分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。 一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。 例1：求2312)(++=x x x f （)32 -≠x 的值域。 解：231 34) 3 2(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x Θ32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ?? ≠ 32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ? ? ≠c a y y / 例2：求2 31 2)(++= x x x f ，()2,1∈x 的值域。 分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32 得出，通过图初中数学一次函数的最值问题
附录2(分式函数求值域方法总结)
一次分式函数最值问题
分式函数的图像与性质
一次分式型函数学案
反比例、分式函数
一次分式函数
求分式函数值域的几种方法-精品
分式函数的图像与性质
次分式函数值域的求法
分式函数求值域
分式函数求最值 班 班
一次分式函数最值问题
题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)
求函数最值的方法归纳
分式型函数求值域的方法探讨