初一数学竞赛培训
有理数及其性质
一、有关知识与要点
1、 整数和分数统称为有理数，实际上就是在小学所学的基础上增加了负整数、负分数。
2、 除了上面的定义外，有理数还可以这样定义：能表示成分数m p
形式的数（其中m 、p 均为整数，m ≠0），称为有理数。
3、 有理数的分类 ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数
4、 有理数的性质
1) 顺序性
☐ 对于任意两个有理数a 、b ，在ab 三种关系中，有且只有一种成立。(三岐性)
☐ 如果aa 。(不等的对逆性)
☐ 如果a
☐ 如果a=b ，b=c ，那么a=c 。(相等的传递性)
☐ 如果a=b ，那么b=a 。(相等的反身性)
2) 对加、减、乘、除(0不为除数)四则运算的封闭性，即任意一对有理数，对应的和差、积、商(0不为除数)仍为有理数。
3) 稠密性，即任意两个有理数之间存在着无限多个有理数。
二、例题
例1 把2.1454545……化成分数。
例2 试证：任何两个不同的有理数a 、b 之间存在着无限多个有理数。
例3 试说明在所有比给定的有理数a 小的有理数中，没有最大的数。
例4 比较3
a a 与
的大小。
例5 设 a 、b 、c 、d 都是非零有理数，试证：－ab 、cd 、ac 、bd 四数中，至少有一
个取正值，且至少有一个取负值。
三、练习
1、 数()()()()()()()4
214213213211,1,1,1⨯-⨯-⨯-⨯-n n 中最小的数是 2、 最小的非负有理数与最大的非正有理数的和是
3、 乘积⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-2221011311211 ＝ 4、 比较大小：A ＝89012345677890123456，B ＝8901234566
7890123455，则A B 5、 满足不等式104≤A ≤105的整数A 的个数是x ×104+1，则x 的值是（ ）
A 、9
B 、8
C 、7
D 、6
6、 最小的一位数的质数与最小的两位数的质数的积是（ ）
A 、11
B 、22
C 、26
D 、33
7、 设有如下的一列数：
,,,,,,,,,,,151142332411322311221如果我们从左边第一个数起往右数，那么98是这列数的第 个数。
8、 比较的大小。与10
110099654321⋅⋅⋅⋅
初中数学竞赛专题2——有理数 1.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、不等式、绝对值、完全平方式、选择题） 【标准答案】1#0#1#4#B 若有理数a，b，c满足 a+b+c=0，abc=2，c>0，则（）A.ab<0 B.a+b≥2 C.a+b≥4 D.0≤a+b≤1 【分析】由题意知，a+b=-c ,且ab=2 c ＞0，由于(a?b)2+4ab=(a+b)2, 因为 (a?b)2≥0，所以4ab≤(a+b)2，即8 c ≤c2,c≥2，因为a、b同号，所以|a|+|b|=c≥2，故选B. 【答案】B 【技巧】本题关键在于运用完全平方式的非负性建立不等式，再根据不等式的性质解题. 【易错点】在运用不等式性质的时候若不注意符号问题就容易出错. 2. （1）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、选择题）【标准答案】2#0#1#4#A 已知a=?1999×1999?1999 1998×1998+1998,b=?2000×2000?2000 1999×1999+1999 ,c=?2001×2001?2001 2000×2000+2000 ，则abc的值等于( ) A. -1 B. 3 C. -3 D. 1 【分析】因为a=?1999×1999?1999 1998×1998+1998=?1999×(1999?1) 1998×(1998+1) =?1，同理可求得b=?1,c=?1.所以 abc=?1. 【答案】A 【技巧】观察分析，提公因式法求值计算. 【易错点】若直接计算容易因数值太大而计算出错. 3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、平方差公式、选择题） 【标准答案】3#0#1#4#D 乘积(1?1 22)(1?1 32 )?(1?1 19992 )(1?1 20002 )等于( )
七年级数学竞赛讲座(四) 有理数的有关知识 一、一、知识要点 1、绝对值 x 的绝对值x 的意义如下：x =? ? ?<-≥00x x x x ，如果，如果 x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0 绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得： b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。 2、倒数 1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。 3、相反数 绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。 二、二、例题精讲 例1 化简 6312-+--+x x x 分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。 解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6 当 21 - 第一讲 数的整除 一、内容提要： 如果整数A 除以整数B （B ≠0）所得的商A /B 是整数，那么叫做A 被B 整除． 0能被所有非零的整数整除． 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除（如771，54324） 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整 除（如143，1859，1287，908270等） 7，11，13 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和 相减，其差能被7或11或13整除．（如1001，22743，17567， 21281等） 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除． 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1 已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除．求x ，y 解：x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y =6． ∵328＋92x ＝567，∴x =3． 1234能被12整除，求x． 例2 己知五位数x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8． 当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8．∴x＝8． 例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数． 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263． 三、练习 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296． 987能被3整除，那么a=_______________． 2若四位数a x能被11整除，那么x＝__________． 3若五位数1234 35m能被25整除． 4当m=_________时，5 9610能被7整除． 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________． 7能被4整除的最大四位数是_____，能被8整除的最小四位数是______．88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________，8__________，9_________，11__________．9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个． 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值． 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数． 七年级数学竞赛常见题型 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算： 2007 20061 ......431321211⨯+ +⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 2 1 11211-=⨯，可利用通项 ()1 1 111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a －b<0、c －b>0. 解 由数轴知，a<0，a －b<0，c －b>0 所以，b c b a a -+-+= －a －(a －b)+(c －b)= －a －a+b+c －b= － 2a+c 初中数学竞赛辅导资料 第一讲 数的整除 一、内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中， 能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但 不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整 除的数共有几个？为什么？ 初一数学竞赛系列训练4有理数的有关知识 一、选择题 1、若的值是，则a a a 12=( ) A 、1 B 、-1 C 、1或-1 D 、以上都不对 2、方程132=-+-x x 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 E 、多于3个 3、下面有4个命题： ①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同． ②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同． ③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同． ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同． 其中正确的命题是：（ ） （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）④和① 4、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是( ) A 、4994 B 、9449 C 、4586 D 、86 45 5、设y ＝ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数)，已知当x ＝7时，y ＝7，则x ＝ -7时，y 的值等于( ) A 、-7 B 、-17 C 、17 D 、不确定 6、若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a +b ＝c ，b +c ＝d ，c +d ＝a ，则a +b +c +d 的最大值是( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、-5 二、填空题 7、设a <0，且x ≤21 ,--+x x a a 则＝ . 8、a 、 b 是数轴上两个点，且满足a ≤b ．点x 到a 的距离是x 到b 的距离的2倍，则x ＝ . 9、 若()2 36-+m a 与互为相反数，则=m a . 10、计算：=+++++++++++++100 321132113211211 . 11、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是 . 12、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，化简 ._____|1||||1|||=------+c c a b b a 三、解答题 13、化简：325-++x x 14、已知()200222110112??? ??+??? ??=++-b a b a ，求 15、若abc ≠0，求 c c b b a a ++的所有可能的值． 16、x 是有理数，求221 95221100++- x x 的最小值． 17、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a +b +x 2-cdx 的值． 18、求满足1=++b a ab 的所有整数对(a ，b ). 19、若631542+-+-+x x x 的值恒为常数，求x 的取值范围及此常数的值． 20、已知方程1+=ax x 有一个负根而没有正根，求a 的取值范围． 初中数学竞赛辅导资料（4） 零的特性 内容提要 一零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。 1．零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支衡可记作结存0元。 2．零是判定正、负数的界限。 若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作a＞0 a是正数读作a＞0等价于a是正数 b<0 b 是负数 c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d 0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e 0 e不是0 （即e不是0，而是负数或正数） 3．在一切非负数中有一个最小值是0。 例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0；a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。 3．在一切非正数中有一个最大值是0。 例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2 0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。 二零具有独特的运算性质 1．乘方：零的正整数次幂都是零。 2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。 3．乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。 要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。 4．加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数 a+b=0 5．减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定， 若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。 反过来也成立，当 a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a 三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。 可用不等式表示其值范围如下： 1.55 近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 七年级数学思维探究：有理数的运算(有答案)(数学竞赛) 杨辉,中国南宋时期杰出的数学家,大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多,著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着,他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算 有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础． 有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算． 运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决 例1 （1）已知() ()2 1, 2,3, 1n a a n n = =+,记 ()1121b a =-,()()212211b a a =--,…,()()()122111n n b a a a =---,则通过计算推测n b 的表达式 n b =________．（用含n 的代数式表示） （2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是____． 试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题． 例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12 试一试解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3计算 （1）1 1 2 1 2 3 1 259233444606060?????? ++++++ ++++ ? ? ????? ? ? ； （2）111 112123 123100 + +++ ++++++ +； （3）773712173817 27111385271739172739? ???+-÷+- ? ?? ??? ． 试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加；对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题 第一讲有理数的巧算 趣题引路】 (第6届“希望杯”竞赛试题改编)计算： 2004×20032003＋2005×20042004－2003×20042004－2004×20052005 解析原式＝2004×20032003－2003×20042004＋2005×20042004－2004×20052005 ＝(2004×2003×10001－2003×2004×10001)＋(2005×2004×10001－2004×2005×10001) ＝0 点评:abcabc型式子通常将它化成abc×1001型式子，有的问题还利用到1001＝7×11×13这一特点来进行考查，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。 知识延伸】 一、巧用运算律 进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。 例1 计算：(1) 7 1999 8 -×16；(2) 11311 ()() 63641248 --+-÷- 解析(1)原式＝ 1 (2000) 8 --×16 ＝－(3200－2) ＝－31998 (2)原式＝－ 1131 ()48 636412 --+-?＝－(－8－ 4 3 ＋36－4)＝－ 2 22 3 . 点评:(1)像 7 1999 8 、2003等数字在参与运算时，往往将其写成 1 2000 8 -、2000＋3的形式；(2)利用乘 法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。 二、有理数大小的比较 有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较. 例 2 (1992年“缙云杯”初中数学邀请赛试题)把 199191199292 ,,, 199292199393 ----四个分数按从小到大的顺序 排列是. 解析： 1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392 ,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291 ,. 199319929392199319929392 <<<∴<<< ∴>>>∴-<-<-<- 而 点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也 是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律； 1 1 n n n n - < + (n是正整数)，如 1234 2345 <<< 第二讲 有理数 一、有理数的定义 能够表示成既约分数 ),,0(为互质整数n m n n m ≠的形式的数，称为有理数。 二、有理数的性质 1、有序性 2、封闭性 3、稠密性 例 试证：设a 为有理数，b 为大于a 的有理数，试证：没有最小的b 使 a 例5 计算 20 12019120192031012014121431432141313213231211211+++++++++++++++++++++++++ 例6 都不是整数对任意正整数证明：n n n n 3 13529132+++ 例7 n S n ?-++-+-=+1)1(4321 计算： 例8 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 例9 计算1+3+5+7+…+1997+1998的值。 四、 有理数大小的比较 1、做差法：若a-b >0,则a>b ；若a-b =0,则a=b ；若a-b <0,则a 七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥⎧=⎨ -≤⎩ ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。 6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 第1讲有理数和数轴 知识方法扫描 1. 正数和负数 自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示． 如+5，+78，+2.4等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。如-65，-78，-92.4等带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数， 2．有理数的分类 （1） ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数零 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 （2） ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? 正整数 正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数 负分数 3. 数轴 规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴 建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点. 数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数. 4．相反数 只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. 互为相反数的和为0， 在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 经典例题解析 例1（1996年第7届“希望杯”数学邀请赛试题） 若a、b互为相反数，c,d互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=______ 解因a、b互为相反数，故a+b=0；因c,d互为负倒数，故cd = -1，于是(a+b)1996+(cd)323 = 01996+(-1)323 = -1 评注互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。 例2 （2000年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题） 三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，b a ，b的 形式，那么a+3b= 七年级有理数培优题(有答案) 有理数培优题基础训练题 一、填空： 1、在数轴上表示-2的点到原点的距离等于2. 2、若|a|=-a，则a<0. 3、任何有理数的绝对值都是非负数。 4、如果a+b=0，那么a、b一定是互为相反数。 5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是0.1*2^20毫米。 6、已知|a|=3，|b|=2，|a-b|=a-b，则a+b=5. 7、|x-2|+|x+3|的最小值是1. 8、在数轴上，点A、B分别表示-4/11、4/2，则线段AB 的中点所表示的数是0. 9、若a,b互为相反数，则ab<0. 10、若abc≠0，且P的绝对值为3，则(a+b+c)/(abc)+mn-p^2=3253. 11、下列有规律排列的一列数：1、3、6、10、15、…，其中从左到右第100个数是5050. 二、解答问题： 1、已知x+3=0，|y+5|+4的值是4，z对应的点到-2对应 的点的距离是7，求x、y、z这三个数两两之积的和。 解：由x+3=0得x=-3，|y+5|+4=4，解得|y+5|=0，y=-5，z 到-2的距离为7，即|z-(-2)|=7，解得z=-9或5.两两之积的和为：x*y+x*z+y*z=(-3)*(-5)+(-3)*(-9)+(-5)*(-9)=72. 3、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x满足的条件 及此时常数的值。 解：当4-5x>=0，1-3x>=0时，2x+|4-5x|+|1-3x|+4=2x+(4- 5x)+(1-3x)+4=-4x+9；当4-5x=0时，2x+|4-5x|+|1-3x|+4=2x-(4- 5x)+(1-3x)+4=-x+9；当4-5x>=0，1-3x=1/3时，2x+|4-5x|+|1- 3x|+4的值为9；当1/34/5时，2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值为-2x+7. 4、若a,b,c为整数，且|a-b|^(2010)+|c-a|^(2010)=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c|的值。 解：由于a,b,c为整数，所以|a-b|^(2010)和|c-a|^(2010)只能为0或1，而且|a-b|^(2010)+|c-a|^(2010)=1，所以|a-b|^(2010)=1，|c-a|^(2010)=0.因此a-b=1或a-b=-1，c=a或c=b。如果a-b=1， 那么c=a，此时|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+1+2=4；如果a-b=-1，那么 c=b，此时|c-a|+|a-b|+|b-c|=1+1+2=4.所以|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为4. 初一数学竞赛培训 有理数及其性质 一、有关知识与要点 1、 整数和分数统称为有理数，实际上就是在小学所学的基础上增加了负整数、负分数。 2、 除了上面的定义外，有理数还可以这样定义：能表示成分数m p 形式的数（其中m 、p 均为整数，m ≠0），称为有理数。 3、 有理数的分类 ⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 4、 有理数的性质 1) 顺序性 ☐ 对于任意两个有理数a 、b ，在ab 三种关系中，有且只有一种成立。(三岐性) ☐ 如果aa 。(不等的对逆性) ☐ 如果a 二、例题 例1 把2.1454545……化成分数。 例2 试证：任何两个不同的有理数a 、b 之间存在着无限多个有理数。 例3 试说明在所有比给定的有理数a 小的有理数中，没有最大的数。 例4 比较3 a a 与 的大小。 例5 设 a 、b 、c 、d 都是非零有理数，试证：－ab 、cd 、ac 、bd 四数中，至少有一 个取正值，且至少有一个取负值。 三、练习 1、 数()()()()()()()4 214213213211,1,1,1⨯-⨯-⨯-⨯-n n 中最小的数是 2、 最小的非负有理数与最大的非正有理数的和是 3、 乘积⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛ -2221011311211 ＝ 4、 比较大小：A ＝89012345677890123456，B ＝8901234566 7890123455，则A B 5、 满足不等式104≤A ≤105的整数A 的个数是x ×104+1，则x 的值是（ ） A 、9 B 、8 C 、7 D 、6 6、 最小的一位数的质数与最小的两位数的质数的积是（ ） A 、11 B 、22 C 、26 D 、33 7、 设有如下的一列数： ,,,,,,,,,,,151142332411322311221如果我们从左边第一个数起往右数，那么98是这列数的第 个数。 8、 比较的大小。与10 110099654321⋅⋅⋅⋅ 初中数学竞赛知识点汇总 数学竞赛在初中阶段是一个很重要的环节，通过参加竞赛可以提高学生的数学 素养和解决问题的能力。在竞赛中，学生需要掌握一些基础的数学知识点，并能够将这些知识点灵活运用于解题过程中。以下是一些常见的初中数学竞赛知识点的汇总，希望能对您有所帮助。 1. 整数与有理数 整数是数学中最基本的概念之一，初中数学竞赛中经常会涉及到整数的加减乘除、约分、化简等运算。还需熟悉有理数的概念，掌握有理数的大小比较和运算法则。 2. 数列与函数 数列是由一定规律生成的一系列数的集合，常见的数列有等差数列和等比数列。在竞赛中，需要能够找出数列的通项公式、求和公式、递推关系等。而函数是数学中非常重要的概念，需要掌握函数的定义、性质、图像、单调性等。 3. 平面几何与立体几何 平面几何包括点、线、面的相关概念，初中数学竞赛中常见的平面几何知识点 有相似与全等三角形、平行线与垂线、圆的性质等。而立体几何包括三棱柱、三棱锥、圆柱、圆锥等的性质与计算公式。 4. 概率与统计 概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，通过参加竞赛可以了解到一些基 础的概率知识如基本事件、互斥事件、相互独立事件、排列组合等。统计是通过对数据进行收集、整理、分析和解释来研究事物的数量关系，包括频率、平均数、中位数、众数等统计指标的计算与应用。 5. 三角函数与初等函数 三角函数是数学中的一大重要分支，涉及到正弦、余弦、正切等函数的定义、性质和图像。初等函数是对于已知函数进行加减乘除和复合运算而得到的函数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。 6. 数论与代数 数论是研究整数性质的一个分支，常涉及质数与合数、最大公约数和最小公倍数等概念。代数是数学中的基础内容，包括方程、不等式、函数、多项式等的知识点。 7. 排列与组合 排列与组合是组合数学的一部分，通过研究对象的选择性排列与组成来研究其性质与规律。初中数学竞赛中常涉及到全排列、组合、二项式定理等相关概念。 8. 坐标与向量 坐标是指我们用一个点在某个直角坐标系中的位置来表示这个点。参加初中数学竞赛需要掌握点的坐标、向量的概念以及坐标与向量的计算与应用。 以上是一些常见的初中数学竞赛知识点的汇总，每个知识点都有其特定的应用场景与解题方法。在备战数学竞赛时，同学们要注重基础知识的掌握与运用，通过大量的练习和归纳总结来提高自己的解题能力。相信通过不断地学习和实践，同学们一定能取得优异的成绩！ 初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础(它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算(不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性( 1(括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单( 例1 计算: 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号(因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化( 第 0 页共 1 页 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数， 这样便于计算( 例2 计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445( 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简 单(本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算( 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000( 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧( n+1 例3 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)?n( 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”(如 果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法( n+1 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)?n( 第 1 页共 2 页 下面需对n的奇偶性进行讨论: 七年级数学竞赛题：有理数的计算 在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算， 当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的 计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理 数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地 算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵 活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法 有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等． 例题与求解 例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3， 则x 3一(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(一ab)2002的值等于_________． (2002年湖北省黄冈市竞赛题) 解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算． 例2把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后 的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )． (A)6次 (B)7次 (C)8次 (D)9次 (2002年江苏省竞赛题) 解题思路探索对折的规律，运用估算求解． 例3计算： (1) ;100 ......3211......32112111+++++++++++ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2);7 (77771998) 4 3 2 +++++ (江苏省泰州市奥校竞赛题) (3).199919981997 (19521951195019492) 2 2 2 2 2 2 +-++-+- (北京市竞赛题) 解题思路对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不 妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比 都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联想到平方差公式． 奥数知识点汇总（初一） 第一章 整数 一、整数的几种表示方法： 选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。 它是解决整数问题的前提。1、整数的多项式表示法： 任何一个十进制的正整数N 都可表示为： 12121010101010n n n n N a a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯+， 这里n a 、1n a -、……2a 、1a 、0a 各取于0——9这十个数字中的任何一个。如果N 是一个 n+1位正整数，则n a ≠0。为了方便，也可将N 简记作110 N n n a a a a = -—————————————— 。 这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字n a 叫做整数N 的首位数字，最右边的一位数字0a 叫做整数N 的末位数字。 2、整数的质因数连乘积表示法： （1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。 这就是说，任何一个整数N （N ＞1），都能唯一地表示成下面的形式： 1212n n N p p p ααα= 其中1α，2α，……n α为自然数，12,,,n p p p 为质数，并且1p ＜2p ＜……＜n p 。这种 表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N 的标准分解式。 （2）约数个数定理——一个整数N （N ＞1），如果它的标准分解式为 1212n n N p p p ααα=,那么它的约数个数为（1＋1 α ）（1＋2α）……（1＋n α）。 另外，如果一个正整数N 的约数个数是奇数，那么这个正整数N 是完全平方数。 3、整数的带余式表示法： 如果整数a 除以正整数m 所得的商是q ，余数是r ，那么a ＝mq+r ，其中q 、r 都为整数，并且0≤r ≤m －1。这种表示法称为整数的带余式表示法。 如果整数a 、b 分别除以正整数m 所得得余数都是r ，即a=mp+r ，b ＝mq+r(p 、q 为整数)，那么称a ，b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。容易推知对于模m 而言，与a 同余的一切整数可以表示为mt+r (t 为整数)，这里r ＝0，1，……，m －1。把所有这样的整数作为一类，称为以m 为模的一个同余类。 一般地，对于模m 而言，应当有m 个同余类存在，可分别表示为： mt,mt+1,mt+2,……，mt+(m －1)（t 为整数）。 任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模m数学七年级竞赛入门辅导讲义_共十讲_很实用 2
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