三角形整理（上升三角形，下降三角形，对称三角形）
三角形整理形态包括上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种形态。三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分
为对称、上升、下降三种形态。三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；如果上
方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三角形整理形态称之
为下降三角形。一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。
一、三角形整理的定义
三角形是一种重要的整理形态，根据收敛的表状，可分为对称、上升、下降三种形态。三角形由两条收敛的趋势线构成，如果上方趋势线向下倾斜，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为对称三角形；
如果上方趋势线呈水平状态，下方趋势线向上倾斜，此种三角形整理形态称之为上升三角形；
如果下方趋势线呈水平状态，上方趋势线向下倾斜，此种三
角形整理形态称之为下降三角形。
一般认为上升三角形突破必然向上，下降三角形突破必然向下，但实际情况也不尽然如此。在很多情况下，三角形态都不能事
先确定股价的波动方向，其突破是否有效取决于两个方面：其一是向上突破必须有成交量的配合，向下突破不一定要有量的配合；其二是三角形突破只有在从起点至
终点(末端)的大约三分之二处发生突破，才会有效或具有相当的突破力度，股价若运行至末端才出现突破，其突破往往不会有效或缺乏力度。
二、三角形整理形态的种类
主要包括：上升三角形、下降三角形、底部三角形、扩散三角形、收敛三角形五种。
2.1、上升三角形
上升三角形是众多盘整形态中的其中一种，是一种持续形态，即后市依然会延续先前趋势。
上升三角形
2.2、下降三角形。
下降三角形同上升三角形正好反向，是看跌的形态。它的基
本内容同上升三角形可以说完全相似，只是方向相反。
下降三角形
2.3、底部三角形
它的形成与下降三角形相同，不同地是：
1、所处的位置不同。底部三角形处于某股票大跌之后。下降三角形处于涨势高位区和下跌途中。
2、在整理过程量能不同。底部三角形在上涨时放量，下跌时量减小。而下降三角形与之正好相反。
3、形成的时间不同。底部三角形形成的时间较长，下降三角形形成的时间较短。
4、选择突破的方向不同。底部三角形是向上突破，而下降三角形是向下突破。当底部三角形选择向下时，就变成了下降三角形。
底部三角形
为什么说“底部三角形”向上突破的可能性极大呢？这是因为股价在
经过连续几次大幅下挫，反弹力度越来越弱，绝大多数投资
者对该股的前景已失去信心，想跑的基本上跑光了，剩下的已是“死猪不怕开水烫”，铁了心的“死多
头”。此时做空的能量得到了充分释放，市场上如果有新多力量加入，空方就无力打压，很容易引起股价的上扬。所以“底部三角形”的出现为投资者提供了一个
“抄底”的良机，而这种技术图形经常发生在一些冷门股上，很多大黑马就是这样产生的。故我们对此要引起高度重视。
注：“底部三角形”往上突破有两种情况：一是突破上边线，经回抽后，再往上走；二是突破上边线后，直接往上攀升。
2.4扩散三角形
扩散三角形
出现在涨势中，上升的高点越来越高，而下跌的低点越来越低，如将两个高点连成直线，再将两个低点连成直线，即可形成一个喇叭状，这就是“扩散三角形”。“扩散三角形”经常出现在投机性很强的个股上，当股价上升时，投资者受到市场炽热的投机气氛或谣言的感染，疯狂地追涨，成交量急剧放大；而下跌时，则盲目跌，正是由于这种原因，造成了
股价的大起大落。
“扩散三角形是大跌的先兆”是大跌的先兆。当市场参与者变得毫无理智时，其中蕴含的风险也就不言而喻，而“扩散三角形”正是人们过度投机心理在图表上的反映，它暗示升势已经穷尽，下跌一触及发。
2.5收敛三角形
收敛三角形也叫对称三角形，是股票比较常见的整理形态，有时也会出现趋势逆转突破的情况，但机率出现的比较少，通过一系列市场不完全统计，对称三角形中大约四分之三属整理形态，四分之一则属升市顶部或跌市底部出现的转势形态。整理形态是指股价经过一段时间的快速变动后，即不再前进而在一定区域内上下窄幅变动，等时机成熟后再继续以往趋势运动的走势，称之为整理形态。
对称三角形
三、三角形整理形态研判要点
三角形整理形态是常见的一种整理形态，是基本的整理形态
之一。虽然是基本的整理形态，但就最近观察的个股而言，主要见于前
期突破上涨的幅度在30-50%之间的个股中，那些一次性升幅在一倍左右的个股中，不多见此类整理形态，可能因为升幅大的的原因，需要更长的调整时间和更
复杂的调整形态。此类股票，调整三、四个月很常见。
调整的时间长度。
就目前自己观察到的一些三角形整理形态，调整的时间多在二个月左右，这个时间长度，对于一个前期升幅不是很大的个股讲，是个比较合适的调整时间。太短了，
例如一个月左右，时间明显不够长，浮筹洗得不会很干净；太长，例如超过三个月甚至半年，似乎对前期升幅的确认、整理，有些过份，那会将形态引向复杂化。不
过是上升了30%，调半年，有些没有意思了。两个月左右的时间，正好够一个整理形态完成的时间，也基本满足了主力调整、洗盘的需要。两个月左右的时间，无
论是对主力还是对市场，都是一个比较合适的时间长度。
股价与均线系统的关系。
两个月左右的时间，时机交易时间在50到60个交易日之间，假设股价每天不变，60日均线会与股价重合。股价每天都在
变化，但由于在见顶后常有一个深幅的
下探，随后股价多振幅不大，实际最后的结果就是股价基本与60日均线距离不远。略高或略低于60日均线，此时已不太重要。当然，最好是低于60日均线。
成交量的变化。
从三角形整理的初始到结束阶段，标准的图形是应该有一个成交量的大幅减少再到放大的过程。这是因为在三角形整理的初期，是前期突破阶段的结束阶段，此时的
成交量一定是很大的。进入调整阶段后，成交量自然减少。在整理末期，股价不再下跌，开始表现出强势状态，需要成交量的配合才行。此时成交量开始放大。放大
的幅度不必要赶上整理初期的量，但一定要比前期成交量萎缩时有明显的放大。
调整的幅度。
调整的极限位置在前期突破阶段升幅的一半位置。原因是既然是调整，就不能跌幅过大。否则，就不是对前期突破的回抽确认的性质了，就不是对前期突破的整固
了。如果调整幅度过大，就变成了股价的大幅震荡了。如果在升幅的三分之一位置就停止调整，也是一种常见的情况，这属于比较强势的调整。从前期高点的角度
看，下跌幅度一般在15-25%之间。小于15%，有些过小，大于25%的，也不多见。
调整结束的条件。
这是个目前很难回答的问题。一般而言，至少要满足以下条件：
一、成交要有效放大。
二、突破三角形下降压力线。
三、基本达到两个月的时间长度。
四、完成了两次探底的过程。
五、在突破下降压力线后，股价要在压力线上方停留几天，以确认突破的有效性。
六、标志性的走势是出现一根4%以上的带量中阳线，并且随后进入短则几天，长则两周左右的震荡。随后一般会出现10-20%左右的涨幅。
四、三角形形态的构成要素：
1.最普遍的三角形由一系列价格波动组成，每一波动比其前者要小，每个细小的顶部都不能达到前一反弹的高度，而且每一细小回撤，都停在前一底部的上方。一般至少需要4个反转点,大部分三角形都有6个反转点.3个高点和3个低点形成5个波浪.
2.对称三角形的完成过程中，交易量有所收缩，或许规则不明显，但随着时间的推移，这种变化将相当明显。当价
格以越来越窄的波动靠近两边交叉的顶点时，交易量将萎缩到一极低的日成交额
3.直角三角形的一条边界线实际为水平状，另一条边界线与水平线形成一夹角。如果顶部线为水平，底部线上倾并在图表右部某处与顶部线交叉，那么该三角形为上升三角形类。如果底部线为水平，顶部线下斜，那么该三角形为下降类
4.三角形最终的突破可以用收盘价距离形态边线距离的3%来做确认。价格如果向上则需要交易量的显著增长为证据。缺少交易量，不能认为是有效的价格运动。但向下突破时，不需要交易量增长加以证实。
五、三角形整理形态操作要点
1.三角形没有非常好的测量目标位的方法，但是有规则可供使用，假设有一个上升运动，从开始形态的第一个反弹顶部出发，画一条平行于底部边界线的直线，这条线将会向右滑离开形态。价格可望一直上升而达到这条线，而且，从形态突破后，价格上升的角度和速度等趋势特征通常与进入形态之前的趋势特征相同。这条规则可使我们得出价格到达测量线的大体时间和价格水平，同样的规则也适用于下降运动。
2.三角形的图表很少有预示价格向哪个方向突破的线索，直至突破行为最后发生。在未冲破边界前，价格朝两边
交叉的顶点推进得越远，该形态的力量或能量可能会越弱。
3.当前面两个反弹顶部已经形成了下倾的上部边界线时，从下部边界线出发的第三个反弹以一适度的幅度冲过最初顶部线，
如果这个运动没有形成可识别的突破性交易量，那么在没有超过前一形态顶部最高点时就会停下来。当价格随后又回至形态中时，必须将原来上部边界线废弃，再由
第一次和第三次反弹顶部重新画一条线。
4.一个以极大交易活动为开端的对称三角形，对它的向下突破更容易是虚假信号，而非真实下跌趋势的开端。尤其是突破发生在价格已经逐渐前进到三角形顶点处之后，上述奇怪现象更容易会发生。
5.只有直角三角形给出关于自己意愿的事先通知。突破越早，越不会是虚假运动。
由于正三角形的形成是由多空双方逐渐占领对方空间，且力量均衡，所以从某种角度说，此形态为盘整形态，无明显的价格走向。在此期间，由于价格波动越来越小，技术指标在此区域也不易给出正确指示。故投资者应随市场而行，离场观望。
对称三角形
价格在正三角形中运行，如果价格发展到正三角形尾端才突破斜边，则其突破后的涨跌力道会大打折扣，会相对减
弱。这是由
于多空双方长时间对峙，双方消耗大，故在三角形尾端短兵相接时，双方力量均不足以做大波浮动。一般来说，价格在三角形斜边的三份之二处突破时，涨跌力度会
最大。
三角形在向上突破斜边后，价格往往会出现短暂性的“回抽”，其回抽的终点，大致会在三角形尾部的尖端上，这里是多空双方力量的凝聚点。多方占优，后市将有一段不俗的涨幅。
在经过大跌后出现正三角形形态，一般只是空方稍作休息，不久又会开始新一轮的跌势，此三角形也可称“逃命三角形”，投资者在此应密切注意。
投资者在对待正三角形形态时，少动多看，待价格正式有效突破后，再伺机而动
扩散三角形
扩散三角形比较罕见,通常出现在阶段顶部,所以一般视为空头形态
图类似扩大的三角形,有三个连续高点和两个连续低点.价格震荡越大,成交量越大,显示市场有失控而流于情绪化现象
一般第三高点完成后的滑落如突破第二低点,则为该形态完成的信号
下跌信号出现后,常有暂时回升,其回升幅度大约是前一次下
跌的50%
【知识点回顾】 轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。 轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】 例1. 如图，ABC ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。 求证：B C B D AD =+。 分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有
FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ?和EB D ?中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，， 80 DEF 100 A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴， 又 100A AC AB =∠=， 40)100180(2 1 C ABC =-=∠=∠∴ 20402 1 21=?=∠=∠∴ 而B F B D = 80)20180(2 1 )2180(21BDF BFD =-=∠-= ∠=∠∴ AD BD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DF DE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴ ， 即B C B D AD =+ 【随堂作业】 1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ） A ．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形 C. 有一个内角是30°的直角三角形 D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 （ ） ① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形 ④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 （ ） A ．21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01 4、下列推理中，错误的是 ( ) A ．∵∠A ＝∠ B ＝∠ C ， ∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ，则这个三角形的周长是 ( ) A ．9cm B ．12cm C ．9cm 和12cm D ．在9cm 与12cm 之间
《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥===，则ADE ?的面积为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时
针旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
. 《全等三角形》压轴题训练 (1) 1. 如图，在 ABC 中， AD BC,CE AB , 垂足分别为 D, E, AD ,CE 交于点 H , EH 、 EB 3,AE 4，则 CH 的长是 ( ) A.4 B.5 C.1 D.2 2. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 AC, AB 于点 M , N ，再分别以 M , N 为圆心， 大于 1 MN 长为半径画弧， 两弧交于点 P ， 2 作射线 AP 交边 BC 于点 D ，若 CD 4, AB 25 ，则 ABD 的面积为 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3. 如图，在 Rt ABC 中， C 90 ,AC 12, BC 6 ，一条线段 PQ AB, P, Q 两点分 别在线段 AC 和以点 A 为端点且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 ABC 和 QPA 全 等，则 AP 的长为 . 4. 如图， AD // BC, AB BC, CD ，则 ADE 的面 积 DE, CD ED, AD 2, BC 3 为 . 5. (1) 观察推理 : 如图①， 在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , 直线 l 过点 C ，点 A, B 在 直线 l 的同侧， BD l , AE l ，垂足分别 为 D,E . 求证: AECCDB . (2) 类比探究 : 如图②，在 Rt ABC 中， ACB 90 ,AC 4 ，将斜边 AB 绕点 A 逆时
.
. 针旋转 90°至 AB ，连接 B C ，求AB C 的面积 . (3) 拓展提升 : 如图③，在EBC中， E ECB 60 ,EC BC 3，点 O 在 BC 上， 且 OC 2 ，动点 P 从点 E 沿射线 EC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 OP ，将线 段 OP 绕点 O 逆时针旋转 120°得到线段 OF . 要使点 F 恰好落在射线EB 上，求点 P 运 动的时间 t . 6. 【初步探索】 (1) 如图①，在四边形 ABCD 中， AB AD , B ADC 90 . E, F 分别是 BC , CD 上的点，且 EF BE FD . 探究图中BAE , FAD , EAF 之间的数量关系. 小王同学 探究此问题的方法 :延长 FD 到点 G ，使 DG BE . 连接 AG. 先证明ABE ADG ， 再证AEF AGF ，可得出结论，他的结论应是. 【灵活运用】 (2) 如图②，在四边形ABCD 中， AB AD, B D 180 . E, F 分别是 BC, CD 上 的点，且 EF BE FD ，上述结论是否仍然成立?请说明理由 . 【延伸拓展】 (3) 如图③，在四边形ABCD 中，ABC ADC 180 , AB AD . 若点 E 在 CB 的延 长线上，点 F 在 CD 的延长线上，仍然满足 EF BE FD ，请写出 EAF 与 DAB 的数量关系， 并给出证明过程 .
B A O D C E 图8 济南初中数学压轴 --------姜姜老师 北师大版七年级下三角形综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角 形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c 3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说 明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是， 请说明理由． 图9 图10 图11 C B O D 图7 A E
同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =； （2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. （3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明． 5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△； （2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论． C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等 1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．
轴对称专题 [轴对称图形] 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． [轴对称] 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． [图形轴对称的性质] 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． [轴对称与轴对称图形的区别] 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． [线段的垂直平分线] （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 轴对称变换 [轴对称变换] 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．[轴对称变换的性质] （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． [作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
中考专题-------三角形 一．选择题（共3小题） 1．（2014?山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） ． a2a2a2a2
AC= EC= EP=PC=a =a×a= = 2．（2014?武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD， ②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（） EF=AC EF=AC
3．（2013?河北模拟）四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（） DAC= 二．填空题（共6小题） 4．（2015?泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的 …如此继续下去，结果如下表，则a n=3n+1（用含n的代数式表示）．
5．（2013?宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC 的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为6个．
6．（2013?齐齐哈尔模拟）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1， 它的面积记作S2，照此规律，则S2012=． 的面积是，求出 =××× ×××=×××××××××…××（）AB
等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图． 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C； (3)BD＝CD，AD为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为 钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
2 1 F D E C A B 1、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形ABCD 中，BC AD //，点 E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点 F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =?. (1) 求证：DBE CDE ∠=∠； （2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）证明：∵CE BE DE ?=2， ∴ DE BE CE DE = ． …………………………………………（2分） ∵E E ∠=∠， …………………………………………（1分） ∴DBE ?∽CDE ?．……………………………………… （1分） ∴CDE DBE ∠=∠． ……………………………………………（1分） （2） ∵CDE DBE ∠=∠， 又∵AFD DBE ∠=∠， ∴=∠CDE AFD ∠．………………………………………………（1分） ∴DC AB //． ………………………………………………（1分） 又∵BC AD //， ∴四边形ABCD 是平行四边形 ………………………………………（1分） ∵BC AD //， ∴1∠=∠ADB ． ……………………………………………（1分） ∵DB 平分ABC ∠， ∴21∠=∠． …………………………………………（1分） ∴2∠=∠ADB ． ∴AD AB =． ……………………………………………（1分）
∴四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………（1分） 2、（2010?山东省泰安市）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD=AB ，∠ADE=∠C （1）求证：∠AED=∠ADC ，∠DEC=∠B ； （2）求证：AB 2=AE·AC 2．（本小题满分8分） 证明：（1）在△ADE 和△ACD 中 ∵∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴∠AED=180°—∠DAE —∠ADE ∠ADC=180°—∠ADE —∠C ∴∠AED=∠ADC （2分） ∵∠AED+∠DEC=180° ∠ADB+∠ADC=180° ∴∠DEC=∠ADB 又∵AB=AD ∴∠ADB=∠B ∴∠DEC=∠B （4分） （2）在△ADE 和△ACD 中 由（1）知∠ADE=∠C ，∠DAE=∠DAE ∴△ADE ∽△ACD （5分） ∴ AD AC AE AD 即AD 2=AE·AC （7分） 又AB=AD ∴AB 2=AE·AC （8分） 3.
全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF//AB ，求证：EF=AC B C A D B C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 8. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= ∠C D C B A F E B A C D F 2 1 E A
中考专题---- 二角形 ?选择题（共3小题） 1如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC 于点M、N .若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A. 2 2 B? 1 2 C. 5 2 D.4 2 -a ^a ^a - a 349^ 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质. 专题：几何图形问题；压轴题. 分析：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q , △ EPM ◎△ EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解. 解答：解：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q, ???四边形ABCD是正方形，???/ BCD=90 ° 又???/ EPM= / EQN=90 ° ? / PEQ=90 ° ? / PEM+ / MEQ=90 ° ???三角形FEG 是直角三角形，? / NEF= / NEQ+ / MEQ=90 ° ? / PEM= / NEQ , ??? AC是/BCD的角平分线，/ EPC= / EQC=90 ° , ? EP=EQ ,四边形PCQE是正方形， r ZPEM=ZNEQ 在厶EPM 和厶EQN 中，EP=EQ EPM ◎△ EQN (ASA ) ? S A EQN=S A EPM , {ZEPI=Z EQN ?四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 ???正方形ABCD 的边长为a, ? AC= :■:a , ?/ EC=2AE , ? EC=' ' a , 3 ? EP=PC=^a，?正方形PCQE的面积'a；a」a2，?四边形EMCN的面积县a2,故选：D . 3 3 3 9 9 点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△ EPM EQN . 2. 如图/ A= / ABC= / C=45 °° E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF丄BD ,②EF^BD , ③ / ADC= / BEF+ / BFE ,④AD=DC ,其中正确的是（） A .①②③④ B .①②③C.①②④ D .②③④ 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质. 专题：压轴题. 分析：根据三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解. AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P. 解答：解：如下图所示：连接 ?/ / ABC= / C=45 ° ? CP丄AB ?/ Z ABC= / A=45 AQ 丄BC 点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM丄AC . 由中位线定理可得EF// AC , EF==AC ? BD丄EF，故① 正确. 2 ?/ Z DBQ+ Z DCA=45 °, Z DCA+ Z CAQ=45 °? Z DBQ= Z CAQ , ?/ Z A= Z ABC , ? AQ=BQ , ??? Z BQD= Z AQC=90 °, ???根据以上条件得A AQC ◎△ BQD , ? BD=AC ? EF」AC ,故② 正确. ?/ Z A= Z ABC= Z C=45 Z DAC+ Z DCA=180 °-( Z A+ Z ABC+ Z C) =45 ° ? Z ADC=180 ° -( Z DAC+ Z DCA ) =135°Z BEF+ Z BFE=180。-Z ABC 故③Z ADC= Z BEF+ Z BFE成立； 无法证明AD=CD，故④错误.故选B.
中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F ．
（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）． ①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ． ②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或 3 . 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形； （2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ； ②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论． 【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ， ∵PF ∥BC ， ∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形； （2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ， ∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ， 由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴ ' ' DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ； ②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1 2 BD ， ∴ '1 2 DF BD =， ∴tan ∠DBF′= '1 2 DF BD =；
中考数学压轴题全面突破之四?三角形的存在性 题型特点 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 解题思路 ①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系； ②分类讨论，画图； ③建等式，对结果验证取舍． 对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形． ②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比 例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解． ③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对 应关系，用同样方法解决问题． 难点拆解 ①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、 直线k值乘积为 1； ②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三 线合一找相似建等式； ③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表 达线段长，借助函数或几何特征建等式． ④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类． 1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。 的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．
（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标． （3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． y x O C B A y x O C B A y x O C B A
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ） a)已知一对等 b)己知两边对应成比c)己知一个直 d)有等腰关
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
第1章《全等三角形》压轴题训练 (1) 1.如图，在ABC ?中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( ) A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 2.如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,AC AB 于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12 MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ?的面积为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 3.如图，在Rt ABC ?中，90,12,6C AC BC ∠=?==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ?和QPA ?全等，则AP 的长为 . 4.如图，//,,,,2,3AD BC AB BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥= ==，则A D E ?的面积 为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ???. (2)类比探究:如图②，在Rt ABC ?中，90,4ACB AC ∠=?=，将斜边AB 绕点A 逆时针
旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '?的面积. (3)拓展提升:如图③，在EBC ?中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=?==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t . 6.【初步探索】 (1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ???，再证AEF AGF ???，可得出结论，他的结论应是 . 【灵活运用】 (2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=?. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由. 【延伸拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=?=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.
（压轴题）小学数学四年级下册第五单元三角形检测（含答案解析） 一、选择题 1．等边三角形不可能是（）三角形。 A. 锐角 B. 等腰 C. 钝角 2．下列不是利用三角形稳定性的是（）。 A. 自行车的三角形车架 B. 三角形房架 C. 照相机的三角架 3．在一个三角形中，其中两角之和是130°，另一个角是（）。 A. 30° B. 40° C. 50° 4．王强用一根6cm长的小棒和2根2cm长的小棒围三角形，结果发现（）。 A. 围成一个等边三角形 B. 围成一个等腰三角形 C. 围不成三角形 5．下面三组木棒中（）不能拼成三角形。（单位：厘米） A. B. C. 6．在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°（） A. 大 B. 小 C. 相等 7．把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。 A. 45°和45° B. 30°和60° C. 30°和30° 8．一个三角形被遮住了两个角，露出的角是锐角，这个三角形是（）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定9．三角板上最大的角是（）。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角10．下面可以围成等腰三角形的一组线段是（） A. 1厘米、1厘米、3厘米 B. 2厘米、2厘米、3厘米 C. 5厘米、5厘米、10厘米 11．下面第（）组的三条线段不能围成三角形。（单位：cm）
A. B. C. 12．一个三角形的三个内角分别是∠1、∠2和∠3，已知∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍，这是一个（）三角形。 A. 直角 B. 钝角 C. 锐角 二、填空题 13．一个直角三角形中一个锐角是46°，它的另一个锐角是________；一个等腰三角形的一个底角是70°，它的顶角是________。 14．三角形的一个角为70°，是另一个角的2倍，第三个角是________度，这个三角形是________三角形。 15．一个三角形的两条边分别是6厘米和5厘米，第三条边比________厘米长，比________厘米短。 16．在一个三角形中，∠1＝100°，∠2＝45°，那么∠3＝________ ，这是一个________三角形。 17．三根小棒的长度分别是7cm、9cm、2cm，它们________拼成三角形。（括号里填“能”或“不能”） 18．在一个三角形中，已知∠1＝72°，∠2＝48°，∠3＝________；一个等腰三角形的底角是45°，这个三角形一定是一个________三角形（按角分类）． 19．如图：一个三角形纸片被撕去了一个角，这个角是________度，原来这个纸片的形状是________三角形。 20．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角。这个角是________度，原来这块纸片的形状是________三角形。 三、解答题 21．以下面的线段为一边，画两个不同的钝角三角形，并画出其中的一条高。