初二几何复习题（三角形、轴对称）
1．已知，如图，ΔABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE交于P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD 的长。
2．RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，判断CF与GB的大小关系，并证明。
3．已知，AD为ΔABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AB+AC=2AM。
4．试证明：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，较大的边所对的角较大。5．如图，分别过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，按以下步骤画图并解答。
（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，则∠AEB是角。
（2）过E任作一条线段交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，有什么特殊的数量关系，并证明。（3）请猜想AD、BC与AB之间有什么数量关系。
6．如图，ΔABC中，∠ABC=42°，D是BC边上一点，DC=AB，且∠DAB=27°。请问ΔABC
是三角形。并证明。
7．已知RtΔABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。
（1）当E、F在线段AC和线段BC上时（如图1），SΔDEF、SΔCEF、SΔABC有怎样的数量关系，并证明。（2）当旋转到图2的位置时，SΔDEF、SΔCEF、SΔABC有怎样的数量关系，并证明。
8．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF。
9．点M 是四边形ABCD 的边BC 的中点，∠AMD=120°，求证：AB+
2
1
BC+CD ≥AD 。 10．已知，ΔABC 中，∠B=60°，AD 是BC 边的垂直平分线，D 为垂足，点E 在边上运动，EF 交AC 于G ，交BC 延长线于F ，并使AE=CF 。 （1）求证：GE=GF 。
（2）当点E 运动到AB 的中点时，如果AB=a ，求CG 的长。
11．已知，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。 求证：AM 平分∠DAB 。
12．已知，ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为CD 延长线上一点，CF ⊥AE ，垂足为F ，CF 交AB 于G 。 求证：BG=CE 。
13．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180°。求证：AE=AD+BE 。
14．如图，AE 是ΔABC 中∠BAC 的外角平分线，D 是AE 上一点。求证：BD+DC>AB+AC 。
15．已知：ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，过点C 作CE ⊥BC 于C ，D 为BC 边上一点，且BD=CE ，连结AD 、DE 。求证：∠BAD=∠CDE 。
16．ΔABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度，并利用图③证明结论。
17．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC，试判断线段CD、BD与AC间有怎样的数量关系，并证明。
18．直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F。
探究：如果折叠后的ΔCDF与ΔBDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形。
19．已知，ΔABC中，AB=AC，延长AC到点D，在射线BA上是否存在一点E，连DE，恰好使DE被直线BC截成相等两条线段。若存在，请找出点E的位置，并证明。若不存在，说明理由。
20．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N。
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，易证MN=BM+DN。
（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明。（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN间又有怎样的数量关系？并证明。
21．探究：问题1，已知，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂点分别为点E、F，AE、BF交于点M，连接DE、DF，若DE=kDF，则k的值为。
拓展：问题2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF，求证：DE=DF。
推广：问题3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF 之间的数量关系，并证明。
22．已知，ΔABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC=60°。
问题1：如图1，若∠ACB=90°，AC=mAB，BD=nDC，则m的值为，n的值为。问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB>AC，BD>DC。
（1）求证：BD－DC （2）若点E在AD上，且DE=DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数。 23．已知，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°<α<120°，P为ΔABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°－α。 （1）用含α的代数式表示∠APC，得∠APC= 。 （2）求证：∠BAP=∠PCB。 （3）求∠PBC的度数。 24．已知，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点（点D在点E的左侧，且D不与A重合，E不与B重合），设AD=m，DE=x，BE=n。 （1）判断以m，x，n为三边长组成的三角形的形状，并证明。 （2）当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段。并证明。 25．已知，在ΔABC中，∠CAB=2α，且0°<α<30°，AP平分∠CAB。 （1）如图1，若α=21°，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，探究线段AB、AC与PB间的数量关系，并证明。 （2）如图2，若∠ABC=60°－α，点P在ΔABC的内部，且使∠CBP=30°。求∠APC的度数（用含α的代数式表示） 26．如图，等腰直角ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。 （1）求证：ΔEGM为等腰三角形。 （2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明结论。 27．已知，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF 、AF 相交于P 、M 。 （1）求证：AB=CD 。 （2）若∠BAC=2∠MPC ，判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并证明。 28．已知在ΔABC 中，AB=AC ，D 、E 为直线BC 上与点B 、点C 不重合的两点（点D 在点E 的左侧），且∠DAE= 2 1 ∠BAC 。 （1）如图1，若∠ABC=30°，AD=AE ，则以BD 、DE 、CE 为边的三角形的形状是 。 （2）如图2，若∠ABC=45°，AD=AE ，判断以BD 、DE 、CE 为边的三角形的形状，并证明。 （3）若∠ABC=α，直接写出以BD 、DE 、CE 为边的三角形中，DE 边所对角的度数（用含α的式子表示） 29．ΔABC 的面积为1，BD ：DC=2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，求四边形PDCE 的面积。 30．如图在Rt ΔABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E ，连接AE ，求∠AEB 的度数。 31．小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形． 他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将∠BAC 分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形． 喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形． 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么∠CDB=∠ABC ，因为∠CDB=2∠A ，所以∠ABC=2∠A ．于是小明得到了一个结论： 当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形． 请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）． 32．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E； （1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）． （1）求B点坐标； （2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度 数； （3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由． 答案： 1.△ABE ≌△CAD ，AD=BE ，30°Rt △BPQ ，∴AD=7. 2.作FM ⊥AB ，△CEG ≌△FMB. 3.倍延AM 至N ，连CN ，△ACM ≌△NCM ，AB ∥CN ，NC=ND ，∴AN=ND+AD=AC+AB ，∴证毕。 4.作角平分线，证全等。 5.（1）直角. （2）DE=CE. （3）AD+BC=AB. 在AB 上截取AP=AD ，连PE 。 6.作等腰△ADE ，BA=BE=DC ，∴BD=EC ，△ABD ≌△ACE ，∴△ABC 是等腰△. 7.（1）连CD. △DEC ≌△DFB ，∴S △DEF+S △CEF= 2 1 S △ABC 。 （2）S △DEF=①+②+③=④+⑤+②+③，S △CEF=③+④，∴S △DEF-S △CEF=②+⑤= 2 1 S △ABC. 8. △PEM ≌△PFN ，△AME ≌△CNF ，∴∠1＝∠2，CF=AE ，∴△PAE ≌△PCF ，∴PA=PC. 9.如图，翻折，等边△MB ’C ’.得证。 10.（1）作EP ∥BC ，等边△AEP ，△EPG ≌△FCG ，∴GE=GF. （2）CG= 4 1a. 11. 延长DM 交AB 于P ，△DCM ≌△PBM ，等腰△APD ，三线合一，∴AM 平分∠DAB. 12. △BCG ≌△CEA （AAS ） 13.如图 14. △ADC ≌△ADF ，∴BD+DF ＞BF ，∴BD+DC>AB+AC. 15.延长EC ，使CM=CE 。△ABD ≌△ACM ，∠ADC=∠B+∠1，∴∠1=∠2=∠3.得证。 16. △ABM ≌△BCN ，∴∠ABN=∠CAM=∠NAQ ，∠N+∠ABN =60°，∴∠N+∠NAQ =60°，∴∠BQM=60°. 17.延长BD 至P ，使DP=DC ，延长ED 交AP 于M. ∴△ACD ≌△APD （SAS ），∴AP=AC=AB ， ∴等边△ABP ，∴CD+BD=AC. 18.△CDF 只能为等腰Rt △. 如图①：当BD=BE 时，45°+∠A+ 2 180B -?=180°，∴∠B=30°. 如图②：当DE=DB 时，45°+∠A+180°-2∠B=180°，∴∠B=45°. 19.当BE=CD 时，PE=PD 。证明：作EF ∥AC ，∴EB=EF=CD ，∴△PEF ≌△PDC ，∴PE=PD. 20.（1）（2）略。（3）MN=DN-BM 。 21.问题1，k=1（直角△斜边中线）. 问题2，略 问题3.取AM 、BM 的中点P 、Q ，∴□DPMQ （中位线；Rt △斜边中线），△DPF ≌△EQD ，∴DE=DF. 22.问题1.m= 2 1 ，n=2. 问题2.（1）两边之差小于第三边（略） （2）如图，△EPD ≌△ECD ，△PBD ≌△PED ，∠DPE+∠PED=120°，∴∠BFC=60°. 23.（1）∠APC= 2α+30°. （2）∠BAP=∠PCB=2 α -30°. （3）作△MBC ≌△PBC ，等边△AMC ，△ABM ≌△CPM ，∴PM=BM ，∴等边△BPM ，∴∠PBC=30° . 24.（1）△CMB ≌△CDA ，△CDE ≌△CME ，∴Rt △MEB ，组成Rt △. （2）证法同上，DE 最长（斜边） 25.（1）如图，由各角度数可证。AB=AC+PB 。 （2）延长AP ，作MN ⊥PB ，△ACM ≌△ANM ，△PCM ≌△PNM ， ∴∠CPM=∠NPM=60°-α，∴∠APC=120°+α . 26.（1）略 （2）△APB ≌△CFA ，∴BP=AF. △AEP ≌△CMF ，∴EP=MF ，GP=GF ，∴BG=AF+FG. 27.∠1=∠2+∠3，∠5=∠F+∠4，∠1=∠5，∠3=∠4，∴∠2=∠F ，即∠F=∠MCD 。 28.（1）等边△ （2）Rt △ （3）同证法（2），DE 所对的角度数为2α . 29.??????? =++=++2123 1x y y y x x ，解得：??? ????= =152101y x ，∴S=307 30.正方形NCME，截取BP=BA，∴△EAB≌△EPB，∴∠AEP=90°，∴∠AEB=45°. 31.共三种情况：①互余，②∠B=2∠A，③∠B=3∠A. （作图方法：先画一个等腰△，再补一个等腰△，可得三种情况） 32.（1）△ACF≌△BAO，C（-1，-1）. （2）△ACF≌△BAD，△CDE≌△CFE. （3）截OM=OD，△BAM≌△ACE，∴BD=BM+MD=AE+MD=2AO+2DO. 33.（1）B（8，0） （2）△ACN≌△CDM，AN=CM=OM，∴DM=CN=OM，∴等腰Rt△ODM，∴∠AOD=90°. （3）△EFO≌△ENA，∠1=∠2，∠1+∠OEN=90°，∴∠2+∠OEN=90°，∠FEM=45°，∴∠FEM=∠NEM=45°，∴△EFM≌△ENM，∴MF=MN，∴AM-FM=OF，即所求。 全等三角形、轴对称测试题 一、选择题1、下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 5、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 6、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫 做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 8、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A C B A ' ' C ' 图2 图1 E D C A l O D C B A 第十二章 轴对称单元测试题 一、选择题(每小题5分，其25分) 1．下列四个图案中，轴对称图形的个数是( ) 2．下列命题中，不正确的是( ) (A)关于直线对称的两个三角形一定全等. (B)两个圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形. (C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台. 3．下列四个图案中．具有一个共有性质 则下面四个数字中，满足上述性质的一个是( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 4.等腰三角形的一个内角是50。，则另外两个角的度数分别是( ) (A) 65°，65°. (B) 50°,80°． (C) 65°，65°或50°，80°. (D) 50°,50°. 5.如果等腰三角形两边长是6cm 和3cm ,那么它的周长是( ) (A) 9cm (B) 12cm (C) 1215cm cm 或 (D) 15cm . 二、填空题(每小题5分，共20分) 6．等腰三角形是 对称图形，它至少有 条对称轴. 7．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时 针与分针的位置如图所示，此时时间是 . 8．已知△ABC 是轴对称图形．且三条高的交点恰好 是C 点，则△ABC 的形状是 . 9．已知点A(一2，4)，B(2，4)，C(1．2)，D(1-2)，E(一3，1)，F(3，1)是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出 组对称三角形． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ．∠A=36°，AB 的中垂线DE 交AC 于D ，交AB 于E.下述结论(1)BD 平分∠ABC ；(2)AD=BD=BC ；(3)△BDC 的周长等于AB+BC ；(4)D 是AC 中点，其中正确的命题序号是 . 三、画一画 11.(6分)以“○○，△△，＿ ＿ ＿”(即两个圆,两个三角形,三条线段)为条件,画出一个有实际意义的对称图形. 四、解答题 12．(10分)在△ABC 中,∠C=90°，DE 垂直平分斜边AB ，分别交AB 、BC 于D 、E 。若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB. 八年级数学上册轴对称解答题单元测试卷附答案 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?， PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =． （1）求边AD 的长； （2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积． 【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769 或32 【解析】 【分析】 （1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长； （2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围； （3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】 （1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H ∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8 ∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6 （2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G ∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF ∴△EPF 是等腰直角三角形 同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x ∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ= ()1 62 x + 同理，PR= 12 y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x=()11622 x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜ 103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值 则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜ 103 （3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x= 83 =AE D C B A 第14题 八年级数学《轴对称》单元测试题 选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 下列几何图形中，是轴对称图形且对称轴条数大于1的有（ ） 长方形； ⑵正方形； ⑶圆； ⑷三角形； ⑸线段； ⑹射线； ⑺直线. A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个图形都有对称轴 B.两个全等三角形一定关于某直线对称 C.若△ABC 与△DEF 成轴对称，则△ABC ≌△DEF D.点A ，点B 在直线L 两旁，且AB 与直线L 交于点O ，若AO ＝BO ，则点A 与点B 关于直线L 对称 3.如图所示是一只停泊在平静水面的小船，它的“倒影”应是图中的（ ） 4.在平面直角坐标系中，有点A （2，－1），点A 关于y 轴的对称点是（ ） A.（－2，－1） B.（－2，1） C.（2，1） D.（1，－2） 5.已知点A 的坐标为（1，4），则点A 关于x 轴对称的点的纵坐标为（ ） B. －1 C. 4 A. 1 D. －4 6.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ） A.过顶点的直线 B.底边上的高 C.底边的中线 D.顶角平分线所在的直线. 7.已知点A （－2，1）与点B 关于直线x ＝1成轴对称，则点B 的坐标为（ ） A.（4，1） B.（4，－1） C.（－4，1） D.（－4，－1） 8.已知点P （1，a ）与Q （b ，2）关于x 轴成轴对称，又有点Q （b ，2）与 点M （m ，n ）关于y 轴成轴对称，则m －n 的值为（ ） A 3 B.－3 C. 1 D. －1 9.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别为（ ） A.65°，65° B.50°，80° C.65°，65°或50°，80° D.50°，50° 10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 30° B. 150° C. 30°或150° D.12° 11.等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线把周长分成两部分的差为2cm ，则腰长为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 4cm 或8cm D. 以上都不对 12.已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，点P1和点P 关于OA 对称，点P2和点P 关于OB 对称，则P1、O 、P2三点构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13.等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴. 14.如图，如果△A1B1C1与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A1的坐标为 15.是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是 . 16.＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则＝ . PQ 17.30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为 . 18.点1，2）关于直线y ＝1对称的点的坐标是 ；关于直线x ＝1对称的的坐标是 . 19.三角形三内角度数之比为1∶2∶3，最大边长是8cm ，则最小边的长 全等三角形、轴对称解答题 1如图，AB=AC,AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。 3.已知，如图所示，OP是∠AOC和∠BOD的角平分线，OA=OC，OB=OD。 求证：AB=CD 4.已知如图在△ABC中，∠ACB=90。，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点做AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证：AB=FC 5.如图四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4； 求证：（1）△ABC≌△ADC. （2）BO=DO. 6.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC的延长线上的点，且BD=CE.求证：DC=AE C O A C P A B A C B 7.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，试证明：BE=CF 8.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=DE=EB ，BD=BC ，试求∠A 的度数 9.已知△ABC 中，BD 、CE 是高，BD 、CE 相交于O ，OB=OC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由。 10.已知：CD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，DE ∥BC 交AC 于E ，求证：DF=2DE 。 11.在△ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线DE 交AB 于D ，∠A=44。，AB+BC=10,试求, (1)∠BDC 的度数 （2）△BDC 的周长 F B C A B C A A B A 12.如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 和BD 相交于点M,BD 交AC 于点N ，试说明 （1）BD=CE (2) BD ⊥CE 13.如图，在△ABC 中，分别延长中线BE 、CD ，使AEF=BE ，DH=CD ，连接AF 、AH 求证：AF=AH 14、如图，AB 、CD 相交于点O ，AO=BO ，AC ∥DB 。求证：AC=BD 15.如图，B 、C 、F 、E 在同一直线上，AB 、DE 相交于点G ，且BC=EF ，GB=GE ，∠D=∠A. 求证：DC=AF 16.在△ABC 中，直线DE 垂直平分线段AB ，垂足为E,交BC 于点D ，∠B=。 60，∠C=。 50，求∠CAD 的度数。 C D C E F D A B 八上第十二章《轴对称》综合复习测试题A 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列图形，关于直线m对称的是（） 2.下列图案都是轴对称图形，对称轴的条数最多的是（） 3.下列叙述正确的语句是( ) A.等腰三角形两腰上的高相等 B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C.顶角相等的两个等腰三角形全等 D.两腰相等的两个等腰三角形全等 4．如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的线段一定是（） A．BM B．BN C．MN D．AN 5．等腰三角形两条边长分别为12、15，则这个三角形的周长为（） A．27 B．39 C．42 D．39或42 6．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A．40° B．50° C．60° D．30° 7.将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿MN裁剪，则可得( ). A．多个等腰直角三角形 B．一个等腰直角三角形和一个正方形 C．四个相同的正方形 D．两个相同的正方形 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC边上一点， 且有AE=AD，∠EDC=18°，则∠B的度数是（）． A．36° B．46° C．54° D．72° 二、填空题（每小题3分，共24分） 1.如图1，若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝° 2．如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为__________cm. B 1 已知：如图，△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 2 （1） A A C C D A B C D A B C D m m m m A C D 第8题图 B E A F D C A B M N 第4题图 第十二章《轴对称》测试题 班级： 姓名 成绩： 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如图，下列图形中，轴对称图形的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2.下列图形中对称轴最多的是（ ） A.圆 B.正方形 C.等腰三角形 D.长方形 3. 等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 4. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ） A 、21：10 B 、10：21 C 、10：51 D 、12：01 5.下列说法中，正确的是（ ） A.关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B.全等三角形是关于某直线对称的 C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D.有一条公共边变得两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 6. 、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ） A.80° B.20° C.80°或20° D.不能确定 8. 点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 9.如图，在已知△ABC 中，AB=AC ， BD=DC ，则下列结论中错误的是（ ） A.∠BAC=∠B B.∠1=∠2 C.AD ⊥BC D.∠B=∠C 10.到△ABC 的三个顶点距离相等到的点是( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D 三条边的垂直平分线的交点 二、填空题（每题4分，共36分） 1. 已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么x ＋y 的值为_______． 2.如果点P （4，-5）和点Q(a ，b)关于y 轴对称，则a =_____，b=____。 3.点(-2，1)点关于x 轴对称的点坐标为_ _；关于y 轴对称的点坐标为_ _。 4.等腰三角形中的一个角等于100°，则另外两个内角的度数分别为_ _。 5.已知△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°，BC=2cm ，则AD=__ __ 第十二章 轴对称 全章测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 5、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 6、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 7、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ）． A ．75°或15° B ．75° C ．15° D ．75°和30° E D C B A l O D C B A 9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们 把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 10、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的 坐标，能确定的是 ( ) ． A ．横坐标 B ．纵坐标 C ．横坐标及纵坐标 D ．横坐标或纵坐标 二、填空题（每小题2分，共20分） 11、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________． 12、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ． 13、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度． 14、等腰三角形的两边的边长分别为20cm 和9cm ，则第三边的长是__________cm ． 15、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ． 16、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2 交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ． 17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122 cm ，则图中阴影部分的面积为 2 cm ． 18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α= ． A C B A ' B ' C ' 图2 图1 F E D C B A P 2 P 1N M O P B A α 35° 115° 1 全等三角形和轴对称提高练习 1、如图：O 是△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10㎝， 则△ODE 的周长等于 ㎝。 2、如图：△ABC 和△CDE 是等边三角形。求证：BE=AD 。 3．如图,BD 平分∠MBN ,A ，C 分别为BM ,BN 上的点,且BC >BA ,E 为BD 上的一点,AE =CE ,求证 ∠BAE +∠BCE =180° 4． 如图1，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ，求证：BE －AC=AE ． 5、如图，点D 、E 在△ABC 的边上，AD=AE ，BD=EC ，试说明AB=AC. 6.如图2，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E 。（12分） （1）∠AEB 是什么角？ （2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？ （3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。 B C N D E M A E D C B A E C B A O D A B C D E A B F C D E 图1 图2 2 E D C B A F E D A 7、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ； （2）若D 为线段AC 上一动点（不与A 、C 重合），∠ACE 是否变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 8.如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ， DF=EF ，BD=CE 。求证：△ABC 是等腰三角形。（过D 作DG ∥AC 交BC 于G ） 9、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB ? 交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ， 求证：（1）DF ∥BC ；（2）FG =FE ． 10、已知：如图3，△ABC 是等边三角形，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD. 11、如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ， 求证：AC=BF 。 12、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E.求证：(1) △BFC ≌△DFC (2) AD=DE D C B A F E A B C D 图3 第十二章轴对称 12．1.1轴对称（21课时） 学习目标 1．通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形； 2．通过试验，归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形； 3．培养良好的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。 重点：理解轴对称图形的概念 难点：判断图形是否是轴对称图形 一、预习新知P29 1、观察课本中的7副图片，你能找出它们的共同特征吗？ 2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗？ 3、动手做一做：把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，展开后会是一个什么样的图形?它有什么特征？ 4、如果一个图形沿一条__________折叠,________两旁的部分能够完全________.这个图形就叫做轴对称图形,这条________就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条_________(成轴) 对称. 做下面的题，检验你预习的结果 5、轴对称图形的对称轴是一条___________ A直线B射线C线段 6、课本P30练习题。 7、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出对称轴。 二、课堂展示 第4题 (A ) (B ) (C ) (D ) 例1．我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案（ ）有别于其余三个图案． 思路分析： 所用知识点： 例2．如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？它们各有 几条对称轴，你能画出来吗？（小组讨论完成） 思路分析： 所用知识点： 三、随堂练习 A 组：1、要求同学们找出所剪的图案的对称轴，并且用直尺把它画出来。 2、课本P36习题1， 3、课本P63复习题1 B 组：1、找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？ 2、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗 3、练习册习题 C 组：1、用两个圆、两个三角形、两条平行线构造轴对称图形，别忘了要加上一两句贴切、诙谐的解说词。 2、小练习册习题 八年级数学轴对称填空选择单元测试卷 （word 版，含解析） 一、八年级数学全等三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论： ①EF =BE +CF ； ②∠BOC =90°+12 ∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ?=． 其中正确的结论是____．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC =90°+12 ∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m ，AE+AF=n,则△AEF 的面积= 12mn ，④错误. 【详解】 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ， ∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12 ∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12 ∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°，故②∠BOC =90°+ 12∠A 正确； 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ， ∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠OCF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ， ∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ， ∴BE=OE,CF=OF, For personal use only in study and research; not for commercial use 《轴对称图形》单元测试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. （201 2.宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是……（ ） 2.小明的墙上挂着一个电子表，对面的墙上挂着一面镜子，小明看到镜子中的表的时间如图所示，那么实 际的时间是…………………………………………………………（ ） A ．12：51； B ．15：21； C ．21：15； D ．21：51； 3．（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是……………………（ ） A ．80° B ．80°或20° C ．80°或50° D ．20° 4．（2014秋?博野县期末）△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，∠A=40°， 则∠BOC=……………………………………………………………………（ ） A ． 110° B ． 120° C ． 130° D ． 140° 5．（2009?攀枝花）如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD=AE ，AD 与CE 交于点 F ，则∠DFC 的度数为…………………………………………………（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30° 6．（2013?葫芦岛）如图，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若 MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B=………………………………………………（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为………………………………………（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方 形的顶点）.在这张5×5的方格纸中，找出格点C ，使AC=BC ，则满足条件的格点C 有…………（ ） A ．5个； B ．4个； C ．3个； D ．2个； 9.（2013?枣庄）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接 DE ，则△CDE 的周长为……………………………………………………（ ） A ．20 B ．12 C ．14 D ．13 10. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长 最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为……………………………………（ ） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100° 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11.若()2 120a b -+-=，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ． 12.等腰三角形中有一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角为 . A. B. C. D. 第5题图 第2题图 第6题图 第7题图 全等三角形、轴对称期末复习 1．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（） A、两角和一边 B、两边及夹角 C、三个角 D、三条边 2．如图，在△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS 3．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（） A、2 B、3 C、5 D、2.5 4．使两个直角三角形全等的条件是（） A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两边对应相等 5．如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C， ③BD=CD，④AD⊥BC。其中正确的个数有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（） A B C D 7．下列图形：①角，②两相交直线，③圆，④正方形，其中轴对称图形有( ) A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 A B C D E 8．已知∠AOB=30?，点P 在∠AOB 的部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则△P 1OP 2是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 9．已知A 、B 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 第2题图 第3题图 第5题图 第10题图 11．已知点A （a ，b ）关于x 轴对称点的坐标是（a ，-12），关于y 轴对称点的坐标是（5,b ），则A 点的坐标是 。 12．AD 为△ABC 的高，AB AC =，△ABC 周长为20cm ，△ACD 周长为14cm ，则AD =______． 13．设∠a 是等腰三角形的一个底角，则其度数x 的取值围应是______． 14．如图：将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= ； 15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______； 16．如图：在△ABC 中，AB=3㎝，AC=4㎝，则BC 边上的中线AD 的取值围是 ； 17．如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 轴对称知识点 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）； 2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）； A . 75° B . 80° C . 70° D . 85 《第13章轴对称》单元测试题 、选择题 2?如图所示，在 △ ABC 中，/ C = 90° AC = BC , AD 是厶ABC 的角平分线, B'全等，则△ A B'的腰长等于（ A . 8 cm B . 2 cm 或 8 cm C . 5 cm D . 8 cm 或 5 cm 4.已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（ ） A. 55，55 B.70，40 C.55，55 或 70，40 D.以上都不对 5?如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，DC 丄BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边 上的点A 处，若.ABC =20，贝，ABD 的度数为（ ） A.30 B.25 C.20 D.15 6. 如图，△ ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交 AC ，AB 于D ，E 两点，并连接 BD ，DE.若/A = 30° AB = AC ,贝U/ BDE 的度数为（ ） A . 45° B . 52.5 ° C . 67.5 ° D . 75 7. 如图，由4个小正方形组成的田字格中， △ ABC 的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上 画与△ ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形 （不包含厶ABC 本身）共有（ ） A . 1个 B . 3个 C . 2个 D . 4个 8. 如图，在△ ABC 中，AB = AC ，以AB 、AC 为边在△ ABC 的外侧作两个等边三角形 △ ABE 和厶ACD ，且/ EDC = 45°则/ ABC 的度数为（ ） E.若 AB = 6 cm , A . 5cm B . 则厶DEB 的周长为 （ n 3.已知等腰 △ ABC 的周 长为18 cm ， BC = 8 cm ， DE 丄AB 于点 1?下列图形中，对称轴的条数最少的图形是 第十三章轴对称单元测试 一、填空题（每题2分，共32分） 1．轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形．2．设A、B两点关于直线MN对称，则______垂直平分________． 3．等腰三角形是_______对称图形，它至少有________条对称轴． 4．小明上午在理发店理发时，?从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是__________． 5．点(1,3) P 关于x 轴的对称点的坐标为． 6．已知等腰三角形的顶角是30°，则它的一个底角是． 7．已知等腰三角形有一个角是50°，则它的另外两个角是． 8．等腰三角形两边长为4cm 和 6cm ，则它的周长为． 9．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，若BD=10，则CD= ． 11．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AB=5cm ，则DC的长为． 12．如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC=，△BDC的周长C△BDC = ． 13．如图，∠1=50°，∠2=80°，DB=AB，CE=CA，则∠D=，∠D AE= ． 14．如图，AB=AC，∠A=40o,AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=_______． 第14题图第15题图第16题图A C D 第10题第11题图第12题图第13题图 B A D C B C D A E 12 B C A D E 第4题图 A D E F B C D E C B A O A B C D E A C O B D B A 15．如图，若P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ， P 1P 2=15，则△PMN 的周长是________． 16．如图，若B 、D 、F 在MN 上，C 、E 在AM 上，且AB=BC=CD ，EC=ED=EF ，∠A=20o ,则∠FEB=________． 二、解答题（共68分） 17．（7分）已知：如图，△ABC ，分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ， △A 1B 1C 1 和 △A 2B 2C 2 各顶点坐标为：A 1（ ， ）；B 1（ ， ）；C 1（ ， ）；A 2（ ， ）；B 2（ ， ）；C 2（ ， ）． 18．（5分）已知：如图，AC 和BD 交于点O ，AB 23．（5分）如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC ． 24．（6分）已知：E 是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD=∠EDC ； （2）OE 是CD 的垂直平分线． 25．（5分）已知：△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求 证：BE+CF=EF 模型一：手拉手模型 第二讲：全等三角形与轴对称 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC 例 1.如图在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形?ABD 与?BCE ，连结 AE 与CD ，求证： （1） ?ABE ? ?DBC （2） AE = DC （3） AE 与 DC 之间的夹角为60? （4） ?AGB ? ?DFB （5） ?EGB ? ?CFB （6） BH 平分∠AHC （7） G F // AC 变式精练1：两个等腰三角形?ABD 与?BCE ，其中AB =BD , CB =EB, ∠ABD =∠CBE =α, 连结AE与CD，问：（1）?ABE??DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分∠AHC ？ 变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结AG, CE ,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？ 模型二：对角互补模型 （1）全等型——90° 条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②OC 平分∠AOB 结论：① CD =CE ；②OD +OE = 2OC ；③S 四边形ODCE =S ?OCD +S ?OCE = 1 OC 2 2 辅助线之一：作垂直，证明?CDM ≌?CEN 辅助线之二：过点C 作CF⊥OC，证明?ODC≌?FEC 结论：①CD =CE ；②OE -OD = 2OC ；③S ?OCE -S ?OCD = 1 OC 2 2 条件：① ∠AOB =∠DCE = 90?②CD =CE 结论：①OC 平分∠AOB；②OD +OE = 2OC ；③S 四边形ODCE =S ?OCD +S ?OCE = 1 OC 2 2 轴对称章节测试(满分100 分) 得分: 一、填空题(每空 2 分,共24 分) 1、下列图形：角，线段，等边三角形、直角三角形，圆，其中是轴对称图形有个，对称轴 最多的是。 2、等腰三角形有一个角为36°，那么它的另两个角的度数为。 为。 4 、若点（n+1,m-2 ）关于y 轴的对称点坐标为(-3,-2), 则 A m= ,n= . 5、到三角形三个顶点距离相等的点是。 6、如图（1），在△ABC中，∠B=30°, ∠C=45°,AD⊥BC于D,CD=1, C B D 则AB= . 7、如图（2），AB=AC，∠B=50°，∠CED=20°，则∠BDE= 。 图(1) 8、如图（3），在△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于E，若DE=7，AE=5，则AC= 。 9、如图（4），已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于M，且BD=8cm,则AC= cm 。 10、如果等腰三角形的周长是27cm,一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差为3cm, 则这个三角形的底边长为。 A A A D E M D C B 图(2) E B C 图(3) B D 图(4) C 二、选择题：(每题 3 分,共15 分) 11、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（） A： B ： C ： D ： A 12、能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段或直线是（） （A ）角平分线（B）高（C）边的垂直平分线（D）中线 13、下列说法正确的有（）个 ①关于某直线对称的两个三角形是全等的②两个全等三角形一定关于某E D G 直线对称③两个图形关于某直线对称，那么这两个图形一定分别位于这条 C 直线两侧④若点A、B 关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB B全等三角形及轴对称测试题
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