全等三角形证明经典题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中
AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12
CD AB
延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP
∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
证明：连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，
EF//AB ，求证：EF=AC
B
C A
D
B
C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD
EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C
证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE
∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C
6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：
在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°
∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF
∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF
∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE
7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：
BC=AB+DC 。
在BC 上截取BF=AB ，连接EF
∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD
8. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=
∠C
D
C
B
A
F
E
B
A C
D
F
2 1 E
A
AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， ∴∠AED=∠ABD ，
∴四边形ABDE 是平行四边形。 ∴得：AE=BD ， ∵AF=CD,EF=BC ，
∴三角形AEF 全等于三角形DBC ， ∴∠F=∠C 。
9. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD
10. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 在AC 上取点E ，使AE ＝AB 。∵AE ＝AB AP ＝AP ∠EAP ＝∠BAE ，∴△EAP ≌△BAP ∴PE ＝PB 。PC ＜EC ＋PE ∴PC ＜（AC －AE ）＋PB ∴PC －PB ＜AC －AB 。 11. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 证明：在AC 上取一点D ，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD 中，AE 是角BAD 的角平分线， ∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE ∴点E 一定在直线BD 上，在等腰三角形 ABD 中，AB=AD ，AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 12. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC ∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF ∽CDF F A E D C B P D A C B AF=AG=5∴DC=CF=2 13. 如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 解：延长AD 至BC 于点E, ∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ABC 的中垂线 ∴AE ⊥BC ∴AD ⊥BC 14. 如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 证明：∵OM 平分∠POQ ∴∠POM ＝∠QOM ∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90 ∵OM ＝OM ∴△AOM ≌△BOM （AAS ）∴OA ＝OB ∵ON ＝ON ∴△AON ≌△BON （SAS ）∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB ＝180∴∠ONA ＝∠ONB ＝90∴OM ⊥AB 15. （5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ， ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 16. 如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 F E D C B A 证明：∵DF=CE，∴DF -EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS ） 17. 如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 证明：∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线. 18. （10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 P E D C B A D C B A ∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD ⊥AC 19. （10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DC AD=AD △ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC 20. （12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 F E D C B A ∵AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 21. 公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各 有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上 . 证明：连接EF ∵AB ∥CD ∴∠B=∠C ∵M 是BC 中点∴BM=CM 在△BEM 和△CFM 中BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM ≌△CFM （SAS ）∴CF=BE 22. 已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． ∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD （两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF ∴：△ABE≌△CDF（SAS ） 23. 已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 连接BD ；∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加，∠ADC=∠ABC ； ∵BC=DC E\F 是中点∴DE=BF ；∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。 24. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 654 32 1E D C B A 证明：在△ADC ，△ABC 中∵AC=AC ，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA ∴△ADC ≌△ABC （两角加一边）∵AB=AD ，BC=CD 在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA ，CE=CE ，BC=CD ∴△DEC ≌△BEC （两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC 25. 已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA ） 26. 已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ． 证明：∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90°∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS)∴BE=CD 27. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 求证：DE =DF ． 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线∴∠EAD=∠FAD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED 与∠AFD=90°在△AED 与△AFD 中 A E B F B F E A C D F ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED ≌△AFD （AAS ） ∴AE=AF 在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD ⊥EF 28. 已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？ ∵AD ⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E 根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE ，△ABC ≌△DAE （ASA ） ∴AD=AB=5 29. 如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF （1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ； （2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC ⊥BF ． 30. 如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。 证明：（1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN （2）∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+ ∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM ⊥AN 全等三角形内容的综合应用方法技巧 一、知识结构（省略） 二、证明三角形全等的思路方法： A E B M C F 1、 2、一般采用“分析法”、“综合法”寻找解题途径。 3、方法技巧： （1）注意问题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等。 （2）注意问题中的间接条件转化，如： （3）巧引辅助线构造全等三角形：①连接特殊点（或公共边）；②短延长或长截短（截长补短）；③完善特殊图形；④作平行线；⑤巧用角平分线；⑥变换构造全等三角形……。 三、思维误区： 1、判定方法的书写格式易出错误； 2、不能正确确定“SAS ”、“AAS ”中的对应关系； 3、角平分线的性质与判定易混淆，且不会应用此性质证明线段相等问题； 4、证明过程不严密或繁琐。 四、分析问题一般方法 1、分析法： 分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，再追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件（定义、性质、判定、已知等）。注意：“倒退着分析”、“顺着书写”。 例1：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N ． 求证：AM=AN ． 分析：（分析法分析） 已知两边 找夹角→SAS 找直角→HL 找另一边→SSS 已知一边和一角 边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边 找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 找任一边→AAS 已知两角 找夹边→ASA 证三角 形全等 线段和、差 相等线。段。 转化 平行线 相等角； 转化 角的和、差 相等角； 转化 M E D C N B A AB=AB ∠M=∠N ∠MAB=∠NAB AM=AN △ABM ≌△ABN ∠EBM=∠DBN ∠MEB=∠NDB 公 共边 对顶角 ∠BDN=90°∠BEA=90° AD ⊥BC △AEB ADC ∠CAD=∠BAE ∠CAD=∠BAN △AEB ≌△ADC △AEB 是由△ADC 旋转得到 AB=AC AD ⊥BC 已 知 2、综合法： 综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即题设到结论）的推理过程。在使用综合法分析一些较难问题时，常常因问题条件众多，与结论的路径过长等原因，导致目标不够明确，容易走向歧途。因此，寻求解题思路要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法寻找思路，而用综合法书写表达；有时分析法、综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。实际上，如果能巧妙地运用分析法和综合法，那么，能的思路就开阔了，遇到难题也就有下手之处了。 例2：例1： 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ； （2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证： ME=BD ． 分析：（综合法分析） 五、巩固练习： （一）、对称法 在解题中，使变换后的图形与图形关于某直线成轴对称，这种运用对称变换解题的方法称为对称法，亦称为翻折法。 用对称法解题的关键是确定对称轴。由题设确定对称轴时，一般应先考虑以高线或角平分线或轴对称图形的对称轴所在直线为对称轴。由题设确定对称轴时，应注意把封闭的折线反射后变为不封闭的折线；其次是把题中的某三角形或线段以所确定的对称进行对称变换，并连接对应顶点，得全等图形，找出等量关系，利用已知解题。 1．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 为∠BAC 的平分线。求证：AB-AC ＞BD-CD 。 2．已知如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形外的一点，且∠ABP +∠ACP =180°． 求证：AP 平分∠BPC ． 3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 于M 。求证：AB+AC=2AM 。 4．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，CD ＝2AD ，AB ＝4． （1）在AB 边上求作点P ，使PC ＋PD 最小； （2）求出（1）中PC ＋PD 的最小值． ? AD=BD ∠CAD=∠CBD △ADC ≌△BDC AC=BC △ABC 是等腰直角三角形 ? AC=BC ∠ACB=90° ∠CAB=∠CBA=45° ∠CAD=∠CBD=15° ∠DAB=∠DBA=30° ?? AD=BD ∠ADB =120° ∠BDE=60° ? ? ∠ ACD=∠BCD=45° ∠EDC=∠DAC+∠ACD ∠DAC=15° ?∠EDC=60° ∠BDE=60° ∠EDB=∠EDC DE 平分∠BDC ?? D C B A M D C B A 第4题 （二）、平移法 平移法是指在几何解题中，当问题的已知元素与未知元素在图形中的位置比较分散，或图形比较复杂时，可将图形或元素（线段、直线、角等）有规律地平移到另一位置，化分散为集中，化复杂为简单，化隐含为显含的一种思想方法。 1.已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CD ∥AB ，BC ＝6cm ，∠BAD ＝ 30°，∠B ＝90°．求CD 的长______． 2.如图，ABCD 是正方形，E 、N 、F 、M 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，MN ⊥EF 。求证：MN=EF 。 若将条件“MN ⊥EF ”与结论“MN=EF ”调换，其它不变，命题成立吗？ （三）、扩充法 扩充法是将一个图形扩充为另一个图形，然后借助扩充后的图形性质来推导出所要证明结论的一种方法。一般是将一个图形扩充为一个特殊图形，如：扩充为等腰三角形、直角三角形、四边形等。 1.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB 2. 如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为4，AE=2，求BD 的长。 3．已知：如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连接CE 、DE ． 求证：CE ＝DE . （四）添加条件问题 方法：（1）明确已知条件和隐含条件：（2）确定添加依据； （3）考虑可能的情况（直接条件、间接条件）； （4）写出要添加的条件。 1．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 2．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任 何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件 是：_______________，并给予证明. 3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他 字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是： ； A C B D F 第2题 图 B D C A E F D C B A 第1题 第2题 N M F E D C B A 第3题 A B C D （2）证明： 4．如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF. （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC ≌ △EFD ，你添加的条件是 ； （2）添加了条件后，证明△ABC ≌△EFD. 5．如图，已知点E C ，在线段BF 上，CF BE ，请在下列 四个等式中， ①AB ＝DE ，②∠ACB ＝∠F ，③∠A ＝∠D ，④AC ＝DF ．选出两个．．作为条件，推出ABC DEF △≌△．并予以证明．（写出一种即可） 已知： ， ． 求证：ABC DEF △≌△． 证明： （五）证明线段、角相等问题 1.已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC 2.已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． (1)求证：BF ＝AC (2)猜想CE 与BG 的数量关系，并证明你的结论． 3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE . 4.如图，AB=AE ， BC=ED ，AF ⊥CD 于F ，CF=DF 。求证：∠B=∠E 。 5.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B 、F 、C 、E 在同 一直线上)，并写出四个条件：①AB=DE ，②BF=EC ，③∠B=∠E ，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．．．，并给予证明． 题设：______________；结论：________．(均填写序号) 证明： F A B C D E C E B F D A 第2题 E 第3题 F E D C B A 第4题 B A 第5题 D C B A 第1题 E F D C B A 第2题 （六）角的平分线问题 1.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点。 求证：AB=AC 。 2.如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 与CE 交于点D ，BD=CD 。 （1）求证：点D 在∠BAC 的平分线上； （2）若将条件：BD=CD 和结论：点D 在∠BAC 的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由。 （七）证明线段和、差问题 1.如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于D 。求证：AB+BD=AC 。 2.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 为∠BAC 的平分线。求证：AB-AC ＞BD-CD 。 3.已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，BE 平分∠B 交AC 于E ． （1）求证：BC ＝AE ＋BE ； （2）探究：若∠A ＝108°，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之． （八）中线问题 1.如图，在△ABC 中，AD 是CB 边上的中线，AB=3，AC=5。求AD 的取值范围。 2.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 分别在AB 、AC 边上，且DE ⊥DF 。请你判断BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明。 3．如图，△ABC 中，AB=4，AC=8，M 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，过M 作M F ∥AD ，交AC 于F ，求FC 的长。 （九）图形关系问题 1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的关系，并证明你的猜想． 2.如图，AD ∥BC,DC ⊥BC 于C ，AE 平分∠BAD ，且点E 是CD 的中点。 试探究AD 、BC 与AB 有何关系？ 3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，M 为AB 的中点，P 为AB 上一动点（P 不与A 、B 重合），PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F 。 D C B A 第2题 D C B A 第1题 D C B A 第1题 A B C D E E D B C A 第2题 F P M C B A 第3题 E E F D B C A M F D B A E C B A （1）试猜想：ME 与MF 的关系； （2）若点P 移动至AB 的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。 （十）综合探究性问题 1.已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。 （1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ； （2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ； （3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。 2．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN ，使AM ∥BN ，请按以下步骤画图并回答． （1）画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于点E ，∠AEB 是什么角？ （2）过点E 任作一线段交AM 于点D ，交BN 于点C ．观察线段DE 、CE ，有什么发现？ 请证明你的猜想． （3）试猜想AD ，BC 与AB 有什么数量关系？ 3.如图1，△ABC 与△ADE 都是以点A 为顶点的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，ED 的延长线交BC 于点F ，探究线段BF 与CF 的数量关系，并说明理由． （如果你经过思考后不能找到问题的答案，可选择以下两个问题来完成） ①将△ABC 与△ADE 改为等边三角形，其他条件不变，如图2 ． ②将原题改为探究线段BD 与EC 的数量关系． 4.如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ， （1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ 是直角三角形？ （3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 八年级数学单元测试卷 O O B C A A C B 图2 图1 E F 第3题 第4题 D 1 2 3 4 5 分 100 分，时间 60 分钟）（第十二章 全等三角形 满 班别 学号 姓名 评分 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题 3 分，共 30 分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）. （A ） 50 （B ） 80 （C ） 50 或80 （D ） 40 或65 2. 如图 1 所示，在△ABC 中，已知点 D ，E ，F 分别是 BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝ 4cm 2，则S △BEF 的值为（ ）. （A ）2 cm 2 （B ）1 cm 2 （C ） 1 2 cm 2 （D ） 1 4 cm 2 B 图 1 图 2 A E 图 3 图 4 3. 已知一个三角形的两边长分别是 2 厘米和 9 厘米，且第三边为奇数，则第三边长为（ ） . （A ）5 厘米 （B ）7 厘米 （C ）9 厘米 （D ）11 厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图 2 所示，∠AOB 是一个任意角，在边 OA ，OB 上分别取 OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M ，N 重合．过角尺顶点 C 的射线 OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图 3 所示的 3×3 正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 等于（ ）. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是（ ）. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图 4 所示，△ABC 中，∠C =90°，点 D 在 AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交 AC 于点 E ．△ABC 的周长为 12，△ADE 的周长为 6．则 B C 的长为（ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 A D E 1 A ' 2 9. 将一副直角三角尺如图 5 所示放置，已知 A E ∥ B C ，则∠AFD 的度数是（ ）. （A ） 45 （B ） 50 （C ） 60 （D ） 75 A A E F B D C A B D E O D C B C 图 5 图 6 图 7 图 8 10. 如图 6 所示，m ∥n ，点 B ，C 是直线 n 上两点，点 A 是直线 m 上一点，在直线 m 上另找一点 D ，使得以点 D ，B ，C 为顶点的三角形和△ABC 全等，这样的点 D 【 】. （A ）不存在 （B ）有 1 个 （C ）有 3 个 （D ）有无数个 二、填一填，要相信自己的能力！（每小题 3 分，共 30 分） 1．在?ABC 中，若∠A = 1 ∠B =1 ∠C ，则?ABC 是 三角形. 2 3 2. 如图 7 所示， B D 是?ABC 的中线， A D =2 ， A B +BC =5 ，则?ABC 的周长是 . 3. 如图 8 所示所示，在?ABC 中， BD ， C E 分别是 AC 、 AB 边上的高，且 B D 与 C E 相交于点O ，如果∠BOC =135? ，那么∠A 的度数为 . 4. 有 5 条线段，长度分别为 1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5 厘米，以其中三条线段为边长，共可以组成 个形状不同的三角形． 5. 如图 9 所示，将纸片△ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A ′处，已知∠1＋∠2=100°，则∠A 的大小等于 度． B C B 图 9 A D F 图 10 E A M 1 D O B 2 N C F 图 11 E 图 12 6. 如图 10 所示，有两个长度相同的滑梯(即 BC =EF )，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 D F 相等，则△ABC ≌△DEF ，理由是 ． 7. 如图 11 所示，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点 O 为线段 AC 的中点，过点 O 作一条直线分别与 AB 、CD 交于点 M 、N ．点 E 、F 在直线 M N 上，且 O E =OF ．图中全等的三角形共有 对． 8. 如图 12 所示，要测量河两岸相对的两点 A 、B 的距离，在 A B 的垂线 B F 上取两点 C 、D ， 使 BC =CD ，过 D 作 B F 的垂线 D E ，与 A C 的延长线交于点 E ，则∠ABC =∠CDE =90°， BC =DC ，∠1= ，△ABC ≌ ，若测得 D E 的长为 25 米，则河宽 A B 长为 ． 9. 如图13所示，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向 将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ． A 1 C D B 2 F E C E 10. 如图 14 所示，三角形纸片 ABC ，AB =10 厘米，BC =7 厘米，AC =6 C 厘米．沿 过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 A B 边 D 上的点 E 处，折痕为 B D ，则△AED 的周长为 厘米． 三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共 38 分） 1．（8 分）如图 15 所示，在?ABC 中，已知 A D ⊥BC ， ∠B =64? ， ∠C =56? . （1）求∠BAD 和∠DAC 的度数； （2）若 DE 平分∠ADB ，求∠AED 的度数. 图 14 A B D C 图 15 2．（10 分）已知：线段 a ，b ，c (如图 16 所示)，画△ABC ，使 B C =a ，CA =b ，AB =c ．(保留作图痕迹，不必写画法和证明) a b c 图 16 3.（10 分）图 17 为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁 A 、B 两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出 AB 的长(要求画出草图，写出测量方案和理由)． A 图 17 E F 4．（10 分）如图 18 所示，△ADF 和△BCE 中，∠A =∠B ，点 D ，E ，F ，C 在同—直线上，有如下三个关系式：①AD =BC ；②DE =CF ；③BE ∥AF ． (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论． (2)选择(1)中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由． 图 18 四、拓广探索！（本大题共 22 分） 1.（10 分）如图 19，在△ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BD ＝BE ，∠BAD ＝∠BCE ， AD 与 CE 相交于点 F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由. A B D C 图 19 2．（12 分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 20①所示放置，图 20②是由它抽象出的 几何图形， B ，C ，E 在同一条直线上，连结 DC ． （1）请找出图 20②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明： DC BE ． ① ② 图 20 参考答案一、1～10 CB C BC CD ADB. 二、1. 直角. 2.9. 3. 45°. 4.3. 5. 50. 6. HL. 7.4. 8. ∠2,△EDC，25 m. 9. 125°. 10. 9. 三、1. （1）∠DAC=90?-∠C=90?-56?=34?. （2）∠AED = 109?. 2．画图略． 3．方案不惟一，画图及理由略． 4．(1)如果①、③，那么②或如果②、③，那么①； (2)选择“如果①、③，那么②”证明，过程略 ．四、1. △AFC 是等腰三角形.理由略． 2．（1）图2中△ABE≌△ACD． 理由如下： △ABC 与△AED 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，A E =AD ，∠BAC =∠EAD = 90 ， ∴∠BAC +∠CAE =∠EAD +∠CAE ， 即∠BAE =∠CAD ，∴△ABE ≌△ACD ． （2）说明：由（1）△ABE ≌△ACD 知∠ACD =∠ABE = 45 ，又∠ACB = 45 ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD = 90 ， ∴DC ⊥BE 全等三角形证明经典试题50道 1.（已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B. 求证：AE=CF. 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF 2. 已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、C A分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC 证明：在△ABC与△DCB中 (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠?? ∠=∠??=? 已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ） ∴△ABC ≌△DCB ∴AB =DC 3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上． (1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）． 【答案】 (1) 连结BC ，∵ BD=CE ，CD=BE ，BC=CB ． ∴ △DBC ≌△ECB （SSS ） ∴ ∠DBC =∠ECB ∴ AB=AC (2) 逆， 假； 4. 如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ，CH=CD ，连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG. 【答案】证明：∵□ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH ∴△AEF≌△CHG. 5. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求 证：BC∥EF． 【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ， AB＝DE，∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF． 6. 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF 的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等为什么 中学全等三角形经典证明题汇总 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边 形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B A D B C C B A C D F 2 1 E C D B A 8.已知：AB 知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 16．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 17．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 18．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 19．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 20、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 21、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC 的中线。 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 F E A C D B A E D C B D C B E G 6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇ D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求 证：BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB 知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E 46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。 6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 证明三角形全等专项练习试题 1. 如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上， 且AE=CD ， AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ?≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数． 2. 在?ABC 中，AB=AC ，DE∥BC. （1）试问?ADE 是否是等腰三角形，说明理由. （2）若M 为DE 上的点，且BM 平分ABC ∠，CM 平分ACB ∠， 若ADE ?的周长20，BC=8.求ABC ?的周长 . 3. 如图, 已知: 等腰Rt △OAB 中,∠AOB=900, 等腰Rt △EOF 中, ∠EOF=900, 连结AE 、BF. 求证: (1) AE=BF; (2) AE ⊥BF. E M D C B A 1. .一个三角形的两边长为3,5求第三边中线的取值范围？ 2.等腰三角形的周长是10，腰长是x ，则x 的取值范围________。 3.在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是（ ）。 （A ）两个角分别对应相等，一边对应相等 （B ）两条边对应相等，且第三边上的高也相等 （C ）两条边对应相等，且其中一边的对角也相等 （D ）一边对应相等，且这边上的高也相等 4如图10，把长方形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么，有下列说法： ①△EBD 是等腰三角形，EB=ED ②折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④△EBA 和△EDC 一定是全等三角形,其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．下列两个三角形中，一定全等的是（ ）。 （A ） 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形； （B ） 两个等边三角形； （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形； （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形。 6 △ABC 中，AB ＝AC ，三条高AD ，BE ，CF 相交于O ，那么图8中全等的三角形有（ ） A ．5对 B ．6对 C ．7对 D ．8对 A B C D 图10 A D E C B 图8 F 1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线 交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B 6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， 若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A 七年级数学下---全等三角形证明题精选 1、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 3. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 4. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥D 于F 。求证：OE=OF 。 6.已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 7.已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。求证：△AEF ≌△DBC 。 8.如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD （连接AD ） 9.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 10、如图，已知AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证： (1)AD 是△ABC 的中线；(2)AB=AC ． 11.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ； （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 12、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ． 求证∠CDA ＝∠EDB ．（作CF ⊥AB ） C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3 1 2 C D A B C D E F A 1 2 E C D B 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） B A C D F 2 1 E ) 含答案题(全等三角形证明经典50 ADAD是整数，求D是BC中点，1.已知：AB=4，AC=2，A CB D 使AD=DE解：延长AD到E,BC中点∵D是∴BD=DC BDE中在△ACD和△AD=DE ADC∠BDE=∠BD=DC BDE∴△ACD≌△AC=BE=2∴ ABE中∵在△AB+BEAE＜AB-BE＜AB=4∵＜4+2即4-2＜2AD＜31＜AD∴AD=2 1ABCD?是AB中点，∠°，求证：ACB=90D2.已知：2A D BC 中点。连接AP,BP为与CDP，使DCP延长∵DP=DC,DA=DB为平行四边形∴ACBP又∠ACB=90为矩形ACBP∴平行四边形． ∴AB=CP=1/2AB 2 ∠中点，求证：∠1=，∠DF是CD3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=A 1E B DF C EFBF和证明：连接∠EDF BC=ED,CF=DF,∵∠BCF=边角边)三角形BCF全等于三角形EDF(∴∠DEF∴ BF=EF,∠CBF=连接BE中,BF=EF在三角形BEF。EBF=∠BEF∠∴ 。ABC=∠AED∵∠。∠AEB∠∴ ABE=。∴ AB=AE中和三角形AEF在三角形ABF AB=AE,BF=EF,∠AEFAEB+∠BEF=∠∠ABF=∠ABE+∠EBF= 全等。ABF和三角形AEF ∴三角形2)∠。BAF=∠EAF (∠1= ∴∠ A21F C D E B，EFCD=DE，2∠1=∠：知已． A A A CB1CDB AB?CD2A A 2121F E B C D E D F C B C DB、ABC、CE分别平分∠AB∥DC，BEABCD如图，四边形中，。上。求证：BC=AB+DCBCD，且点E在AD∠ ，连接EF在BC上截取BF=AB平分∠ABC∵BE FBE∴∠ABE=∠BE=BE又∵）（SAS∴⊿ABE≌⊿ FBE∠BFE∴∠A=DA ED C F C B B AAB知：AB∵ PC-PB 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数． 17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD． 18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF． 求证：△ABC≌△DEF． 19．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM ≌△CDN，并给出证明． （1）你添加的条件是：； （2）证明：． 20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． 21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F． 求证：BE=CF． 22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设：；结论：．（均填写序号） 证明： 24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1． 七年级数学下册《全等三角形》专题练习1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F 点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证： BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 10、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 13．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 14．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ．（做AF=AD 交AB 于F 点） A B C D D C B A F E P E D C B A 15．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD 19、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 20、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 22、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B A 23、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 26.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. F E D C B A D A F E 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A D B C B B A C D F 2 1 E C D B A A D B C 11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 5．（2009?仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题： （1）若AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图②中，BD与CE的数量关系是_________； ②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB E B 1 2 G C E G ? ? 全等三角形证明过程训练（习题） 例题示范 例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A D 为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 A D ① 读题标注： B C F ② 梳理思路： F 要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由 已知得，AB =CB ；BE =BF ； 根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2 在△ABE 和△CBF 中 ? A B = CB ? ∠1 = ∠2 ?BE = BF （已知） （已证） （已知） ∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE =CF （全等三角形对应边相等） 过程规划： 1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2 2．证明△ABE ≌△CBF 3．根据全等性质得，AE =CF E 巩固练习 1. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将 上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ． D A D A P E B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是 ，理由是 ． 3. 已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A B C D 4. 已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ． A C D E F B全等三角形证明经典试题50道
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