综述非线性系统最优控制理论
近年来，最优控制理论[1,2]的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，已成为系统与控制领域最热门的研究课题之一，取得了许多研究成果。同时，也在与其他控制理论相互渗透，出现了许多新的最优控制方式，形成了更为实用的学科分支。例如鲁棒最优控制[3]、随机最优控制[4]、分布参数系统的最优控制[5]、大系统的次优控制[6]、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制[7,8]等。而对于非线性系统，其最优控制求解相当困难，需要求解非线性HJB方程或非线性两点边值问题，除简单情况外[9]，这两个问题都无法得到解析解。因此，许多学者都致力于寻求近似的求解方法[10~13]，通过近似解得到近似的最优控，即次优控制。
1、非线性最优控制理论研究成果分类
目前，较为流行的近似最优控制求解方法主要有以下几类[6][13]。
1）幂级数展开法：幂级数展开方法通过一个幂级数来构造控制律，得到序列形式的近似最优解，或者将系统中的非线性项以幂级数形式分解，或者通过引进一个临时变量并围绕它展开。
将上式代入HJB方程求得级数近似解，也可利用Adomian分解将非线性项进行分解，由此寻求非线性HJB方程级数的近似解。
2）Galerkin逐次逼近方法：由动态规划得到的一般性偏微分HJB方程，引入一个迭代过程来求解一般非线性HJB方程的一个近似解序列。
3）广义正交多项式级数展开法：其主要思想是将最优控制问题中的状态变量，控制输入，性能指标和各个参数分别用广义正交多项式展开，利用广义正交多项式的积分、乘积运算阵
将描述系统的微分方程转化为一系列的代数方程。然后，得到，T非奇异时由得到的控制律是一个多项式级数解。该方法将最优控制问题转化为代数极值问题，从而避免了求解时变非线性Riccati方程。
4）有限差分和有限元方法：经典的有限差分和有限元方法可以用来近似求解非线性HJB方程。近年来，这类方法用来近似求取非线性HJB方程的粘性解。
5）状态相关Riccati方程方法：这种方法适用的模型是仿射非线性系统，
通过极大值原理假设最优控制律具有如下形式
其中为下式所述里卡提方程的解
这样，问题的关键归结于近似求解。状态相关里卡提方程方法通过在中引入灵敏度参数变量ε，在邻域内将展为幂级数
通过比较幂级数同次项系数将状态相关里卡提方程分解为一组矩阵微分方程序列，由此求得其近似解。状态相关里卡提方程方法所设计的近似最优控制律是一种级数形式的状态反馈控制律。
6）Riccati方程近似序列法：该方法对非线性系统构造线性时变序列以及相应的线性二次型时变性能指标，得到线性时变序列的最优反馈控制序列
其中是里卡提方程近似序列的解。
此方法计算量较大，但是当系统的维数不是很大时，较里卡提方程近似序列方法具有很快的收敛速度，并表现出很好的鲁棒性。
7）逐次逼近法：该方法是针对非线性的一次项和高次项可分离的一类非线性系统进行近似最优控制问题的求解，给出了一种逐次逼近的近似求解方法。该方法针对由极大值原理导致的两点边值问题，构造近似的等价序列将其转化为一组线性非齐次两点边值问题序列，通过迭代求解一系列的向量微分方程，包括状态向量方程序列和共态向量方程序列，得到原非线性系统近似最优控制问题的解。该方法被广泛应用到各类非线性系统，其最大优点是在迭代过程中每次计算的不是矩阵微分或代数方程，而是向量微分或代数方程，计算量大大减少，而且实时性很高。
2、非线性最优控制理论研究成果对比
比较以上方法，各有优缺点。其中，幂级数展开方法要求系统关于状态向量x解析，才能够进行展开，这在实际工程应用中是不现实的。Galerkin逐次逼近法的收敛性过于依赖系统的初值，收敛性在很多情况下是无法保证的。广义正交多项式级数展开法和有限差分、有限元方法都是采用不同的数学工具来解决近似求解非线性系统的最优控制问题，但这两种方法的计算收敛性不好，所需的巨大计算量也使得它们离工程实际应用有很大一段距离。状态相关里卡提方程适
用于一类仿射非线性系统。里卡提方程近似序列方法同样适用于一类仿射非线性系统，当处理高维系统时，其计算量将很大。而逐次逼近法，从计算复杂度看，是对向量迭代，得到的最优控制律是由精确的线性反馈项和非线性补偿项组成，将最优控制的求解转化为非线性补偿向量序列的求极限过程，大大减少了计算量，容易被实际工程所应用。简言之，逐次逼近法通过较为简单的计算设计得到系统的近似最优控制律，具有计算量少，易于工程实现的优点，有很好的工程应用前景。然而，逐次逼近法的缺点在于其对外部扰动和系统内部参数摄动以及未建模动态敏感，因此提高最优控制的鲁棒性是非常必要的。
3、结束语
对于非线性系统，其最优控制的解一般是不存在的。再加上非线性系统的复杂性和多样性，这方面的研究成果还很少，尚待解决的问题还很多，，本文对非线性最优控制理论现有研究成果对比进行了详细的阐述，并对其优缺点进行了客观的对比，为非线性最优控制理论的进一步研究提
参考。
《最优控制理论》 课程总结 姓名：肖凯文 班级：自动化1002班 学号：0909100902 任课老师：彭辉
摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law
文献综述 前言 从20世纪40年代起，特别是第二次世界大战以来，自动化随着工业发展和军事技术需要而得到了迅速的发展和广泛的应用。如今，自动控制技术不仅广泛应 用于工业控制中，在军事、农业、航空、航海、核能利用等领域也发挥着重要的 作用。例如，电厂中锅炉的温度或压力能够自动恒定的不变，机械加工中数控 机床按预定程序自动地切削工件，军事上导弹能准确地击中目标，空间技术中人 造卫星能按预定轨道运行并能准确地回收等，都是应用了自动控制技术的结果。 自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用控制装置对机器设备或生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能要求。 双容水箱液位控制系统就是自动控制技术在液位控制方面的应用。其在化工，能源（电厂）等工业工程控制中得到了广泛应用。 过程控制的发展历程 随着过程控制技术应用范围的扩大和应用层次的深入，以及控制理论与技术的进步和自动化仪表技术的发展，过程控制技术经历了一个由简单到复杂，从低 级到高级并日趋完善的过程。 1过程控制装置的发展 1.1基地式控制阶段（初级阶段） 20世纪50年代，生产过程自动化主要是凭借生产实践经验，局限于一般的控制元件及机电式控制仪表，采用比较笨重的基地式仪表（如自力式温度 控制器、就地式液位控制器等），实现生产设备就地分散的局部自动控制。在设 备与设备之间或同一设备中的不同控制系统之间，没有或很少有联系，其功能往 往限于单回路控制。其过程控制的主要目的是几种热工参数（温度、压力、流量 及液位）的定值控制，以保证产品质量和产量的稳定。 1.2单元组合仪表自动化阶段 20世纪60年代出现了单元组合仪表组成的控制系统，单元组合仪表有电动和气动两大类。所谓单元组合，就是把自动控制系统仪表按功能分成若干 单元，依据实际控制系统结构的需要进行适当的组合。单元组合仪表之间用标准 统一的信号联系，气动仪表（QDZ系列）信号为0.02～0.1MPa气压信号，电动 仪表信号为0～10mA直流电流信号（DDZ-II系列）和4～20mA直流电流信号 （DDZ-III系列）因此单元组合仪表使用方便、灵活。由于电流信号便于远距离 传送，因而实现了集中监控和集中操纵的控制系统，对于提高设备效率和强化生 产过程有所促进，适应了工业生产设备日益大型化于连续化发展的需要。
13/2012 59 现代控制理论概述及实际应用意义 王 凡 王思文 郑卫刚 武汉理工大学能源与动力工程学院 【摘 要】控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。本文介绍了现代控制理论的产生、发展、内容、研究 方法和应用以及经典控制理论与现代控制理论的差异，并介绍现代控制理论的应用。提出了学习现代控制理论的重要意义。【关键词】现代控制理论；差异；应用；意义 1.引言 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。例如，我们的教学也使用了控制理论的方法。老师在课堂上讲课，大家在课堂上听，本身可看作一个开环函数；而同学们课下做作业，再通过老师的批改，进而改进和提高老师的授课内容和方法，这就形成了一个闭环控制。像这样的例子很多，都是控制理论在生活中的应用。现代控制理论如此广泛，因此学好现代控制理论至关重要。 2.现代控制理论的产生与发展现代控制理论的产生和发展经过了很长的时期。从现代控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。其产生和发展要分为以下几个阶段的发展。 2.1 现代控制理论的产生在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决。 科学技术的发展不仅需要迅速 地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 2.2 现代控制理论的发展五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规则；1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念；1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理；罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、麦克法轮（G.J.MacFarlane）和欧文斯（D.H.Owens）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。 20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国，https://www.doczj.com/doc/fc8658415.html,ndau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。 与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。 3.现代控制理论的内容及研究方法 现代控制理论的内容主要有为系统辨识；最优控制问题；自适应控制问题；线性系统基本理论；最佳滤波或称最佳估计。 （1）系统辨识 系统辨识是建立系统动态模型的方法。根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。 （2）最优控制问题 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理。现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。 （3）自适应控制问题 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。模型参考自适应控制
8-1考虑并回答下面的问题： （a ）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么 （b ）什么样的非线性元件是无记忆的什么样的非线性元件是有记忆的它们的描述函数各有什么特点 （c ）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的有什么是不同的线性元件可以有描述函数吗非线性元件可以有传递函数吗 （d ）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗 8-2设非线性元件的输入、输出特性为 35135()()()()y t b x t b x t b x t =++ 证明该非线性元件的描述函数为 2413535 ()48 N A b b A b A =++ 式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。 8-3某非线性元件的输入、输出特性如图所示。 图 习题8-3图 （a ）试求非线性元件的描述函数。 （b ）将图所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a ）中的结果相比较。 8-4滞环继电特性如图（a ）所示，证明它的描述函数可以表示为 4()arcsin M a N A A A π??= ∠ ???
且负倒描述函数的虚部为常值，负倒描述函数曲线如图（b ）所示。 （a ） （b ） 图 习题8-4图 8-5大对数控制系统的控制器后面都带有限幅器。对图（a ）所示PI 调节器输出带有限幅器的情况，在输入信号发生大的阶跃变化时，系统输出将出现比较大的退饱和超调。所谓退饱和超调是指，在大的误差信号e 作用下，PI 调节器的输出将很快将到达饱和值，经限幅器限幅后控制作用u 维持在最大值max u 。在max u 的作用下，输出c 逐渐增大，误差e 逐渐减小，但只要误差未改变符号，PI 调节器的积分项就将继续增大，0e =时积分项的值一般要远大于限幅器的限幅值max u 。当输出超调以后，误差的符号变负，调节器积分项的值开始下降，但在一段时间内仍将维持在很大的数值上，因此会导致很大的超调。 为降低或消除上述系统的退饱和超调，可以有图（b ）或图（c ）所示的限幅器设计方案，可以保证调节器的积分项被限制在限幅值以内，试分别说明它们的工作原理。 （a ） （b ）
最优控制理论的发展与展 望 Last revision on 21 December 2020
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control; optimal Technology；Genetic Algorithm；Predictive Control 1引言 最优控制理论是本世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一,它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国着名学者钱学森在1954年编着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国着名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联着名学者庞特里亚金的“最大值原理”。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2最优控制理论的几个重要内容 最优控制理论的基本思想 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律(或控制策略),使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小(大)值。
非线性控制理论和方法 姓名：引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940
最优控制理论的发展与展望 摘要:回顾最优控制的基本思想、常用方法及其应用,并对其今后的发展方向和面临的困难提出一些看法。 关键词:最优控制:最优化技术;遗传算法;预测控制 Abstract: The basic idea, method and application of optimal control are reviewed, and the direction of its development and possible difficulties are predicted. Keywords: optimal control; optimal Technology；Genetic Algorithm ；Predictive Control 1 引言 最优控制理论是本世纪60 年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一, 它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案。1948 年维纳等人发表《控制论一关于动物和机器中控制与通信的科学》论文,引进信息、反馈和控制等概念,为最优控制理论诞生和发展奠定了基础。我国著名学者钱学森在1954 年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中,具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作,主要是美国著名学者贝尔曼的“动态规划”和原苏联著名学者庞特里亚金的“最大值原 理” 。此外,构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作,还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件（库恩一图克定理）及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等口 2 最优控制理论的几个重要内容 2.1 最优控制理论的基本思想最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制规律（或控制策略）,使得系统在规定的性能指标（目标函数）下具有最优值,即寻找一个容许的控制规律使动态系统（受控对象、从初始状态转移到某种要求的终端状态,保证所规足的性能指标达到最小（大）值。 2.2 最优控制问题的常用方法 ?变分法 ?最小值原理 ?动态规划 2.3 最优化技术概述及基本方法一般最优化方法解决实际工程问题可分为三步: ①据 所提出的最优化问题,建立数学模型,确定变量,列出约束条件和目标函 数;②对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择最优化求解方法：③根据最 优化方法的算法列出程序框图和编写语言程序,用计算机求出最优解,并对算法的
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：2013-2014第二学期 课程名称：优化理论和最优控制 学生姓名： 学号： 提交时间：2014年4月26日
《优化理论和最优控制》结课总结 摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率 Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The
自动控制 摘要：综述了自动控制理论的发展情况，指出自动控制理论所经历的三个发展阶段，即经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。最后指出，各种控制理论的复合能够取长补短，是控制理论的发展方向。 自动控制理论是自动控制科学的核心。自动控制理论自创立至今已经过了三代的发展：第一代为20世纪初开始形成并于50年代趋于成熟的经典反馈控制理论；第二代为50、60年代在线性代数的数学基础上发展起来的现代控制理论；第三代为60年 代中期即已萌芽，在发展过程中综合了人工智能、自动控制、运筹学、信息论等多学科的最新成果并在此基础上形成的智能控制 理论。经典控制理论(本质上是频域方法)和现代控制理论(本质上是时域方法)都是建立在控制对象精确模型上的控制理论，而实 际上的工业生产系统中的控制对象和过程大多具有非线性、时变性、变结构、不确定性、多层次、多因素等特点，难以建立精确的数学模型。因此，自动控制专家和学者希望能从要解决问题领域的知识出发，利用熟练操作者的丰富经验、思维和判断能力，来实现对上述复杂系统的控制，这就是基于知识的不依赖于精确的数学模型的智能控制。本文将对经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论的发展情况及基本内容进行介绍。 1自动控制理论发展概述 自动控制是指应用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人 自动地对仪器设备或工业生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能指标。对传统的工业生产过程采用自动控制技术，可以有效提高产品的质量和企业的经济效益。对一些恶劣环境下的控制操作，自动控制显得尤其重要。 自动控制理论是与人类社会发展密切联系的一门学科，是自动控制科学的核心。自从19世纪M a x w e ll对具有调速器的蒸汽发动
现代控制理论的应用----王力2011117322 现代控制理论的应用 2011117322 王力物联网工程现代控制理论：狭义的是指60年代发展起来的采用状态空间方法研究实现最优控制目标的控制系统综合设计理论；广义的
是指60年代以来发展起来的所有新的控制理论与方法。 采用状态观测器对系统状态进行估计（或称重构）实际反馈控制主要优点是理论体系严谨完整；可获得理想的最优控制性能，设计过程较少依赖经验试凑；主要缺点是要求系统模型准确，否则实际控制性能并非最优，即控制系统鲁棒差；理论较抽象，缺乏直观性，不易理解，需要较多数学知识；性能指标函数中的加权Q和R选取无定量准则可循，也需凭经验选取，故设计结果也与设计人员有关。 自动控制系统是指为实现自动控制目标由自动化仪表与被控对象所联接成闭环系统。其组成结构是由被控对象、测量代表、控制器或调节器和执行器构成反馈闭环结构，其形式有单回路形式和串级双回路形式；性能指标：定性的有稳（定性）、准（确性）、快（速性）；控制律（或控制策略、控制算法）：控制系统中控制器或调节器所采用的控制策略，即用系统偏差量如何确定控制量的数学表示式。 现代控制理论主要应用于航空类飞行器控制现代控制理论是基 于时域的系统分析方法，目前基本都是高端如火箭发射，导弹制导之类的复杂系统基于动态矩阵的预测控制等。比如在汽车中运用的自适应控制，汽车制动防抱死系统的控制，自适应估计等定速巡航系统的初衷是让车辆运行在最佳的发动机转速—油耗平衡点，汽车发动机的转速跟扭矩、油耗是有一定比例关系的，单位距离油耗最省的发动机转速所对应的速度就是巡航速度，这个定速巡航巡航系统就是个典型的现代控制系统，车辆快了，它帮你松油门，车辆慢了，它帮你踩。现代控制理论的应用于实际存在的很大的问题是系统模型是否准确
1．最优控制问题的性能指标 (1)积分型性能指标(拉格朗日型)：? = f t t dt t t u t x L u J 0 ]),(),([)( 反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。 (2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=，接近目标集程度，即末态控制精度的度量。 (3)综合性能指标（鲍尔扎型）：? +=f t t f f dt t t u t x L t t x u J 0 ]),(),([]),([)(φ。 2．最优控制问题的数学模型 给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =? ；状态方程的边界条件：???∈===S t x t t x t x t t f f )(,)(,0 00； 给定性能指标：? + =f t t f f dt t t u t x L t t x u J 0 ]),(),([]),([)(φ；允许控制域u(t)：U t u ∈)(。 3．最优控制应用的几种类型：最短时间控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。 4．选取性能指标注意： 应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。 5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。 6．横截条件：依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。 1．泛函：对于某一类函数y(·)中的每一个函数y(x)，变量J 都有一个值与之相对应，那么变量J 称作依赖于函数y(x)的泛函。记为：J=J[y(x)]，y(x)称为泛函的宗量。宗量的变分：)()(0x y x y y -=δ。 2．泛函的连续性：对任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，当 ,...)()(,...,)()(,)()()()(000δδδ<-<-<-x y x y x y x y x y x y k k 时，ε<-)]([)]([0x y J x y J ，则称泛函J[y(x)]在点y 0(x)处是连续的，而此时y(x)与y 0(x)具有k 阶接近度。 )]([x y J 满足：（1）)]([)]([)]()([2121x y J x y J x y x y J +=+，（2）)]([)]([x y aJ x ay J =则称其为线性泛函。 3．泛函的变分（计算题） 设泛函J[y(x)]为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分，记为：J δ。泛函的变分是唯一的。 泛函J[y(x)] 的求解：0)]()([)]([=+?? = εεδε δx y x y J x y J 。 dt t x t x t L J f t t ? =0 )](),(,[ ，则dt t x t x t x t x t L t x t x t x t x t L J f t t )}()()](),(,[)()()](),(,[{0 δδ??+??=?。
2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线* ()x t ： 2(1)f t t J x dt =+?& 解：由题可知，始端和终端均固定， 被积函数2 1L x =+&，0L x ?=?，2L x x ?=?&&， 2d L x dt x ??=?&&& 代入欧拉方程0L d L x dt x ??-?=??&，可得20x =&&，即0x =&& 故1x c =& 其通解为：12x c t c =+ 代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为* ()1x t t =+ 2-6 已知状态的初值和终值为 (1)4x =，()4f x t = 式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线* ()x t ： 2 1 1[2()()]2 f t J x t x t dt =+ ?& 解：由题可知，2 122L x x =+ &，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程： L 0d L x dt x ??-=??& 横截条件：()00t x =x ，()() f f x t t ψ=，( )0f T t L L x x ψ ?? ?+-= ??? ? &&& 易得到 2dx dt =& 故12x t c =+& 其通解为：()2 12x t t c t c =++ 根据横截条件可得：()()()122 121114424 f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=??=++=??=+=??& 解以上方程组得：12569f t c c =??=-??=? 还有一组解??? ??===1212 1c c t f (舍去，不符合题意f t >1)
非线性系统学习控制理论的发展与展望 谢振东谢胜利刘永清 摘要：论述了学习控制的基本理论问题，给出了学习与学习控制系统的基本定义，着重讨论了学习控制方法产生的历史背景、目前非线性系统学习控制的研究状况，提出了一些有待继续研究的问题. 关键词：非线性系统；学习控制；发展与展望 文献标识码：A Development and Expectation for Learning Control Theory of Nonlinear Systems XIE Zhendong，XIE Shengli and LIU Yongqing （Depatrment of Automatic Control Engineering, South China University of Technology． Guangzhou, 510640, P.R.China） Abstract：In this paper, the problem for the basic theory of learning control is discussed. After giving the basic definition of learning and learning control, we mainly discuss the background of learning control and the research status for learning control of nonlinear systems, and put forward some problems need to be researched. Key words：nonlinear systems; learning control; development and expectation▲ 1 非线性系统学习控制的研究背景(Research background for learning control theory of nonlinear systems) 1.1 引言(Introduction) 对于高速运动机械手的控制，Uchiyama提出一个思想［1］：不断重复一个轨线的控制尝试，并以此修正控制律，能达到较好的控制效果.日本学者Arimoto［2］等人根据这种思想于1984年针对机器人系统的控制研究，提出了迭代学习控制这一新颖方法.这种控制方法只是利用控制系统先前的控制经验，根据测量系统的实际输出信号和期望信号来寻求一个理想的输入，使被控对象产生期望的运动.而“寻找”的过程就是学习的过程，在学习的过程中，只需要测量系统的输出信号和期望信号，不象适应控制那样，对系统要进行复杂的参数估计［3，4］，也不象一般控制方法那样，不能简化被控对象的动力学描述.特别是在一类具有较强的非线性耦合和较高的位置重复精度的动力学系统(如工业机器人、数控机床等)中，学习控制有着很好的应用，如T.Sugie［5］,M.Katic［6］,H.Park［7］的工作.迭代学习控制方法提出后，受到了控制界的广泛关注，人们不仅针对各种机器人系
最优控制理论在汽车控制系统中运用 董凤鸿1，张皓2 （1 北京科技大学2010级信计2班 41040317） （2 北京科技大学2012级信计2班 41064044） 摘要： 随着人们生活水平的提高，汽车已经开始走进百姓的生活中。随着人们对汽车消费的增加，越来越多的人开始更多的关注的不仅仅是汽车本身，更多的开始关注汽车的安全性及舒适性。由此，各大汽车厂商更具消费者的需求开始着重研究带有主动控制能力的汽车控制系统。本文引入最优控制理论对当今比较流行的汽车悬挂系统、汽车防抱制动系统（简称ABS 系统）和无级变速器控制系统进行优化。由此达到优化汽车安全性、经济性和舒适性。 关键词： 最优控制理论、悬挂系统、防抱制动系统、无级变速器控制系统 一、引言 汽车防抱制动系统(简称ABS系统) ，实质上是一种制动力的自动调节装置。这种装置使汽车制动系统的结构发生了质的变化,它不仅能充分发挥制动器的制动性能,提高制动减速度和缩短制动距离,而且能有效地提高汽车制动时的方向稳定性,大大改善汽车的行驶安全性。悬挂系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称，悬挂系统直接影响着汽车的安全性、稳定性和舒适性，是汽车的重要组成部分之一。目前，降低汽车能源消耗和减少废气排放已成为汽车行业最关注的问题，大量试验表明，装有无级变速器(CVT)的汽车比装有传统有级变速器的汽车在改善汽车燃油经济性和排放等方面具有更大的潜力，这是因为CVT连续变化的传动比可以使发动机转速独立于负载和车速的变化，最大限度地发挥发动机的经济性和动力性。 二、正文 （一）、汽车防抱制动系统最优控制 1、方法介绍 最优控制是基于状态空间法的现代控制理论方法。它可以根据车辆一地面系统的数学模型,用状态空间的概念,在时间域内研究汽车防抱制动系统。是一种基于模型分析型的控制系统,它根据防抱系统的各项控制要求,按最优化原理求得控制系统的最优控制指标。我们知道:现代控制理论应用得成功与否,关键在于数学模型是否准确。为此必须首先研究用状态变量表示的防抱系统的数学模型。 2、模型建立 为了便于分析首先作如下假设： (1)车轮承受的载荷为常数; (2)不计迎风阻力和滚动阻力;
最优控制理论及应用作业 线性二次型最优控制器 院（系）自动化学院 专业班级自硕1602 学生姓名郭正一 学生学号S2016**** 2016年11月2日
线性二次型最优控制器 ****1) 1)北京*****，北京 100083 摘要课后题进行仿真(>﹏<。)。 关键词最优控制器；线性二次型 Linear Quadratic Optimal Controller …… *****1 1) *******g, Beijing 100083, China ABSTRACT I am so sorry for not good at modeling, so I can only use an after-school exercises for simulation. KEY WORDS Optimal Controller; Linear Quadratic 1 问题提出 构造的的系统方程如下： . x =010001023?? ? ? ?--??X+011?? ? ? ???U Y=(1 0 0)X 性能指标为J=T 0[+U RU]T X QX dt ∞ ?，其中Q ，R 为 Q=123000 000a a a ?? ? ? ??? R=[0.01] 要设计状态反馈控制器，使J 最小 Q 矩阵参数选择如下： 1a =100 2a =3a =1 2问题分析 由于代数李卡蒂方程求解过程中仅涉及矩阵运算，所以很适合用MATLAB 软件处理，在MATLAB 的控制系统分析与设计工具箱中提供了求解代数李卡蒂方程的函数lpr()，其具体调用方式如下：
2 [K,P,E]=lpr(A,B,Q,R) 2程序仿真 在MATLAB 环境中，执行下面的M 文件 A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=[0]; Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1]; R=[0.01]; [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R); disp('卡尔曼增益'); k %阶跃响应 k1=k(1); Ac=A-B*k; Bc=B*k1; Cc=C; Dc=D; figure(1) step(Ac,Bc,Cc,Dc) title(‘最优控制后的阶跃响应’); 运行后结果如下 卡尔曼增益 k = 100. 0000 53.1200 11. 6711 即状态反馈控制器k = [100. 0000 53. 1200 11. 6711] ,系统输出响应的仿真。 图1最优控制后的阶跃响应 Fig.1Step response after optimal control 为了研究Q 矩阵参数变化对最优控制器设计的影响,现改变Q 矩阵参数如下: 1a =1，2a =1，3a =1 在运行上述M 文件后得到下面的结果 改变Q 矩阵后卡尔曼增益 K=10.0000 16.5022 8.9166
Introduction of Lyapunov-Based Control 1An Example of Nonlinear Systems Linear System ˙x=Ax+Bu y=Cx (1) it has the superposition property.Besides,the stability of the linear system completely depends on its parameters. Nonlinear System ˙x=f(x,u) y=g(x) (2) superposition does not hold for nonlinear systems,and the stability of a nonlinear system depends on both system parameters and initial conditions. Example:The dynamic model for a2-DOF overhead crane system(see Figure??)can be presented as follows M(q)¨q+V m(q,˙q)˙q+G(q)=u(3) q=[x(t)θ(t)]T(4) where x(t)∈R1denotes the gantry position,θ(t)∈R1denotes the payload angle with respect to the vertical,and M(q)∈R2×2,V m(q,˙q)∈R2×2,G(q)∈R2,and u(t)∈R2are de?ned as follows M(q)= m c+m p?m p L cosθ ?m p L cosθm p L2 , V m(q,˙q)= 0m p L sinθ˙θ 00 , G(q)= 0m p gL sinθ T,u(t)= F0 T,(5) where m c,m p∈R1represent the gantry mass and the payload mass,respectively,L∈R1represents the length of the rod to the payload,g∈R1represents the gravity coe?cient,and F(t)∈R1 represents the control force input acting on the gantry(see Figure??). 2Common Nonlinear Systems Behaviors 2.1Multiple Equilibrium Points For the system ˙x=f(x)(6) 1
8 非线性控制系统 前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。 8.1非线性控制系统概述 在物理世界中，理想的线性系统并不存在。严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。 图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。 图8-1 伺服电动机特性 8.1.1控制系统中的典型非线性特性 组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。 实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。常见典型非线性特性有饱和非线性、死区非线性、继电非线性、间隙非线性等。 8.1.1.1饱和非线性 控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。如图8-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。有时，工程上还人为引入饱和非线性特