2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*
()x t ：
2(1)f
t t J x dt =+?&
解：由题可知，始端和终端均固定，
被积函数2
1L x
=+&，0L x ?=?，2L x x ?=?&&， 2d L x dt x
??=?&&& 代入欧拉方程0L d L
x dt x ??-?=??&，可得20x =&&，即0x =&
& 故1x
c =& 其通解为：12x c t c =+ 代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*
()1x t t =+
2-6 已知状态的初值和终值为
(1)4x =，()4f x t =
式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*
()x t ：
2
1
1[2()()]2
f
t J x t x t dt =+
?& 解：由题可知，2
122L x x =+
&，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：
L 0d L x dt x
??-=??& 横截条件：()00t x =x ，()()
f f x t t ψ=，(
)0f
T
t L L x x ψ
??
?+-= ???
?
&&&
易得到
2dx
dt
=& 故12x
t c =+& 其通解为：()2
12x t t c t c =++
根据横截条件可得：()()()122
121114424
f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=??=++=??=+=??&
解以上方程组得：12569f t c c =??=-??=? 还有一组解???
??===1212
1c c t f (舍去，不符合题意f t >1)
将f t ，1c ，2c 代入J 可得3
140
)3(4)212(5025
.
2
*
=
-=+
=??
?t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+
2-7 设性能泛函为
1
20
(1)J x dt =+?&
求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*
()x t 。
解：由题可知，2
1L x
=+&，()00x =，()1x 自由 欧拉方程：
L 0d L x dt x
??-=??&
横截条件：()00t x =x ，
L 0f t x ?=?&，0f
T t L L x x ???+= ????
&&
易得到()x t a =&
其通解为：()x t at b =+
代入边界条件()
f x
t a =&，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1
*
2
11J x
dt =+=?& 极值轨线为()*
0x t =
2－8 设泛函
dt t x x x x L J tf
t ),,,,(2.
.120
1?=
端点),,(02010t x x A 固定，端点)),(),((21t t x t x B f f 可沿空间曲线 )()(),()(21f f f f t t c t t c ψ?== 移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为
0)()([.2.2...1.=?
??????
???-+??-+tf
x L x x L x L ψ?
证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P
0)(.
.
.=???
???????--tf
T x L x c L 可得， （1）
由 c=[]T
ψ?,,T
x x x ),(2.
1.
.
=
),()(.
2.
.
1.
..
x x x c T
--=-ψ?,
T x L
x L
x
L ),
(
.
.
1.
2
????=??
∴ .
2
2.
.1
.
1.
..
.
.
)
()
()
(x L x x L x x
T x c T
??-+??-=??-ψ? （2）
将（2）代入（1）式，得：
0)()(..
.22.1.1=??
?
?????????-+??--tf
x L x x L x L ψ?,得证。
2-13 设系统状态方程
12()()x t x t =&，1(0)2x = 2()()x t u t =&，2(0)1x =
性能指标如下：
2
1()2f t J u t dt =?
要求达到()0f x t =，试求
（1）5f t =时的最优控制*
()u t 。 （2）f t 自由时的最优控制*
()u t 。
解：由题可知
构造H ：2
12212
T
H L f u x u λλλ=+=
++ 正则方程：1
1
212
()0()H t x H t x λλλ??=-=??????=-=-???&
&
可求得 11
212
()()t c t c t c λλ=??
=-+?
控制方程：
20H
u u
λ?=+=? 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-
由状态方程12()()x t x t =&，2()()x t u t =&可得32112342212311()621()2
x t c t c t c t c x t c t c t c ?=-++???
?=-+?? （1）5f t =时
由边界条件1(0)2x =，2(0)1x =，1()0f x t =，2()0f x t =可得
343212342
1231
211
55506
215502c c c c c c c c c =??=???*-*+*+=??*-*+=?? 得
1234
54125322512c c c c ?=??
?=??
=??=? 故32122
916()2125252732()112525x t t t t x t t t ?
=-++????=-+??
有 2
5432()12525x t t =-& 有最优控制*
5432
()12525
u t t =- （2）若f t 自由
由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件
21221()()()()()()02f f f f f f f
H t u t t x t t u t t ?
λλ?=++=-=?得0)(=f t u
即2()0f t λ=，从而21f c c t =，代入32
122121*********
f f f f f c t c t t c t c t ?-++=????-+=??可得6f t =- 因为时间总为正值，所以此题无解。
3-2 设二阶系统的状态方程
),
()()(),()(122.
1t u t x t x t x t x +==?
?边界条件
)2(,0)2(1)0(,1)0(2121====x x x x 试求下列性
能指标的极小值：?+=202
1)]()([2
1dt t u t x J 解：由题可知
构造H ：2112211
()()2H L f x u x x u λλλ=+=
++++ 由协态方程和极值条件：112121212[()]0H x u x H x H
x u u λλλλλ?
?
??=-=-++???
??=-=-???
??=++=???
得11212c c t c λλ=??=+?代入状态方程
得：.
12212()(),()()x t x t x t c t c ??
?=???=+? 即3
21123422123
1212x c t c t c t c x c t c t c ?=-++????=-+??，代入初始条件解得：123433.511
c c c c =??=??=??=?
故3212217()12437()122
x t t t t x t t t *
*?=-++????=-+??， 此时2222
10
01[()()](3 3.5)0.30772J x t u t dt t dt *
=+=-=??
3-4 给定一阶系统方程
()()()x t x t u t =-+&，(0)1x =
控制约束为()1u t ≤，试求使下列性能指标：
101
[()()]2
J x t u t dt =-?
为极小值的最优控制*()u t 及相应的最优轨线*
()x t 。
解：由题可知
构造H ：1()()(1)()22
u H x x u x u λλλ=-+-+=-+-
哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2
u λ-极小。且取其约束条件的边界值，即()1u t =时，使哈密顿函数H 达到最小值。所以，最优控制应取
*
11,2()112
u t λλ?
->??=?
?
λλ?=-=-?&可得 ()1t t ce λ=-
由横截条件 (1)0λ=求得 1
c e -=，于是有
1()1t t e λ-=-
显然，当()0.5s t λ=时，*
()u t 产生切换，其中s t 为切换时间。不难求得ln
2
s e t =，故最优控制为
*
1,0ln 2()1,ln 12
e t u t e t ?
-≤
?≤≤?? 将*
()u t 代入状态方程，得
1,0ln 2()1,ln 12
e x t x t e x t ?
--≤
?-+≤≤??&
解得121,0ln 2()1,ln 12
t
t e c e t x t e c e t --?-≤
?+≤≤??
代入初始条件(0)1x =，可得 12c =，因而
()21t x t e -=-，0ln
2
e
t ≤< 在上式中，令ln
2e t =，可求出ln 12
e
t ≤≤时()x t 的初始条件
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??
⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
《过程控制系统》习题解答 1-1 试简述过程控制的发展概况及各个阶段的主要特点。 答：第一个阶段50年代前后：实现了仪表化和局部自动化，其特点： 1、过程检测控制仪表采用基地式仪表和部分单元组合式仪表 2、过程控制系统结构大多数是单输入、单输出系统 3、被控参数主要是温度、压力、流量和液位四种参数 4、控制的目的是保持这些过程参数的稳定，消除或减少主要扰动对生产过程的影响 5、过程控制理论是以频率法和根轨迹法为主体的经典控制理论，主要解决单输入、单输出的定值控制系统的分析和综合问题 第二个阶段60年代来：大量采用气动和电动单元组合仪表，其特点： 1、过程控制仪表开始将各个单元划分为更小的功能，适应比较复杂的模拟和逻辑规律相结合的控制系统 2、计算机系统开始运用于过程控制 3、过程控制系统方面为了特殊的工艺要求，相继开发和应用了各种复杂的过程控制系统（串级控制、比值控制、均匀控制、前馈控制、选择性控制） 4、在过程控制理论方面，现代控制理论的得到了应用 第三个阶段70年代以来：现代过程控制的新阶段——计算机时代，其特点： 1、对全工厂或整个工艺流程的集中控制、应用计算系统进行多参数综合控制 2、自动化技术工具方面有了新发展，以微处理器为核心的智能单元组合仪表和开发和广泛应用 3、在线成分检测与数据处理的测量变送器的应用 4、集散控制系统的广泛应用 第四个阶段80年代以后：飞跃的发展，其特点： 1、现代控制理论的应用大大促进了过程控制的发展 2、过程控制的结构已称为具有高度自动化的集中、远动控制中心 3、过程控制的概念更大的发展，包括先进的管理系统、调度和优化等。 1-2 与其它自动控制相比，过程控制有哪些优点？为什么说过程控制的控制过程多属慢过程？ 过程控制的特点是与其它自动控制系统相比较而言的。 一、连续生产过程的自动控制 连续控制指连续生产过程的自动控制，其被控量需定量控制，而且应是连续可调的。若控制动作在时间上是离散的（如采用控制系统等），但是其被控量需定量控制，也归入过程控制。 二、过程控制系统由过程检测、控制仪表组成 过程控制是通过各种检测仪表、控制仪表和电子计算机等自动化技术工具，对整个生产过程进行自动检测、自动监督和自动控制。一个过程控制系统是由被控过程和检测控制仪表两部分组成。 三、被控过程是多种多样的、非电量的 现代工业生产过程中，工业过程日趋复杂，工艺要求各异，产品多种多样；动态特性具有大惯性、大滞后、非线性特性。有些过程的机理（如发酵等）复杂，很难用目前过程辨识方法建立过程的精确数学模型，因此设计能适应各种过程的控制系统并非易事。 四、过程控制的控制过程多属慢过程，而且多半为参量控制 因为大惯性、大滞后等特性，决定了过程控制的控制过程多属慢过程；在一些特殊工业生产过程中，采用一些物理量和化学量来表征其生产过程状况，故需要对过程参数进行自动检测和自动控制，所以过程控制多半为参量控制。
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）
过程控制工程知识点复习 一.过程控制系统及其分类 1.过程控制理论是以频率法和根轨迹法为主体的经典控制理论，主要解决单输入 单输出的定值控制系统的分析和综合问题。 2.过程控制有三种图表示分别是系统框图控制流程图工艺流程图我们应当学会识 别。 控制流程图 系统框图
工艺流程图 3.过程控制系统的分类 按结构特点分为反馈控制系统（闭环）前馈控制系统（开环）前馈-反馈控制系 统（复合控制系统）复合控制系统 按信号特点分定值控制系统（给出给定值）程序控制系统（按一定规律变化如空调温度随时间变化定值变化11：00给25°c 12：00给28°c）随动控制系统（如比值控制） 二.过程建模 被控过程是指正在运行的多种被控制的生产工艺设备，如锅炉，精馏塔，化学反应器等等，被控过程的数学模型（动态特性）是指过程在各输入量（控制量与扰动）作用下相应输出量变化函数关系的数学表达式。 过程的数学模型有两种 1.非参数模型，如阶跃响应曲线脉冲响应曲线频率特性曲线是用曲线表示的 2.参数模型，如微分方程传递函数脉冲响应函数状态方程差分方程是用数学 方程式表示的。 机理法建模 机理法建模又称为数学分析法建模或理论建模。
自平衡能力：即过程在输入量的作用下其平衡状态被破坏后无需人或仪器的干 预，依靠过程自身能力逐渐恢复达到另一新的平衡状态 试验法建模 试验法建模是在实际的生产过程中，根据过程输入，输出实验数据，通过过程辨 识与参数估计的方法建立被控过程的数学模型。特点是不需要深入了解过程机理 但必须设计合理实验。 三.过程测量及变送 测量误差 测量误差是指测量结果与被测量的真值之差，测量误差反应了测量结果的可靠度。 绝对误差：绝对误差是指仪表指示值与被测变量的真值之差，在工程上，通常把高一等级精度的标准仪器测得的值作为真值（实际值）此时的绝对误差是指用标准仪表（高精度）与测量仪表（低精度）同时测量同一值是，所得两个结果之差。 相对误差：相对误差是指绝对误差与被测量的真值之比的百分数，它比绝对误差更具有说明测量结果的精度。相对误差分为实际相对误差和标称相对误差和引用相对误差 引用相对误差δ=（（绝对误差）/（仪表量程））*100%=（（x-x0）/（a-b））*100% x仪表测量值x0仪表测量真值a仪表上限b仪表下限 实际相对误差为绝对误差与真值之比的百分数标称相对误差为绝对误差与仪表指示值之比的百分数 四.简单过程控制系统 对过程控制设计的一般要求1.安全性2.稳定性3.经济性 （单回路）过程控制系统的设计步骤 1.根据工艺参数合理选择性能指标 2.选择合理的控制参数和被控参数 3.合理的选择和设计控制器 4.兼顾被控参数的测量与变送器执行器的选择 控制方案设计 1.合理选择被控参数Y（s） 2.合理选择被控参数Q（s） 3.合理设计（选择）控制（调节）规律Wc（s） 4.被控过程参数的测量与变送Wm（s） 5.控制执行器的选择Wv（s） 过程控制系统在运行中有两种状态，一种是稳态，一种是动态 阶跃响应的性能指标 1.余差（静态偏差）C 过渡过程后给定值与被控参数稳态值之差 2.衰减率衡量系统过渡过程稳定性的一个动态指标 ψ=(B1-B2)/B1=1-B2/B1 为保持系统足够的稳定度，一般取ψ=0.75-0.9 3.最大偏差A（超调量σ） 最大偏差是指被控参数第一个波的峰值与给定值的差 σ=（y（tp）-y（∞））/ y（∞）*100% 这个值表示被控参数偏离给定值的程度，衡量性能的重要指标 4.过渡时间ts 从受扰动开始到进入新的稳态值+-5%范围内的时间，衡量快速性的指标，该值约小
目录 1自动控制系统的基本概念 1.1内容提要 1.2习题与解答 2自动控制系统的数学模型 2.1内容提要 2.2习题与解答 3自动控制系统的时域分析 3.1内容提要 3.2习颗与他答 4根轨迹法 4.1内容提要 4.2习题与解答 5频率法 5.1内容提要 5.2习题与解答 6控制系统的校正及综合 6.1内容提要 6.2习题与解答 7非线性系统分析 7.1内容提要 7.2习题与解答 8线性离散系统的理论基础 8.1内容提要 8.2习题与解答 9状态空间法 9.1内容提要 9.2习题与解答 附录拉普拉斯变换 参考文献 1自动控制系统的基本概念 1. 1内容提要 基本术语：反馈量，扰动量，输人量，输出量，被控对象； 基本结构：开环，闭环，复合； 基本类型：线性和非线性，连续和离散，程序控制与随动； 基本要求：暂态，稳态，稳定性。 本章要解决的问题，是在自动控制系统的基本概念基础上，能够针对一个实际的控制系统，找出其被控对象、输人量、输出量，并分析其结构、类型和工作原理。
1.2习题与解答 题1-1图P1-1所示，为一直 流发电机电压白动控制系统示 意图。图中，1为发电机；2为减速器； 3为执行电机；4为比例放大器； 5为可调电位器。 (1)该系统有哪些环节组成， 各起什么作用” (2)绘出系统的框图，说明当 负载电流变化时，系统如何保持发 电机的电压恒定 (3)该系统是有差系统还是无 差系统。 (4)系统中有哪些可能的扰动， 答 (1)该系统由给定环节、比较环节、中间环节、执行结构、检测环节、 发电机等环节组成。 给定环节:电压源0U 。用来设定直流发电机电压的给定值。 比较环节:本系统所实现的被控量与给定量进行比较，是通过给定电 压与反馈电压反极性相接加到比例放大器上实现的 中间环节:比例放大器。它的作用是将偏差信号放大，使其足以带动 执行机构工作。该环节又称为放大环节 执行机构:该环节由执行电机、减速器和可调电位器构成。该环节的 作用是通过改变发电机励磁回路的电阻值，改变发电机的磁场，调节发 电机的输出电压 被控对象:发电机。其作用是供给负载恒定不变的电压. 检测环节跨接在发电机电枢两端、且与电压源0U 反极性相接到比 例放大器输人端的导线。它的作用是将系统的输出量直接反馈到系统的 输人端。 (2)系统结构框图如图1-5所示。当负载电流变化如增大时，发电 机电压下降，电压偏差增大，偏差电压经过运算放大器放大后，控制可逆 伺服电动机，带动可调电阻器的滑动端使励磁电流增大，使发电机的电压 增大直至恢复到给定电压的数值上，实现电压的恒定控制。 图P1-7电压自动控制系统示意图
即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&
2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
第一章 绪论 1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1) 优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2) 缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说 明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非 线性，定常，时变）？ （1）22 ()()() 234()56()d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+ （2）()2()y t u t =+ （3）()()2()4()dy t du t t y t u t dt dt +=+ （4）() 2()()sin dy t y t u t t dt ω+= （5）22 ()() ()2()3()d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6）2() ()2() dy t y t u t dt +=
第一章绪论 1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作 用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化， 外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。 它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证 明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉 子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？ （1） 2 2 ()()() 234()56() d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+ （2） ()2() y t u t =+ （3） ()() 2()4() dy t du t t y t u t dt dt +=+ （4） () 2()()sin dy t y t u t t dt ω += （5） 2 2 ()() ()2()3() d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6） 2 () ()2() dy t y t u t dt += （7） () ()2()35() du t y t u t u t dt dt =++? 解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常 （7）线性定常
过程控制基本概念 自动控制技术在工业、农业、国防和科学技术现代化中起着十分重要的作用，自动控制水平的高低也是衡量一个国家科学技术先进与否的重要标志之一。随着国民经济和国防建设的发展，自动控制技术的应用日益广泛，其重要作用也越来越显著。 生产过程自动控制（简称过程控制）-------自动控制技术在石油、化工、电力、冶金、机械、轻工、纺织等生产过程的具体应用，是自动化技术的重要组成部分。 §1.1 过程控制的发展概况及特点 一、过程控制的发展概况 在过程控制发展的历程中，生产过程的需求、控制理论的开拓和控制技术工具和手段的进展三者相互影响、相互促进，推动了过程控制不断的向前发展。纵观过程控制的发展历史，大致经历了以下几个阶段： 20世纪40年代： 手工操作状态，只有少量的检测仪表用于生产过程，操作人员主要根据观测到 的反映生产过程的关键参数，用人工来改变操作条件，凭经验去控制生产过程。 20世纪40年代末～50年代： 过程控制系统：多为单输入、单输出简单控制系统 过程检测：采用的是基地式仪表和部分单元组合仪表（气动Ⅰ型和电动Ⅰ型）； 部分生产过程实现了仪表化和局部自动化 控制理论：以反馈为中心的经典控制理论 20世纪60年代： 过程控制系统：串级、比值、均匀、前馈和选择性等多种复杂控制系统。 自动化仪表：单元组合仪表（气动Ⅱ型和电动Ⅱ型）成为主流产品 60年代后期，出现了专门用于过程控制的小型计算机，直接数字控 制系统和监督计算机控制系统开始应用于过程控制领域。 控制理论：出现了以状态空间方法为基础，以极小值原理和动态规划等最优控制 理论为基本特征的现代控制理论,传统的单输入单输出系统发展到多 输入多输出系统领域，、型、型 20世纪70～80年代： 微电子技术的发展，大规模集成电路制造成功且集成度越来越高（80年代初一片硅片可集成十几万个晶体管，于是32位微处理器问世），微型计算机的出 现及应用都促使控制系统发展。 过程控制系统：最优控制、非线性分布式参数控制、解耦控制、模糊控制 自动化仪表：气动Ⅲ型和电动Ⅲ型，以微处理器为主要构成单元的智能控制装置。 集散控制系统（DCS）、可编程逻辑控制器(PLC) 、工业PC机、 和数字控制器等，已成为控制装置的主流。 集散控制系统实现了控制分散、危险分散，操作监测和管理集中。 控制理论：形成了大系统理论和智能控制理论。模糊控制、专家系统控制、模式 识别技术 20世纪90年代至今：信息技术飞速发展 过程控制系统：管控一体化现场，综合自动化是当今生产过程控制的发展方向。
现代控制理论第版课后习 题答案 Prepared on 22 November 2020
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有
相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- + +-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： （2）???? ??????+-+-=-=31103 201 )()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）???? ??????---=6712203 010 A 解：A 的特征方程 0611667122301 23=+++=?? ?? ??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
第 1 页 共 2 页 燕山大学（威县函授点） 2016级第三学期《控制理论基础》考试试卷 姓名 专业 分数 一、填空题（每题1分，共 15分） 1、自动控制系统由 、 、 、 、 、 和 、 组成。 2、经典控制理论中常用的数学模型有 、 、 。 3、在框图运算中，若有n 个环节串联连接，则总传递函数为各环节传递函数的 ，若有n 个环节并联，则总的传递函数为各环节传递函数的 。 4、按有无反馈划分，控制系统可分为 和 。 5、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 与反馈量的差值进行的。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、关于奈氏判据及其辅助函数 F(s)= 1 + G(s)H(s)，错误的说法是 ( ) A 、 F(s)的零点就是开环传递函数的极点 B 、 F(s)的极点就是开环传递函数的极点 C 、 F(s)的零点数与极点数相同 D 、 F(s)的零点就是闭环传递函数的极点 2、已知负反馈系统的开环传递函数为 2 21 ()6100s G s s s +=++，则该系统的闭环特征方程为 ( )。 A 、261000s s ++= B 、 2(6100)(21)0s s s ++++= C 、2 610010s s +++= D 、与是否为单位反馈系统有关 3、一阶系统的闭环极点越靠近S 平面原点，则 ( ) 。 A 、准确度越高 B 、准确度越低 C 、响应速度越快 D 、响应速度越慢 4、已知系统的开环传递函数为100 (0.11)(5)s s ++，则该系统的开环增益为 ( )。 A 、 100 B 、1000 C 、20 D 、不能确定 5、若两个系统的根轨迹相同，则有相同的： A 、闭环零点和极点 B 、开环零点 C 、闭环极点 D 、阶跃响应 6、下列串联校正装置的传递函数中，能在1c ω=处提供最大相位超前角的是 ( )。 A 、 1011s s ++ B 、1010.11s s ++ C 、210.51s s ++ D 、0.11101s s ++ 7、关于P I 控制器作用，下列观点正确的有( ) A 、 可使系统开环传函的型别提高，消除或减小稳态误差； B 、 积分部分主要是用来改善系统动态性能的； C 、 比例系数无论正负、大小如何变化，都不会影响系统稳定性； D 、 只要应用P I 控制规律，系统的稳态误差就为零。 8、关于线性系统稳定性的判定，下列观点正确的是 ( )。 A 、 线性系统稳定的充分必要条件是：系统闭环特征方程的各项系数都为正数； B 、 无论是开环极点或是闭环极点处于右半S 平面，系统不稳定； C 、 如果系统闭环系统特征方程某项系数为负数，系统不稳定； D 、 当系统的相角裕度大于零，幅值裕度大于1时，系统不稳定。 9、关于系统频域校正，下列观点错误的是( ) A 、 一个设计良好的系统，相角裕度应为45度左右； B 、 开环频率特性，在中频段对数幅频特性斜率应为20/dB dec -；
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ????????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 0000000100 10000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 L1L2 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 223 22 31 211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ? =-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? -- ???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k = ，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。
绪论 生产过程自动化，一般是指石油、化工、冶金、炼焦、造纸、建材、陶瓷及电力发电等工业生产中连续的或按一定程序周期进行的生产过程的自动控制。凡是采用模拟或数字控制方式对生产过程的某一或某些物理参数进行的自动控制通称为过程控制。过程控制是自动控制学科的一个重要分支。 一、过程控制的定义和任务 1.过程控制的基本概念 (1)自动控制。在没有人的直接参与下，利用控制装置操纵生产机器、设备或生产过程，使表征其工作状态的物理参数(状态变量)尽可能接近人们的期望值(即设定值)的过程，称为自动控制。 (2)过程控制。对生产过程所进行的自动控制，称为过程控制。或者说凡是采用模拟或数字控制方式对生产过程的某一或某些物理参数进行的自动控制通称为过程控制。 (3)过程控制系统。为了实现过程控制，以控制理论和生产要求为依据，采用模拟仪表、数字仪表或微型计算机等构成的控制总体，称为过程控制系统。 2.过程控制的研究对象与任务 过程控制是自动化的一门分支学科，是对过程控制系统进行分析与综合。综合是指方案设计。 3.过程控制的目的 生产过程中，对各个工艺过程的物理量或称工艺变量有着一定的控制要求。有些工艺变量直接表征生产过程，对产品的产量与质量起着决定性的作用。例如，精馏塔的塔顶或塔釜温度，一般在操作压力不变的情况下必须保持一定，才能得到合格的产品:加热炉出口温度的波动不能超出允许范围，否则将影响后一工段的效果:化学反应器的反应温度必须保持平稳，才能使效率达到指标。有些工艺变量虽不直接影响产品的质量和产量，然而保持其平稳却是使生产获得良好控制的前提。例如，用蒸汽加热反应器或再沸器，如果在蒸汽总压波动剧烈的情况下，要把反应温度或塔釜温度控制好将极为困难:中间储槽的液位高度与气柜压力，必须维持在允许的范围之内，才能使物料平衡，保持连续的均衡生产。有些工艺变量是决定安全生产的因素。例如，锅炉汽包的水位、受压容器的压力等，不允许超出规定的限度，否则将威胁生产安全。还有一些工艺变量直接鉴定产品的质量。例如，某些混合气体的组成、溶液的酸碱度等。近二十几年来，工业生产规模的迅猛发展，加剧了对人类生存环境的污染，因此，减小工业生产对环境的影响也己纳入了过程控制的目标范围。综上所述，过程控制的主要目标应包括以下几个方面: ①保障生产过程的安全和平稳； ②达到预期的产量和质量； ③尽可能地减少原材料和能源损耗: ④把生产对环境的危害降低到最小程度。 由此可见，生产过程自动化是保持生产稳定、降低消耗、降低成本、改善劳动条件、促进文明生产、保证生产安全和提高劳动生产率的重要手段，是20世纪科学与技术进步的特征，是工业现代化的标记之一。 4.过程控制的特点 生产过程的自动控制，一般是要求保持过程进行中的有关参数为一定值或按一定规律