七年级上角平分线练习题及答案
答案：
1、∠DOC=30°
解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上,得知,点C在角平分线上,即OC为∠AOB的角平分线,因为∠AOB=60°,所以∠DOC=∠EOC=30°
2、∠BOC=50°
解析：由题知,∠AOE=∠BOE=?∠AOB=45°,∠BOD=∠EOD－∠BOE=70°-45°=25°,∠BOC=2∠
BOD=50°
3、D
解析：由角平分线定义和性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故A、B、C均正确。
4、S△BDC=?mn
解析：通过D点向BC边作垂线段,交BC于点E,则DE为△BDC的高线,由于DA⊥AB且DE⊥BC,BD是角平分线,故得知线段AD=DE=m,S△BDC=?BC×DE=?mn
5、A
解析：由角平分线性质得知,角平分线上的点到角两边的距离相等,故P到AB的距离＝PE=3
6、∠COE=75°
解析：∠AOC=∠BOC=∠BOD=?×90°=45°,因为∠BOD=3∠DOE,所以∠BOE=?∠BOD=?×45°=30°, ∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°
7、∠BOD=75°
解析：∠COD=∠AOD=?∠AOC=?（∠AOB-∠BOC）=?（90°－60°）=15°,
∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+15°=75°
8、∠AOC=140°
解析：∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2∠BOD+2（∠DOE-∠BOD）=2∠DOE=2×70°=140°
B D 中点及角平分线（习题） 巩固练习 1. 已知线段 AB =2 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC =2AB ，若点 D 为 AB 的中点，则线段 C D 的长为 ． 2. 已知点 C 为线段 AB 的中点，点 D 为线段 BC 的中点，若 AB =10 cm ，则线段 A D 的长是 ． 3. 已知：如图，线段 A B 的中点是 C ，BC 的中点是 D ，AD 的中点是 E ，若 A B =24 cm ，则 A E = ． A E C D B 4. 已知两根木条分别长 60 cm ，100 cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是 cm ． 5. 如图，B ，O ，C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，OD 平分 ∠AOC ，则∠EOD = ． E A D B O C 6. 若点 C 在线段 AB 上，则下列等式：① AC = 1 AB ；②AC =CB ； 2 ③AB =2AC ；④AC +CB =AB ，其中能说明点 C 是线段 A B 中点的是 （填序号）． 7. 点 C 是线段 A B 的中点，点 D 是线段 B C 上一点，下列说法错误的是（ ） A ． C D = AC - BD C ． C D = AD - BC B ． C D = 1 AB - BD 2 D ． C D = 1 BC 2 8. 如图，点 D 为∠BAC 内一点，则下列等式： ① BAD = 1 ∠BAC 2 ② CAD = ∠BAC - ∠BAD ； ③ BAC = 1 ∠BAC + ∠BAD ； 2 A C ④ BAC = ∠BAD + ∠DAC ． 其中能说明射线AD 是∠BAC 平分线的有 （填序号）．
角平分线练习 一、选择题 1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线， B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（） A.70° B.120° C.115° D.130° 2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 3.三角形中，到三边距离相等的点是（） A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（） A. 5cm 、cm B. 4cm、5cm C. 5cm、5cm D. 5cm、10cm 5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角 6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的 距离分别等于（）cm A. 2、2、2 B.3、3、3 C. 4、4、4 D. 2、3、5 二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题 是，它 是命题。 2.角平分线可以看作 是的点的集合。 3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离 是cm。 4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题 是，它 是命题。 三、简答题 1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC 求证：DC∥AE 2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB 的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E 求证：BE平分∠ABC 3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。 4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BD ED ⊥BC 求证：AE = DE =DC
B D 中点及角平分线（习题） 巩固练习 1. 已知线段 AB =2 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC =2AB ，若点 D 为 AB 的中点，则线段 C D 的长为 ． 2. 已知点 C 为线段 AB 的中点，点 D 为线段 BC 的中点，若 AB =10 cm ，则线段 A D 的长是 ． 3. 已知：如图，线段 A B 的中点是 C ，BC 的中点是 D ，AD 的中点是 E ，若 A B =24 cm ，则 A E = ． A E C D B 4. 已知两根木条分别长 60 cm ，100 cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是 cm ． 5. 如图，B ，O ，C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，OD 平分 ∠AOC ，则∠EOD = ． E A D B O C 6. 若点 C 在线段 AB 上，则下列等式：① AC = 1 AB ；②AC =CB ； 2 ③AB =2AC ；④AC +CB =AB ，其中能说明点 C 是线段 A B 中点的是 （填序号）． 7. 点 C 是线段 A B 的中点，点 D 是线段 B C 上一点，下列说法错误的是（） A ． C D = AC - BD C ． C D = AD - BC B ． C D = 1 AB - BD 2 D ． C D = 1 BC 2 8. 如图，点 D 为∠BAC 内一点，则下列等式： ① BAD = 1 ∠BAC 2 ② CAD = ∠BAC - ∠BAD ； ③ BAC = 1 ∠BAC + ∠BAD ； 2 A C ④ BAC = ∠BAD + ∠DAC ． 其中能说明射线AD 是∠BAC 平分线的有 （填序号）．
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
角平分线试题一、填空题（每小题3分，共30分） 1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB的平分线上一点M ，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm. 6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF. 7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________. 8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为 _____________． 10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为. 二、选择题（每小题3分，共30分） 11．三角形中到三边距离相等的点是（） A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 第4题第5题第6题第7题
C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 ㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1D A P O E B l 2 l 1 l 3 D C A E B 第12题 第13题 第14题 15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、TQ ＝PQ B 、∠MQT ＝∠MQP C 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQT N T Q P M E D C B A E D C B A F 第15题 第16题 第17题 16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．5 cm 17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ） A ．① B ．② C ．①和② D ．①②③
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 7.1.3 三角形的稳定性 基础过关作业 1．以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=1 2 BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差．
7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 综合创新作业 8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．
10．（创新题）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ． 11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，?且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 培优作业 12．（探究题）（1）如图7-1-2-9，AD 是△ABC 的角平分线， DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O ．请问：DO 是△DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是△ABC 的角平分线、DE ∥AB 、DF ∥AC 中的任一条件交换，?所得命题正确吗？ 13．（开放题）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？
《角的比较与运算2--角平分线》教学设计 【教材】人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 【课时安排】第2课时 【教学对象】初一学生 【授课教师】东莞长安实验中学郑健微 【教材分析】 本节课是人教版数学七年级上册 4.3.2 角的比较与运算的第二课时，在本节课学习之前，学生已经认识了角，并学会角的表示方法以及角的和差，这为本节课的教学做了知识和思维上的准备，本节课不仅是对角基本概念的进一步研究，更是解决以后有关的几何问题的基础，鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。【学情分析】 七年级学生逻辑思维正迅速发展，但同时，又好动，注意力易分散，爱发表见解，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生上台发表见解，发挥学生学习的主动性。 从认知状况来说，学生在小学的时候已经认识了角，对角的计算已经有了初步的认识，但是，由于初中要求学生能够运用文字语言、图形语言和几何语言对问题进行综合描述，而几何语言表达具有一定的抽象性，学生写起来较为吃力，为了化解本难点，让学生有充足的时间掌握几何语言的表达，本节课大胆将教材中角的和差放在第一课时上，对教材进行加工。【教学目标】 ?知识与技能 （1）认识角平分线，理解角平分线的几何意义及其数量关系， （2）学会用文字语言、图形语言和符号语言进行综合描述。 ?过程与方法 （1）经历类比线段中点来学习角平分线的过程，体会类比思想； （2）经历探究角平分线运用的过程，学会结合图形分析数量关系，体会数形结合思想。 ?情感态度价值观 （1）通过对角平分线性质的探究应用，引导学生在独立思考的基础上积极参与课堂，培养学生的口头表达能力与小组合作意识。 （2）通过学习几何语言的表达，体会数学的合理性和严谨性 【教学重点】角平分线性质的探究应用 【教学难点】学会用几何语言书写几何证明过程 【教学方法】引导探究、小组合作讨论交流。 【教学手段】计算机、PPT。
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习 一．选择题（共9小题） 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB 的周长是（） A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对 4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D， 连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90° B．95° C．100°D．105° 5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（） A．48° B．36° C．30° D．24° 6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∠DBC=15°，则∠A的度数是（） A．50° B．20° C．30° D．25° 7．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个B．3个C．4个 D．5个 8．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论： ①EF=BE+CF； ②∠BOC=90°+∠A； ③点O到ΔABC各边的距离相等； ④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn． 其中正确的结论是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④ 9．如图，在ΔABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题 10．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为．11．如图，O是ΔABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．（第10题）（第11题）（第12题） 12．如图，在ΔABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，ΔABE 的周长为14，则ΔABC的周长为．
第一讲 角 【考点聚焦】 1、角的定义： （1）角是由两条具有公共端点的 组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点； （2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，起始位置叫做始边，终止位置叫做终边. 2、角的表示方法. （1）用三个大写字母表示或一个大写字母表示； （2）用希腊字母或数字表示； （3）表示角应注意如下问题： ① 用三个大写字母表示时，中间字母必须是 ； ② 用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角 ； ③ 用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，表上字母或数字. 3、平角与周角： （1）一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角. （2）终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 4、角的单位：度、分、秒.0360061''='=? 5、比较角大小的方法：（1）度量法 （2）重叠法 6、角平分线的定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 7、角平分线模型
8、时针每分钟转度，分针每分钟转度. 【典例剖析】 考点题型1：角的计算
【例1】（2014七中）=?76.3 度 分 秒；=?''24'3222 度． 【变式1】（2013都江堰）计算=?+?'5421'5233 ． 考点题型2：角平分线的性质 【例2】（2015七中育才）如图，已知O 是直线CD 上的点，OA 平分BOC ∠，?=∠120BOD ， 则AOC ∠的度数是 . 【变式1】（2013成华）如图，点A 、O 、B 在一条直线上，且'40119?=∠BOC ，OD 平分AOC ∠，则AOD ∠的度数为 . 【变式2】如下图所示，AOB ∠是平角，?=∠30AOC ，?=∠60BOD ，OM 、ON 分别是AOC ∠、BOD ∠的平分线，则MON ∠等于 .
角平分线练习题 一．选择题（共22小题） 1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（） A．30°B．35°C．45°D．60° 3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（） A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE 4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（）
A．2 B．2C．2D．3 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于（） A．30 B．24 C．15 D．10 =15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S △ABD 则CD的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）
A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF 9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（） A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm 10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 （） A．M点B．N点C．P点D．Q点 11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A．一处B．二处C．三处D．四处 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（）
第一讲角 考点聚焦】 1、角的定义： （1）角是由两条具有公共端点的组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点； （2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的，起始位置叫做始边，终止位置叫做终边 2、角的表示方法. （1）用三个大写字母表示或一个大写字母表示； （2）用希腊字母或数字表示； （3）表示角应注意如下问题： ①用三个大写字母表示时，中间字母必须是； ②用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角； ③用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，表上字母或数字 3、平角与周角： （1）一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角（2）终边继续旋转当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 4、角的单位：度、分、秒.1 60 3600 5、比较角大小的方法：（1）度量法（2）重叠法 6、角平分线的定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线 叫做这个角的平分线.
7、角平分线模型
8、时针每分钟转度，分针每分钟转度. 典例剖析】 考点题型1：角的计算 3
例1】（2014 七中）3.76 度分秒；22 32'24' ' 度． 变式1】（2013 都江堰）计算33 52' 21 54' 考点题型2：角平分线的性质 【例2（】2015 七中育才）如图，已知O是直线CD 上的点，OA平分BOC，BOD 120 ，则AOC 的度数是. 【变式1】（2013 成华）如图，点A、O、B在一条直线上，且BOC 119 40'，OD 平分AOC，则AOD 的度数为. 【变式2】如下图所示，AOB是平角，AOC 30 ，BOD 60 ，OM 、ON 分 别是AOC、BOD 的平分线，则MON 等于.
图3 D C B A O 七年级数学 线段与角练习题 1、75°40′30″的余角是 ，补角是 。角X 的余角是 ，补角是 。 2、一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是___________. 3、已知α∠与β∠互余，且40α=∠15’，则α∠的余角为_______，β∠的补角为______． 4、一个角的余角等于它的补角的 3 1 ,则这个角是______；一个角等于它的补角的5倍,则这个角的补角的余角是 5、钟表上8∶30时，时钟上的时针与分针间的夹角是 ； 钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 6、线段AB=5,延长AB 到C,使BC=2AB,若D 为AB 的中点,则DC 的长是 _________． 7、如图, D 为AB 的中点, E 为BC 的中点, AD ＝1cm, EC ＝1.5cm, 则DC ＝____cm. 8如图，若C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，6=DA ，4=DB ， 则CD=_____ 9、C 为线段AB 上的一点，点D 为CB 的中点，若AD=4，则AC+AB 的长是 。 10、把一条长24cm 的线段分成三段，使中间一段的长为6cm ，则第一段与第三段中点的距离是 。 11、如图，点C 在线段AB 上，E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，若ED=6，则AB 的长为 ． 12、如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ，作∠DOE=∠BOD ，OF 平分∠AOE ，若∠AOC=20则∠EOF= 。 13、如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=700 ，则∠BOD 的度数等于______． 14、如图，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB 是∠AOC 的平分线， 则∠AOC 的度数为_________，∠COD 的度数为___________． 15、如图，点A 位于点O 的 方向上．（ ）. A 、南偏东35° B、北偏西65° C、南偏东65° D、南偏西65° 16、如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46’，OD 平分 ∠COE ，则∠COB 的度数为 . O A D B E C A B C A B E D
T Q P N M O E D C B A 八年级数学：角平分线的性质及判定练习（含答案） 一、选择题 1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ） （A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三边垂直平分线交点． 2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o ． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． （第2题） （第3题） （第4题） 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上， 以上结论（ ） （A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确． 4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o ，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o ． （B ）20o ． （C ）30o ． （D ）40o ． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ． 7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于 D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题） （A ）70o ． （B ）120o ． （C ）115o ． （D ）130o ． 8．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC D C B A M F E C B A
中点及角平分线（讲义） 知识点睛 1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________． 2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是 ____________________________________________________ ___________________________________________________． 3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做 这个角的平分线． 4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是 ___________________________________________________ __________________________________________________． 精讲精练 1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2.已知：如图，点C是线段AB的中点，AC=4 cm，求AB的长． 3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C是线段AD的中点，求BC的长．
4.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点， 求CD的长． 5.已知：如图，∠AOB=70°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度数．
6.如图，已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=25°，求∠AOB的度数． 7.如图，∠AOB=90°，∠AOC=50°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的 度数．
4.12角平分线同步练习 一、判断题 角的平分线可以看作是到角的两边的距离相等的所有点的集合．( ) 二、填空题 △ABC中，∠A=Rt∠，∠B的平分线交AC于D，DE、BC与E，若E恰好是BC的中点时，∠C=________度，AD________DE．三、选择题 1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，DE、BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为_________．[ ] A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 2．三角形角平分线的交点_________．[ ] A．到三角形三顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．到三角形三边中点的距离相等 D．到三边中垂线的距离相等 四、计算题 已知：如图，AD平分∠BAC，∠C=90°，
DE⊥AB ，BC=8cm ，BD=5cm， 求：DE=？ 五、证明题 1．已知：如图△ABC中，AD是∠A的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC于E，F． 求证：EB=FC
2．如图，O为∠BAC的平分线上一点，过O作AB，AC的垂线分别交AC，AB于C、B，垂足为D、E． 求证：AB=AC
参考答案 一、判断题√ 二、填空题30，=．1 三、选择题 1．B 2. B
四、计算题 解：∵AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， CD⊥AC ∴CD=DE ∵BC=8cm ，BD=5cm ， ∴CD=3cm ∴DE=3cm 五、证明题 1．证明：∵AD是角平分线 DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵BD=CD ∠BED=∠CFD=Rt∠ ∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL) ∴BE=CF 2．证：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC ∴OD=OE ∴∠ODB=∠OEC=90° ∠DOB=∠EOC ∴△DOB≌△EOC (ASA) ∴∠B=∠C
3.线段的垂直平分线 4.角平分线 例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0 40，求∠NMB 的大小 （2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。 例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。 例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。 例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。 例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF D ，自D 作D E AB ⊥于M=20°； AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α． （4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半． 例2：解：连接BF ，由线段的垂直平分线的性质可得，FB ＝FA 又因为AC ＝AF+CF ＝6，所以BF+CF ＝6△BCF 的周长＝BC+CF+BF ＝4+6＝10 例3：证明：因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上 又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上 所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线 例4：解：作AH ⊥BC 于H ，HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M
角平分线相关练习题 如图，^AOB=6Q°, CD 丄04 于 D , CE1.OB 于 E,且 CD=CE> 则 ZDOC= ___________ A 3、如图，已知OE. OD 分别平分厶商 和ZBOC,若 厶OEW , Z^OZ>=70% 求ZBOC 的度数. 3. 如图9F 平分ZAOB,PC 丄O ￡PD 丄O 乩垂足分别是6D.下列结论中错误的是（ 4、如图 4,在△ABE 中 ZA=90° , 若 AD=m, BCn,求△BDC 的面积. 5、（2007浙江义乌课改）如图，点F 是￡BAC 的平分线上一 点，FE 丄理C 于点E.已知FE3 则点戸到川办的距离是（ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A. PC=PD C. ZCPO= ZDPO B. OC = OD D ? OC=PC
区（7 分）如图，ZAOB=ZCOD=903J OC平分ZAOB, ZB0D = 3ZD0E 试求ZCOE的度数. B 了如图，已知ZAOB = 90% ZBOC=60°, OD是ZAOC的平分线，求ZBOD的度数? 鼠如图，已知/DOE=70°, ZDOB=40\OD平分ZA OB 9
OE 平分Z" OG 求Z4 OC A
答案： 1、/DOC=30 ° 解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为/AOB 的角平分线，因为/ AOB=60 °，所以zDOC= ZEOC=30 ° 2、/BOC=5O ° 解析：由题知，/ AOE= ZBOE=? Z AOB=45。，启OD= ZEOD-Z BOE=70。-45 °25。，启OC=2 ZBOD=50 ° 3、D 解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。 4、S^BDC=? mn 解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E,贝V DE为ABDC的高线，由于DA丄AB且DE丄BC, BD是 角平分线，故得知线段AD=DE=m , S4BDC=? BCXDE=? mn 5、A 解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离=PE=3 6、"OE=75 ° 解析：Z AOC= ZBOC= ZBOD=? X 90 ° =45 °，因为Z BOD=3 ZDOE，所以Z BOE=? ZBOD= ? X45 °=30 ° , ZCOE= ZBOC+ ZBOE=45 °+30 °75 7、/BOD=75 ° 解析：Z COD=Z AOD=?Z AOC=?(Z AOB-Z BOC)=?(90°-60°)=15°， ZBOD= ZBOC+ ZCOD=60 °+15 °75 8、/AOC=14O ° 解析：Z AOC= Z AOB+ Z BOC=2 Z BOD+2 Z BOE=2 Z BOD+2 (Z DOE-Z BOD)=2 Z DOE=2 X70 °=140 °
角平分线练习 一、填空题 1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________. 8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32cm ，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为__________cm . 二、选择题 11．三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、4处 B 、3处 C 、2处 D 、1处 第4题 第5题 第6题 第7题
七年级数学角平分线和垂直平分线的性质综合 练习 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习 一．选择题（共9小题） 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB的周长是（） A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对 4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 （） A．90° B．95° C．100° D．105° 5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（） A．48° B．36° C．30° D．24° 6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， ∠DBC=15°，则∠A的度数是（）
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1．以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=1 2 BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 综合创新作业
8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）． 10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE． 11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是 AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠ BPC的度数是（） A．150° B．130° C．120° D．100°