云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考（四）
数学文试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则M N = （ ） A ．[2,2]- B ．{2} C ．(0,2] D ．(,2]-∞
2.设i 是虚数单位，复数
2a i
i +-是纯虚数，则实数a=（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．1
2
3.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53
4.已知向量,a b ，其中||1,||2a b == ，且()a a b ⊥-
，则向量a 和b 的夹角是（ ）
A ．
2π B ．3π C ．4π D ．6
π 5.
若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2
f x =，2()0f x =，且12||
x x -的最小值为
32
π
，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．4
3
D ．2
6.已知变量x ，y 满足约束条件1
330x y x y x +≥??
+≤??≥?
，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
8.抛物线24y x =上一点P 到它的焦点F 的距离为5，O 为坐标原点，则PFO ?的面积为（ ） A ．1 B ．
32 C ．2 D ．52
9. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．16
D ．16+
10. 数列{}n a 是等差数列，若9
8
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14
10.已知圆C ：2
2
210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的
距离小于2的概率为（ ） A ．
16 B ．13 C ．12 D ．14
12. 已知函数1
1,2
()2ln ,2
x x f x x x ?+≤?=??>?，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的
取值范围是（ ） A ．ln 21(
,)2e B ．1(0,)2 C ．1(0,)e D ．11
(,)2
e 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设函数()f x 是定义在R 上的周期为3的偶函数，当3
[0,]2
x ∈时，()1f x x =+，则
5
()2
f = . 14.已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形，则该正三棱柱的体积是 .
15. ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ?的面积22()S b c a =+-，则
sin A = .
16.点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的
M 为线段2PF 的中点，且22||||OF F M =，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12
分）已知向量(2cos 2x a ω= ，(3cos ,sin )2
x
b x ωω= ，0ω>，设函数()3f x a b =?-
的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交
点，且ABC ?
为等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；
（2
）若0()f x =
，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.
18. （本小题满分12分）
某校联合社团有高一学生126人，高二学生105人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于社团活动的问卷调查.设问题的选择分为“赞同”和“不赞同”两种，且每人都做出了一种选择.下面表格中提供了被调查学生答卷情况的部分信息. （1）完成下列统计表：
（2）估计联合社团的学生中“赞同”的人数；
（3）从被调查的高二学生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中恰好有一人“赞同”的概率.
19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，0
60BAD ∠=，侧面SAB ⊥底面ABCD ，并且2SA SB AB ===，F 为SD 的中点. （1）证明：//SB 平面FAC ； （2）求三棱锥S FAC -的体积.
20. （本小题满分12分）
设函数ln ()12x a
f x x x
=
++，()()g x f x =1x =是函数()g x 的极值点. （1）求实数a 的值； （2）若()n
f x x
>
恒成立，求整数n 的最大值. 21. （本小题满分12分）如图，过椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>内一点(0,1)A 的动直线l
与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆所截得的线段长均为
||||||||BM AN AM BN ?=?
？若存在，求出定点B 的坐标，若不存在，请说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，ABC ?的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，求证： （1）EA ED =；
（2）DB DE DC BE ?=?
.
23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，圆C
的参数方程为53x t y t
?=-??=??，（t 为参数），在以原点
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为
cos()4
πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2
A B π
π.
（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ?面积的最小值. 24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-.
（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；
（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ?∈+>恒成立.
云南师大附中2016届高考适应性月考卷（四）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．[22](02](02]M N M N =-== ，，，，
∴，，故选C ． 2．
i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==
-是纯虚数，210a -=∴，1
2
a =∴，故选D ． 3．抽样间隔为
50
510
=，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知734533a a =+?=，故选B ．
4．由题意知，2()0a a b a a b -=-=
，所以1a b = ，设a 与b 的夹角为θ，则
1π
c o s 2
3||||a b a b θθ=== ，∴，故选B ．
5．因为12π()2sin ||3f x x x x ω?
?=-- ??
?，的最小值为3π42T =，所以6πT =，所以13ω=，故选A ．
6．作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点(01)，
时， 最小值为1，故选D ．
7．由程序框图知，输出的结果为23log 3log 4log (1)k s k =???+…
2log (1)k =+，当7k =时，3s =，故选B ．
8．抛物线的焦点为(10)F ，，准线l ：1x =-，设点()P x y ，，则15x +=，4x =∴，4y =±，
1
4122
PFO S =??=△∴，故选C ．
9．该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图2所示， 截面图形为等腰梯形11B D FE
，111EF B D B E ==
梯形的高h ==
111922B D FE S =?=梯形， 所以该几何体的表面积为20，故选A ．
10．∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又
9
8
1a a <-， 8900a a ><∴， 且890a a +<，又115116
15816
8915()
16()1508()022
a a a a S a S a a ++=
=>==+<，，
故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．
11．圆C ：22(1)2x y -+=，圆心(10)，
，半径r 3，所以圆
上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α
，则cos
2
α
=
=
π24α=，即π
2
α=，α
所对的弧长为π2，所以所求
14
=，故选D ．
12．当直线y ax =与曲线ln y x =相切时，设切点为00(ln )x x ，，切线斜率为0
1
k x =
，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=
-，切线过点(00)，，00ln 1e >2x x -=-=∴，，此时1e
a =；当直线y ax =过点(2ln 2)，
时，ln 22a =．结合图象知ln 212e a ??
∈
???
，，故选A ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．55111
33122222
2f f f f ????????=-=-==+= ? ? ? ?????????．
14．若正三棱柱的高为6时，底面边长为1，11162V =
??=；若正三棱柱的高
为3时，底面边长为2，12232V =
??= 15．由余弦定理222
222cos 2cos 2b c a A b c a bc A bc
+-=+-=，∴，
22222()22(cos 1)S b c a b c a bc bc A =+-=+-+=+∵，又1
sin 2
S bc A =，
12(cos 1)sin 2bc A bc A +=∴，1
cos 1sin 4
A A +=∴，
即2
2118cos sin 1sin sin 11sin 4417A A A A A ??
=-+-== ???
，
∴，∴． 16．设左焦点为1F ，则1||
2||2c PF OM ==，21||||2PF PF a -=∵，2||22
c
PF a =+∴，又1212||||||
PF PF F F +≥ 2222c
c a c a c e a
+=∴≥，∴≥，∴≤，(12]e ∈∴，．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知可得
得π4
ω=
， …………………………………………………………………………（4分）
故ππ()4
3x
f x ??=+
???
，
所以函数()f x 的值域为[-． …………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为0()f x =
，
由（Ⅰ）有00ππ()43x f x ??=+ ???，即0ππ4sin 4
35x
??+= ???，
由010233x ??
∈- ???
，，得0ππππ4322x ??+∈- ???，，
所以0ππ3cos 4
35x ??+== ???，
故000ππππππ(1)443434x
x f x ??
????+=++=++
?? ? ???????
00ππππsin cos 434
3x x
?????=+++? ? ???????
43
55??+= ???
．
…………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知可得
………………………………………………………………………………（3分）
（Ⅱ）431
12610542168652
?+?+?=（人）．
…………………………………（6分）
（Ⅲ）设高二学生中“赞同”的三名学生的编号为1，2，3，“不赞同”的两名学生的编号为4，5，选出两人有(12)(13)(14)(15)(23)(24)(25)(34)(35)(45)，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种结果，
其中恰好有一人“赞同”，一人“不赞同”的有(14)(15)(24)(25)(34)(35)，，
，，，，，，，，，，共6种结果满足题意，且每种结果出现的可能性相等， 所以恰好有一人“赞同”的概率为63
105
=． …………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图3，连接BD 交AC 于点E ，连接EF ， ∵ABCD 是菱形，EB ED =∴， EF SB ∴∥，
又EF FAC SB FAC ?????
平面，平面，
∴SB FAC ∥平面．…………………………………（6分）
（Ⅱ）解：如图4，取AB 的中点O ，连接SO ，OD , 过F 作FG SO ∥交OD 于点G ， SO ABCD ⊥∵平面， FG ACD ⊥∴平面，
且12FG SO =
=， 1
22sin1202
ACD S =
? △
∴三棱锥S ?FAC 的体积S FAC S ACD F ACD V V V ---=-三棱锥三棱锥三棱锥
11112232
S ACD V -== 三棱锥． ……………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）22
1
(1)ln ()()(1)2x x
a x g x f x x x +-''=+=-+， 依题意，(1)0g '=，据此，
221
(11)ln1
10(11)21a ?+--=+?，解得2a =．
…………………………………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln 1()1x f x x x =++，由()n f x x >，得ln 11x n
x x x
+>+， 于是ln 11
x x
n x <
++对0x >恒成立， 令ln ()11x x
h x x =++，则2ln 1()(1)x x h x x ++'=
+， 记()ln 1t x x x =++，求导得1
()10t x x
'=+>， 可知()t x 在区间(0)+∞，上递增，
由221111210110e e e e t t ????
=-++<=-++> ? ?????，，
可知0211e e x ??
?∈ ???
，使得0()0t x =，即0()0h x '=，
当0(0)x x ∈，时，()0h x '<，()h x 递减； 当0()x x ∈+∞，
时，()0h x '>，()h x 递增， 所以00
min 00ln ()()11
x x h x h x x ==
++．
000()ln 10t x x x =++=∵， 00ln 1x x =--∴，
00min 020ln 1
1()11111e
e x x h x x x ??=
+=-∈-- ?+??∴，， 故当()n h x <恒成立时，只需(0]n ∈-∞，，又n 为整数， 所以，n 的最大值是0． ………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由已知得b =
，点1)在椭圆上， 所以
22
21
1a b +=，解得2a =， 所以椭圆Γ的方程为22
142
x y +=．
…………………………………………（4分）
（Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使||||||||BM AN AM BN =
，设00(0)(1)B y y ≠，；
当直线l 垂直于x
轴时，(0(0M N ，， 若使||||||||BM AN AM BN = ，则||||||||
BM AM BN AN =
，
=
01y =或02y =．
所以，若存在与点A 不同的定点B 满足条件，则点B 的坐标只可能是(02)，．
………………………………………………………………………………（6分）
下面证明：对任意直线l ，都有||||||||BM AN AM BN = ，即||||
||||
BM AM BN AN =
．
当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立； 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+． 设M ，N 的坐标分别为1122()()x y x y ，，
，，
由22
1421x y y kx ?+
=???=+?
，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式22(4)8(21)0k k ?=++>，
所以，1212
2242
2121
k x x x x k k +=-
=-++，， 因此，1
2
1212112x x k x x x x ++==． 易知点N 关于y 轴对称的点N '的坐标为22()x y -，， 又11111
211
BM y kx k k x x x --===-， 222221
2111BN y kx k k k x x x x '--=
==-+=---， 所以BM BN k k '=，即B M N '，，三点共线， 所以12||||||||
||||||||
x BM BM AM x BN BN AN ==='
． 故存在与点A 不同的定点(02)B ，，使得||||||||BM AN AM BN =
．
…………………………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】
证明：（Ⅰ）∵∠ADE =∠ABD +∠BAD ，∠DAE =∠DAC +∠EAC ， 而∠ABD =∠EAC ，∠BAD =∠DAC ，∴∠ADE =∠DAE ，
EA ED =∴． ……………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）ABE CAE AEB CEA ∠=∠??∠=∠?，∵，
ABE CAE ∴△∽△， ABE CAE ∠=∠∵，
AB BE AC AE =∴，又AB DB AC DC =
∵， DB BE
DC AE
=
∴
，即DB AE DC BE = ， 由（Ⅰ）知EA ED =，
DB DE DC BE = ∴． …………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：
（Ⅰ）由53x t y t ?=-+??=??，，
得53x t y t ?+??-=??，
，
消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=， 所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．
由πcos 4ρθ?
?+= ??
?，
cos sin θθ=， 即cos sin 2ρθρθ-=-， 换成直角坐标系为20x y -+=，
所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
……………………………………（5分）
（Ⅱ）π2(2π)2A B ??
???
∵，，，化为直角坐标为(02)(20)A B -，，，
在直线l 上，
并且||AB =
设P
点的坐标为(53)t t -，，
则P 点到直线l
的距离为d
==
，
min d =∴，
所以PAB △
面积的最小值是1
42
S == ． …………………………（10分）
（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d =） 24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<，
①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32
x >-，
3
02
x -
<∴≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， 01x <∴≤是不等式的解；
③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52
x <
， 5
12
x <<
∴是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为3522??
- ???
，．
…………………………………………（5分）
（Ⅱ）证明：2a >∵，
()()|2||2|f ax af x ax a x +=-+-∴
|2||2|ax ax a =-+-|2||2|ax a ax =-+-≥|22||22|2ax a ax a -+-=->， ()()2x f ax af x ?∈+>R ∴，恒成立．
…………………………………………（10分）