椭圆性质总结及习题-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭 圆
重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，
212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d
PF =，0＜e ＜1的常数
}。（1=e 为抛物线；1
>e 为双曲线） 2 标准方程：
（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个?Rt ）
（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总
在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3．参数方程 ：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的参数方程
???==θ
θ
sin cos b y a x )(为参数θ
4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）有以下性
质：
坐标系下的性质：
① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；
② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴
|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；
④ 准线方程：c a x 2±=；或c
a
y 2±=
⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，
|PF 2|=右r =a-ex 0；|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质：
⑥ 离心率：e=a
c （焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越______，0=e 是
_____。
⑦ 焦准距c b p 2=；准线间距c
a 2
2=
二、焦点三角形
结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一
点，且θ=∠21PF F ，当点P 位于___________时θ最大，cos θ=______________.
|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2
tan
221θ
b S PF F =?
结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。 三．中点弦问题
AB 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则直线的斜
率为 。 四．弦长问题.
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得的弦长
或 .
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X 轴正半轴到椭圆的最短距离问题：
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.
六．过椭圆上点切线问题
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
习 题
1、
求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐
标。
2、已知椭圆的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，P 是椭圆上的一点，且12F F 是1PF 与
2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。
3、
椭圆22
1259
x y +
=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 的长是___________________。 4、
如果方程222kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围
是______________。 5、
过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2
F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为__________。 6、
设12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，以1F 为圆心且过椭圆中
心的圆与椭圆的一个焦点为M ，若直线2F M 与圆1F 相切，则该椭圆的离心率为____________________。
7、点P 是椭圆1
162522=+y x 上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内
切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_______________.
8、（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1
:22
22=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个
焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF
⊥.若21F PF ?的面积为9，则b =____________.
9、（2009北京文）椭圆22
192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若
1||4
PF =，则
2||PF =
；
12
F PF ∠的大小为 .
10、已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为_________。
11、设点P （x ，y ）在椭圆19
y 16x 2
2=+，（1）试求点P 到直线05y x =-+的距离
d 的最大值和最小值。(2) 求x+2y 的最小值。
12、设1F 、2F 分别是椭圆1
422
=+y x 的左、右焦点.
(Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
13、已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点A （)0,32-是其左顶点，点
C 在椭圆上，且0=?，||||CO AC =． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于N M ,两个不同点，求CMN ?面积的最大值，并求此时直线l 的方程．
14、 已知椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>
的离心率为
，长轴长为:l y kx m =+
椭圆于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若1m =，且0OA OB ?=，求k 的值（O 点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O 到直线l
的距离为2，求AOB ?面积的最大值．
高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：
例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q
2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案 新人教B版选修1 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一椭圆的简单几何性质 已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2 25＋ y2 16 ＝1，C2： y2 25 ＋ x2 16 ＝1. 思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？ 思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？ 梳理 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)
图形 性质 焦点 焦距 |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) |F1F2|＝2c (c＝a2－b2) 范围 对称性关于________________对称 顶点 轴长轴长________，短轴长________ 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ c a ，叫做椭圆的____________． (2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆． 类型一椭圆的几何性质 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究 已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2 ＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标． 类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质 例2 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正 三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a 2 求解． 跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ， B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________． 命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围) 例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则 椭圆的离心率e 的取值范围是________． 反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围． 跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋ ∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.
椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和 222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ， )0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把 y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分 别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 高中数学学案：椭圆的几何性质 1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题. 2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题. 1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容). 2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几 何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b a之间满足一个什么关系？求离心率 关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？ 3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务). 基础诊断 1. 若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,则m＝ 3 2. 解析：因为焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2,所以 2－m 2＝ 1 4,得m＝ 3 2. 2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 2,且椭圆G上一点到两个焦点 的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2 36＋ y2 9＝1. 解析：由题意知e＝ 3 2,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为 x2 36＋ y2 9＝1. 3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3. 解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准 线的距离是a2 c＝ 4 3 ＝ 43 3. 4. 过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若 ∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ. 椭圆的简单几何性质 基础卷 1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >0 2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为 （A ） 221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）22 11625 x y += 3．已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ） 54 （B ）45 （C ）4 17 （D ） 7 4 7 4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ） 23 （B ）33 （C ）3 16 （D ） 6 1 6 5．在椭圆122 22=+b y a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有 （A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ） 123111,,r r r 成等差数列 （D ）123 111 ,,r r r 成等比数列 6．椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 （A ）x =± 254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±25 4 7．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 . 8．对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1), 椭圆习题课 北京化工大学附属中学李爱惠 教材版本：高中数学人教A版选修2-1，第二章圆锥曲线与方程的第四节 一、教学背景分析 （1）学习内容分析： 已经学习了椭圆的定义、标准方程和几何性质这些基础知识，本节课在学习了这些基础知识和基本方法的前提下，以椭圆的焦点三角形为平台，进一步研究用定义和性质解决椭圆问题的方法，并了解与运用椭圆和其它知识点的联系。为后面学习双曲线、抛物线的概念打下良好的基础，学会利用圆锥曲线的定义来解决相关问题的一般性方法，让学生经历解析法解题的过程；本节椭圆习题课的学习是对其学习内容的进一步深化和提高。 （2）学生状况分析 1．学生水平：所任教的班级是普通理科班，有些学生思维水平相对较好，具有一定的分析、解决问题的能力。但因本班是我校的普通班，学生数学基础弱，计算能力弱，对试题的分析解决要在老师的引导下慢慢训练。 2．认知基础：学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也具备自主利用椭圆定义和性质解决一些简单的椭圆问题，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了进一步自行探索和解决问题的基本能力。 3．可能存在的学习困难：等价转化有一定困难；同时代数运算方面有困难；椭圆与三角、不等式等其它知识点的联系存在困难。 二、教法和学法的选择 解析几何要体现用代数研究几何，要教会学生抓住焦点三角形中的不变量和变量，用定义建立运算关系解决几何问题。学生已经对椭圆的定义、性质有了一定的掌握，所以本节课我采用了“启发引导”式的教学方法，重点突出以下两点： （1）以老师引导与学生探究相结合作为本节的学习方法。 （2）教学过程中突出数形结合、方程等数学思想方法的渗透。 以信息技术演示与学生动手实际操作相结合为主要教学手段。 椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M 第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 上式化为12 2=+C By C Ax ，122=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=， 即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2. 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【自主学习】（认真自学课本P43-P46） 问题1：椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比 c a 称为离心率， 记c e a = ，且01e <<． 问题2：类比问题1，回答椭圆22 1169 y x +=的几何性质。 【合作探究】 例1．（教材P46例4）求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c； ②注意焦点所在坐标轴． 【目标检测】 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x轴上，6 a=， 1 3 e=； ⑵焦点在y轴上，3 c=， 3 5 e=； ⑶经过点(3,0) P-，(0,2) Q-； ⑷长轴长等到于20，离心率等于3 5 ． 2．若椭圆 22 1 5 x y m += 的离心率e=m的值是（）． A．3B．3或25 3 C D 3 ，离心率 2 3 e=的椭圆两焦点为 12 ,F F，过 1 F作直线交椭圆于,A B两点，则2 ABF ?的周长为（）．A．3B．6C．12D．24 【作业布置】 任课教师自定 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数?? ? ?? ?==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、 或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 2.2.2椭圆的几何性质导学案 学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义 2 、通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点：椭圆的几何性质 学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系 复习旧知 （1）椭圆的定义: . （2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上时： .焦点在y 轴上时： . （3）椭圆中a,b,c 的关系是: . 学习过程 一、课内探究 探究一：观察椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的形状，你能从图形上看出它的范围吗？ 它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ： （1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。 （2）由椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 知： ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____ ，② 22 b y ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(122 22>>=+b a b y a x 位于直线 和__________围成的矩形里。 2 、对称性 （1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称 （2）从方程上看，在椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称。 ③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称， 因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心， 椭圆的对称中心叫做___________。 3 、顶点： （1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点， 分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , ) （2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________ 探究二：同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些，有些椭圆“扁”些？是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度？ 4 、椭圆的离心率： （1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率， 用 表示，即____________= （2）由于a >c >0，所以离心率e 的取值范围是_____________ （3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______;若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于 椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质： 山西大学附中高二年级(上) 导学设计 编号52 椭圆及其简单几何性质(2) 【学习目标】 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 【学习重点】椭圆与直线的关系 【学习难点】椭圆与直线的关系 【学习过程】 一、导学 复习1：椭圆22 11612 x y +=的焦点坐标是（ ）（ ）；长轴长 、短轴长 ；离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 探究： 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？ 问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？ 反思：点与椭圆的位置如何判定？ 二、导练 例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门 位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另 一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求 截口BAC 所在椭圆的方程． 变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在 坐标轴． 例2 已知椭圆22 1259 x y +=，直线l ：45400x y -+=。椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ 变式：最大距离是多少？ 练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =?，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 椭圆的性质 ▓椭圆的围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c c e a a = =。②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值围是0＜e ＜1。e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2 +y 2 =a 2 。 ▓椭圆122 22=+b y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）12 2PF PF a +=，1212 ||||||||PF PF e PM PM ==，2 122||||a PM PM c +=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1； ▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2 =b 2 +c 2 。 ▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2 、y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 ▓平面点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在 椭圆上，则有22 221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆，则有 22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22 221x y a b +>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则 22 121212||()() PP x x y y =-+-= 22 121212 ()[1( )]y y x x x x --+-= 2121|| k x x +-同理可得 12122 1 ||1||(0)PP y y k k =+ -≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=-- ▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 2 cos 3 OFA ∠= ，求椭圆的方程。椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
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