椭圆性质
1.
12||||2PF PF a +=
2. 标准方程：22
221x y a b
+=
3.
11
||
1PF e d =< 4. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去
长轴的两个端点.
6. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8. 设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切
于A 2（或A 1）.
9. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
10. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.
11. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线
方程是
00221x x y y
a b
+=. 12. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
14. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
15. 若PQ 是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222121111
(||,||)r OP r OQ r r a b
+=+==. 16. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则
(1) 22
2211A B a b
+=+;(2) L =17. 给定椭圆1C ：2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：22
2222
22
2
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222
002
222(,)a b a b x y a b a b
---++. 18. 对2C 上任一点'
'
'
000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'
0P 点.
19. 设000(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2
斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是
2
122
11m b k k m a +?=-?-.
20. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，
则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 21. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆
的焦点角形的面积为 12
2
tan 2
F PF S b γ
?=，2
tan )2b P c γ . 22. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 23. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,
2(,0)F c 00(,)M x y ).
24. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可
在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
25. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
26. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是
222
2
0222
()a b x a b k -≤+.
27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂直.
28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 29. P 是椭圆cos sin x a y b ??
=??
=?（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2
2
11sin e ?=+. 30. 设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22
221x y a b
+=相交于,P Q ,则
AP BQ =.
31. 在椭圆22221x y a b
+=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为22
22222
22
1()
cos sin x y a b m a b
αα-+=+,其中22
22tan b x a y
α=-,当0y =时, 90α=o .
32. 设S 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，
00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max
()2a l x c e =-
222(c a b =-,c
e a
=);当l S <Φ
时，有0max ()x =
0min ()0x =. 33. 椭圆22221x y a b +=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
A a
B b
C +≥.
34. 椭圆
22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是 2222200()A a B b Ax By C +≥++.
35. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
36. 经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相
交于P 1和P 2，则2
12||||PA PA b ?=.
37. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）
2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b a b +. 38. MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于
MN 的弦，则2||2||AB a MN =.
39. MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，
则
22
22111
||||a MN OP a b
+=+. 40. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一
条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：
2a x m =(或2
b y m
=)上.
41. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相
应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
42. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，
A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
43. 设椭圆方程22221x y a b
+=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'
y k x =上,
而且2
'
2b kk a
=-.
44. 设A 、B 、C 、D 为椭圆22
221x y a b
+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD
相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222
||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?+=?+. 45. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分
线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+?++=+).
46. 设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC
于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
47. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线
交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =.
48. 设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21
21
b x a y -的直线L ，又设d
是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
ab =.
49. 已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22
22x y a b
λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、
C 、
D 四点，则│AB │=|CD │.
50. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于
点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<. 51. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2
PF F S b γ?=.
52. 设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP
和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o
2
22
()a m a a m b n a -?=++. 53. L 是经过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e
是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab
PH c
=时取等号）.
54. L 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，
EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当
||ab
PH c
=
时取等号）. 55. L 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,
离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2
sin e α≤或2
sin arc e α≤
（当且仅当||PH =取等号）.
56. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与
椭圆左焦点F 1连结起来，则222
2
112
(2)||||a b b F A F B a -≤?≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等
椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换 成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2
二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，
离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的几何性质和在物理学中的应用 1 几何性质 为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。 定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。 命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。 【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ?内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。 下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。 命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】：如图，M 是ABC ?中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。 在ADC ?中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ?中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。 命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。 图3 图1 A B C M D 图2
【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ?内。由命题2可知命题正确。 我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。 定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。 命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。 【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a ，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于2a ，命题得证。 命题6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。 【证明】：如图4所示，设PQ 是任一直线，1F 和2F 是任意的两个点（在直线的同一侧）。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下 如图3所示，做1F 关于PQ 的对称点3F ，连结32F F 与PQ 交于M 点，则M 点为所求点。原因是简单的，如图5所示，任意在PQ 上取另一点1M ，则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知，角1PMF =角3PMF ，而角3PMF 与角2 QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ，命题得证。 命题7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 命题8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。 【证明】：如图6所示，1F 与2F 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ 是过M 点的切线，MN 是的21MF F ∠的平分线。则有，PQ MN ⊥。 F 1 F 2 P 图4 F 1 F 2 P 图5 F
一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点
?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1；
椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换 2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上 的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义； 2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. （3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化； 突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系，再利用b a 与 c a 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， 丰富学生的直观感悟与经历； 椭圆的定义及几何性质 一、复习目标： 1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1．定义： ①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。 ③,,a b c 之间的关系 。 2．标准方程及几何性质： （1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 （2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 3.椭圆参数的几何意义（如图）： （1）12PF PF += ，（2）12PM PM += ， （3） 1212|||| |||| PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ； （5）1221A F A F == ；（6） 1PF ≤≤ ； （7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ； （8）21F PF ?中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122 F PF θ ∠=，则12PF F S ?= ， 三、例题分析： 题型1．椭圆的定义 例1．下列说法中，正确的是（ ） A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆 B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆 C ．方程()22 22 2 10x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()22 2210,0x y a b a b +=>>表示焦点在y 轴上的椭圆 练习1：1F ，2F 是定点，126FF =，动点M 满足126MF MF +=，则点 M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 题型2．椭圆的标准方程 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率为 2 2 ，准线方程为8±=x ； （2）长轴与短轴之和为20，焦距为54 椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程. 2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要 椭圆的基本概念及性质 适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域苏教版课时时长（分钟）120 知识点1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量. 教学目标1、使学生掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、使学生掌握椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法 教学重点1、椭圆的标准方程的求法； 2、椭圆的一些基本量的求法、特别是离心率的求法； 教学难点椭圆离心率的求法 教学过程课堂导入 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为1 2 ，焦距为8，则该椭圆的方程是________ 椭圆中的基本量a.b.c分别代表什么，离心率、准线方程的公式，标准方程的公式分别应该怎么求？下面进入我们今天的学习！ 复习预习 1、椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2、椭圆的基本量. 知识讲解 考点1 椭圆的定义 平面内到两个定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于F 1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点F 1、F 2 间的距离叫做椭圆的焦距． 考点2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0) y2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0，0) 顶点 A 1 (－a，0) A 2 (a，0) B 1 (0，－b) B 2 (0，b) A 1 (0，－a) A 2 (0，a) B 1 (－b，0) B 2 (b，0) 轴长轴A 1 A 2 的长为2a 短轴B 1 B 2 的长为2b 焦距F 1F 2 ＝2c 离心率e＝c a ∈(0，1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 椭圆的基本性质 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若 125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 数于常的距离之和等个到两定平面内一个动点点、 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦)(，这个动点点的距离叫作椭圆的焦距。 ，则动点的轨迹为线段注意：若； 若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程 轴上时，椭圆的标准方程：，；其中当焦点在 1． 椭圆的标准方程：；当焦点在，其中轴上时，2．注意：．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆1 的标准方程； ．在椭圆的两种标准方程中，都有和；2 轴上时，椭圆的焦点坐标为3；当，当焦点在．椭圆的焦点总在长轴上. 。，焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为知识点三：椭圆的简单几何性质1 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆的的简单几何性质 ）对称性（1 同时换、y，或把y换成―y，或把x对于椭圆标准方程，把x换成―x 轴为对称轴的轴对称图形，―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y―x成、且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x=±a和y=±b椭圆上所有的点都位于直线|x|≤a，|y|≤b。（）顶点3①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 坐标分别为）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，（②椭圆a＞b＞0 0），A（―a，1（，B0，b）。（（Aa，0），B0，―b）221分别叫a和b。|=2aB③线段AA，B分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA，|BB|=2b22122111做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率 。①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作，从而c就越接近a越接近＜的取值范围是＞②因为a＞c0，所以e0＜e1。e1，则 ，越接近于，从而ba0c0e因此椭圆越扁；越小，反之，越接近于，就越接近，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为c=0a=b这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，222 x=a+y 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： ，1）；， （ ，2）；， （ 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 【说明】： 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y 椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1 7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：椭圆的几何性质及综合问题汇总
椭圆的基本性质
2.2.2椭圆的几何性质
第3讲 椭圆的定义及几何性质
椭圆方程及性质的应用
(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
椭圆的基本概念及性质
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
椭圆的基本性质教学内容
椭圆的定义及几何性质精编版
椭圆标准方程及其性质知识点大全
椭圆几何性质及应用(基础题)
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
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