椭 圆
一.考试必“背”
1 椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()
212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集
M={P|
e d PF
=，0＜e ＜1的常数
}。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）
2 标准方程：
（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=
（一个?Rt ）
（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）；
焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=
并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜
B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3．参数方程 ：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的参数方程
??
?==θ
θ
sin cos b y a x )(为参数θ
4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12
2
22=+b
y a
x （a ＞b ＞0）有以下性质：
坐标系下的性质：
① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；
② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；
（a 半长轴长，b 半短轴长）；
④ 准线方程：c
a x 2±
=；或c
a y 2
±=
⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；
|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质： ⑥ 离心率：e=
a
c
（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越______，0=e 是_____。 ⑦ 焦准距c b p 2=；准线间距c
a 2
2=
二、焦点三角形
结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
θ=∠21PF F ，当点P 位于___________时θ最大，cos θ=______________.
|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2
tan
2
21θ
b S PF F =?
结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。
结论三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
结论四：四心的轨迹
(1)、)0(12222>>=+b a b y a x 焦点三角形内心的轨迹及其方程1)(22
22
22=++c a c b y c x ．
(2)、)0(122
22>>=+b a b
y a x 焦点三角形重心的轨迹及其方程：
)0(19922
22>>=+b a b
y a x (3)、)0(122
22>>=+b a b
y a x 焦点三角形垂心的轨迹及其方程：
22y =
(4)、)0(122
22>>=+b a b
y a x 焦点三角形的外心的轨迹及其方程
2
sin 2sin 2b c y b
θθ=-（22||2b c y b -≥
）．
三．中点弦问题
AB 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则直线的斜率
为 。
四．弦长问题.
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得的弦长 或 .
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X 轴正半轴到椭圆的最短距离问题：
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.
六．过椭圆上点切线问题
若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
习 题
1、已知椭圆方程19
252
2=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O
是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）
（A ）2
（B ）4
（C ）8 （D ）
2
3 2．点P 是椭圆116252
2=+y x 上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，
当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_______________.
3.（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1
:22
22=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆
C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ?的面积为9，则b =____________.
4.（2009北京文）椭圆22
192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则
2||PF =
；
12
F PF ∠的大小为 .
4．已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
（A ）59 （B ）3 （C ）779 （D ）49
5．椭圆1492
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的
取值范围是_______________. 。
6.椭圆的中心在原点，焦点在X 轴上，离心率√3/2，椭圆上各点到直线l 的最短距离为1，则该椭圆方程是？直线l 为x-y+5＋2＝0
7.设点P （x ，y ）在椭圆19
y 16x 2
2=+，
（1）试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。(2) 求x+2y 的最小值
8．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与
C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =
（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2
9.已知点P 是椭圆方程x 2/3+y 2=1上的动点，M,N 是直线L ：y=x 上的两个动点，且满足|MN|=t ，
则
（1）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有一个 （2）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有两个 （3）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有三个 （4）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有四个 （5）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点有无数个
上述命题中正确的序号是________________. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP
的斜率之积等于1
3-
.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x =3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN
的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)
11.（2007四川理）设1F 、2F 分别是椭圆1
422
=+y x 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为
坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.（最值、求取值范围） 12.（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点A （)0,32-是其左顶点，点C 在椭圆上，且
0=?，||||CO AC =．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于N M ,两个不同点，求CMN ?面积的最大值，并求此时直线l 的方程．（最值）
13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点
的距离为17
4． （I ）求p 与m 的值；
（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点
M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．
SJS14．（本题满分14分）
已知椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>
的离心率为3，
长轴长为直线:l y kx m =+交椭圆于
不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若1m =，且0OA OB ?=，求k 的值（O 点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O 到直线l
的距离为2，求AOB ?面积的最大值．
FT15、（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到F
1
(、F
2
0)的距离之和是4，点M 的
轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P
和Q ．
（1）求轨迹C 的方程；
（2）当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．（过定点）
16.（12分）已知点)1,1(A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上的一点，1F ,2F 是椭圆的两个焦点,
且满足
4
21=+AF AF .
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)设点C ,D 是椭圆上的两点,直线AC ,AD 的倾斜角互补,试判断直线CD 的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）
17 .(2010年高考天津卷理科20) (本小题满分12分)
已知椭圆22
2
21x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(-a ，0)，点Q (0，
y )在线段AB
的垂直平分线上，且QA QB =4．求0y
的值．
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。 无须自卑，不要自负，坚持自信。
用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！）
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