扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2〃s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为 n1f〃dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：
其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0
两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散
I 一类反应扩散方程解的长时间行为 摘 要 本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下： 其中 偏微分算子是一致抛物的， ，满足一定条件。 对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。 在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。 为了证明解半群在 中存在全局吸引子，我们证明 了伴随方程的解半群在 与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。 关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解
II ABSTRACT In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain : where The partial differential operator is uniformly parabolic, and satisfies some additional assumptions. First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates. With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded absorbing sets in and and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem. KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution
https://www.doczj.com/doc/fa10902897.html, The exp(??(ξ))-expansion Method applied to Nonlinear Evolution Equations Mei-mei Zhao??,Chao-Li School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University Lanzhou,Gansu730000,P.R.of China Abstract By using exp(??(ξ))-expansion method,we have obtained more travelling wave solu-tions to the mKdV equation,the Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,the Variant Boussinesq equations and the Coupled Schr¨o dinger-KdV system.The proposed method also can be used for many other nonlinear evolution equations. Keywords exp(??(ξ))-expansion method,Homogeneous balance,Travelling wave solu-tions,Solitary wave solutions,MKdV equation,Drinefel’d-Sokolov-Wilson equations,Variant Boussinesq equations,Coupled Schr¨o dinger-KdV system. 1Introduction It is well known that nonlinear evolution equations are involved in many?elds from physics to biology,chemistry,mechanics,etc.As mathematical models of the phenomena,the inves-tigation of exact solutions to nonlinear evolution equations reveals to be very important for the understanding of these physical problems.Understanding this importance,during the past four decades or so,many mathematicians and physicists have being paid special attention to the development of sophisticated methods for constructing exact solutions to nonlinear evo-lution equations.Thus,a number of powerful methods has been presented such as the inverse scattering transform[1],the B¨a cklund and the Darboux transform[2-5],the Hirota[6],the trun-cated painleve expansion[7],the tanh-founction expansion and its various extension[8-10],the Jacobi elliptic function expansion[11,12],the F-expansion[13-16],the sub-ODE method[17-20],the homogeneous balance method[21-23],the sine-cosine method[24,25],the rank anal-ysis method[26],the ansatz method[27-29],the exp-function expansion method[30],Algebro-geometric constructions method[31]and so on. In the present paper,we shall proposed a new method which is called exp(??(ξ))-expansion method to seek travelling wave solutions of nonliear evolution equations.the ?Corresponding Author. ?E-mail address:yunyun1886358@https://www.doczj.com/doc/fa10902897.html,(M.Zhao). 1
非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解 3 吕大昭 (北京建筑工程学院基础部,北京 100044)(2004年8月26日收到;2005年2月21日收到修改稿) 通过把十二个Jacobi 椭圆函数分类成四组,提出了新的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法求得了非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数双周期解.当模数m →0或1时,这些解退化为相应的三角函数解或孤立波解和冲击波解. 关键词:非线性发展方程,Jacobi 椭圆函数,双周期解,行波解 PACC :0340K,0290 3北京建筑工程学院基础科学基金(批准号:1004048)资助的课题. 通信作者.E 2mail :lvdazhao86@https://www.doczj.com/doc/fa10902897.html, 11引言 直接寻找非线性发展方程的精确解在非线性科 学中占有非常重要的地位.因此,近几年来人们提出 了许多方法[1—3] .最近,刘式适等人提出了Jacobi 椭 圆函数展开法[4,5] ,求得了一大类非线性发展方程的周期解,包括对应的冲击波解和孤立波解;随后,张善卿等人利用秩的概念扩充了Jacobi 椭圆函数展开 法的应用范围[6] ,得到了更多的非线性发展方程的周期解;而闫、沈和李等人分别推广了Jacobi 椭圆函 数展开法的展开形式[7—14] ,获得了非线性发展方程更多的周期解;刘等人将在行波变换下的Jacobi 椭 圆函数展开法推广到一般函数变换下进行[15] ,得到了非线性发展方程的新的周期解.然而,我们仍然认 为这些方法[2—15] 是部分展开法,本文通过对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深入研究,将它们分类成四组,从而提出了更一般的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法,利用这一方法得到了非线性发展方程的丰富的周期解,在极限情形,这些解也可以退化为对应的冲击波解和孤立波解或三角函数解. 21广泛的Jacobi 椭圆函数展开法 首先在对十二个Jacobi 椭圆函数的性质进行深 入的研究之后,发现可以将它们分类成四组,即 (i )sn ξ,cn ξ和dn ξ (ii )ns ξ=1sn ξ,cs ξ=cn ξsn ξ和ds ξ=dn ξ sn ξ(iii )sc ξ=sn ξcn ξ,nc ξ=1cn ξ和dc ξ=dn ξ cn ξ(iv )sd ξ= sn ξdn ξ,cd ξ=cn ξdn ξ和nd ξ=1 dn ξ 其次,在上面分析的基础之上,我们提出了如下的广泛的Jacobi 椭圆函数展开法. 步骤1 约化偏微分方程到常微分方程对于给定的非线性发展方程 P (u ,u x ,u t ,u xx ,u xt ,u tt ,…)=0.(1)在行波变换 u =u (ξ),ξ=k (x -λt ) (2) 下,(1)式约化为如下的常微分方程 G u ,d u d ξ,d 2 u d ξ 2, 0 (3) 步骤2 假设有限级数形式解 设常微分方程(3)有如下形式的Jacobi 椭圆函数有限级数解 u (ξ )=a 0+a 1sn ξ+b 1cn ξ+c 1dn ξ+ ∑ n i =2 sn i -2 ξ(a i sn 2ξ+b i sn ξcn ξ +c i sn ξdn ξ+d i cn ξdn ξ )(4.1) u (ξ )=a 0+a 1ns ξ+b 1cs ξ+c 1ds ξ+ ∑ n i =2 ns i -2 ξ(a i ns 2ξ+b i ns ξcs ξ +c i ns ξds ξ+d i cs ξds ξ )(4.2) 第54卷第10期2005年10月100023290Π2005Π54(10)Π4501205 物 理 学 报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.54,N o.10,October ,2005 ν2005Chin.Phys.S oc.
非线性发展方程及其应用 成果简介 本项目是非线性科学中的一个重要的研究方向，共研究的对象是来源于化学反应、微电子学、生物学等领域中用非线性偏微方程描述的动力学模型。因此，它具有交叉学科的特征。所获得的成果不仅为有关学科提供了定量分析的理论依据，而且也能为研究非线性偏微分方程带来新的研究思路和新的研究课题。 1．首次借助于构造适当的上、下控制函数、利用有界边值问题逼近方法，解决了Belensov-Zhabotinskii化学反应模型波前解的存在性，并给出子最小波速的值；同时还给出了一种求解显示行波解的方法。 2．利用摄动初值问题逼近、相空间的打靶法与变分思想，解决了退化的反应扩散方程行波解的存在性，并给出了最小波速的变分刻划和估计； 3．对带有非线性非局部项和非线性边界条件的抛物型方程和方程组的研究，主要利用上、下解方法。但是，上、下解的构造却有很大的灵活性和很高的技巧。我们首次借助于研究非负矩阵的性质，得到了方程组整体解存在的充分必要条件；首次通过构造在有限时刻爆破的精细上解和解的逐次延拓方法研究了解的整体存在性。同时，我们发表在美国数学会会刊上的一篇论文，还否定了Wolainskii于93年发表在SIAM J. Math. Anal.上的一个工作。发表在JMAA上的两篇论文，成功地解决了在边界上带有非线性强迫外力的非线性对流扩散问题。 4．反应扩散方程研究领域的一个基本问题是：扩散是否会引起爆破？多数人认为扩散不会引起爆破且是一个显而易见的问题，不须证明。但是数学结果
总是要证明的，有一部分人就致力于证明，给出了该结论成立的各式各样的充分条件。我们于96年发表在JMAA上的一篇论文给出了一个反例，说明扩散会引起爆破，彻底澄清了这个问题。 5．当反应扩散方程中反应项较扩散项占优时，利用经典有限元、有限差分或有限箱法离散时，解会出现数值振荡，常用的抑制振荡的方法有：S-G方法，SUPG方法等，但都存在局限性。我们从变分原理出发要求振荡最小，建立了新的离散数值理论； 6．半导体器件的漂移扩散模型是一个特殊形式，由非线性抛物型与椭圆型方程耦合起来的，反应扩散方程组，带有混合形式边界条件，特别是载流子又有不同的产生一复合过程，再加上热效应和磁场影响，难度大。我们建立了基于紧致性原理的正则化的统一框架。 该成果获江苏省科技进步二等奖。 非线性统计模型与非线性诊断方法 成果简介 本系统地研究了近代非线性回归模型的几何理论和渐近推断理论，把微分几何方法应用于非线性回归分析；系统地研究了具有广泛应用价值的指数族非线性模型，建立了该模型的几何结构，在此基础上，研究了这些模型基于统计曲率的渐近推断理论以及统计诊断的非线性方法；这些研究填补了国内空白，在国内外都有一定影响。近10年来共获得 3 项国家自然科学基金，1项 95 重点基金，2 项江苏省自然科学基金；出版专著2本，发表论文50多篇,其中国外14 篇，
数学物理学报2018,38A(4):750-769 h ttp://a cta m s.w ip m.a c.c n 一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的 爆破分析* 赵元章马相如# (中国海洋大学数学科学学院山东青岛266100) 摘要：该文考虑了具有变扩散系数的反应-扩散方程D ir ic h le t初边值问题解的爆破现象.利 用辅助函数法和修正微分不等式技巧，对变扩散系数和非线性项给出适当的条件，以保证解整 体存在或有限时刻发生爆破，并在整体空间中（N>1)导出了爆破时间的界.同时，给出几 个应用举例. 关键词：反应-扩散方程；变扩散系数；爆破时间的界. M R(2010)主题分类：35K65; 35B30; 35B40 中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2018)04-750-20 1引言 我们考虑具有变扩散系数和非局部源项的反应--扩散方程 ut=d iv(a(x)V u(x, t))+f (u),(x, t)G Q x(0, t*),(U)给出齐次D ir ic h le t边界条件和初始条件 u(x, t)=0,(x, t)G dQ x(0, t*),(1.2) u(x, 0)=u〇 (x),:x G Q,(1.3)其中0c R n(N21)为具有光滑边界d n的有界区域，t*<+⑴表示可能发生爆破的时 间，反之t*=+⑴?变扩散系数a(x)为正的适当光滑函数，非线性项f(u)为非负连续函数并 满足非局部条件，比如，包含（u(x,t))p J^(u(x,t))qd x型非局部项，其中p + q>1?初值u〇(x) 为非负C1类函数且满足适当的相容性条件?因此，由经典拋物型理论知，问题（1.1)-(1.3) 存在唯一的非负局部解且充分光滑. 方程（1.1)出现在许多物理现象和生物种群理论.比如，热传导现象中温度，流体的流 动中浓度及某种生物种群密度的扩散等，见文献[1-3]及相关文献. 收稿日期：2017-07-11;修订日期：2017-12-11 E-mail: zhaoyz@https://www.doczj.com/doc/fa10902897.html,;xrmaouc@https://www.doczj.com/doc/fa10902897.html, *基金项目：山东省研究生创新计划项目（SDYY14127) Supported by Innovation Program for Graduates of Shandong Province (SDYY14127) **通讯作者
扩散方程的差分解法 在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。 本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。 1.扩散方程 一维扩散方程为： 22u u t x α??=?? （1） 式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。 其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤ （2） 边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t == （3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。 2.有限差分法 有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。 差分格式可以分为显格式和隐格式。所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。隐格式的主要缺点是计算工作量大，因而不如显格式计算得快，但这只是就时间步长一样的情况而言的。隐格式的主要优点是时间步长可以比显格式能够采用的最大步长大很多。显格式的时间步长受到稳定性条件的限制，而隐格式则几乎不受限制。 3.方程的离散 3.1 显格式 采用时间前差及第n 时间层的空间中心差，得一维扩散方程的显格式解： 111 2 2()n n n n n j j j j j u u u u u t x α ++---+=?? （4） 即 111(2) n n n n n j j j j j u u r u u u ++-=+-+ （5）