I
一类反应扩散方程解的长时间行为
摘 要
本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下：
其中
偏微分算子是一致抛物的，
，满足一定条件。
对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。
在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。
为了证明解半群在
中存在全局吸引子，我们证明
了伴随方程的解半群在
与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。
关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解
II ABSTRACT
In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain
:
where
The partial differential
operator is uniformly
parabolic,
and satisfies some additional assumptions.
First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates.
With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded
absorbing sets in
and
and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem.
KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution
1
目 录
1 绪论 (2)
1.1 研究背景及意义 (2)
1.2 Galerkin 方法基本理论 (3)
1.3 全局吸引子的理论框架 (4)
1.4 反应扩散方程的相关研究 (5)
1.5 本文的工作 (7)
1.6 本文的安排 (8)
2 预备知识 (9)
2.1 基本不等式 (9)
2.2 Sobolev 空间嵌入定理 (10)
2.3 一些重要的定理 (11)
2.4 全局吸引子基本理论 (12)
3 方程弱解的存在唯一性 (14)
3.1 弱解的定义 (14)
3.2 弱解的存在唯一性证明 (14)
4 全局吸引子的存在性 (23)
4.1 解半群的定义 (23)
4.2
解半群在
中吸收集的存在性 ............................................................................ 23 4.3
解半群在中吸收集的存在性 (24)
4.4 全局吸引子的存在性 (28)
5 结论与展望 (29)
5.1 结论 (29)
5.2 展望 ............................................................................................................................. 29 参考文献 ................................................................................................ 错误！未定义书签。
1 绪论
1.1研究背景及意义
随着自然科学研究的深入，人们若要借助准确的数学表达式来展现自然科学的基本规律，便常要使用微分方程，例如Maxwell方程，Euler方程以及本文所研究的反应扩散方程等。早在十八世纪，人们便开始使用偏微分方程来描述实际应用问题。当时，Euler为了研究流体力学中可压缩和不可压缩流体，建立了著名的Euler方程。而在十九世纪后，自然科学研究的现象已经具有相当的深度与广度，而许多自然科学现象的研究都会利用偏微分方程进行模拟解释，例如，反应扩散方方程可被利用于描述在无穷维条件下的反应物变化。同时，产生于流体力学，大气科学，机械工程等方面的偏微分方程在偏微分方程发展中占有重要地位，人们研究的方程往往来源于实际现象，而得到的结果也往往用来解释实际问题。而发展到今天，偏微分方程已经成为重要的应用数学研究领域。
但是在偏微分方程研究的起步时期，由于分析学尚未兴起，人们往往注重于建立偏微分方程，方程的求解或求近似解。但是，由于微分方程求显示解很困难，大部分微分方程都无法得到显式解，如本文研究的非线性方程。于是，人们便开始研究偏微分方程的解是否存在唯一，并进一步去研究解轨道随时间变化的规律。为此，人们开创了动力系统理论，并不断在该领域进行研究与创新。
接下来，我们将简单介绍动力系统的历史。
早在十九世纪初期。人们便开始进行动力系统的初步研究，如Cauchy对一类常微分方程初值问题解的适定性的研究。十九世纪末，Lyapunov等人开创了常微分方程定性分析理论，即利用积分曲线性质的研究来讨论微分方程的解。他们开创了新的研究方向，提出了常微分方程几何理论，并将其运用于对方程解的动态做定性分析。以此为基础，他们首次提出了动力系统这一概念。而在二十世纪初，G.D.Birkhoff与Lyapunov等人共同建立了常微分方程动力系统理论。随后，G.D.Brikhoff出版《Dynamical Systems》，使动力系统成为了一个与微分方程紧密联系的数学分支，得到了众多学者的关注。
2
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2〃s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为 n1f〃dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：
其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0
两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散
扩散方程的差分解法 在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。 本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。 1.扩散方程 一维扩散方程为： 22u u t x α??=?? （1） 式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。 其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤ （2） 边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t == （3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。 2.有限差分法 有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。 差分格式可以分为显格式和隐格式。所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。隐格式的主要缺点是计算工作量大，因而不如显格式计算得快，但这只是就时间步长一样的情况而言的。隐格式的主要优点是时间步长可以比显格式能够采用的最大步长大很多。显格式的时间步长受到稳定性条件的限制，而隐格式则几乎不受限制。 3.方程的离散 3.1 显格式 采用时间前差及第n 时间层的空间中心差，得一维扩散方程的显格式解： 111 2 2()n n n n n j j j j j u u u u u t x α ++---+=?? （4） 即 111(2) n n n n n j j j j j u u r u u u ++-=+-+ （5）
I 一类反应扩散方程解的长时间行为 摘 要 本文主要在一个有界光滑区域中讨论了一类带有齐次Dirichlet 边值条件的反应扩散方程解的长时间行为，其方程的形式如下： 其中 偏微分算子是一致抛物的， ，满足一定条件。 对于以上方程，我们首先定义了该方程的弱解，之后我们在有限维空间中构造了一系列该方程的近似解，并证明了在维数趋于无穷时，存在子列收敛于该方程的弱解。最后，我们利用先验估计得到了该方程弱解的存在唯一性。 在获得方程弱解的存在唯一性后，我们便能定义伴随方程的解半群，并由此研究伴随方程解半群的全局吸引子。 为了证明解半群在 中存在全局吸引子，我们证明 了伴随方程的解半群在 与中有界吸收集的存在性，并利用Sobolev 紧嵌入定理得到了全局吸引子的存在性。 关 键 词：反应扩散方程；Galerkin 方法；全局吸引子；弱解
II ABSTRACT In this thesis, we mainly consider the long-time behavior of solutions for the following reaction-diffusion equation with homogeneous Dirichlet boundary condition in a bounded smooth domain : where The partial differential operator is uniformly parabolic, and satisfies some additional assumptions. First of all, we give the definition of weak solutions, and then, we construct a sequence of approximate solution in a n dimension subspace and show that there exists a subsequence will convergent to a weak solution of this problem when n goes to infinite. Finally, we establish the existence and uniqueness of weak solution by some aprior estimates. With the help of the existence and the uniqueness of weak solutions, we define the solution semigroup associate with the problem and investigate the existence of a global attractor for the semigroup. To prove the existence of a global attractor, we show that there exist bounded absorbing sets in and and obtain existence of a global attractor in by using the Sobolev compactness embedding theorem. KEY WORDS: Reaction-diffusion equation; Galerkin’s method ; Global attractor; Weak solution
第三章 一维扩散方程 本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程： 2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>? =?；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0 (,0)() t xx u ku f x t x t u x x ?-=-∞<<∞>?? =?；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ?-=<<∞>?? =??=? ；（其它非齐次边界等） 对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。 §3.1全直线上的扩散方程 首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ?时间内位移转移概率为均值为0，方差为2 t σ?的正态分布。在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。则 2 ()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞ -?-∞+?=?， 或 2 2 (,)(,)y u x t t u x y t dy ∞ -+?= +? 2222 1 [(,)(,)(,)()]2 y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞ - = ++?+?? 21 (,)(,)()2 xx u x t u x t t o t σ=+?+? 因此， 2 2 t xx u u σ= 。 可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。 从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度： 22()2(,)(,0)y x t u x t e u y dy σ-∞ - = ?。 所以，有如下定理。 定理 扩散方程2,,0 (,0)() t xx u c u x t u x x ??=-∞<<∞>?=?的解为
数学物理学报2018,38A(4):750-769 h ttp://a cta m s.w ip m.a c.c n 一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的 爆破分析* 赵元章马相如# (中国海洋大学数学科学学院山东青岛266100) 摘要：该文考虑了具有变扩散系数的反应-扩散方程D ir ic h le t初边值问题解的爆破现象.利 用辅助函数法和修正微分不等式技巧，对变扩散系数和非线性项给出适当的条件，以保证解整 体存在或有限时刻发生爆破，并在整体空间中（N>1)导出了爆破时间的界.同时，给出几 个应用举例. 关键词：反应-扩散方程；变扩散系数；爆破时间的界. M R(2010)主题分类：35K65; 35B30; 35B40 中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2018)04-750-20 1引言 我们考虑具有变扩散系数和非局部源项的反应--扩散方程 ut=d iv(a(x)V u(x, t))+f (u),(x, t)G Q x(0, t*),(U)给出齐次D ir ic h le t边界条件和初始条件 u(x, t)=0,(x, t)G dQ x(0, t*),(1.2) u(x, 0)=u〇 (x),:x G Q,(1.3)其中0c R n(N21)为具有光滑边界d n的有界区域，t*<+⑴表示可能发生爆破的时 间，反之t*=+⑴?变扩散系数a(x)为正的适当光滑函数，非线性项f(u)为非负连续函数并 满足非局部条件，比如，包含（u(x,t))p J^(u(x,t))qd x型非局部项，其中p + q>1?初值u〇(x) 为非负C1类函数且满足适当的相容性条件?因此，由经典拋物型理论知，问题（1.1)-(1.3) 存在唯一的非负局部解且充分光滑. 方程（1.1)出现在许多物理现象和生物种群理论.比如，热传导现象中温度，流体的流 动中浓度及某种生物种群密度的扩散等，见文献[1-3]及相关文献. 收稿日期：2017-07-11;修订日期：2017-12-11 E-mail: zhaoyz@https://www.doczj.com/doc/795491457.html,;xrmaouc@https://www.doczj.com/doc/795491457.html, *基金项目：山东省研究生创新计划项目（SDYY14127) Supported by Innovation Program for Graduates of Shandong Province (SDYY14127) **通讯作者
扩散方程 扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定： 其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度
下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0 两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散 中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） ，，， （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通