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科技知识经典例题透析

例1. 人类最早使用的金属是()。

A. 铜

B. 铁

C. 银

D. 铅

【解析】答案为A。

三角函数经典例题

经典例题透析类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么( ) A．B．C．D．思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．解析：解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出，∴． ∴．解法2：直接利用勾股定理求出，在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________．答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．

(2)由，得， ∴．∴A=75°．总结升华：已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求．思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出．解析：解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，．则， ∴．解法2：由，得， ∴．总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或利用，来求．

老师多边形及其内角和经典例题透析

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知识要点梳理定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类1：凹多边形 ?正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。分类２：多边形?非正多边形： 1、n边形的内角和等于１８0°(n－2)。多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于3６0°。３、n边形的对角线条数等于1／2·n（n-3) 只用一种正多边形:3、４、6/。镶嵌?拼成３６0度的角只用一种非正多边形(全等):3、４。知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. ?（1)多边形的一些要素: 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角。外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意:?①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数）;?②首尾顺次相连,二者缺一不可；③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形. 2、多边形的分类:?（１)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形．? 凸多边形凹多边形?图1 (2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形,其中三角?形是边数最少的多边形．?知识点二：正多边形?各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释:?各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可．如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三:多边形的对角线?多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,BD为四边形ＡBＣD的一条对角线。要点诠释: （1)从n边形一个顶点可以引（n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。?证明:过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数），又∵共有n个顶点,∴共有n(ｎ-3) 条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,∴凸n边形,共有条对角线。?知识点四：多边形的内角和公式?1．公式:边形的内角和为． 2.公式的证明:?证法１：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形,这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为．证法2：从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成个三角形,这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.?证法3:在边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数, 即.

初中数学一元一次方程经典例题透析

一元一次方程经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y ＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三： [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。解析：分两种情况：（1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能综上，a的值为。

[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B 类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1．巧凑整数解方程： 2、思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。解：移项，得。合并同类项，得2x＝－1。系数化为1，得x＝－。举一反三： [变式]解方程：＝2x－5 解：原方程可变形为＝2x－5

四边形——经典例题透析_成果测评

已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点, 连结 AF、CE. (1)求证：△ BEC^A DFA; (2)连接AC,若CA=CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论举一反三: 【变式1】如图，在△ ABC中，AB=AC , D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。【变式2】已知口ABCD的对角线AC, BD相交于0, △ ABO是等边三角形，AB= 4cm , 求这个平行四边形的面积。经典例题透析因类型一：矩形 1. (2011山东青岛)

【变式3】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , AE 丄BD 于E ,则: (1) 图中与/ BAE 相等的角有 ___________ ； (2) ___________________________________ 若/ AOB=60。，贝U AB : BD = 图中△ DOC 是 __________________________________________ 角形(按边分). 类型二：菱形举一反三：【变式1】已知如图，平行四边形 ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于E 、F 。试判断四边形 AFCE 的形状并说明理由. )如图，在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC , AD 中点。 B C (2011四川雅安 (1)求证：△ ABE BA CDF

【变式4】(2011 四川自贡) 如图，在△ ABC 中， AB=BC=1，/ ABC=120 °，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转30。得△交」二一于点E , 1 -分别交 V F. 类型三：正方形||銅 3.( 2011广西玉林)如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点, 以线段AG 为边作一个正方形 AEFG,线段EB 和GD 相交于点H. (1) 求证：EB=GD; (2) 判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由 (3) 若 AB=2，AG=，求 EB 的长. 思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中DG, BE 分别在△ DAG 与厶AEB 中，结合正方形的性质，我们可以证明厶 DAG 与厶AEB 全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。研究线段的位置关系，主要是平行或相交(包括垂直相交) 。【答案】(1)证明：在厶GAD 和厶EAB 中 / GAD=90 o+ / EAD ，/ EAB=90 o+ / EAD ???/ GAD= / EAB 又??? AG=AE , AB=AD ? △ GADEAB (1) 试判断四边形 (2) 求DE 的长. 的形状，并说明理由;

经典例题透析神经调节

经典例题透析： 1．如图为反射弧模式图，下列叙述正确的是 ①若在a点上刺激，神经就发生兴奋，并从这一点向肌肉方向传播，肌肉就收缩②如果给予相同的刺激，刺激点a与肌肉之间的距离越近，肌肉的收缩就越强③神经纤维传导兴奋的大小，与刺激强弱无关，通常是恒定的④当兴奋时，神经细胞膜的离子通透性会发生急剧变化，钾离子流人细胞内⑤a处产生的兴奋不能传递给脊髓内的中间神经元 A．①②③B．①②④C．②③④D．①③⑤ 考点定位：本题综合考查有关反射弧的基础知识。指点迷津：此图是完整的反射弧,a处为传出神经，其神经末梢连在肌肉上，和肌肉一起构成效应器，a点受刺激产生的兴奋可双向传导，向肌肉方向传导后即可引起肌肉的收缩，故①正确。给予相同的刺激，无论刺激点离肌肉更近或更远，都引起肌肉相同的收缩效果，故②错。刺激达到一定强度就产生兴奋，兴奋的幅度通常是恒定的刺激未达到一定强度，不能产生兴奋，与刺激强弱无关，故③正确。当兴奋时，神经细胞膜的通透性改变，Na+流入细胞内，故④错。a处的兴奋向中枢方向传导时，由于突触后膜向中间神经元前膜方向没有化学递质的释放，不能传导，故⑤正确。如何识别或确定传入神经和传出神经？①根据神经节判断，有神经节为传入神经，没有则为传出神经。②根据前角（大）和后角（小）判断，与前角相连的为传出神经，与后角相连的为传入神经。③根据切断刺举的方法确定，若切断神经后，刺激外周段不反应，而刺激向中段反应，则切断的为传入神经，反之则是传出神经。参考答案D 2．下列关于兴奋传导的叙述，正确的是 A．神经纤维膜内局部电流的流动方向与兴奋传导方向一致 B．神经纤维上已兴奋的部位将恢复为静息状态的零电位 C．突触小体完成“化学信号—电信号”的转变 D．神经递质作用于突触后膜，使突触后膜产生兴奋考点定位：本题考查关于兴奋产生和传导的基础知识。指点迷津：兴奋在神经纤维上的传导是双向的，神经纤维膜内电流是由兴奋部位流向未兴奋部位的，二者方向一致。当神经纤维某一部位受到刺激产生兴奋时，兴奋部位就会发生一次很快的电位变化，即由静息时外正内负变为外负内正，突触小体完成电信号～化学信号的转变。神经递质作用于突触后膜，使下一神经元兴奋或抑制。参考答案A 3．图示表示三个突触连接的神经元。现于箭头处施加强刺激，则能测到动作电位的位置是

人教版数学七年级下各章节经典例题、易错题透析(期末、初讲)必备

经典例题透析－---易错题第五章相交线与平行线 1．下列判断错误的是().?A．一条线段有无数条垂线；Ｂ．过线段ＡＢ中点有且只有一条直线与线段AB垂直; C.两直线相交所成的四个角中,若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；? D.若两条直线相交，则它们互相垂直.?2．下列判断正确的是（）. Ａ.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离;? B.过直线外一点画已知直线的垂线,垂线的长度就是这点到已知直线的距离; C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；Ｄ.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短． 3．如图所示,图中共有内错角( ). ? A.２组; B.3组；Ｃ．4组； D.5组． 4.下列说法：①过两点有且只有一条直线;②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有( ). A.1个; Ｂ.２个； C.3个; D.4个.?5．如图所示,下列推理中正确的有( ）．? ①因为∠１=∠4，所以BC∥AD;②因为∠２＝∠３,所以AB∥CD； ③因为∠BCD+∠AＤＣ=1８0°,所以ＡD∥BC;④因为∠1＋∠2＋∠C=１8０°，所以ＢC∥AＤ. A.1个；Ｂ.2个；Ｃ.3个；Ｄ.４个.?6.如图所示，直线,∠1＝７０°，求∠2的度数. ? 7.判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论.?（1）内错角相等;（2）对顶角相等;（3）画一个60°的角． 8.“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AＡ′”这句话对吗? 第六章平面直角坐标系1?.点A的坐标满足，试确定点A所在的象限 2．求点A(-3，-4）到坐标轴的距离.?? 第七章三角形?１.如图所示，钝角△ＡBC中，∠B是钝角,试作出BC边上的高AE. ２．有四条线段,长度分别为4cm,8ｃm,10cm，１2ｃｍ，选其中三条组成三角形,试问可以组成多少个三角形? 3．一个三角形的三个外角中,最多有几个角是锐角？? 4.如图所示，在△ABC中,下列说法正确的是（）. A.∠ADB＞∠ADE; Ｂ．∠AＤB＞∠1＋∠2+∠３; C.∠ADB>∠1+∠2; D.以上都对．５.一个多边形的内角和为14４0°,求其边数. 第八章二元一次方程组

柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且，当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为由，得即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．举一反三：【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。【答案】

(Ⅰ) 当时，．所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为．综上，不等式的解集为．……10分【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】根据柯西不等式，

故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．类型二：利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证：思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：而，又，故可利用柯西不等式证明之。证明：又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。（2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证：思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：∵+=1

七年级下册经典例题透析----易错题

七年级下册经典例题透析----易错题第五章相交线与平行线 1.未正确理解垂线的定义 1．下列判断错误的是（）. A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解：A或B或C. 解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解：D. 2.未正确理解垂线段、点到直线的距离 2．下列判断正确的是（）. A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解：A或B或C. 解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义. A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的. B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的； C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解：D. 3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角 3．如图所示，图中共有内错角（）. 组；组；组；组. 错解：A.

解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF与∠GFC 易漏掉。正解：B. 4.对平行线的概念、平行公理理解有误 4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的有（）. 个；个；个；个. 错解：C或D. 解析：平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以②是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以④是错误的，①③是正确的. 正解：B. 5.不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行 5．如图所示，下列推理中正确的有（）. ①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD； ③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD. 个；个；个；个. 错解：D. 解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有③推理正确. 正解：A. 6.混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件 6．如图所示，直线，∠1＝70°，求∠2的度数. 错解：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得∠1＝∠2，又因为∠1＝70°，所以∠2＝70°. 解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆. 在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平

勾股定理经典例题(含答案)A

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。举一反三【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足

等腰三角形经典例题透析

经典例题透析类型一：探究型题目 1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨:在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。解析：总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。举一反三：【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。

请你先阅读下面的证明过程。证明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。正确的证明过程是：因为EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N 是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

等比数列经典例题透析

等比数列经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。类型二：等比数列的前n 项和公式例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---，整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。举一反三：【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和类型三：等比数列的性质例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三：【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.

七年级下册数学经典易错例题透析(含答案)

七年级下册数学经典易错例题透析第五章相交线与平行线 1.未正确理解垂线的定义 1．下列判断错误的是（）. A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解：A或B或C. 解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解：D. 2.未正确理解垂线段、点到直线的距离 2．下列判断正确的是（）. A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解：A或B或C. 解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义. A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的. B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的； C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解：D. 3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角 3．如图所示，图中共有内错角（）. A.2组； B.3组； C.4组； D.5组. 错解：A. 解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其

排列组合经典编辑例题透析

组合经典例题透析类型一：组合数公式及其性质 1．计算：（1）；（2）. 思路点拨：可以直接依据组合数公式计算，也可以先利用性质化简后再计算解析：（1）方法一：；方法二：；（2）方法一：；方法二：. 总结升华：当时，利用性质计算比较简便．性质2表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。举一反三：【变式1】计算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）或（2）或（3）【变式2】计算：（1）；（2）【答案】（1）

=… （2） =… 【变式3】求证：．证明：右边左边 2．解方程：. 解析：原方程可化为，整理得:，解得或（不合题意舍去）．经检验是原方程的根．

总结升华：解含组合数的方程和不等式时要注意组合数中，且这些限制条件，要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围；应强调解组合数方程要验根。举一反三：【变式1】解方程：【答案】原方程为 ∴2x＝x＋4 或2x＝21-x 解得：x＝4 或x＝7 经检验x＝4，x＝7都是原方程的根。【变式2】已知，求、的值．【答案】依题意得，整理得，解得：. 类型二：组合的应用 3．平面内有10个点，（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？思路点拨：线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．解析：（1）以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即以其中每2个点为端点的线段共有（条）（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即以其中每2个点为端点的有向线段共(条) 总结升华：一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果．举一反三：【变式1】下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？【答案】（1）组合问题，可以得到个不同的和；

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

. 解得? ?x>0 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式（1）x2-5x<0；（2）x2-4x+4>0；（3）-x2+4x-5>0思路点拨:转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答解析：（1）方法一：因为?=(-5)2-4?1?0=25>0 所以方程x2-5x=0的两个实数根为：x=0，x=5 12 函数y=x2-5x的简图为：因而不等式x2-5x<0的解集是{x|00?x<0方法二：x2-5x<0?x(x-5)<0??或? ?x-5<0?x-5>0 ?x<0 或?，即05 因而不等式x2-5x<0的解集是{x|0

（ ∴ 原不等式的解集是： {x | x < - 或x > 2} . 3 3 因为 ? < 0 ，方程 x 2 - 4 x + 5 = 0 无实数解，函数 y = x 2 - 4 x + 5 的简图为：所以不等式 x 2 - 4 x + 5 < 0 的解集是 ? . 所以原不等式的解集是 ? . 方法二：∵ - x 2 + 4 x - 5 = -( x - 2)2 - 1 ≤ -1 < 0 ∴原不等式的解集是 ? . 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当 ? ≤ 0 时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3 小题）；当 ? > 0 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，如第 1 小题）. 3. 当二次项的系数小于 0 时，一般都转化为大于 0 后，再解答. 举一反三：【变式 1】解下列不等式 (1) 2 x 2 - 3x - 2 > 0 ；(2) -3x 2 + 6 x - 2 > 0 (3) 4 x 2 - 4 x + 1 ≤ 0 ； (4) - x 2 + 2 x - 3 > 0 . 【答案】（1）方法一：因为 ? = (-3)2 - 4 ? 2 ? (-2) = 25 > 0 方程 2 x 2 - 3x - 2 = 0 的两个实数根为： x = - 1 1 2 ， x = 2 2 函数 y = 2 x 2 - 3x - 2 的简图为：因而不等式 2 x 2 - 3x - 2 > 0 的解集是：{x | x < - 1 或x > 2} . 2 方法二：∵原不等式等价于（2 x + 1)(x - 2) > 0 , 1 2 （2）整理，原式可化为 3x 2 - 6 x + 2 < 0 , 因为 ? > 0 , 方程 3x 2 - 6 x + 2 = 0 的解 x = 1 - 1 3 3 ， x = 1 + ， 2

柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且，当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．举一反三：【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。【答案】 (Ⅰ) 当时，．所以．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，的解集为空集；当时，的解集为；当时，的解集为．综上，不等式的解集为．……10分【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】根据柯西不等式，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．类型二：利用柯西不等式证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证：思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：而，又，故可利用柯西不等式证明之。证明：又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。（2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证：思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证：思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。，，∴，∴所证结论改为证

轴对称经典例题透析

经典例题透析类型一：对称轴问题 1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴? 思路点拨：对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴。解：①有4条对称轴．②有1条对称轴．③有2条对称轴．总结升华：这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下．举一反三【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数。（1）线段；（2）角；（3）平行线（两条）。解析：（1）线段沿着本身所在直线或沿着过它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合。故线段有两条对称轴；（2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所在直线；（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折，两旁的部分能够重合．而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条．综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是2条、l条、无数条．类型二：轴对称图形的作法 2、已知△ABC，直线l．求作，使和△ABC关于l对称．思路点拨：作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点，所谓的特殊点，即可以决定图形的大小和形状的点，一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个顶点．作法：如下图所示： ①作AO⊥l于O，并延长AO至使，则就是A点关于的对称点． ②同样可以作出B点关于的对称点的． ③由于C在对称轴上，故C关于的对称点就是它本身．

④连接、、．就是所求的三角形，如图所示．总结升华：由作对称图形的步骤和方法可知，关键是找出每个图形的特殊点，再作出这个特殊点关于直线l的对称点．最后把对称点按原图那样连接起来．举一反三【变式】把图中的图形补成以l为对称轴的轴对称图形．解析：图①至少需要作4个点的对称点，而图②只需作出2个即可确定对称图形的形状．如图所示．类型三：中垂线问题 3、如图所示，在△ABC中，AC=10cm，AB的中垂线交AB于E,交AC于D，△DBC的周长为16 cm，求BC的长．

传送带经典例题透析

传送带经典例题透析类型一、传送带的动力学问题——分析计算物体在传送带上的运动情况这类问题通常有两种情况，其一是物体在水平传送带上运动，其二是物体在倾斜的传送带上运动。解决这类问题共同的方法是：分析初始条件→相对运动情况→判断滑动摩擦力的大小和方向→分析出物体受的合外力和加速度大小和方向→由物体速度变化再分析相对运动来判断以后的受力及运动状态的改变，然后根据牛顿第二定律和运动学公式计算。 1、物体在水平传送带上的运动情况的计算例1、如图所示，水平放置的传送带以速度v=2m/s向右运行，现将一小物体轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，若A端与B端相距4 m，则物体由A 运动到B的时间和物体到达B端时的速度是：（） A．2.5 s，2m/s B．1s，2m/s C．2.5s，4m/s D．1s，4/s 举一反三【变式】水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB始终保持v=1m/s 的恒定速率运行。一质量为m=4kg的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0.1，AB间的距离=2m，g取10 m/ s2。（1）求行李刚开始运动时所受的滑动摩擦力大小与加速度大小；（2）求行李做匀加速直线运动的时间；（3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处。求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。 2、物体在倾斜传送带上运动的计算例2、如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A端运动到B端所需的时间是多少？(sin37°=0.6，cos37°=0.8) 类型二：物体在传送带上的相对运动问题理解物体在传送带上的相对运动问题具有一定的难度，只要掌握了分析和计算的方法，问题便迎刃而解，解决此类问题的方法就是：分析物体和传送带相对于地的运动情况——分别求出物体和传送带对地的位移——求出这两个位移的矢量差。例3、一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。举一反三：物体在倾斜传送带上相对运动的计算【变式1】如图所示，皮带轮带动传送带沿逆时针方向以速度v0=2 m / s 匀速运动，两皮带轮之间的距离L=3.2 m，皮带绷紧与水平方向的夹角θ=37°。将一可视为质点的小物块无初速地从上端放到传送带上，已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块在皮带上滑过时能在皮带上留下白色痕迹。求物体从下端离开传送带后，传送带上留下的

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）2 50x x -<；（2）2 440x x -+>；（3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：（1）方法一：因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为：因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0?=，方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=）所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2 450x x -+<.

因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为：因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，

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