《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式
（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2
450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：
（1）方法一：
因为2
(5)410250?=--??=>
所以方程2
50x x -=的两个实数根为：10x =，25x =
函数2
5y x x =-的简图为：
因而不等式2
50x x -<的解集是{|05}x x <<.
方法二：2
50(5)0x x x x -???-
50x x ?
解得05x x >??
5
x x ?，即05x <<或x ∈?.
因而不等式2
50x x -<的解集是{|05}x x <<.
（2）方法一：
因为0?=，
方程2
440x x -+=的解为122x x ==.
函数2
44y x x =-+的简图为：
所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠
方法二：2
2
44(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2
(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠
（3）方法一：
原不等式整理得2
450x x -+<.
因为0?<，方程2
450x x -+=无实数解， 函数2
45y x x =-+的简图为：
所以不等式2
450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?.
方法二：∵2
2
45(2)110x x x -+-=---≤-<
∴原不等式的解集是?.
总结升华：
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：
【变式1】解下列不等式
(1) 22320x x -->；(2) 2
3620x x -+-> (3) 24410x x -+≤； (4) 2
230x x -+->. 【答案】
（1）方法一：
因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2
2320x x --=的两个实数根为：11
2
x =-，22x = 函数2232y x x =--的简图为：
因而不等式2
2320x x -->的解集是：1{|2}2
x x x <->或.
方法二：∵原不等式等价于
21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2
x x x <->或. （2）整理，原式可化为2
3620x x -+<,
因为0?>,
方程2
3620x x -+=的解1313x =-
，2313
x =+，
函数2
362y x x =-+的简图为：
所以不等式的解集是33(1,1)33
-+. （3）方法一：
因为0?=
方程2
4410x x -+=有两个相等的实根：121
2
x x ==， 由函数2
441y x x =-+的图象为：
原不等式的的解集是1{}2
.
方法二：∵ 原不等式等价于：2
(21)0x -≤, ∴原不等式的的解集是1{}2
. （4）方法一：
因为0?<，方程2
230x x -+-=无实数解， 由函数2
23y x x =-+-的简图为：
原不等式的解集是?.
方法二：∵2
2
23(1)220x x x -+-=---≤-<，
∴ 原不等式解集为?.
【变式2】解不等式：2
666x x -≤--< 【答案】原不等式可化为不等式组
22
6666x x x x ?--
或
∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或.
类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2. 不等式2
0x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式2
10nx mx +->的
解集。
思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程2
0x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.
解析：由题意可知方程2
0x mx n +-=的两根为4x =和5x =
由韦达定理有45m +=-，45n ?=- ∴9m =-，20n =-
∴2
10nx mx +->化为2
20910x x --->，即2
20910x x ++<
(41)(51)0x x ++<，解得11
45
x -<<-，
故不等式2
10nx mx +->的解集为11(,)45
--.
总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】不等式ax 2
+bx+12>0的解集为{x|-3 【答案】由不等式的解集为{x|-3 +bx+12=0的两根为-3，2。 由根与系数关系得???????-=?-=-=+-=-62)3(a 12123a b 解得a=-2, b=-2。 【变式2】已知2 20ax x c ++>的解为11 32 x - <<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【答案】由韦达定理有：11232a -+ =-，1132c a -?=，∴12a =-,2c =. ∴代入不等式2 20cx x a -+->得2 22120x x -++>， 即2 60x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式2 20cx x a -+->的解集为：(2,3)-. 【变式3】已知关于x 的不等式2 0x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式 210bx ax ++>的解集. 【答案】由韦达定理有：1212a b -=+??=??，解得32 a b =-??=?, 代入不等式2 10bx ax ++>得 22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得1 2 x <或1x >. ∴2 10bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2 -∞+∞. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2 -4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析： (1)当m 2 +4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x 成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。 (2)当m 2 +4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时， 由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m 2+4m-5)x 2 -4(m-1)x+3开口向上，且 与x 轴无交点， 所以?????<-+--=?>-+0 )5m 4m (12)1m (160 5m 4m 2 22， 即?? ?<<-<>19 m 15m 1m 或， ∴ 1 综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式2 (21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围. 【答案】关于x 的不等式2 (21)10mx m x m -++-≥的解集为空集 即2 (21)10mx m x m -++-<的解集为R 当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去. 当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m <且0?<， 即2(21)4(1)00 m m m m ?+-- 综上，m 的取值范围为：1(,)8 m ∈-∞-. 【变式2】若关于x 的不等式2 (21)10mx m x m -++-≥的解为一切实数，求m 的取值范围. 【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去. 当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m >且0?≥， 即2(21)4(1)00m m m m ?+--≥?>? ，解得0m >， 综上，m 的取值范围为：(0,)m ∈+∞. 【变式3】若关于x 的不等式2 (21)10mx m x m -++-≥的解集为非空集，求m 的取值范围. 【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，符合题意. 当0m >时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当0m <时，只需0?≥， 即2(21)4(1)00 m m m m ?+--≥? 综上，m 的取值范围为：1[,)8 m ∈-+∞. 类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法 例4．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1； （2）x 2 -ax+1>0； （3）x 2 -(a+1)x+a<0； 解析： (1) 22 210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤?---+≤?-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+。 (2) Δ=a 2 -4 当Δ>0，即 a>2或a<-2时，原不等式的解集为 }2 4 24|{22--<-+>a a x a a x x 或 当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2 a x x ≠。 当Δ<0，即-2 （3）(x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为{x|1 总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： ①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； ②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求 解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。 举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1 (2 ≠<++-a x a a x 【答案】原不等式化为0)1 )((<--a x a x ①a=1或a=-1时，解集为； ②当0 ，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1 ，解集为：1 {|}x x a a <<。 【变式2】解关于x 的不等式：2 2 3 ()0x a a x a -++>（a R ∈） 【答案】2 2 3 2 ()0()()0x a a x a x a x a -++>?--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2 {|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠； 当0＜a ＜1时，解集为2 {|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠； 例5．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0。 解析：若a=0，原不等式?－x+1＜0?x ＞1； 若a ＜0，原不等式?2 11(1)0x x a a -++ >11 ()(1)0x x x a a ?-->?<或x ＞1； 若a ＞0，原不等式?2111 (1)0()(1)0x x x x a a a -++ 1 a 与1的大小关系决定，故 （1）当a=1时，原不等式?x ∈?； （2）当a ＞1时，原不等式?1 1x a <<； （3）当0＜a ＜1时，原不等式?1 1x a << 综上所述： 当a ＜0，解集为1 {|1}x x x a < >或； 当a=0时，解集为{x|x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a <<； 当a=1时，解集为?； 当a ＞1时，解集为1 {| 1}x x a <<。 总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。 举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a ≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,1 21==x a x ①当a>0时， 若210>>a a ，， 即210< []2,(+∞-∞∈a x ； 若210＝，a a >， 即21 =a 时，x ∈R ； 若210<>a a ，， 即21>a 时，),2[]1 ,(+∞-∞∈ a x .