.
解得?
?x>0
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一：解一元二次不等式
例1.解下列一元二次不等式
（1）x2-5x<0；（2）x2-4x+4>0；（3）-x2+4x-5>0思路点拨:转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答
解析：
（1）方法一：
因为?=(-5)2-4?1?0=25>0
所以方程x2-5x=0的两个实数根为：x=0，x=5
12
函数y=x2-5x的简图为：
因而不等式x2-5x<0的解集是{x|0 ?x>0?x<0方法二：x2-5x<0?x(x-5)<0??或? ?x-5<0?x-5>0 ?x<0 或?，即0 ?x<5?x>5 因而不等式x2-5x<0的解集是{x|0 （2）方法一： 因为?=0， 方程x2-4x+4=0的解为x=x=2. 12 函数y=x2-4x+4的简图为： 所以，原不等式的解集是{x|x≠2} 方法二：x2-4x+4=(x-2)2≥0（当x=2时，(x-2)2=0） 所以原不等式的解集是{x|x≠2} （3）方法一： 原不等式整理得x2-4x+5<0. （ ∴ 原不等式的解集是： {x | x < - 或x > 2} . 3 3 因为 ? < 0 ，方程 x 2 - 4 x + 5 = 0 无实数解， 函数 y = x 2 - 4 x + 5 的简图为： 所以不等式 x 2 - 4 x + 5 < 0 的解集是 ? . 所以原不等式的解集是 ? . 方法二：∵ - x 2 + 4 x - 5 = -( x - 2)2 - 1 ≤ -1 < 0 ∴原不等式的解集是 ? . 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分 析能力； 2. 当 ? ≤ 0 时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3 小题）；当 ? > 0 且 是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷， 如第 1 小题）. 3. 当二次项的系数小于 0 时，一般都转化为大于 0 后，再解答. 举一反三： 【变式 1】解下列不等式 (1) 2 x 2 - 3x - 2 > 0 ；(2) -3x 2 + 6 x - 2 > 0 (3) 4 x 2 - 4 x + 1 ≤ 0 ； (4) - x 2 + 2 x - 3 > 0 . 【答案】 （1）方法一： 因为 ? = (-3)2 - 4 ? 2 ? (-2) = 25 > 0 方程 2 x 2 - 3x - 2 = 0 的两个实数根为： x = - 1 1 2 ， x = 2 2 函数 y = 2 x 2 - 3x - 2 的简图为： 因而不等式 2 x 2 - 3x - 2 > 0 的解集是：{x | x < - 1 或x > 2} . 2 方法二：∵原不等式等价于（2 x + 1)(x - 2) > 0 , 1 2 （2）整理，原式可化为 3x 2 - 6 x + 2 < 0 , 因为 ? > 0 , 方程 3x 2 - 6 x + 2 = 0 的解 x = 1 - 1 3 3 ， x = 1 + ， 2 ? x( x -1) ≥ 0 ? ? ? ? ? x ≥ 1或x ≤ 0 学习必备 欢迎下载 函数 y = 3x 2 - 6 x + 2 的简图为： 3 3 所以不等式的解集是 (1- ,1 + ) . 3 3 （3）方法一： 因为 ? = 0 方程 4 x 2 - 4 x + 1 = 0 有两个相等的实根： x = x = 1 2 由函数 y = 4 x 2 - 4 x + 1的图象为： 1 原不等式的的解集是{ } . 2 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x - 1)2 ≤ 0 , 1 ∴原不等式的的解集是 { } . 2 （4）方法一： 因为 ? < 0 ，方程 - x 2 + 2 x - 3 = 0 无实数解， 由函数 y = - x 2 + 2 x - 3 的简图为： 1 2 ， 原不等式的解集是 ? . 方法二：∵ - x 2 + 2 x - 3 = -( x - 1)2 - 2 ≤ -2 < 0 ， ∴ 原不等式解集为 ? . 【变式 2】解不等式： -6 ≤ x 2 - x - 6 < 6 【答案】原不等式可化为不等式组 ? x 2 - x - 6 < 6 ? x 2 - x - 12 < 0 ?，即 ??-6 ≤ x 2 - x - 6 ? x 2 - x ≥ 0 ?( x - 4)( x + 3) < 0 ，即 ? ， ?- 3 < x < 4 解得 ? ∴原不等式的解集为{x | -3 < x ≤ 0或1 ≤ x < 4}. 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例 2. 不等式 x 2 + mx - n < 0 的解集为 x ∈ (4,5) ，求关于 x 的不等式 nx 2 + mx - 1 > 0 的 解集。 思路点拨:由二次不等式的解集为 (4,5) 可知：4、5 是方程 x 2 + mx - n = 0 的二根，故 由韦达定理可求出 m 、 n 的值，从而解得. ??- a = -3 + 2 = -1 解析：由题意可知方程 x 2 + mx - n = 0 的两根为 x = 4 和 x = 5 由韦达定理有 4 + 5 = -m ， 4 ? 5 = -n ∴ m = -9 ， n = -20 ∴ nx 2 + mx - 1 > 0 化为 -20 x 2 - 9 x - 1 > 0 ，即 20 x 2 + 9 x + 1 < 0 1 1 (4 x + 1)(5x + 1) < 0 ，解得 - < x < - ， 4 5 1 1 故不等式 nx 2 + mx - 1 > 0 的解集为 (- , - ) . 4 5 总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等 式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数 之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 【变式 1】不等式 ax 2+bx+12>0 的解集为{x|-3 ? b 由根与系数关系得 ? ?12 = (-3) ? 2 = -6 ?? a 解得 a=-2, b=-2。 【 变 式 2 】 已 知 ax 2 + 2 x + c > 0 的 解 为 - 1 1 < x < , 试求 a 、 c , 并解不等式 3 2 -cx 2 + 2 x - a > 0 . 1 1 2 1 1 c 【答案】由韦达定理有： - + =- ， - ? = ，∴ a = -12 , c = 2 . 3 2 a 3 2 a ∴代入不等式 -cx 2 + 2 x - a > 0 得 -2 x 2 + 2 x + 12 > 0 ， 即 x 2 - x - 6 < 0 ， ( x - 3)(x + 2) < 0 ，解得 -2 < x < 3 ， 故不等式 -cx 2 + 2 x - a > 0 的解集为： (-2,3) . 【变式 3】已知关于 x 的不等式 x 2 + ax + b < 0 的解集为 (1,2) ，求关于 x 的不等式 bx 2 + ax + 1 > 0 的解集. ?-a = 1 + 2 ?a = -3 【答案】由韦达定理有： ? ，解得 ? , 代入不等式 b x 2 + ax + 1 > 0 得 ?b = 1? 2 ?b = 2 1 2 x 2 - 3x + 1 > 0 ，即 (2 x - 1)(x - 1) > 0 ，解得 x < 或 x > 1 . 2 1 ∴ bx 2 + ax + 1 > 0 的解集为： (-∞, ) (1,+∞) . 2 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 m > 0 即 ??m > 1或m < -5 ?m < 0 例 3．已知关于 x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为 R ，要解决这个问题还需要讨 论二次项的系数。 解析： (1)当 m 2+4m-5=0 时，m=1 或 m=-5 若 m=1，则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立，符合题意。 若 m=-5，则不等式为 24x+3>0，不满足对一切实数 x 均成立，所以 m=-5 舍去。 (2)当 m 2+4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时， 由此一元二次不等式的解集为 R 知，抛物线 y=(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3 开口向上，且 与 x 轴无交点， ??m 2 + 4m - 5 > 0 所以 ? ， ??? = 16(m - 1) 2 - 12(m 2 + 4m - 5) < 0 ?1 < m < 19 ， ∴ 1 综上所述，实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 【变式 1】 若关于 x 的不等式 mx 2 - (2 m + 1)x + m - 1 ≥ 0 的解集为空集，求 m 的取值 范围. 【答案】关于 x 的不等式 mx 2 - (2 m + 1)x + m - 1 ≥ 0 的解集为空集 即 mx 2 - (2 m + 1)x + m - 1 < 0 的解集为 R 当 m = 0 时，原不等式为： - x -1 ≥ 0 ，即 x ≤ -1 ，不符合题意，舍去. 当 m ≠ 0 时，原不等式为一元二次不等式，只需 m < 0 且 ? < 0 ， ?(2m + 1)2 - 4m (m -1) < 0 1 即 ? ，解得 m <- ， 8 1 综上， m 的取值范围为： m ∈ (-∞, - ) . 8 【变式 2】若关于 x 的不等式 mx 2 - (2 m + 1)x + m - 1 ≥ 0 的解为一切实数，求 m 的取值 范围. 【答案】当 m = 0 时，原不等式为： - x -1 ≥ 0 ，即 x ≤ -1 ，不符合题意，舍去. 当 m ≠ 0 时，原不等式为一元二次不等式，只需 m > 0 且 ? ≥ 0 ， ?(2m + 1)2 - 4m (m -1) ≥ 0 即 ? ，解得 m > 0 ， ? 综上， m 的取值范围为： m ∈ (0, +∞) . ? m < 0 {x | x > 或x < } 【变式 3】若关于 x 的不等式 mx 2 - (2 m + 1)x + m - 1 ≥ 0 的解集为非空集，求 m 的取值 范围. 【答案】当 m = 0 时，原不等式为： - x -1 ≥ 0 ，即 x ≤ -1 ，符合题意. 当 m > 0 时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当 m < 0 时，只需 ? ≥ 0 ， ?(2m + 1)2 - 4m (m -1) ≥ 0 1 即 ? ，解得 - ≤ m < 0 ， 8 1 综上， m 的取值范围为： m ∈[- , +∞) . 8 类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法 例 4．解下列关于 x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0； 解析： (1) x 2 - 2ax + a 2 - 1 ≤ 0 ? [( x - a) - 1][(x - a) + 1] ≤ 0 ? a - 1 ≤ x ≤ a + 1 ∴原不等式的解集为{x | a - 1 ≤ x ≤ a + 1} 。 (2) Δ =a 2-4 当 Δ >0 ， 即 a>2 或 a<-2 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 a + a 2 - 4 a - a 2 - 4 2 2 a 当Δ =0，即 a=2 或-2 时，原不等式的解集为{x | x ≠ } 。 2 当Δ <0，即-2 （3）(x-1)(x-a)<0 当 a>1 时，原不等式的解集为{x|1 总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： ①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； ②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时，要引入讨论，分类求 解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。 举一反三： 1 【变式1】解关于x 的不等式： x 2 - (a + ) x + 1 < 0(a ≠ 0) a 【答案】原不等式化为 ( x - a)( x - ①a=1或a=-1时，解集为?； 1 a ) < 0 ②当0 ，解集为：{x | a < x < } ； a a ③当a>1或 -1 1 ，解集为：{x | < x < a } 。 a a 【变式 2】解关于 x 的不等式： x 2 - (a + a 2 ) x + a 3 > 0 （ a ∈ R ） 【答案】 x 2 - (a + a 2 ) x + a 3 > 0 ? ( x - a)( x - a 2 ) > 0 当 a ＜0 或 a ＞1 时，解集为{x | x < a 或x > a 2} ； 当 a=0 时，解集为{x | x ≠ 0}； 当 0＜a ＜1 时，解集为{x | x < a 2或x > a } ； 当 a=1 时，解集为{x | x ≠ 1} ； 例5．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0。 解析：若 a=0，原不等式 ? －x+1＜0 ? x ＞1； 1 若 a ＜0，原不等式 ? x 2 - (1+ ) x + a 1 1 1 > 0 ? ( x - )( x - 1) > 0 ? x < 或 x a a a ＞1； 1 若 a ＞0，原不等式 ? x 2 - (1+ ) x + a 1 1 < 0 ? ( x - )( x - 1) < 0 ， a a 其解的情况应由 1 a 与 1 的大小关系决定，故 （1）当 a=1 时，原不等式 ? x ∈? ； 1 （2）当 a ＞1 时，原不等式 ? < x < 1 ； a （3）当 0＜a ＜1 时，原不等式 ? 1 < x < 综上所述： 1 a 当 a ＜0，解集为{x | x < 1 a 或x > 1} ； 当 a=0 时，解集为{x|x ＞1}； 1 当 0＜a ＜1 时，解集为{x |1 < x < } ； a 当 a=1 时，解集为 ? ； 当 a ＞1 时，解集为{x | 1 < x < 1} 。 a 总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数 的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏” 举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a ≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为 x = 1 ①当a>0时， 1 a , x = 2 2 若a>0，>2，即0 若a>0，＝2，即a=时，x∈R； 若a>0，<2，即a>时，x∈(-∞,] [2,+∞). ②当a<0时，则有：<2，∴x∈[，。 若a<0，△>0，即-1 -1+1+a 111 时，x∈(-∞,2] [,+∞)； a2a 11 a2 111 a2a 11 2] a a 【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0； 1 【答案】当a=0时，x∈(-∞,). 2 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，x∈( -1-1+a-1+1+a ,). a a ②a<0时， 若a<0，△<0，即a<-1时，x∈R； 若a<0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1； -1-1+a ) (,+∞)。 a a 【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0 【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}； 若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式. 方程ax2-x+1=0的判别式△=1-4a (Ⅰ△)当=1-4a<0，即a> 1 4时，方程ax2-x+1=0没有实数根， 故函数f(x)=ax2-x+1的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下： 所以，此时不等式ax2-x+1>0的解集为实数集R； (Ⅱ△)当=1-4a=0，即a= 1 4时，方程ax2-x+1=0有两个相等实数根x=2，故函数f(x)=ax2-x+1的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下： 所以，此时不等式ax2-x+1>0的解集为(-∞,2) (2,+∞)； 4时，函数 f(x)=ax2-x+1的图象开口向上， -∞, 1-1-4a??1+1-4a ? ?2a? ??2a 所以，此时不等式ax-x+1>0的解集为 ,?； ?2a2a? a<0时，原不等式解集为 , ?2a2a? 0 1 4时，原不等式解集为 ?2a? 4时，原不等式解集为 (-∞,2) (2,+∞)； a> 1 (Ⅲ△)当=1-4a>0，即a< 1 4时，方程 ax2-x+1=0有两个不等实数根 x= 1 1-1-4a 2a， x 2 = 1+1-4a 2a， ①当0 1 与x轴有两个不同的交点，且x 12 所以，此时不等式ax2-x+1>0的解集为? ? ,+∞?； ? ②当a<0时，函数f(x)=ax2-x+1的图象开口向下， 与x轴有两个不同的交点，且x>x，其简图如下： 12 ?1+1-4a1-1-4a? 2 ?综上所述： ?1+1-4a1-1-4a? ?； ? a=0时，原不等式解集为(-∞,1)； ?1-1-4a??1+1-4a -∞,? ??2a a= 1 4时，原不等式解集为实数集R. ? ,+∞?； ? 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)． (2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求． 一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，1112 3 3n n n a b a ++=+，11344 n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 3．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11 0,,22 n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4 ?? ?? ? B ．20,3 ?? ?? ? C ．30,4?? ??? D ．20,3?? ??? 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= （ ） A ．3 B ．505 C ．1010 D ．2020 6．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989 B ．46656 C ．216 D ．36 7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ） A ．3 B ．12 C ．24 D ．48 8．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35 124 a a a + +的取值范围为（ ） 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c Θ ∴223a c =，∴333 1-=e ． 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 老师多边形及其内角和经典例题透析 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 知识要点梳理 定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 ?正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类２： 多边形?非正多边形： 1、n边形的内角和等于１８0°(n－2)。 多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于3６0°。 ３、n边形的对角线条数等于1／2·n（n-3) 只用一种正多边形:3、４、6/。 镶嵌?拼成３６0度的角 只用一种非正多边形(全等):3、４。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. ?（1)多边形的一些要素: 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角。外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意:?①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数）;?②首尾顺次相连,二者缺一不可；③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间 多边形. 2、多边形的分类:?（１)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这 条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1).本章所讲的多边形都是指凸 多边形．? 凸多边形凹多边形?图1 (2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形,其中三角?形是边数最少的多边形．?知识点二：正多边形?各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释:?各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可．如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三:多边形的对角线?多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,BD为四边形ＡBＣD的一条对角线。 要点诠释: （1)从n边形一个顶点可以引（n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。?证明:过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数），又∵共有n个顶点,∴共有n(ｎ-3) 条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,∴凸n边形,共有条对角线。?知识点四：多边形的内 角和公式?1．公式:边形的内角和为． 2.公式的证明:?证法１：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形,这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为． 证法2：从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成个三角形,这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.?证法3:在边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数, 即. 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 一元一次方程经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y ＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。 解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。 举一反三： [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程： （1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。 解析：分两种情况： （1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能 综上，a的值为。 [变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B 类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1．巧凑整数解方程： 2、 思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。 解：移项，得。 合并同类项，得2x＝－1。 系数化为1，得x＝－。 举一反三： [变式]解方程：＝2x－5 解：原方程可变形为 ＝2x－5 1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= === 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方 程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距 离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x + =的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．5 3 C ． 43 D ．6 5 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 22 1(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点, 连结 AF、CE. (1)求证：△ BEC^A DFA; (2)连接AC,若CA=CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论 举一反三: 【变式1】如图，在△ ABC中，AB=AC , D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。 求证：四边形ADCE是矩形。 【变式2】已知口ABCD的对角线AC, BD相交于0, △ ABO是等边三角形，AB= 4cm , 求这个平行四边形的面积。 经典例题透析因 类型一：矩形 1. (2011山东青岛) 【变式3】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , AE 丄BD 于E ,则: (1) 图中与/ BAE 相等的角有 ___________ ； (2) ___________________________________ 若/ AOB=60。，贝U AB : BD = 图中△ DOC 是 __________________________________________ 角形(按边 分). 类型二：菱形 举一反三： 【变式1】已知如图，平行四边形 ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别 交于E 、F 。试判断四边形 AFCE 的形状并说明理由. )如图，在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC , AD 中点。 B C (2011四川雅安 (1)求证：△ ABE BA CDF 【变式4】(2011 四川自贡) 如图，在△ ABC 中， AB=BC=1，/ ABC=120 °，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转30。得△交」二一于点E , 1 -分别交 V F. 类型三：正方形||銅 3.( 2011广西玉林)如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点, 以线段AG 为边作一个正方形 AEFG,线段EB 和GD 相交于点H. (1) 求证：EB=GD; (2) 判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由 (3) 若 AB=2，AG=，求 EB 的长. 思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种， 而本题中DG, BE 分别在△ DAG 与厶AEB 中，结合正方形的性质，我们可以证明厶 DAG 与厶AEB 全等，利用全等三角形的对应边相 等来说明。研究线段的位置关系，主要是平行或相交(包括垂直相交) 。 【答案】(1)证明：在厶GAD 和厶EAB 中 / GAD=90 o+ / EAD ，/ EAB=90 o+ / EAD ???/ GAD= / EAB 又??? AG=AE , AB=AD ? △ GADEAB (1) 试判断四边形 (2) 求DE 的长. 的形状，并说明理由; 等比数列知识点总结与典型例 题-(精华版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 经典例题透析： 1．如图为反射弧模式图，下列叙述正确的是 ①若在a点上刺激，神经就发生兴奋，并从这一点向肌肉方向传播，肌肉就收缩②如果给予相同的刺激，刺激点a与肌肉之间的距离越近，肌肉的收缩就越强③神经纤维传导兴奋的大小，与刺激强弱无关，通常是恒定的④当兴奋时，神经细胞膜的离子通透性会发生急剧变化，钾离子流人细胞内⑤a处产生的兴奋不能传递给脊髓内的中间神经元 A．①②③B．①②④C．②③④D．①③⑤ 考点定位：本题综合考查有关反射弧的基础知识。 指点迷津：此图是完整的反射弧,a处为传出神经，其神经末梢连在肌肉上，和肌肉一起构成效应器，a点受刺激产生的兴奋可双向传导，向肌肉方向传导后即可引起肌肉的收缩，故①正确。给予相同的刺激，无论刺激点离肌肉更近或更远，都引起肌肉相同的收缩效果，故②错。刺激达到一定强度就产生兴奋，兴奋的幅度通常是恒定的刺激未达到一定强度，不能产生兴奋，与刺激强弱无关，故③正确。当兴奋时，神经细胞膜的通透性改变，Na+流入细胞内，故④错。a处的兴奋向中枢方向传导时，由于突触后膜向中间神经元前膜方向没有化学递质的释放，不能传导，故⑤正确。如何识别或确定传入神经和传出神经？①根据神经节判断，有神经节为传入神经，没有则为传出神经。②根据前角（大）和后角（小）判断，与前角相连的为传出神经，与后角相连的为传入神经。③根据切断刺举的方法确定，若切断神经后，刺激外周段不反应，而刺激向中段反应，则切断的为传入神经，反之则是传出神经。 参考答案D 2．下列关于兴奋传导的叙述，正确的是 A．神经纤维膜内局部电流的流动方向与兴奋传导方向一致 B．神经纤维上已兴奋的部位将恢复为静息状态的零电位 C．突触小体完成“化学信号—电信号”的转变 D．神经递质作用于突触后膜，使突触后膜产生兴奋 考点定位：本题考查关于兴奋产生和传导的基础知识。 指点迷津：兴奋在神经纤维上的传导是双向的，神经纤维膜内电流是由兴奋部位流向未兴奋部位的，二者方向一致。当神经纤维某一部位受到刺激产生兴奋时，兴奋部位就会发生一次很快的电位变化，即由静息时外正内负变为外负内正，突触小体完成电信号～化学信号的转变。神经递质作用于突触后膜，使下一神经元兴奋或抑制。 参考答案A 3．图示表示三个突触连接的神经元。现于箭头处施加强刺激，则能测到动作电位的位置是 等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n 6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 经典例题透析－---易错题 第五章相交线与平行线 1．下列判断错误的是().?A．一条线段有无数条垂线； Ｂ．过线段ＡＢ中点有且只有一条直线与线段AB垂直; C.两直线相交所成的四个角中,若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；? D.若两条直线相交，则它们互相垂直.?2．下列判断正确的是（）. Ａ.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离;? B.过直线外一点画已知直线的垂线,垂线的长度就是这点到已知直线的距离; C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； Ｄ.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短． 3．如图所示,图中共有内错角( ). ? A.２组; B.3组；Ｃ．4组； D.5组． 4.下列说法：①过两点有且只有一条直线;②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有( ). A.1个; Ｂ.２个； C.3个; D.4个.?5．如图所示,下列推理中正确的有( ）．? ①因为∠１=∠4，所以BC∥AD;②因为∠２＝∠３,所以AB∥CD； ③因为∠BCD+∠AＤＣ=1８0°,所以ＡD∥BC;④因为∠1＋∠2＋∠C=１8０°，所以ＢC∥AＤ. A.1个；Ｂ.2个；Ｃ.3个；Ｄ.４个.?6.如图所示，直线,∠1＝７０°，求∠2的度 数. ? 7.判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论.?（1）内错角相等;（2）对顶角相等;（3）画一个60°的角． 8.“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AＡ′”这句话对吗? 第六章平面直角坐标系1?.点A的坐标满足，试确定点A所在的象限 2．求点A(-3，-4）到坐标轴的距离.?? 第七章三角形?１.如图所示，钝角△ＡBC中，∠B是钝角,试作出BC边上的高AE. ２．有四条线段,长度分别为4cm,8ｃm,10cm，１2ｃｍ，选其中三条组成三角形,试问可以组成多少个三角形? 3．一个三角形的三个外角中,最多有几个角是锐角？? 4.如图所示，在△ABC中,下列说法正确的是（）. A.∠ADB＞∠ADE; Ｂ．∠AＤB＞∠1＋∠2+∠３; C.∠ADB>∠1+∠2; D.以上都对． ５.一个多边形的内角和为14４0°,求其边数. 第八章二元一次方程组 等比数列经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0， 由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0， 因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。 举一反三： 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三： 【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.双曲线专题经典练习及答案详解
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