实验5 微分方程
实验目的
1．理解方向场、积分曲线的含义
2．掌握利用软件求解微分方程的解析解的方法 3．掌握利用软件求微分方程数值解的方法 4．了解一种微分方程解的稳定性分析方法
实验准备
1．微分方程、方向场、积分曲线的定义 2．复习一阶微分方程的解法 3．复习常系数线性微分方程的解法 4．自学常微分方程的数值解法
实验内容
1．常微分方程的方向场与解曲线 2．常微分方程的解析解法 3．常微分方程的数值解法
软件命令
表5-1 Matlab 常微分方程命令
实验示例
【例5.1】微分方程的斜率场和积分曲线
画出方程2
1y y '=-的斜率场，以及积分曲线； 【原理】：
对一阶微分方程
31 / 4
00(,),()dy
f x y y x y dx
== 如果解存在，设解为0(,)y y x y =，点0(,(,))x y x y 的切线与x 轴的夹角为α，斜率为
tan (,)f x y α=。斜率场就是在平面上的每一点处的切线矢量(cos ,sin )αα或
(cos ,sin )αα-构成的矢量场，从斜率场可以大致看到过某个点00(,)x y 的解曲线的走向。
注意：方程2
1y y '=-中，2
(,)1f x y y =-：当||1y <时，夹角为锐角；当||1y >时，夹角为钝角；而1y =± 为奇解。 【步骤】：
【Step1】：确定绘制区域并划分网格； 【Step2】：计算切线矢量； 【Step3】：绘制斜率场； 【Step4】：定义微分方程；
【Step5】：选定初始值求解微分方程； 【Step6】：在同一个坐标系中绘制解曲线。 【程序】：参见Exm05Demo01.m 。 【输出】：见图5-1。
图5-1 斜率场和解曲线
【例5.2】常微分方程的解析解
（1）求方程组()()0,()4()0x t y t y t x t ''''+=-=满足条件(0)(0)0x y ==，
(0)1,(0)2x y ''==的特解。
（2）求欧拉方程3
2
3
()()2()2()t y t t y t ty t y t t '''''-+-=的通解。
【问题1】程序代码：syms x y;f='D2x+y=0,D2y-4*x=0'; [x,y]=dsolve(f,'x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2')
输出结果：x =-1/2*exp(-t)*cos(t)+1/2*exp(t)*cos(t);
y =exp(-t)*sin(t)+exp(t)*sin(t)
【问题2】程序代码：syms t y;f='t^3*D3y-t^2*D2y+2*t*Dy-2*y=t^3';y=dsolve(f) 输出结果：y =1/4*t^3+C1*t+C2*t^2+C3*t*log(t) 【例5.3】常微分方程的数值解法
（1）求方程()cos sin ()y t t y t '=+在区间[0，20]上满足条件(0)1y =的数值解，并画出数值解的图形。
（2）求解初值问题3()()4()()
()3()(0)1,(0)8x t x t x t y t y t x t x y '?=---?
'=??==-?
，并绘制斜率场及解曲线。
【步骤】：
【Step1】：单独定义微分方程； 【Step2】：利用ode 函数求解微分方程； 【Step3】：绘制解曲线。 【程序】：
【问题1】程序：参见Exm05Demo03_1.m ； 【问题2】程序：参见Exm05Demo03.m 。 【输出】：见图5-3。
05101520
1
234
问题（1）的图形
问题（2）的图形
图5-3
33 / 4
1．求解下列微分方程的解析解：
（1）求方程()2y t at '=的通解，其中a 为常数，并绘制积分曲线； （2）求方程()()
(),(1)2y t t y t t y t y '=
+=，并绘制方向场及解曲线；
（3）求方程组()()1,()()1
(0)2,(0)0
x t y t y t x t x y ''=+=+??
=-=?的特解，并绘制解曲线。
2．用欧拉法求下列微分方程的数值解，步长0.1h =： （1）2()2(),(0)0.1t
y t e
y t y -'=-=；
（2）3/2
()320.032(),(0)0y t y t y '=-=。
3．流行病的一般模型。流行病的数学模型描述如下：设有一含L 个成员的群落，其中有P 个感染个体，Q 为未感染个体。令()y t 表示时刻t 感染个体的数量。对于温和的疾病，如普通感冒，每个个体保持活性，流行病从感染者传播到未感染者。由于两组间有PQ 种可能的接触，()y t 的变化率与PQ 成正比。故该问题可以描述为初值问题：
0()()(()),(0)y t ky t L y t y y '=-=
（1）用25000,0.00003,0.2L k h ===和初值条件(0)250y =，用欧拉法求其在[0，60]内的近似解；
（2）估计平均感染个体的数目。
安徽工业大学 大学数学实验课程设计 姓名： 班级： 任课老师：
数学实验 课程设计 问题提出： 某容器盛满水后，低端直径为0d 的小孔开启（图）。根据水力学知识，当水面 高度h 时，水冲小孔中流出的速度v =(g 为重力加速度，0.6为孔口的收缩系数)。 ⑴若容器为倒圆锥形（如图1），现测得容器高和上底面直径均为1.2m ，小孔直径为3cm ，问水从小孔中流完需要多长时间；2min 水面高度是多少。 ⑵若容器为倒葫芦形（如图2），现测得容器高为1.2m ，小孔直径为3cm ，有低端（记作x=0）向上每隔0.1m 测出容器的直径D （m ）如表所示，问水从小孔中流完需要多少时间；2min 时水面的高度是多少。 图1 ： 图2： 问题分析： （1） 倒圆锥形容器流水问题中随时间t 液面高度h 也在变化，同时水的流速也 在变化，再写变化难以用普通的方程进行模拟求解，考虑建立常微分方程竟而代入数值求解。水面的直径等于液面的高度。可以建立容器中水流失的液面高度对时间t 的变化率。 假设t 时，液面的高度h ，此时水的流速流量Q 为：00.6(/4)d π ； 则 在t ?时间内液面下降高度为h ?，可得到关系式：220( )2 4 d dt h dh π = ；
由此可知水下降h ? 时需要的时间：20 40.6 4 h dh t d π π ?= = 根据此关系式知道。 （2） 在第二问中，考虑倒葫芦形容器时因为他的高度h 不同容器直径D 变化 没有规律可循，同第一题相比我们只知道他的一些数值，这就需要我们建立高度h 和容器直径D 之间的关系矩阵，然后再欧拉方程和龙格—库塔方法找出时间t 和液面高度之间的分量关系。 由（1）可同理推知：假设在时间t 时，液面高度为h ，此时流量 为 2 00.6(/4)d π；经过t ?时，液面下降h ?，若我们取的t 是在t(n)和t(n+1) 之间的某一时刻，于是就可在误差范围内得到 (1)()t n t n t +=+?；可以得 到 204 (1)()0.64 h d h dt t n t n d π π =+-=- = ； 建立模型： （1） 在试验中我们不考虑圆锥的缺省对流水的影响，以及其他外界因素和玻璃 的毛细作用，试验中水可以顺利流完。实验中重力加速度g=9.82 /m s ；倒圆锥的液面最初高度为H=1.2m ，液面直径D=1.2m=0.03，小孔的直径为 0d =0.03m ； 接上文中分析结论代入数据：即在T 时间内将1.2m 的液面高度放完， （matlab 不支持一些运算符号，故用matlab 运算格式） dt=-((pi/4)h^2*dh)/(0.6*(pi/4)*d^2*sqrt(gh))=-(h^1.5*dh)/(0.6*d^2*sqrt(g)) h 是由0→1.2m 对t 积分 用matlab 计算上式 编辑文件：a1.m ， d0=0.03; g=9.8; syms h t=(h^1.5)/(0.6*d0^2*sqrt(g)); T=int(t,0,1.2); eval(T) 运行结果： >> a1 ans =
一牛顿环的各环是否等宽?密度是否均匀?解释原因? 因为环是由空气劈上下表面反射的两束光叠加干涉形成的。劈的上表面变化在横向是不均匀的，故光程差也不是均匀变化的。所以各环是不等宽的环的密度也不是均匀的。各环不等宽，半径小的环宽，越到外边越窄，密度是不均匀的,牛顿环的半径公式是：半径r等于根号下(m+1/2)λR，其中m为环的级数。从公式可以看出，半径和环数并不是线性关系，这样环自然不均匀。计算可以知道，越往外环越密。 二牛顿环的干涉圆环是由哪两束相干光干涉产生的? 半凸透镜下表面和下底面上表面的两束反射光 三电桥由哪几部分组成?电桥平衡的条件? 由电源、开关、检流计桥臂电阻组成。 平衡条件是Rx=(R1/R2)R3 四接通电源后,检流计指针始终向一边偏转,试分析出现这种情况的原因? 指针向一侧偏转就说明发生了电子的定向移动了，这个应该没问题。 指针不偏转，有2种情况吧，其1呢是整个电路发生了断路或其他故障，还1种情况则是流过的电流太小，不足于使电表发生偏转或其偏转的角度肉眼根本看不到。 无论如何调节，检流计指针都不动，电路中可能出现故障是调节臂电阻断路或短路。。无论如何调节，检流计指针始终像一边偏而无法平衡，电路中有可能出现故障是有一个臂（非调节臂）的电阻坏了。（断路或短路） 五什么叫铁磁材料的磁滞现象? 铁磁物质经外磁场磁化到饱和以后，把磁场去掉。这些物质仍保留有剩余磁化强度。需要反方向加磁场才能把这剩余磁化强度变为零。这种现象称为铁磁的磁滞现象。也是说，铁磁材料的磁状态，不仅要看它现在所处的磁场条件；而且还要看它过去的状态。 六如何判断铁磁材料属于软.硬材料? 软磁材料的特点是：磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗小，磁滞回线呈长条状；硬磁材料的特点是：剩磁大，矫顽力也大 用光栅方程进行测量的条件是什么? 条件是一束平行光垂直射入光栅平面上，光波发生衍射，即可用光栅方程进行计算。如何实现：使用分光计，光线通过平行光管射入，当狭缝位于透镜的焦平面上时，就能使射在狭缝上的光经过透镜后成为平行光 用光栅方程进行测量,当狭缝太窄或者太宽会怎么样?为什么? 缝太窄，入射光的光强太弱，缝太宽，根据光的空间相干性可以知道，条纹的明暗对比度会下降！ 区别是，太窄了，亮纹会越来越暗，暗纹不变，直到一片黑暗！ 太宽，暗条纹会逐渐加强，明纹不变，直到一片光明！
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
小学数学教学中应注意的问题 2012年秋季，全国各地中小学开始使用修订后新课标下的人教版新教材。2014年秋季小学数学的所有年级将全部使用修订后的教材，这套教材既有继承又有创新，教材更加贴近学生生活，符合时代发展的要求，符合儿童认知水平。 一、人教版小学数学新教材的特点 （一）修订后的教材，还将具有实验教材的主要特点。 即1.各部分教学内容编排体现课程标准提倡的数学教育教学理念。如重视发展学生的数感，体现算法多样化，培养学生运算能力;提供关于物体空间关系的更丰富的内容和素材，发展学生的空间观念;加强对统计意义和作用的教学，培养学生数据分析的观念;设计内容丰富又生动有趣的综合实践活动，以利于学生积累数学活动经验，逐步形成应用意识、创新意识和解决问题能力。 2.以学生的已有经验为基础设计活动内容和学习素材，注重学生对知识的体验，获得对知识的理解。 3.教学内容的展开尽量体现知识的形成过程，为学生积累数学活动经验，学习数学思想方法提供机会。 4.注意体现自主探索、合作交流的学习方式。 5.注意体现开放性的教学方法，为教师创造性地组织教学提供丰富的资源。 6.设置“数学广角”，安排渗透数学思想方法的内容，使学生逐步学会数学思维，提高解决问题能力。 7. 结合各部分教学内容进行对学生解决问题能力的培养。 （二）通过本次修订将使教材呈现出一些新的特色。主要有： 1.根据小学生学习数学的规律，体现合理的教学顺序和节奏，更利于学生理解数学知识、形成数学能力。 根据实验教材使用中获得的对教材编排的意见和建议，新教材对每一部分内容的出现顺序、例题设置、呈现方式和习题设计等都进行认真分析，调整了部分教学内容的出现顺序和教学节奏，使之更加符合小学生学习数学的规律，更有利于学生理解数学知识、形成数学能力。例如，对一年级上下册的教学内容出现顺序进行了调整，将“位置”调到一年级上册，将“分类”调到一年级下册作为“统计”的教学内容。又如，对一些知识的具体教学也做了
实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1．列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式，并注明单位。 霍尔系数，载流子浓度，电导率，迁移率。 2．如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向，如何判断样品的导电类型？ 以根据右手螺旋定则，从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向，若测得的霍尔电压为正，则样品为P型，反之则为N型。 3．本实验为什么要用3个换向开关？ 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响，需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向，因此就需要2个换向开关；除了测量霍尔电压，还要测量A、C间的电位差，这是两个不同的测量位置，又需要1个换向开关。总之，一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1．若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，按式（5.2-5）测出的霍尔系数比实际值大还是小？要准确测定值应怎样进行？ 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定，就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交，或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2．若已知霍尔器件的性能参数，采用霍尔效应法测量一个未知磁场时，测量误差有哪些来源？ 误差来源有：测量工作电流的电流表的测量误差，测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差，测量霍尔电压的电压表的测量误差，磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态？为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定？ 答：缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮，使交流毫伏表指针指示达到最大（或晶体管电压表的示值达到最大），此时系统处于共振状态，显示共振发生的信号指示灯亮，信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置，当发射换能器S1处于共振状态时，发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处，媒质压缩形变最大，则产生的声压最大，接收换能器S2接收到的声压为最大，转变成电信号，晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置，即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定，可以容易和准确地测定波节的位置，提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的？ 答：压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力，发生机械形变时，会发生极化，同时在极化方向产生电场，这种特性称为压电效应。反之，如果在压电材料上加交
《数学实验》课程简介 课程名称：数学实验学时：32学分：2 内容简介 本课程是为经济管理学院各专业二年级学生设置的专业选修课程．数学实验课程内容涵盖了数学建模所涉及的常用方法和内容，主要围绕软件使用、数据的统计描述和分析、数值计算、最优化方法、统计分析、神经网络、灰色系统理论、模糊数学模型，几种现代算法和数学建模论文及数学建模竞赛等内容展开，模型求解利用MATLAB、L1NDO/LINGO、SPSS等软件实现，实用性较强，上述3种软件使用方便，各具特色，L1NDO/LINGO软件在解决规划和优化类问题比较简单，SPSS软件解决统计类问题功能丰富，操作方便；MATLAB软件是一种“全能”型软件，可以解决碰到的几乎所有的数学、工程、经济学等各领域的模型计算求解问题，它具有功能强大的库函数可供调用，这就大大简化了编程的巨大工作了，同时也降低了学生学习该门课程的难度．课程通过“方法—软件使用—软件结果的实际含义—实验案例”这种有效的模式，把各部分内容有机地组织起来，力求有效地引导学生充分感受、领悟和掌握“数学实验”的内涵． 本课程教学以实际问题为载体，把数学知识、数学建模、数学软件和计算机应用有机的结合，强调学生的主体地位，在老师的引导下，学习查阅文献资料、分析问题、运用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的软件分析、解决一些实际问题，并撰写论文或实验报告．本课程在解决问题的过程中适当引入相关的理论知识，使学生能够将
学到的知识直接转化为解决问题的手段，有利于激发学生学习的积极性．本课程在教学中在教学中注重加强学生建模方法的训练、建模思维的培养，使学生在思维能力和创造性方面受到启迪，同时课程强调数学工具软件的应用，培养学生运用数学知识建立实际问题模型，解决实际问题的能力，对于开展创新教育与素质教育起着重要作用．主要参考书目： 姜启源：《数学模型》，高等教育出版社，2011年版 姜启源：《数学模型习题参考解答》，高等教育出版社，2011年版 赵静，但琦：《数学建模及数学实验》，高等教育出版社(第三版)，2008年版 米尔斯切特：《数学建模方法与分析》刘来福译，机械工业出版社，2009年版 杨启帆：《数学建模》，浙江大学出版社，2006年版 曹旭东,李有文,张洪斌：《数学建模原理与方法》，高等教育出版社，2014年版 余胜威：《MATLAB数学建模经典案例实战》，清华大学出版社，2015年版 汪天飞：《数学建模与数学实验》，科学出版社，2013年版 韩中庚：《数学建模竞赛--获奖论文精选与点评》，科学出版社，2013年版 谢金星，薛毅：《优化建模LINDO/LINGO软件》，清华大学出版社，2005年版
中学数学实验教材 摘要：由算术到代数是第一个重大转折.关键在于...全套教材共分六册,第一册是代数,在...除在代数课中加强理论和论证因素以外,在...(三)教学结构应当是完整性与发展性的... 关键词：代数,性 类别：专题技术 来源：牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/f817949329.html,） 本文系牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/f817949329.html,）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/f817949329.html,）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（https://www.doczj.com/doc/f817949329.html,）不对其付相应的法律责任！
《中学数学实验教材》 网络转载 《中学数学实验教材》的编写、实验与研究 为了进一步改革中学数学教育，教育部委托北京师大牵头，会同数学所、人教社、北京师院、景山学校等单位参照美国加州大学伯克利分校项武义教授的设想从1978年11月开始编写并实验研究另一套中学数学教材——《中学数学实验教材》（以下简称《实验教材》），这套教材不在编写、实验与研究之中，现在仅对教材的内容结构、实验情况作一概述。 一、教材的指导思想和体系结构 《实验教材》的指导思想是：“精简实用，返朴归真，顺理成章，深入浅出。” “精简实用，返朴归真”是选取内容的原则。“精简实用”是个基本的指导思想，它恰当地表现了理论和实际的正确关系。由实际到理论，就是由繁到简，把实际中多样的事物、现象经过分析、综合，归纳出简单而又具有普遍性的道理。而只有精而简的理论才能用来“以简驭繁”。所以“精简实用”在科学上的意义就是要求真正具有普遍性、简明扼要的理论。要做到精简，必须抓住重点。教材中，普遍实用的基础部分，那些有普遍意义的通性、通法就是重点。数学是量科学。基础数学的对象是数、空间、函数，相应的是代数、几何、分析三个学科。这三者是各成体系但又密切联系的。中学数学课应当是这三科的恰当配合的整体，中学数学课要从这三科中精选内容。代数的重要内容有四个：①数系：有理数系、实数系、复数系，在中学阶段重点的是实数系。最普遍有用的是数系的运算律（“数系通性”）。代数方法就是有效运用运算律谋求问题的统一解决；②解代数方程；解低次方程主要用运算律，配方法，消去注。解高次方程主要是运用实数系的完备性，采用函数观点去解，要用到中间值定理、史斗姆定理；③多项式运算：主要是多项式的加、减、乘和单元多项式除法，综合除法，余式定理，辗转相除法；④待定系数法；通过它把其它的问题化为解代数方程的问题。 几何的重要内容是教导学生研习演绎法，要点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质与用法。例如等腰三角形定理的本质在于平面的轴对称，而它的基本用法则是讨论直线形的边角关系时，能够把边等转换为角等，角等转换为边等。平行四边形定理是欧氏平面具有平移的具体表现；相似三角形定理是相似形基本定理，而相似变换是欧氏平面上常用的特性；而勾股定理则是把角边关系数量化的基础。所以这三大定理可以说是欧氏平面几何的三大支柱。它们也就是把空间结构全面代数化的理论基础。用向量把几何学全面代数化，讲向量几何，解析几何及其原理，这些就是几何课的重点。 分析的重要内容除函数、极限、连续等分析学的基本概念之外，变率是要紧的概念，分析中最基本的方法是逼近法。 明确这些主要内容之后，选材就能做到精简，教学也也便于抓住重点。当然有些重要的困难的概念和方法的学习要有一个过程。不能一次完成。如函数概念、
习 题(参考答案) 2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。 (1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2 - 答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ； (3) m ＝(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ； (4) C ＝(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字 1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表： 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。 解： 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑=
标准偏差： mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差： m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ，%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3．正确写出下列表达式 （1）km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= （2）kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= （3）kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= （4）s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4．试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度，并把答案写成标准形式。
《数学实验》课程实验指导书 2006-4-29
目录 实验一、微积分基础 3实验二、怎样计算 5实验三、最佳分数近似值 6实验四、数列与级数 7实验五、素数 8实验六、概率 9实验七、几何变换 11实验八、天体运动 13实验九、迭代（一）——方程求解 15实验十、寻优 16实验十一、最速降线 18实验十二、迭代（二）——分形 20实验十三、迭代（三）——混沌 21实验十四、密码 22实验十五、初等几何定理的机器证明 23附表（实验报告） 24
实验一、微积分基础 一、实验目的及意义：1、熟悉Mathematic软件常见函数图形 2、通过作图，进一步加深对函数的理解，观察函数的性质 3、构造函数自变量与因变量的对应表，观察函数的变化。 二、实验内容： 1．1函数及其图象 1．2数e 1．3 积分与自然对数 1．4调和数列 1．5双曲函数 三、实验步骤 1.开启软件平台——Mathematics ，开启Mathematics编辑窗口； 2.根据各种问题编写程序文件 3.保存文件并运行； 4.观察运行结果(数值或图形)； 5.根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会 四、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会） 1、1函数及图形 (1)在区间[-0.1,0.1]上作出 y = sin(x)/x 的图象,观察图象在 x = 0 附近的形状 (2)在同一坐标系内作出函数y = sin(x) 和它的展开式的前几构成的多项式函数y = x-x^3/3!,y = x-x^3/3!+x^5/5! . . . 的图象,观察这些多项式函数图象对 y = sin x 的图象逼近的情况. (3)分别取n =10,20,画出函数 y = sin(2k-1)x/(2k-1),k=1,2,...,n求和} 在区间[-3PI,3PI]上的图象.当N 趋向无穷时函数趋向什麽函数? (4)别取n = 5,10,15, 在同一坐标系内作出函数f(x) = sin x 与p(x) = x * (1-x^2/PI^2)*(1-x^2/(2^2*PI^2))*...*(1-x^2/n^2*PI^2))在区间[-2PI,2PI]上的图象,观察 p(x) 图象对 y = sin x的图象逼近的情况. 1、2数e 观察当n趋于无穷大时数列a n=(1+1/n)n和A n=(1+1/n)n+1的变化趋势: （1）n=10m,m=1,2,. . . ,7时的值,a n,A n观察变化趋势. （2）在同一坐标系内作出三个函数地图象y=(1+1/10x)10^x , y=(1+1/10x)10^x , y=e观察当 x 增大时
数学实验答案 Chapter 1 Page20,ex1 (5) 等于[exp(1),exp(2);exp(3),exp(4)] (7) 3=1*3, 8=2*4 (8) a为各列最小值，b为最小值所在的行号 (10) 1>=4,false, 2>=3,false, 3>=2, ture, 4>=1,ture (11) 答案表明：编址第2元素满足不等式(30>=20)和编址第4元素满足不等式(40>=10) (12) 答案表明：编址第2行第1列元素满足不等式(30>=20)和编址第2行第2列元素满足不等式(40>=10) Page20, ex2 (1)a, b, c的值尽管都是1，但数据类型分别为数值，字符，逻辑，注意a与c相等，但他们不等于b (2)double(fun)输出的分别是字符a,b,s,(,x,)的ASCII码 Page20,ex3 >> r=2;p=0.5;n=12; >> T=log(r)/n/log(1+0.01*p) Page20,ex4 >> x=-2:0.05:2;f=x.^4-2.^x; >> [fmin,min_index]=min(f) 最小值最小值点编址 >> x(min_index) ans = 0.6500 最小值点 >> [f1,x1_index]=min(abs(f)) 求近似根--绝对值最小的点 f1 = 0.0328 x1_index = 24 >> x(x1_index) ans = -0.8500 >> x(x1_index)=[];f=x.^4-2.^x; 删去绝对值最小的点以求函数绝对值次小的点 >> [f2,x2_index]=min(abs(f)) 求另一近似根--函数绝对值次小的点 f2 = 0.0630 x2_index = 65 >> x(x2_index) ans = 1.2500
大学物理实验课后答 案
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求？设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是 1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为0.5mm，其相对误差为 0.25％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变?
答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径？其原理和方法如何？ 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件？ 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（632.8*10^-9）=3.164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3.1*10^-10 所以Lλ< 实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。 【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数z = 在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。 【程序】： clear syms u v; c=4.0; a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1; x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】 图6-2 Mobius 带 【例6.4】 画出上半球面 2222(1)x y z r ++-=与圆锥面2222()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。 【步骤】： 【Step1】：写出它们的参数方程 上半球面参数方程：2sin cos sin sin [0,],[0,2] 1cos x r v u y r v u v u z r v ππ=?? =∈∈??=+?； 圆锥面参数方程：sin cos ,[0,2],[0,1]x y z ρθρθθπρρ=?? =∈∈??=? 【Step2】：绘制上半球面 Clear;clc;r=2/3;a1=0;a2=2*pi;b1=0;b2=pi/2;n1=40;n2=20; %准备上半球面数据 [u,v]=meshgrid(linspace(a1,a2,n1),linspace(b1,b2,n2)); x=r*sin(v).*cos(u);y=r*sin(v).*sin(u);z=1+r*cos(v); 【Step3】：绘制圆锥面 [t,s]=meshgrid(linspace(0,2*pi,20),linspace(0,1,20)); x1=s.*sin(t);y1=s.*cos(t);z1=s;surf(x1,y1,z1); 【Step4】：绘制xoy 平面内的投影：只需要球面的投影即可 z2=zeros(size(u));mesh(x,y,z2); 【Step5】：绘制曲面在y=1内的投影 y3=zeros(size(u))+1; y4=zeros(size(t))+1;% 球面、锥面 mesh(x,y3,z);mesh(x1,y4,z1); 【输出图形】： （1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求？设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为0.5mm，其相对误差为 0.25％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变? 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径？其原理和方法如何？ 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件？ 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（632.8*10^-9）=3.164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3.1*10^-10 所以Lλ< 1. 统计推断（实验12）—区间估计、假设检验 [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha); %%正态分布检验 [ht,sigt,cit]=ttest(x,mu); %%t 检验 [hz,sigz,ciz,zval]=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail); %%z 检验 tail 默认为0 ① P297第2题：（1）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性； 编程：x1=[]; x2=[]; alpha=0.05; [mu1,sigma1,muci1,sigmaci1]=normfit(x1,alpha) %%一月份的均值和标准差以及其置信区间 [mu2,sigma2,muci2,sigmaci2]=normfit(x2,alpha) %%二月份的均值和标准差以及其置信区间 运行结果： （1月）mu1 =115.1500； sigma1 =3.8699； muci1 =113.3388 116.9612； sigmaci1 = 2.9430 5.6523 （2月）mu2 =120.7500； sigma2 =3.7116 muci2 =119.0129 122.4871； sigmaci2 =2.8227 5.4211 （2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间（05.0=α）； 编程：x1=[]; x2=[]; mu=115; alpha=0.05; [h1,sigma1,ci1]=ttest(x1,mu,alpha,0) %%一月份汽油价格的置信区间 [h2,sigma2,ci2]=ttest(x2,mu,alpha,0) %%二月份汽油价格的置信区间 运行结果：（1月）h1 =0； sigma1 =0.8642； ci1 =113.3388 116.9612 （2月）h2 =1； sigma2 =1.3241e-006； ci2 =119.0129 122.4871 （3）如何给出1月和2月汽油价格差的置信区间（05.0=α） 编程：x1=[]; x2=[]; alpha=0.05; [h1,sigma1,ci1]=normfit(x2-x1,alpha) %数据看成同一个加油的数据，其价格差和置信区间 [h2,sigma2,ci2]=ttest(x2,x1,alpha,0) %数据完全随机时，用总体的t 分布检验 运行结果：h1 = 5.6000； sigma1 =5.4715； ci1 =3.0393 8.1607 h2 =1； sigma2 =2.0582e-004； ci2 =3.0393 8.1607 结果分析：根据运行结果，我们可以知道数据完全随机时，用t 分布检验获得的结果更为合理准确。 ②第5题P297：分析：这里一件产品只有合格和不合格之分，用X=0表示合格品，X=1表示废品，可以说总体服从0-1分布，由题意得，合格率为90%，则废品率为10%，)1(2 p p p X -==σμ，方差的期望 双方的置信概率为95%，alpha=1-95%=0.05. 虽然X 不服从正态分布，但根据概率论中心极限定理，党样本容量充分大时，对样本均值 x 有，，,近似的服从)1,0(N ，由此可对总体废品率p 作如下的假设检验： . ,:0100p p H p p H ≠>≤这时应作单侧检验，取)1,0(N 的1-alpha 分位数alpha u -1，设样本的废品 率为 x ， n p p x z /)01(0--= μ，满足 alpha u z -≤1时接受 H ；否则拒绝 ) (10H H 接受 编程：n=50; %样本容量 x=7/n; %样本废品率 p0=1-0.9; %样本废品率期望 数学实验教材（一年级上）的优缺点 人教社小学数学实验教材（一年级上）的优缺点 高密市教科院张军 一实小一年级数学组 一、优点 1、调整了教学内容，为学习数学提供了更丰富的知识。（1）增加了"比 一比"、"分类"内容。（2）充实了认识图形的内容。先认识立体图形引出平面图形，并体验它们之间的联系与区别。（3）增加了认识钟表，让学生直观地认识整时、半时。（4）把"10 以内各数的认识和加减法" 分成了"1--5 的认识和加减法"和"6--10 的认识和加减法"。（5）各单元初 步渗透了统计、数据整理内容。 2、内容的呈献体现了儿童的已有缀和兴趣特点，提供了丰富的与儿童生活有关的素材。图文并茂，版式多样，风格活泼，色彩明丽，能吸引学生阅读，激发学习兴趣。如第6页的"小白兔盖房子"、第96 页的" 在运动场上" 等等。 3、重视学生对数的概念的理解，让学生体会数可以用来表示和交流，初步 建立数感。增加了"生活中的数"，如教科书的第46 页、第57 页。 4、计算教学体现算法多样化，允许学生采用自己认为合适的方法进行计算，如：20 以内进位加法中的9+5=（），可以用数数的方法：9、10、11、12、13、14；可以把9 凑成10；还可以把 5 凑成10。并且"凑十法"降低要求，不再写出思考过程。 5、把旧教材的枯燥的文字叙述的"应用题"的内容，变为"用数学"的内容，改变成一幅幅色彩鲜艳的图画，这样具有趣味性，使学生在欣赏图画中学习新知识。 6、体现了教学方法的开放性、创造性，为老师组织教学提供了丰富的资源。如教科书第39 页"根据不同的标准分类"，呈现了三种不同的分类方法，后面提出了一人问题：" 还可以怎样分？"使老师可以创造性的教学。 7、教材的"新" （1）"新"在体现教育观念上，按照以学生的发展为本的数学教育观，坚持确立学生的主体地位，让学生自己去探索。教材安排了 "做一做"、"数学乐园"等栏目，引导学生进行自主性的学习活动，让学生去观察、操作、实验、推理，在积极思考与合作交流中，在获得良好的情感体验的同时，也获取知识，培养能力，积累学习方法。 教材内容与现实生活紧密结合，这也是新的教学观念的体现。如在学习第几的时候，课本出示了一幅排队买票的情景图，并让学生指出谁排在第几。 《误差理论》作业参考答案 1、（1）±0.05cm 或 ±0.5mm （2） ±0.01cm 或 ±0.1mm （3） ±（4） ±0.2℃（5）± 2、（1）2位 （2）7位（3）5位（4）6位（5）5位（6）2位 3、(1) 299300=510?；983±4=()21004.083.9?±；=310-? ±()310001.0521.4-?±；32476510?=910?； (2) g =mg 410?=Kg 210-? (3) m =±Kg =±510?g =±mg 810? (4) =t ±S =±min =±×10-1 min 4、（1）N=±cm （2）首位数码“0”不是有效数字，未位数码“0”是有效数字，正确答案是四位有效数字。 （3）28cm =mm 210? 280mm =cm （4）L=（±）mm 410? （5）?≈（6） 31010.460.1160.121500 400?≈?? 5、（1）X =81+++++++=8 1 ? =4.154cm X ?= {() 1881-? [ 2 2 22 2 22 2 2 1 ≈～０.009cm X =X ±x ?=±0.009cm 或 X =X ±x ?=±0.01cm E = 154 .4009.0?100%=% 或 E =15.401 .0?100% =% 注：使用计算器时计算过程中有效数字的位数可以不考虑，最后结果应按照教材P6的“不确定度 取位规则”和“测量有效数字取位规则”。 (2)、X = 61（+++++）=6 413 .17=2.902167cm X ?= {() 1661 -?2 + 2+ 2+2+ 2+ 2 } 2 1 = 30 000017 .0≈0.0008cm X ±x ?=±0.0008cm E = 9022 .20008 .0?100%=% 大学物理实验模拟试题一 一、填空题（总分42分，每空1分） 1． 测量结果的有效数字的位数由 和 共同决定。 2． 50分度的游标卡尺，其仪器误差为 。 3． 量程为10mA 电流表，其等级为1.0，当读数为6. 5mA 时，它的最大误差为 。 4． 不确定度σ表示 。 5． lg35.4= 。 6． 在分光计实验中，望远镜的调节用的是 法。 7． S 是表示多次测量中每次测量值的 程度，它随测量次数n 的增加变化很 ，N S 表示 偏离真值的多少，它随测量次数n 的增加变化很 。 8． 在杨氏模量实验中，若望远镜的叉丝不清楚，应调节望远镜 的焦距，若观察到的标尺像不清楚则应调节望远镜 的焦距。钢丝的伸长量用 法来测定。 9． 计算标准偏差我们用 法，其计算公式为 。 10．表示测量数据离散程度的是 精密度 ，它属于 偶然 误差，用 误差（偏差）来描述它比较合适。 11．用20分度的游标卡尺测长度，刚好为15mm,应记为 mm 。 12．根据获得测量结果的不同方法，测量可分为 测量和 测量；根据测量的条件不同，可分为 测量和 测量。 13．电势差计实验中，热电偶的电动势与温差的关系为 关系，可用 法、 法和 法来求得经验方程。 14．789.30×50÷0.100= 。 15．10.1÷4.178= 。 16．2252= 。 17．用分光仪测得一角度为300，分光仪的最小分度为1，，测量的结果为 。 18．对于连续读数的仪器，如米尺、螺旋测微计等，就以 作为仪器误差。 19．分光计测角度时由于度盘偏心引起的测量角度误差按正弦规律变化，这是 误差。 20．在示波器内部，同步、扫描系统的功能是获得 电压信号，这种电压信号加在 偏转板上，可使光点匀速地沿X 方向从左向右作周期性运动。 21．系统误差有 确定性 的特点，偶然误差有 随机性 的特点。 22．在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加上 位可疑数字，便组成了有效数字。 23．在进行十进制单位换算时，有效数字的位数 。 24．静电场模拟实验应用了 法，它利用了静电场和 的相似性。 二、单项和多项选择题（总分30分,每题3分） 1． 下列测量结果正确的表达式是： A ．L=23.68＋0.03m B ．I=4.091＋0.100mA C ．T=12.563＋0.01s D ．Y=(1.67＋0.15)×1011P a ２．在下面的李萨如图中，如果在X 轴方向信号的频率是100Hz ，那么在Y 轴方向信号的频率是：数学实验教程实验6(空间曲线与曲面)
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