数学实验常微分方程

实验六 常微分方程的Matlab 解法

一、实验目的

1． 了解常微分方程的解析解。

2． 了解常微分方程的数值解。

3． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

二、实验内容

一根长l 的无弹性细线，一段固定，另一端悬挂一个质量为m 的小球，在重力的作用下小球处于垂直的平衡位置。若使小球偏离平衡位置一个角度θ，让它自由，它就会沿圆弧摆动。在不考虑空气阻力的情况下，小球会做一定周期的简谐运动。利用牛顿第二定律得到如 下的微分方程

0)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml

问该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？

三、实验准备

MATLAB 中主要用dsolve 求符号解析解，ode45,ode23,ode15s 求数值解。

ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用。ode23与ode45类似，只是精度低一些。ode12s 用来求解刚性方程组，是用格式同ode45。可以用help dsolve, help ode45查阅有关这些命令的详细信息.

四、实验方法与步骤

练习1 求下列微分方程的解析解

（1）b ay y +='

（2）1)0(',0)0(,)2sin(''==-=y y y x y

（3）1)0(',1)0(',','==-=+=g f f g g g f f

方程（1）求解的MATLAB 代码为：

clear;

s=dsolve('Dy=a*y+b')

结果为

s =-b/a+exp(a*t)*C1

方程（2）求解的MATLAB 代码为：

clear;

s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')

simplify(s) %以最简形式显示s

结果为

s =(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)

ans =-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)

方程（3）求解的MATLAB 代码为：

clear;

s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1')

simplify(s.f) %s 是一个结构

simplify(s.g)

结果为

ans =exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)

ans =-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)

练习２ 求解微分方程

,1)0(,1'=++-=y t y y

先求解析解，再求数值解，并进行比较。由

clear;

s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')

simplify(s)

可得解析解为t e t y -+=。下面再求其数值解，先编写M 文件fun8.m

%M 函数fun8.m

function f=fun8(t,y)

f=-y+t+1;

再用命令

clear; close; t=0:0.1:1;

y=t+exp(-t); plot(t,y); %化解析解的图形

hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起

[t,y]=ode45('fun8',[0,1],1);

plot(t,y,'ro'); %画数值解图形，用红色小圈画

xlabel('t'),ylabel('y')

结果见图6.7.1

图6.7.1 解析解与数值解

由图7.1可见，解析解和数值解吻合得很好。

下面我们讨论实验引例中的单摆问题.

练习3 求方程

0)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml

的数值解.不妨取15)0(,8.9,1===θg l .则上面方程可化为

0)0(',15)0(,sin 8.9"===θθθθ

先看看有没有解析解.运行MATLAB 代码

clear;

s=dsolve('D2y=9.8*sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t')

simplify(s)

知原方程没有解析解.下面求数值解.令',21θθ==y y 可将原方程化为如下方程组

?????====0)0(,15)0()

sin(8.9''2

1122

1y y y y

y y

建立M 文件fun9.m 如下

%M 文件fun9.m

function f=fun9(t,y)

f=[y(2), 9.8*sin(y(1))]'; %f 向量必须为一列向量

运行MATLAB 代码

clear; close;

[t,y]=ode45('fun9',[0,10],[15,0]);

plot(t,y(:,1)); %画θ随时间变化图,y(:2)则表示'θ的值

xlabel('t'),ylabel('y1')

结果见图6.7.2

图6.7.2 数值解

由图6.7.2可见，θ随时间t 周期变化。

练习4 (刚性方程组求解)求下面刚性微分方程的解

?????==-=--=1)0(,2)0(,

100'99.9901.0'21

22211y y y y y y y 使用dsolve 可知解析解为

)100ex p(),

100ex p()01.0ex p(21t y t t y -=-+-=

下面求数值解. 建立M 文件fun10.m 如下

%M 文件fun10.m

function f=fun10(t,y) f=[-0.01*y(1)-99.99*y(2), -100*y(2)]';

运行MATLAB 代码

clear; close;

[t,y]=ode45('fun10',[0,10],[2,1]);

plot(t,y); text(1,1.1,'y1'); text(1,0.1,'y2');

xlabel('t'),ylabel('y')

结果见图6.7.3

图6.7.3 数值解

图6.7.3给人的感觉似乎是1y 始终大于0.5.但由21,y y 的解析解可知,当∞→t 时,两个分量21,y y 均趋于0.2y 下降极快,0001.0)1.0(2

6.7.4).若用

clear; close;

[t,y]=ode45('fun10',[0,400],[2,1]);

tstep=length(t) %求计算总步数

minh=min(diff(t)) %最小步长

maxh=max(diff(t)) %最大步长

结果为

tstep =48261

minh =5.0238e-004

maxh =0.0102

可见计算太慢,t 需要48261步才能到达400.一方面,由于2y 下降太快,为了保证数值稳定性,步长h 须足够小;另一方面,由于1y 下降太慢,为了反映解的完整性,时间区间须足够长,这就造成计算量太大.这类方程称为刚性方程或病态方程.ode45不适用于病态方程,下面我们用ode15s 求解.

clear; close;

[t,y]=ode15s('fun10',[0,400],[2,1]);

plot(t,y); text(100,0.5,'y1'); text(1,0.1,'y2');

xlabel('t'),ylabel('y')

tstep=length(t)

minh=min(diff(t))

maxh=max(diff(t))

结果为

tstep = 92

minh =3.5777e-004

maxh =32.1282

可见只需92步,最大步长为32,速度快了约500倍.函数图形见图6.7.4.

图6.7.4 数值解

练习5 (Lorenz 吸引子) 求常微分方程

?????????+-=--=+-=xy

z dt dz

xz y x dt

dy y

x dt dx

38

281010

的数值解,初值取1)0()0()0(===z y x . 先建立M 文件Lorenzf.m 如下

%M 文件Lorenzf.m

function f=lorenzf(t,x)

sig=10;bet=8/3;rho=28;

f=[sig*(x(2)-x(1)),x(1).*(rho-x(3))-x(2),x(1).*x(2)-bet*x(3)]; f=f(:);

运行MATLAB 代码

clear; close;

[t,y]=ode45('Lorenzf',[0,100],[1,1,1]);

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3));

xlabel x;ylabel y;zlabel z;

运行结果如图6.7.5.

x

y z

图6.7.5 Lorenz 吸引子

实验作业

1．求下列微分方程的解析解

(1) 一阶线性方程2'3=-y x y

(2) 贝努利方程0'2=--y xy y

(3) 高阶线性齐次方程02'3"'"=+--y y y y

(4) 高阶线性非齐次方程x y y y sin 32'3"=+-

2．求方程

3)0(',1)0(,'2")1(2===+y y xy y x

的解析解和数值解,并进行比较

3．分别用ode45和ode15s 求解Van-del-Pol 方程

()

?????===---1)0',0)0(0)1(1000222x x x

dt dx

x dt x

d

的数值解,并进行比较.

4. （Rosseler 吸引子）用ode45数值求解方程

?????????-+=+=+-=)()

(c x z b dt

dz ay

x dt

dy z y dt dx 其中初值取8)0(,3)0(,2)0(===z y x ，参数7.5,2.0,2.0===c b a . 阅读资料

我国微分方程界的先辈申又枨教授

申又枨，数学家、数学教育家。从事函数论及微分方程的研究。主要成就涉及复变函数的插值理论。是在新中国建立微分方程学科研究的创始人之一。

申又枨，1901年6月13日生于山西高平鼓楼。原名申祖佑，曾用名申幼声。后来由父亲改名为申又枨，其寓意是：在春秋战国时孔夫子的七十二个得意门生中有一位是山西人，名叫申又枨。父亲申声之，母亲李氏；夫人余嘉傲，生于1904年9月13日，曾任天津河北女子师范学院体育教师。长女申荔旋，次女申蔼旋，子申同健。

生平

1922至1926年在南开大学学习，一年级时是化学系学生，因对数学感兴趣，从二年级开始转到数学系学习；毕业后于1926至1927年期间在南开中学教书；申又枨于1927至1931年期间为南开大学助教；接着，于1931至1934年去哈佛大学数学系攻读博士学位，并在1935年得博士学位；1934至1935年在南开大学教书；

1935年应江泽涵教授的邀请，到北京大学数学系教书。抗日战争爆发后，随校共赴国难到昆明，是西南联大的教授。1945年抗战胜利后，随北京大学师生回到北平。在1947 至1949年期间，申又枨是北京大学数学系的代理系主任。1951 年他应邀去沈阳东北工学院数学系访问和工作。在1952年全国高等学校院系调整时，马寅初校长点名调申又枨教授回北大执教，并于1953年出任微分方程教研室首届主任，直到1978年4月22日逝世。

申又枨的一生经历了78个春秋，正逢中国历史多变的动荡时期，从封建的满清皇朝到军阀混战到中华民国，从抗日救亡运动到解放战争，从中华人民共和国的成立到社会主义的建设，从“文化大革命”的动乱到“四人帮”的覆灭，其中先生的许多喜怒哀乐犹如空中烟云俱往矣，惟倾心的事业及其献身精神将有传于世。 个人经历

1901年6月13日 出生于山西省高平鼓楼。

1922年8月-1926年7月 在天津南开大学学习。

1926年8月-1927年7月 在天津南开中学任教。

1927年8月-1931年7月在天津南开大学任教。

1931年8月-1934年7月在美国哈佛大学攻读数学博士。

1934年8月-1935年7月在天津南开大学任教。

1935年8月-1945年在西南联合大学任教。

1946年-1978年在北京大学任教。

主要成就

新中国微分方程学科的先驱

中华人民共和国成立之初，在党中央的号召下，当时知识分子全面学习苏联，把《理论联系实际》作为重要的学术标准，而且认真探索新路。当时数学界从苏联的经验中看到，微分方程和概率统计是数学联系实际的两大触角。这样，在全国高等学校院系调整后，北京大学先后于1953年和1955年设立了微分方程教研室和概率论教研室，并由系主任段学复邀请申又枨教授和许宝教授分别出任教研室主任。

其时，申又枨教授原来的研究方向是复变函数的插值理论，其中也涉及一些由微分方程定义的特殊函数。在解放前，他已经有意于对数学物理方程（或一些特殊的微分方程）的研究，曾打算研究空气动力学中超音速机翼的振动问题。这次被任命为微分方程教研室主任，他不辱使命，致力于教书育人的工作。

他在其职，谋其事，为教研室的发展而操劳。首先是帮助年轻教师提高教学水平，为此教研室从1953年开始同时举办了两个读书班：常微分方程方面攻读俄文版的斯捷潘诺夫的《微分方程教程》，而偏微分方程方面则是俄文版的吉洪诺夫的《数学物理方程》。这是大学本科二三年级的两本教科书，但当时对一些“提前毕业”的年轻助教而言，其中也有难点。例如，微分方程的解关于初值的可微性定理包含着不易理解的分析推导；又如，数理方程的波动理论涉及并不简单的物理概念，等等。申先生对我们的问题总是耐心听取，并且一起讨论，帮助解决。当不能立刻解答时，他就把问题带回家，在精心准备以后，再向我们作详细的讲解。这里不单是问题的解答，通常还带着学习方法的启示。

为祖国的数学发展默默奉献

1）申又枨教授在东北工学院教书期间（1950至1951学年）曾去哈尔滨访问。也许是地理位置的关系，哈尔滨是中华人民共和国成立后最早有俄文书店的城市。申又枨喜欢逛那里的书店，在一次偶然的浏览中发现了有两本使他爱不释手的俄文书。一本是B.涅梅茨基和B.斯捷潘诺夫的《微分方程定性理论》，另一本是索伯列夫的《泛函分析》，它们对当时的中国数学界还是陌生的著作。申又枨购买回沈阳后，就组织朋友把它们分别译成中文出版。后来，这两个中译本在国内成了流行的读物。事实上，申又枨教授非常重视数学新分支的萌芽。

2）1954年申又枨教授受国家教育部的委托，在北京大学举办了面向全国的暑期讲习班，为各地高等院校培训常微分方程和数学物理方程基础课的师资。常微分方程

和数理方程的课程大纲分别由申又枨教授和吴新谋教授主持制定。这在中国数学界属于最早的暑期讲习班之一。听讲者十分踊跃，挤满了北京大学第一教学楼的大教室，其中既有风华正茂的年轻人，也有白发苍苍的老教师，在炎热的夏天他们求知若渴。主讲者除资深教授申又枨、吴新谋和彭桓武外，还有年轻讲师谷超豪和叶彦谦等，他们也都怀着光荣的使命感，为国家培养急需的教学人才而不遗余力，其实当时的苏联教材刚引进新中国，他们也是边学边讲。教员与学员齐心合力，学习气氛非常浓厚，讲习班是名符其实，达到了预期的目的。

主要论著

一）Shen, Yu-cheng. Thesis, Harvard University 1936年 .

二）Shen, Yu-cheng. Interpolation to certain analytic functions by rational functions 1946年 .

三）Shen Yu-cheng. Interpolation to some calsses of analytic functions by rational functions with pre-assigned poles 1947年.

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

2016春作业实验(1)常微分方程

1. 分别用Euler 法和ode45解下列常微分方程并与解析解比较： (1) ,(0)1, 03y x y y x '=+=<< function [ t,y ] = euler(f,ts,y0,h) t=ts(1):h:ts(2); y(1)=y0; for i=1:length(t)-1 y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); end t=t'; y=y'; end f=(t,y)t+y; [t1,y1]=euler(f,[0,3],1,0.05); [t2,y2]=ode45(f,[0,3],1); plot(t1,y1,'.-',t2,y2,'ro') hold on y3=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') ezplot(y3,[0,3]) hold off legend('euler','ode45','解析解');

（2）22()5()3()45,(0)2,(0)1, 02t x t x t x t e x x t ''''--===<< f=(t,x)[2*x(2);5*x(2)+3*x(1)+45*exp(2*t)]; [t1,y1]=ode45(f,[0,2],[2,1]); plot(t1,y1)

2. 求一通过原点的曲线，它在(,)x y 处的切线斜率等于2 2,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1.58，1.60会发生什么？ function dy = odefun_2(x,y) dy=2*x+y^2; dy=dy(:); end

[t1,y]=ode45('odefun_2',[0,1.58],0) plot(t1,y); [t2,y]=ode45('odefun_2',[0,1.60],0) plot(t2,y);

常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x

考研数学微分方程考点和常考题型分析

考研数学：微分方程考点和常考题型分析 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。 1、考试内容 (1)常微分方程的基本概念;(2)变量可分离的微分方程;(3)齐次微分方程;(4)一阶线性微分方程;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程;(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程;(7)可降阶的高阶微分方程;(8)线性微分方程解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性微分方程;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;(12)欧拉(Euler)方程;(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。 2、考试要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法;(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程;(4)会用降阶法解下列形式的微分方程;(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构;(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;(8)会解欧拉方程;(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题. 3、常考题型 (1)变量可分离、齐次微分方程、一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解;(2)可降阶的高阶微分方程的求解(数一、数二要求掌握，数三不要求掌握);(3)全微分方程和欧拉方程的求解(数一要求掌握，数二、数三不要求掌握);(4)线性微分方程解得结构;(5)微分方程相关的综合问题。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

(整理)实验五用matlab求解常微分方程.

实验五 用matlab 求解常微分方程 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为 ) ()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数 n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1 +=y dt dy 可化为 dt y dy =+1,两边积分可得通解为 1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程 ),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设 ) 1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组 ?????????====-),,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。 3．微分方程的数值解法 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题 ?? ?=<<=000)()),(,()('y t y t t t t y t f t y f

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy +2x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2 e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =2 1y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝222y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0

(2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =2 2y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37

考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

实验七 常微分方程

实验七 常微分方程 【实验目的】 1． 了解常微分方程的基本概念。 2． 了解常微分方程的解析解。 3． 了解常微分方程的数值解。 4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。 【实验内容】 如右图所示，一根长l 的无弹性细线，一段固定，另一端悬挂一个 质量为m 的小球，在重力的作用下小球处于垂直的平衡位置。若使小球 偏离平衡位置一个角度θ，让它自由，它就会沿圆弧摆动。在不考虑空气 阻力的情况下，小球会做一定周期的简谐运动。利用牛顿第二定律得到如 下的微分方程 0)0(',)0(,sin "0===θθθθθmg ml 问该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？ 【实验准备】 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为 )()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数或定常、自治、时不变的。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程 1+=y dt dy 可化为dt y dy =+1 ,两边积分可得通解为1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解(显式解). 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶场微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程， ),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设)1(21 ,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组 ????? ????====-) ,,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y

考研数学三对微分方程的考查

考研数学三对微分方程的考查 微分方程是考研数学一个重要但是很基础的一部分内容，这部分考题特点就是简单，只需正确的识别方程类型，然后按照固定的方法去解题就可以了，所以关键在识别二字上，这也提示2016的考生，只要把基础知识学好，得分是很简单的。 数三对微分方程的考查分如下几类：1、可分离变量的微分方程;2、齐次微分方程;3、一阶线性微分方程;4、二阶常系数微分方程;5、差分方程。其中，差分方程是数三特有的考点，在求解方法上与二阶常系数线性微分方程类似，偶有考查，只需记忆齐次差分方程通解的求法及非齐次差分方程特解的设法即可。 下面把2015年考研数学三中有关微分方程的考题分析如下。 二阶常系数齐次线性微分方程 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分 2015考研数学三微积分 打好基础，做好基本题型的练习是考研数学制胜法宝。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。 方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。 2.分配好各门课程的复习时间。 一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。 方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y `＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy -

14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37

考研数学三不考的部分[最全]

高等数学不用看的部分： 第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的 函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140 页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第 213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第 三节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例 如第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章； 第261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节 线性代数不用看的部分： 第102页第五节 概率论与数理统计要考的部分 ：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计 注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。上述内容是根据文都发放的教材编的。 《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天） 标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。 第一章函数与极限 第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余） 第二节数列的极限（☆） 第三节函数的极限（☆） 第四节无穷小与无穷大（★） 第五节极限运算法则（★） 第六节极限存在准则（★） 第七节无穷小的比较（★） 第八节函数的连续性与间断点（★） 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★） 第十节闭区间上连续函数的性质（★） 总习题 第二章导数与微分 第一节导数概念（★） 第二节函数的求导法则（★） 第三节高阶导数（★） 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★） 第五节函数的微分（★） 总习题二 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西） 第二节洛必达法则（★） 第三节泰勒公式（☆）

2016春 作业 实验1常微分方程

1、 分别用Euler 法与ode45解下列常微分方程并与解析解比较: (1) ,(0)1, 03y x y y x '=+=<< function [ t,y ] = euler(f,ts,y0,h) t=ts(1):h:ts(2); y(1)=y0; for i=1:length(t)-1 y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); end t=t'; y=y'; end f=@(t,y)t+y; [t1,y1]=euler(f,[0,3],1,0、05); [t2,y2]=ode45(f,[0,3],1); plot(t1,y1,'、-',t2,y2,'ro') hold on y3=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x') ezplot(y3,[0,3]) hold off legend('euler','ode45','解析解');

（2）22()5()3()45,(0)2,(0)1, 02t x t x t x t e x x t ''''--===<< f=@(t,x)[2*x(2);5*x(2)+3*x(1)+45*exp(2*t)]; [t1,y1]=ode45(f,[0,2],[2,1]); plot(t1,y1)

2. 求一通过原点的曲线,它在(,)x y 处的切线斜率等于2 2,0 1.57.x y x +<<若x 上限增为1、58,1、60会发生什么？ function dy = odefun_2(x,y) dy=2*x+y^2; dy=dy(:); end

[t1,y]=ode45('odefun_2',[0,1、58],0) plot(t1,y); [t2,y]=ode45('odefun_2',[0,1、60],0) plot(t2,y);

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编4.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限． （A）不存在 （B）等于1 （C）等于2 （D）等于3 2 (03年)已知是微分方程的表达式为 3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为 （A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)． （B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)． （C）y*=(ax2+bx+c+Asinx． （D）y*=ax2+bx+c+Acosx． 4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是 （A）y"一y’一2y=3xe x．

（B）y"-y’一2y=3e x． （C）y”+y’一2y=3xe x． （D）y"+y'-2y=3e x． 5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是 （A）y"'+y"-4y’-4y=0． （B）y"'+y"+4y’+4y=0． （C）y"'一y”一4y’+4y=0． （D）y"'-y"+4y’一4y=0． 6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则 7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为 （A）a(eλx+e-λx)． （B）ax(eλx+e-λx)． （C）x(aeλx+be-λx)． （D）x2(aeλx+be-λx)． 8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’= （A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．

常微分方程应用题和答案

应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为