实验9 级数
实验目的
1．理解幂级数的概念，并会用软件将函数展开成幂级数 2．理解Fourier 级数的概念，并将函数展开成Fourier 级数
实验准备
1．数项级数、幂级数的收敛性判断； 2．幂级数的展开、级数求和； 3．Fourier 级数的概念、展开方法；
实验内容
1．函数的幂级数展开 2．收敛级数的和 3．Fourier 级数展开
软件命令
表9-1 Matlab 级数操作命令
实验示例
【例9.1】级数观察
观察下列级数的部分和序列的变化趋势，并求和。
1.11n n ∞
=∑； 2. 1
1(1)n n n ∞
=-∑。
【步骤】：
Step1：计算部分和；Step2：描点观察。
【程序】： clear clc
clf
for n=1:100
for k=1:n
p1(k)=1/k;
p2(k)=(-1)^k/k; end
s1(n)=sum(p1); s2(n)=sum(p2); end
plot(s1) plot(s2) syms i;
symsum(1/i,i,1,inf))
symsum((-1)^i/i,i,1,inf)) 【输出】：
图 9-1 部分和序列收敛性观察
级数（1）发散；调和级数（2）收敛，收敛于ln2。 【例9.2】调和级数实验—欧拉常数
记1
1
()n
i H n i ==
∑，()()ln C n H n n =-，研究C(n)的极限值是否存在。 【程序】：%图形观察
h(1)=1;
for i=2:10^5
h(i)=h(i-1)+double(1/i); c(i)=h(i)-log(i); end plot(c)
% 求极限
syms kn
limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf) 【例9.3】函数的幂级数展开
将下列函数在指定点处展开成幂级数，并计算近似值，至少保留三位小数。 1
．0(),f x x = 2．011
()arctan
,1,arctan 12
x f x x x -==+； 3．0()sin(1),0,sin1f x x x =+=。 【步骤】：
Step1：利用函数 taylor(f,n,v,a)将函数f(x)在指定点处展开； Step2：利用函数subs(s)求出近似值。 【输出】：略。 【例9.4】级数求和
求下列幂级数的和函数。
1．21121n n x n -∞
=-∑（积分）； 2．1(1)
n
n x n n ∞=+∑（微分）；3．1(1)n n n n x ∞
=+∑（积分）。
【步骤】：
Step1：定义通项 f(n)；
Step2：利用symsum(f,n,1,inf)求级数的和。 【程序】：
clear
clc
syms nx ;
f1=x^(2*n-1)/(2*n-1); s1=symsum(f1,n,1,inf); f2=x^n/(n*(n+1));
s2=symsum(f2,n,1,inf); f3=n*(n+1)*x^n;
s3=symsum(f3,n,1,inf);
【输出】：
s1 =1/2*log((1+x)/(1-x)) s2 =1-(x-1)/x*log(1-x) s3
=-2*x/(x-1)^3
【例9.5】Fourier 级数展开及其和函数的逼近
设()f x 是以为周期，振幅为1的方波函数，它在[,]ππ-上的表达式为
1,0
()1,0x f x x ππ--≤
<≤?
试将()f x 展开成Fourier 级数，并画出图形观察该函数的部分和逼近()f x 的情形。 【原理】：
以为周期的函数()f x 的Fourier 级数为
01()
(cos sin )2n n n a n x n x f x a b l l
ππ∞=++∑， 其中1()cos ,0,1,2,l n l n x
a f x dx n l l π-=
=?，1()sin ,1,2,l n l n x
b f x dx n l l
π-=
=?。
【步骤】：
Step1：求出f(x)的Fourier 系数；
由于函数f(x)为奇函数，由Fourier 系数的公式知道，a n =0，因此它的Fourier 级数只含有正弦项，又因为f(x)sin(nx)为偶函数，故级数中的系数
2
2(1(1))
()sin(),1,2,
n n b f x nx dx n n π
ππ
--=
==
?
Step2：绘制逼近图形
【程序】：参见Exm09Demo05.m 。 【输出】：如下图。
图9-2 Fourier 级数逼近
实验练习
1．求下列级数的和：
（1）121(1)(21)
n n n x n n -∞
=--∑（提示：微分，2
2arctan ln(1),||1x x x x -+≤）；
（2）221
(21)2n n n n x ∞
-=-∑
（提示：积分，2
22
2,||(2)x x x +≤- （3）123n n n ∞
=∑（提示：考虑幂级数1
n
n nx ∞
=∑，32）。
2．求下列函数在指定点处的幂级数展开式：
（1）01(),1(3)f x x x x =
=+；参考：1011
(1)(1)(1),|1|134
n n n n x x ∞+=----<∑； （2）00
()cos ,0x
f x t tdt x ==?；参考：22
0(1),||(22)(2)!
n n n x x n n +∞
=-<+∞+∑。
3．设()f x 是以为周期的函数，它在[,]ππ-上的表达式为
,0
(),0x x f x x x ππππ
+-≤≤?=?
-<≤? 试将()f x 展开成Fourier 级数，并绘图观察部分和逼近()f x 的情形。