初中数学拓展Ⅱ课本
教学参考材料
编者的话
《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在
初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓
展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。为了帮助执
教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考
材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第
一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。本《材料》提供
执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好
基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝
贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8
月
第一部分课本概述
初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着
眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。这些知识内容，是学生进一步学习和参与社会生活必备的数学基础；但是，对于将要进入普通高中学习的学生，其数学知识基础的准备还存在不足。例如在高中数学中，关于一元二次不等式解法的探讨，需要运用二次函数的图像与x轴的位置关系特征；关于函数解析性质的研究和理解，需要借助于二次函数的直观性质；关于集合与命题的讨论、正弦定理以及在直角坐标平面上深入进行关于圆的研究等，还需要更多的有关圆的知识。因此，安排拓展II的内容并采用自主选择的方式，组织希望在初中毕业后进入普通高中的学生修习，有助于这些学生充实数学基础知识，改善初、高中数学的衔接。
本册课本的编写，注重于初中数学基础知识的充实和内容结构的完善，关注学生进入普通高中学习数学基本内容的需要。同时，重视与初中数学必学课本中有关内容建立紧密的联系，体现内容的整体性；注意保持初中数学必学课本的编写特点，注意把握有关内容的基础性要求，注意改善内容呈现的方式和体现数学学习的过程。
本册课本第一章是“一元一次方程与二次函数”。在必学课本中讨论一元二次方程与二次函数的基础上，本章着重研究一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的图像相对于x轴的位置与一元二次方程的根的判别式之间的关系、二次
函数解析式的确定、求二次函数的图像与x轴的交点坐标，以及它们的简单运用。同时，通过建立二次函数与一元二次方程之间的联系，促进学生多角度地理解这两部分知识内容和形成整体性的认知结构，领悟数学的思想和方法。本章对一元二次方程的根与系数关系进行探究，既有理论意义（一元n次方程的根与系数关系定理是方程基本理论中的重要内容），又有运用价值（可直接用于研究和解决相关问题）；而观察、发现、证明一元二次方程的根与系数关系定理的过程，也是对学生探究学习的引导。建立二次函数与一元二次方程的联系，让学生运用函数的思想理解方程，运用一元二次方程的知识研究二次函数的图像，不仅有助于提升学生的数学观点，同时使学生对二次函数的图像与x轴的位置关系获得理性的认识。关于二次函数解析式的确定，在必学内容中只涉及已知条件是函数的三组对应值（即图像上的三点坐标）的情况，这里扩展为已知条件与函数图像特征或性质有关，既突出了待定系数法的运用，又有利于学生对有关基本内容的理解。
第二章“直线与圆”是在必学课本中讨论直线、圆的基本知识以及直线与圆的位置关系的基础上编写的。本章着重研究圆的切线的判定定理和性质定理，切线长定理；两圆的公切线及公切线的长；圆周角和圆周角定理，弦切角和弦切角定理；相交弦定理，割线定理，切割线定理；还有四点共圆等。这些内容，把直线与圆的位置关系从数量关系特征讨论转到定性研究，从一条直线与圆的位置关系讨论扩展到两条直线与圆的位置关系研究；还把“不共线的三点确定一个圆”引到“四点共圆”的研究。本章确立了一系列关于直线与圆的关系定理，学生通过本章的学习，可以获得关于圆的基础知识的必要补充，同时进一步得到演绎推理、分类讨论、化归等思想方法的演练。本章内容的处理，特别强调基础性和教
育性；有关定理的运用，一般限为直接用于解决问题，对综合运用的难度有严格控制。
本册内容的呈现，主要采用“过程模式”，通过“问题——活动”的安排，引导学生探索求知。课本中保持有“问题”、“思考”、“操作”、“想一想”、“议一议”等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。
在两章的末尾，分别配备了“探究活动”和“阅读材料”。关于“公路隧道设计的可行性分析”活动，旨在加强数学应用活动和引导学生探究学习；关于“圆的幂和两圆的等幂轴”的材料，是对课本中“圆幂定理”的解说和扩展。
数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有层次性。“试一试”栏目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，满足不同学生的学习需要。
数学拓展II的教学课时，含在《上海市中小学课程方案（试行本）》所规定的九年级数学课时中，一般控制为每周2节。本册课本内容设计的教学课时数为29节，具体的教学计划和进度，由教师根据学校和学生的实际情况进行制定。
各章教学的课时数建议如下：
第一章一元二次方程与二次函数13课时（11+2）
第二章直线与圆16课时（14+2）
第二部分各章说明
第一章
一元二次方程和二次函数
一、 全章综述
1．教学目标 ⑴经历对于一元二次方程的根与系数关系的观察、分析和发现过程，理解一元二次方程的根与系数是紧密联系的．掌握一元二次方程的根与系数关系的证明以及它的基本运用． ⑵经历确定二次函数解析式所需独立条件个数的探索过程．知道二次函数解析式的三种基本形式,会用待定系数法求二次函数解析式. 掌握待定系数法的基本运用.
⑶建立起二次函数与一元二次方程之间的联系，能以函数的观点来理解一元二次方程，能根据相应的一元二次方程的根的判别式分析二次函数的图像特征.
⑷通过二次函数解决简单实际问题的举例，体会二次函数的基本应用.
2．课时安排
本章教学共13课时，建议分配如下：
1．1 一元二次方程的根与系数的关系 3课时
1．2 二次函数与一元二次方程 3课时
1．3 二次函数解析式的确定 5课时
复习小结 2课时
3．设计说明
本章内容是在学生已学一元二次方程与二次函数基本内容的基础上，对一元二次方程与二次函数的基础知识进行必要的扩充，并把一元二次方程与二次函数相互联系起来.
本章首先是对一元二次方程根与系数的关系进行探究，得到一元二次方程的根与系数关系的定理；在知道了这一知识的直接应用后，又介绍了利用整体代入方法求代数式的值，以及利用一元二次方程根与系数的关系建立新方程或者求已知两数和与积的两个未知数的值.
其次是建立了一元二次方程与二次函数之间的联系，由图像上发现：如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴有公共点，那么公共点的纵坐标为0.由y =0，得到相应的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，则这个方程的实数根就是函数图像与x 轴的公共点的横坐标. 在学生能够利用这一知识直接求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与
x 轴的公共点坐标的基础上，进一步发现抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 与x 轴公共点的个数与一元二次方程根的判别式之间的联系，从而不需画出二次函数的图像就能利用相应的一元二次方程根的判别式的符号来判断这抛物线与x 轴公共点的个数.
最后介绍了确定二次函数解析式的三种方法.在九年级第一学期数学课本中，已讲述了由已知二次函数图像经过直角坐标平面上三点的条件确定其解析式的方法。现在，先将这一方法进行复习巩固，再讲述由已知二次函数图像的顶点坐标或图像与x 轴两交点坐标加上其他一个条件，确定其解析式的方法。这样，关于确定二次函数解析式的方法就比较多样了，可按已知条件中含“三点”或“顶点”、“两根”，选取二次函数解析式的适当形式，运用待定系数法来确定这个解析式.课本中关于二次函数的应用主要体现在两个方面，一是与几何知识的综合应用，二是在实际生活中的初步应用，从而帮助学生加深理解二次函数的基础知识，把握知识之间的联系，扩展知识的基本应用；帮助学生学习将实际问题转化为数学问题，体验数学建模，在解决实际问题的过程中，感受数学知识“源于实践，又用于实践”.
本章内容是中学数学中数形结合教学重要载体之一，应充分发挥其功能.根与系数的关系定理（韦达定理）是方程理论中的重要内容之一，在高中数学中也有较多的应用.关于二次函数及其性质，进入高中后还要从解析的角度进一步研究；初中阶段所学的二次函数内容，是高中阶段继续学习函数内容的不可或缺的基础.因此，课程标准特别指出，本章内容是希望进入普通高中的学生所必须修习的.
在本章的学习中，重点是掌握一元二次方程与二次函数之间的联系；难点是如何发现一元二次方程与二次函数之间的联系.教学中要充分展示知识发生的过程，让学生从形、数两方面真正理解一元二次方程与二次函数之间的内在联系，融会贯通有关知识.
4．教学建议
⑴重视学生的探索学习过程.要在激发学生产生探究一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程与二次函数之间的联系等新知识的欲望方面多下功夫，让学生积极参与探索活动和进行数学思考，真正感受知识发生的过程.
⑵注意运用类比、数形结合和化归的数学思想. 在新知识的教学过程中，可以利用图形的直观性，帮助学生建立新旧知识之间的联系，促进已学知识向新知识的过渡和发展. 如课本中指出：“二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴有公共点，那么公共点的纵坐标为0.由y =0，得相应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，则这个方程的实数根就
是函数图像与x 轴的公共点的横坐标”；“抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 与x 轴的公共点的
个数，由相应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=?确定；反过来，由抛物线与x 轴的公共点的个数，也可以确定判别式的值的符号”。对这些内容的教学，要利用图像为学生提供直观认识的支持，形成抽象思维的基础，引导学生通过对代数的和几何的表达形式进行比较、分析，逐步归纳结论.
⑶注意培养学生的发散性思维能力。应鼓励学生积极思维，大胆发表意见和进行交流，让学生感受逆用一元二次方程根与系数关系建立新方程的不唯一性、有关题目解题方法的多样性，培养学生的发散性思维能力.
⑷把握学习难度. 本章学习的内容，是数学基础知识的组成部分，有明确的定向要求，并充分注意到与高中数学的衔接，可满足学生进入高中数学学习的需要。教学中不要再增加难度，不要盲目拔高，可控制为以课本的练习与习题的难度为准.
⑸重视知识应用的教学。课本中安排了有关知识的基本应用和实际应用的内容，在教学中要重视对问题的分析和解题思路的探索，关注如何建立知识之间的联系及其相互转化，关注如何将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学理解能力和应用能力.
5．评价建议
⑴关注学生基础知识和基本技能的获得。重视学生对一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与二次函数的联系等知识的理解和掌握，以及有关技能的形成；注重检测学生落实教学基本要求的情况，引导学生确立必要的、扎实的知识基础。
⑵关注学生对数学思想方法的体会和感悟.在课堂教学的点评与小结中，要重视对有关数学思想方法的点拨和交流，促进学生进行数学思想方法的反思和总结；对学生的学习评价，应体现对于有关数学思想方法教学的要求.
⑶关注学生思维的灵活性.在一元二次方程根与系数的关系及其应用中，要引导学生重视对于不同解法的比较和方法的合理选择，提供机会让学生进行交流和小结；对学生提出的不同解法和优秀解法，应给予鼓励性评价.
⑷关注学生对一元二次方程和二次函数的联系及知识系统的构建和完善.学生在前面已经分别学习了一元二次方程和二次函数的知识，而对两者之间的联系，是在本章学习的过程中逐步认识的。要引导和鼓励学生对所学知识进行系统整理，并将其纳入学习评价范围.
⑸关注学生学习方式和方法的改善. 引导学生积极主动学习，运用已有的一元二次方程
人教版初中数学代数式技巧及练习题含答案 一、选择题 1．下列命题正确的个数有（） ①若 x2+kx+25 是一个完全平方式，则 k 的值等于 10； ②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形； ④黄金分割比的值为≈0.618. A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断； 【详解】 ①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则 k 的值等于±10 ②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形； ③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形； ④正确．黄金分割比的值为≈0.618；故选C． 【点睛】 本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、、299、2100，若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（） A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a 【答案】C 【解析】 【分析】 由等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2，那么250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【详解】 解：∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2； …
2018-2019 学年上海市浦东新区八年级（上）期末数学试 卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 6 小题，共 12.0 分） 1. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列方程配方正确的是（ ）
A. x2-2x-1=（x+1）2-1
B. x2-4x+1=（x-2）2-4
C. x2-4x+1=（x-2）2-3
D. x2-2x-2=（x-1）2+1
3. 下列关于 x 的二次三项式中（m 表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是
（）
A. x2-2x+2
B. 2x2-mx+1
C. x2-2x+m
D. x2-mx-1
4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 等角对等边
C. 同角的余角相等
D. 全等三角形对应角相等
5. 已知点 A（1，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在反比例函数 y= （k＞0）的图象
上，则（ ）
A. y1＞y2＞y3
B. y3＞y2＞y1
C. y2＞y3＞y1
6. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 O 是∠CAB、∠ACB 平分
线的交点，且 BC=4cm，AC=5cm，则点 O 到边 AB 的距离
为（ ）
D. y1＞y3＞y2
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
7. 计算：
=______．
8. 方程 x2+2x=0 的根是______．
9. 已知函数 f（x）= ，则 f（2）=______．
D. 4cm
10. 函数 y= 的定义域是______．
11. 关于 x 的方程 x2-3x+m=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是______． 12. 正比例函数 y=kx（k≠0）经过点（2，1），那么 y 随着 x 的增大而______．（填“增
大”或“减小”） 13. 平面内到点 O 的距离等于 3 厘米的点的轨迹是______． 14. 已知直角坐标平面内两点 A（-3，1）和 B（3，-1），则 A、B 两点间的距离等于______． 15. 如果直角三角形的面积是 16，斜边上的高是 2，那么斜边上的中线长是______． 16. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=4，则 BC=______．
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六年级数学拓展课教案【六上回顾·拓展一最新教案一】 文章摘要:本文章的主要内容是关于六上回顾拓展一最新教案一_教学实录_案例反思，欢迎您来阅读并提出宝贵意见！ 学习目标 1．通过回顾、交流学习本组课文后的收获，引导学生学习作者通过联想和想象来表达独特感受的方法。 2．读背并积累古诗句。 交流平台
（1）回顾本组四篇课文，说一说《山中访友》《山雨》和以前学过的《桂林山水》《观潮》等在表达方法上有什么不同？ 本组课文，作者投入大自然的怀抱，领略大自然的风姿，倾听大自然的声音，与大自然互诉心声，交流感受。在表达自己独特感受的过程中，充分运用联想和想象。 （2）联系《草虫的村落》，小组内交流自己的收获和体会，体会联想和想象的魅力。 （3）交流课外阅读中读到过的类似文章，说说自己的体会和感悟。介绍相关的课外阅读文章及书籍。 日积月累 （1）在许多描写景物，赞美祖国大好河山的诗作中，诗人以其独特的视角，大胆想象，抒发情感，留下了光辉的篇章，今天我们就来欣赏其中的几句。
（2）出示日积月累中的句子。（幻灯片） 落红不是无情物，化作春泥更护花。（龚自珍）造物无言却有情，每于寒尽觉春生。（张维屏）今夜偏知春气暖，虫声新透绿窗纱。（刘方平）此夜曲中闻折柳，何人不起故园情。（李白）卧看满天云不动，不知云与我俱东。（陈与义）不是花中偏爱菊，此花开尽更无花。（元稹）a学生自由吟诵。
b尝试理解。 （3）选择其中的几个诗句，体会诗人在写景过程中的联想与想象。 a己亥杂诗（龚自珍） 浩荡离愁百日斜，吟鞭东指即天涯。 落红不是无情物，化作春泥更护花。 落花并非无情无义之物，化成春泥使后来的花更红。这是一种自然现象，但诗人比喻自己不做官并非丧失报国志，而是走另一条路为国效力。 b月夜（刘方平）
《中学数学教材教法》试题库1(共十一份) 试题（一） 一填空 （1）有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。 （2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 。 （3）学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 （4）《标准》中所陈述课程目标的动词分两类。第一类，知识与技能目标动词，包括了解或认识、理解、掌握、灵活运用.第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包括经历或感受、体验或体会、探索。 二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。（15分） 答：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够： （1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方和必要的应用技能； （2）初步学会运用数学的思维方式支观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增 强应用数学的意识； （3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心； （4）具有初步的创新精神和实践能力，要情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。 三、简述： （1）初中数学新课程的教学内容体系。 1、要点：初中数学新课程的教学内容体系较以前有很大不同。按照新课程教学内容难易程度与学生的可接受性，将其称为第三学段，隶属于，具体有六个核心概念。四大学习领域：数与代数、空间与图
形、统计与概率、实践与综合应用。六个核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。
人教版初中数学代数式知识点总复习 一、选择题 1．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3 B ．5，?3 C ．?5，3 D ．?5， ?3 【答案】D 【解析】 【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值． 【详解】 由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3, 故答案选D. 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键． 2．下列运算正确的是（ ）． A ．()2222x y x xy y -=-- B ．224a a a += C ．226a a a ?= D ．()2224xy x y = 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案． 【详解】 解：A.、()2222x y x xy y -=-+，故本选项错误； B.、2222a a a +=，故本选项错误； C.、224a a a ?=，故本选项错误； D 、 ()2224xy x y =，故本选项正确； 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键． 3．下列运算正确的是( ) A ．232235x y xy x y += B ．()323626ab a b -=-
C ．()22239a b a b +=+ D ．()()22 339a b a b a b +-=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式分别化简即可． 【详解】 A ．22x y 和3xy 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B ．()323628ab a b -=-，故该选项计算错误，不符合题意； C ．()2 22396a b a ab b +=++，故该选项计算错误，不符合题意； D ．()()22339a b a b a b +-=-，故该选项计算正确，符合题意． 故选D ． 【点睛】 本题主要考查了合并同类项、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键． 4．下列各式中，计算正确的是（ ） A ．835a b ab -= B ．352()a a = C ．842a a a ÷= D ．23a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可． 【详解】 解：A 、8a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意； B 、()326a a =，故选项B 不合题意； C 、844a a a ÷=，故选项C 不符合题意； D 、23a a a ?=，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ）
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理 第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 二次根式 1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。 2． 二次根式的性质 ①???≤-≥==) 0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥?=b a b a ab ； ④ )0,0(>≥=b a b a b a ; 最简二次根式与同类二次根式 1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根， 即 ).0,0(≥≥=?b a ab b a 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． ~ 二次根式的运算法则： =(a+b) ≥0) ).0,0(≥≥=?b a ab b a =a ≥0,b>0） n =≥0)
第十七章 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2．一般形式y=ax 2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 一元二次方程的解法 … 1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a ---= , = ； △=2 4b ac -≥0 一元二次方程的判别式 1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠： △＞0时，方程有两个不相等的实数根 △＝0时，方程有两个相等的实数根 △＜0时，方程没有实数根 2．反过来说也是成立的 ) 一元二次方程的应用 1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 2．把二次三项式分解因式时； 如果2 4b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3． 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 ．函数的概念 1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量 % 3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x = 4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，
规律探索性问题中考二轮专题复习： 龙明腾普定第二中学 数与式变化规律第一部分一、专题诠释通过观规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息逐渐成为中考数的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，学的热门考题。二．解题策略和解法精讲探索发现有关数学对象所具规律探索型问题是指在一定 条件下，有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。三、教法学法的选择运用 教法：根据大纲和教材说明的要求，数学教学要体现创建问题情景，构建数学模型，探究结论和实践推行应用的宗旨出发，培养学生学会学习和体现学生的主体地位，在教学中我将利用探究法、观察法、猜想法、归纳法，通过引导学生观察，探究，归纳出本节课要学习的内容。上述方法能使学生通过合作学习，小组成员互相启发，互相帮助，对不同智力水平、认知结构、思维方式、认知风格的学生实现互．补，达到共同提高的目的，加强了学生之间的横向交流和师生之间的纵向交流。
学法：在教师的引导、组织和合作下，以学生主动观察、类比，分组讨论的学习方法，通过步步探究地进行学习。这样就把课堂还给了学生，体现以学生为主体的目的，充分让学生感受课堂上的主人翁意识。 四、教学手段 采用多媒体课件教学。目的是丰富学生的感知对象，加大课程的信息量，促使他们能够积极参与生动、直观的数学活动，进一步培养学生对数学的好奇心和求知欲。 三．考点精讲 考点一：数与式变化规律 通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。 例题精
八年级第一学期期末数学模拟试卷（1） （满分：100分 完卷时间：90分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A ．x 21 B ．8 C ．2x D ．12+x ２．下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．12+-x x B ．12+-mx x C ．12--mx x D ．2 2y xy x +- 3．已知函数)0(≠=k x k y 中，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，那么它和函数)0(≠=k kx y 在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ） 4．一根蜡烛长20厘米，共燃烧4小时，下列图像中表示其燃烧时剩下的高度h （厘米）与 燃烧时间t （小时）之间的函数关系的是（ ） A B C D 5．三角形三边长分别为①3，4，5 ②5，12，13 ③17，8，15 ④1，3，22 其中直角 三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6．下列命题是假命题的是（ ） A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形 B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 C ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 D ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．如果最简二次根式13+x 和75-x 是同类二次根式，那么=x . 8．方程x x 322=的解是
9．若点A （-2，y 1）和点B （3，y 2）都在函数x y 2-=的图像上，则y 1 y 2（选择“＞” “＜”“＝”填空） 10．函数2 11-+-=x x y 的定义域是 . 11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是 . 12．如果直角三角形两条直角边分别为1cm 和2cm ，那么斜边上的中线长为 cm. 13．一个内角是30°的直角三角形，若其斜边上的中线长是5，则其较短直角边的长 为 . 14．经过定点A 且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹是 . 15．如果，R t △ABC 中，∠C ＝90°，BD ＝2CD,AD 是∠BAC 的角平分线，∠B ＝ 度. 16．如图，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，D 为AB 中点，CE ⊥AB ，则∠DCE ＝ 度. 17．用100厘米长的铅丝弯折成一个面积为525平方厘米的长方形，若设长方形的一边长为 x 厘米，则可列出方程： . 18．一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示， 当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式x y 60=，那么汽车在第二小时内的平均速度为 千米/小时。 三、解 答题（本大题共8题，满分52分） 19．（本题满分5分）计算： () 86-331-21++ 20．（本题满分5分）已知关于x 的方程()011222=++--k x k x 有两个相等的实数根。求k 的值。
新课标下数学教与学的几点做法 发表时间：2013-01-15T16:16:32.700Z 来源：《中小学教育》2013年2月总第126期供稿作者：纪欢[导读] 立足新教材。我们认为，新教材更加注重学生的认识规律及学生的学习兴趣 纪欢河北省沧州市高级中学062150 高中数学新课程对于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。同时数学素质又是公民必须具备的一种基本素质，因此数学作为一门工具学科在社会经济发展中的作用越来越明显。如何处理好新课改下数学的教与学，成了广大中学数学教师面临的一次重大挑战。下面谈谈我校在这方面的几点做法。 一、分析、研究新教材的特点 1.立足新教材。我们认为，新教材更加注重学生的认识规律及学生的学习兴趣。新知识的引入借助实例，不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力，提高课堂效率。通过对新教材的研究来改变教师脑海中原有模式，发现新问题，采取新方法、新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法。立足新教材，也不完全局限于新教材，有些地方作适当的补充，如实例引入时，我们适当增加学生比较好理解的实例，教材跨度大的地方，我们依据学生的情况加入过渡知识。 2.吃透新教材的“思考”与“探索”。新教材中的“思考”与“探索”是新、旧教材较明显的一个区别，新教材中的“思考”与“探索”不仅有助于学生加深对知识的理解，同时对培养学生的发现问题、探索问题、分析、归纳能力有极大的帮助。我们利用集体备课时间专门对此类问题进行深刻的探讨，各抒己见，力争在教学中尽量多地去设计“思考”与“探索”，目的在于培养学生的能力。 二、转变观念，改进教学方法 由于新课程要体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展。因此，作为教师首先应转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。不仅要做知识的传授者，更要成为学生学习的引导者、组织者和合作者。为此我们在教学设计中充分考虑数学学科的本身特点，学生的心理特点。考虑到不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多媒体等多种教学方法和手段，（如把指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，放在多媒体上通过观察对比，加深学生对指数函数与对数函数及幂函数性质的理解和掌握）。引导学生积极主动地学习，使学生的数学学习不只限于对概念和技能的记忆、模仿和接受，而让学生学会独立思考、自主探索、动手实践、合作交流。如对数函数图象和性质这一节，我们采用让学生类比指数函数图象和性质，由学生分工协作，作出函数的图象，让学生观察、类比、分析、归纳其性质，以培养学生的自主探索能力。再如教材上实习作业《函数的发展史》，我们安排有条件的同学从网上查找有关信息、资料，其他同学到阅览室查找资料，让学生学会搜集信息、整理信息然后共同整理，对信息进行归纳整理，既培养了团结合作精神，又锻炼了学生的能力。 在改进教学方法的同时，我们在教学中首先注重培养学生的新观念、新思想。因为新观念中不仅包含对事物的新认识、新思想，而且还包括一个不断学习的过程，不仅在教学中重视教学生学会，更注重教学生怎样去学，正如“授之以鱼，不如授之以渔”。方法的掌握、思想的形成才能使学生终生受益。其次，注重培养学生的创新能力，又在解决问题中得到创新和发展，教学过程中让学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者。 三、学生的学法指导 新课改下数学内容多，抽象性、理论性强，学生从初中升入高一后，首先遇到的又是理论性很强的函数。其中又有很多对实际情境不熟悉的实际问题。使一些同学感到不适应而造成学习上的困难。如何让学生尽快适应高中数学的学习，学习方法的指导就显然尤其重要。 我们认为要做到以下几点。 1.课前要预习，提高听课的针对性。由于高中课堂容量比初中要大得多，难度也大。因此预习中发现的难点，也就是听课的重点。同时，对预习中遇到的没有掌握好的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难，有助于提高思维能力和自学能力。 2.听课过程中做到五到：（1）耳到：即专心听老师对新课的引入，为本节课的学习做好准备，听老师提出问题以及如何引导思考和探索、如何分析、如何归纳总结，另外还要听同学的答问，看是否对自己有启发。（2）眼到：即听课的同时看老师对重点、难点的板书，以加深对知识的理解和掌握，看老师的表情、手势及动作，以加深对关键点的印象。（3）心到：即用心思考、跟上老师的数学思路、分析老师是如何抓住重点、解决疑难的。（4）口到：即在老师的指导下，主动回答参加讨论，锻炼自己的数学语言表达能力。（5）手到：即在听、看、想、说的基础上作好要点记录，尤其是解题步骤的规范化。 3.课后做好复习与小结。包括课下及时复习、单元复习及单元小结、章节小结。 四、学生信息反馈的处理 学生课堂听课效果的质量高低、作业质量的高低，直接反映了学生对知识的掌握情况。对学生课下提问的问题及作业中出现的问题及时分析总结，及时纠正。不放过学生的任何一个疑问点，不放过任何一个不清楚的知识点，统一进行单元、章节测验。对学生存在的问题统一汇总，在以后的测验中加入这方面的试题，进行再加工，以从根本上彻底解决。
数学难题 一．填空题（共2小题） 1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD 交于点O n，则BO1=_________，BO n=_________． 2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为_________；抛物线C8的顶点坐标为_________． 二．解答题（共28小题） 3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数． 4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0． （1）求证：方程总有实数根； （2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？ 5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F． （1）求直线AB的解析式； （2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式； （3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式． 6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4． （1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）； （2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式； （3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由． 7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点． （1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标； （2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a； （3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值． 8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数． （1）求c的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B 左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长； （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围． 9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC． 10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
初中数学教学论文--注重动态生成，实现教与学的双赢 【摘要】 新课程改革倡导课堂的动态生成，这给传统的数学课堂带来了新的生机，也带来了新的思考。课堂上的教与学是瞬息万变的，它是师生之间、生生之间“思维碰撞、心灵沟通、情感融合”的动态生成过程，在这一过程中，会有许多意外与惊喜。本文从四个方面阐述如何更好地使学生在学习进程中动态生成，演绎课堂的无限精彩，实现教与学的双赢。 【关键词】数学课堂、动态生成、 叶澜教授指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅行，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”课堂上的教与学是瞬息万变的，它是师生之间、生生之间“思维碰撞、心灵沟通、情感融合”的动态生成过程，在这一过程中，会有许多意外与惊喜。作为一名数学教师，我们要努力让课堂在动态生成中演绎精彩，实现教与学的双赢。 一、营造氛围，培育生成的温床。 心理学家罗杰斯曾说过：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐安全的课堂气氛。”生成资源不会凭空产生，而民主、和谐、积极、向上的课堂氛围则是培育生成资源的温床。民主、和谐的课堂氛围才能迸发出创新的火花，生成新的学习资源，成为学生学习数学的源头活水。 例如：在教学七年级下册《轴对称现象》一课时，在总结出轴对称图形的特征后，鼓励学生从自己的生活经验出发，举出符合对称特征的图形或物体。师：生活中哪些物体具有对称特征呢？ 生1：飞机 生2：风筝 生3：长方形 生4：正方形 生5：三角形 生6：我不同意，三角形不一定是轴对称图形。 …… 民主、和谐、积极、向上的氛围孕育了活跃的思维，让学生能够畅所欲言，
八年级（上）期末数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1. 下列计算正确的是( ) A. B. 5+6=11a 4=a 2 C. D. 7m +3m =2m 2a +3a =6a 2. 下列方程配方正确的是( ) A. B. x 2?2x?1=(x +1)2?1x 2?4x +1=(x?2)2?4C. D. x 2?4x +1=(x?2)2?3 x 2?2x?2=(x?1)2+1 3. 下列关于x 的二次三项式中表示实数，在实数范围内一定能分解因式的是(m )( ) A. B. C. D. x 2?2x +2 2x 2?mx +1x 2?2x +m x 2?mx?1 4. 下列命题的逆命题是真命题的是( ) A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 同角的余角相等 D. 全等三角形对应角相等 5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则A(1,y 1)B(2,y 2)C(?2,y 3)y =k x (k >0)( ) A. B. C. D. y 1>y 2>y 3 y 3>y 2>y 1y 2>y 3>y 1y 1>y 3>y 2 6. 如图，在中，，点O 是、平分△ABC ∠B =90°∠CAB ∠ACB 线的交点，且，，则点O 到边AB 的距BC =4cm AC =5cm 离为( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：______．18?2=8. 方程的根是______． x 2+2x =0
9. 已知函数，则______． f(x)= x?1 x f(2)=10.函数的定义域是______． y = 2 2x +1 11.关于x 的方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 x 2?3x +m =0______． 12.正比例函数经过点，那么y 随着x 的增大而______填“增大” y =kx(k ≠0)(2,1).(或“减小”) 13.平面内到点O 的距离等于3厘米的点的轨迹是______． 14.已知直角坐标平面内两点和，则A 、B 两点间的距离等于 A(?3,1)B(3,?1)______． 15.如果直角三角形的面积是16，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是______．16.如图，中，，，交BC 于点D ，， 则△ABC AB =AC ∠BAC =120°AD ⊥AC AD =4______． BC = 17.把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角 45°顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若，则______． AB =2CD = 18.如图，已知两个反比例函数：和：在第 C 1y =1x C 2y =1 3x 一象限内的图象，设点P 在上，轴于点C ，交C 1PC ⊥x 于点A ，轴于点D ，交于点B ，则四边形C 2PD ⊥y C 2PAOB 的面积为______．
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/f815542771.html, 初中数学教学与学生创新思维的培养 作者：俞斌慧 来源：《科教创新》2012年第12期 摘要：培养学生的创新精神是社会发展的需要，也是社会进步的表现。培养学生的创新精神要从各个方面做起。本文主要讲述了初中数学教学过程中，教师培养学生的创新精神可以采取的措施。为有效的培养学生的创新精神，首先要保证学生掌握数学的基础知识，让学生从思想上接受数学这门基础课程，不能对数学产生厌倦、地处的感觉。同时，教师在教学过程中可以大胆的尝试采用新的教学模式来培养学生的创新精神，例如师生互动的模式、启发式模式等等，从而有效的培养学生的创新精神。 关键词：数学教学创新思维教学模式 引言 经济的快速发展，信息时代的到来，随着教育的不断实施，在素质教育中不断培养学生的创新精神和具有重要的意义。初中教育中学生经历着从简单到复杂，从具体到抽象，由低水平到高水平的成长过程。在初中教学中数学教学对培养学生是创新精神起着至关重要的作用。 1、数学教学过程培养学生创新思维的措施 1.1巩固学生的数学基础知识 在初中的教学中教师应该首先使学生明白，数学是初中课程中的一门基础课程，并不是高深莫测的一门学科，这样保证学生对数学有一个客观的、正确的认识，只有这样才能保证学生能够较好的掌握数学的基本知识，从从而为学生的创新精神打下良好的基础。在数学的教学过程中教师首先就要积极的鼓励学生掌握数学基础知识，提高综合素质，从而有效的避免学生对数学的厌倦情绪。在该过程教师在教学过程中要清楚的讲清楚数学的基本定理以及数学运算、推理的具体过程。学生只有能够清楚的掌握了基础知识，才能引起学校的兴趣，提高学习的积极性。 1.2重视情境创设 为更好的培养学生的创新意识，知识简单式的教师讲，学生学的填鸭式教学很容易使学生失去对数学的兴趣。因此，教师在教学过程中采用一些情景的创设，利用学生已有的认知结构来引起学生内部的认知矛盾冲突，从而激发学生的学习欲望。采用情景创设的教学方法是为了更好的引起学生的学习积极性。例如，教师在教学过程中，教师可以在教授课程之前根据教学内容来设置几个具有启发性的问题，从而引导学生自己先思考，有效的培养学生的创新精神。 2、教学模式的改进培养学生创新思维
六年级数学课外拓展题 1、快、慢两车同时从两地相向而行，4小时后在距离中点48千米处相遇。已知慢车每小时行60千米，则两地相距多少千米？ 2、天虹、欧尚、家乐福三家超市最近新进了一批相同品牌相同规格的饮料，每瓶3元。为了抢占市场，他们分别推出三种优惠措施：天虹超市“一律八五折”，欧尚超市“买四送一”，家乐福超市“满50元送10元，不满不送”。六（2）班想买40瓶饮料，到哪家购买较合算？写出理由。 3、先找规律，再把表格填写完整。（每个小正方形的边长是1厘米） 小正方形 491625……144n 的个数 周长/厘米 4、甲、乙、丙三辆汽车，甲车每小时行驶70千米，乙车每小时行驶60千米，丙车每小时行驶50千米。甲车从东城，乙、丙两车从西城同时相向而行。途中甲车与乙车相遇后，经过半小时又与丙车相遇。求东、西两城的距离。
5、图中是一个正方形，A和B分别是等腰直角三角形中的两个不同的内接正方形，图中A与B的面积比是（）。 6、某车间为了能高质量地准时完成一批齿轮订单，对车间工人提前进行了加工齿轮效率的测试。经过统计测算，平均每个工人加工齿轮效率的情况如下图：（1）根据图像判断，加工个数和天数成（）比例。 （2）加工小齿轮的效率比大齿轮高百分之几？ （3）已知这个车间有工人85人，1个大齿轮和3个小齿轮配为一套，这人使大、小齿轮能成套出厂，如果你是车间主任，怎样安排这85名工人最合理？ 7、有一堆围棋子，其中黑子与白子的个数比是4：3.从中取出91枚棋子，且黑子与白子的个数比是8：5，而剩下的棋子中黑子与白子的个数比是3：4.原来这堆围
棋共有多少枚棋子？
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. ２．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. ３.类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】１．分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】1．同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4．同底数幂的加减运算法则：实际是合并同类项 5．同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a ｍ÷ a n =a m-n 6．积的乘方与幂的乘方:(a ｂ)m ＝ ａm ｂn , (ａｍ)ｎ＝ a mn 7.负指数幂: a -p =1 p a a 0 =1
浅议中等职校数学教与学 发表时间：2011-07-05T09:53:34.400Z 来源：《科学教育前沿》2011年第5期供稿作者：甘兴盛 [导读] "授之以鱼，不如授之以渔"，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，即培养学生学习数学的方法 甘兴盛（邻水县合流职业技术学校四川广安 638500） 【摘要】我国中等职业教育的目标是为国家培养中、初级技术性人才，提高社会劳动者的素质和就业水平，这也是社会发展的必然要求。因此，中等职业学校的学生继续受到必要的数学教育，对提高全民族素养，培养社会主义建设人才具有十分重要和长远的意义，数学是中职学生学习的基础学科，工具学科，基础和工具学科学的好坏决定中职学生的基本素质、数学素养，是学习专业学科的一门重要前提学科。 【关键词】中职；数学；教与学 中图分类号：Ｇ71 文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2011）05-092-02 我国中等职业教育的目标是为国家培养中、初级技术性人才，提高社会劳动者的素质和就业水平，这也是社会发展的必然要求。因此，中等职业学校的学生继续受到必要的数学教育，对提高全民族素养，培养社会主义建设人才具有十分重要和长远的意义。但是，目前我县、我省，乃至我国中等职业学校的学生绝大多数是九年义务教育的后进者，学习习惯比较差，尤其是在数学学习方面更是伤痕累累，对数学学习大都失去了信心，更让职校老师感到触目惊心，这部分学生在数学的学习过程中表现出基础薄弱，数学知识应用能力低，毅力不足，兴趣淡然，缺乏一定的空间想象能力、逻辑推理能力以及学习数学的基本素养。然而，职校的数学课堂教学则强调基础知识和基本技能的传授和掌握。由此可想见：职校数学教学的难度就不言而喻。笔者通过这几年的职校数学的教学与反思，在这方面进行一些粗浅的探索，总结了一些想法与大家共勉。有不当之处，望能批评与指正。 一、补牢初中数学基础知识，注重初中数学与职校数学知识的过度与衔接 数学知识是相互联系的，中等职校数学知识也涉及到很多初中的内容，可以说职校数学知识是初中数学基础知识上的延拓和提高，但不是简单的重复，因此在教学中要正确处理好以下两钟关系：1、补牢初中数学基础知识；2、注重初中数学知识与职校数学知识的过度与衔接。因此我们在职校数学教学过程中，凡是涉及初中数学知识时，我们先要花费一定的时间和精力补牢补足初中数学基础知识，职校学生笔初中学生大一、两岁了，返回来补习初中数学知识比较容易掌握，这一过程和步骤千万不能少，因为离开了这一过程犹如缘木求鱼。第二，我们在学习职校数学知识的同时一定要深入研究初中数学知识与职校数学知识彼此潜在的联系和区别，做到新旧知识的串连和沟通，找到其衔接点，补充衔接知识的学习。为此在职校一年级的数学教学中必须采用"低起点，小步子"的指导思想，首先帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，逐步引升，减缓坡度，分解教学过程，突破教学重点，分散教学难点，让学生在自己已有的水平上，通过努力，能够理解旧知识，掌握新知识。比如：在学习"函数概念"、"任意角三角函数的定义"等内容时，可以先复习初中学过的函数定义、直角三角形中的边角关系，。每涉及到的新概念、定理，都要结合初中已学过的知识，以激发学生的兴趣和求知欲。针对当前中等职校学生的实际情况，采用分解难度，淡化理论的方法。如职校数学第二章是"函数"，要讲清函数的概念，帮助学生克服"恐函症"，首先要摸清学生的学习基础，虽然学生在初中学习了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数，但是我们要给学生补牢、补足初中的一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图像、性质等，但学生只知道这几个函数的表达式，而不理解函数的概念，针对学生的基础，就要采用先让学生讨论圆面积与半径这间的关系入手来具体说明什么是函数。 二、灵活使用教材，根据不同专业制定不同的教学线索与思路 由于中等职校专业门类的多样化，现行教材的文化课与专业课在知识的衔接上存在两个方面的矛盾：数学内容的安排顺序与专业课对数学知识的需求在时间上脱节；有些专业必须用的数学知识恰好是中等职校数学教材的删减内容。针对这些特点，应对数学教材进行灵活处理，根据不同专业作制定不同大纲，对一些内容的顺序进行必要的调整或作一定增补以适应专业的需要。如：在机械类专业，学习了"集合"和"函数"后，就可以上"三角函数"和"立体几何"等内容；在电子类专业，应把"三角函数"和"复数"等内容适当提前，特别是三角函数内容中应把正、余弦的图像要作为关键和重点讲解；在计算机专业，可以补充"逻辑代数"有关知识，如二进制、八进制、十六进制等知识。 三、改变传统教学模式的教学方法 长期以来，"教师教，学生学"是教学过程中的一个传统模式，这样的教学法已不再适应新的教学观，应将教师的作用从"教"提高到"导"，"导"就是引导，即教师的作用不应该是死板的"教"学生，而是引导学生，提高学生的兴趣，充分地让学生展示自己的思维能力和想象能力，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识，也就是不要一成不变的将讲授法放到首位，要采取各种教学方法和教学手段，比如，在每上课时候先用10分钟时间用书本练习题检查学生的预习情况，根据学生预习情况用以掌握教学的深度、难度。其次，在课堂教学中尽量多抽学生起来回答问题，欲与适时鼓励，充分发挥赏识教育，让学生找到成功的满足。因为中等职校学生在初中学习数学的兴趣已是丧失殆尽。第三，在课堂教学中，学习内容不宜过多，学生学习时间在一节课堂中不能过半，要留一半的时间在课堂中练习欲与巩固当堂课的内容，做到堂堂清。课后给学生尽量不留过多、过难的作业。第四，尽量采取先学后教、当堂训练的教学模式。第五，对于职校学生来说，数学教学最好多强调他们的动手能力，尤其是在学习立体几何的时候，多让学生自己动手，亲自实践，然后再让学生发挥空间想象能力，这样会收到事倍功半的效果。 四、"授之以鱼，不如授之以渔"，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，即培养学生学习数学的方法 职校大部分学生初中数学基础差,对数学课不感兴趣,并且没有良好的学习习惯，不预习，不复习，抄作业现象又明显。针对这些现象，我们应该在教学的过程中要教会学生课前预习的方法和读书笔记，使其在上课前将所要学的内容提前阅读，达到熟悉内容，找到自己不懂的地方，以便于在上课时，认真听教师讲，结合预习时不懂的地方，从而真正理解和掌握这一内容；其次要教会学生怎样听课，怎样做好上课笔记，使其认真听，抓重点，做到多问、多练、多思考，不留问题于课后，做到堂堂清。第三就是要教会学生课后怎样及时复习和巩固、反思。 五、培养和引导学生自主学习，提高学生自学能力 历史在前进，科技在进步，社会在发展。在这个21世纪学习化社会里，无论是科技进步，还是职业发展，都要求个体必须具备较强的自主学习能力，只有通过自主学习来不断掌握、更新知识、技能，这样才能适应社会的进步，提高自身的水平，完善自己的生活。职校学生在校学习的都是些简单的，初级的东西，自身要有所发展，要想从初级技工转变为中、高级技师、工程师，甚至更高，那么就要求学生