2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

初三数学 试卷

（时间100分钟 满分150分） 2015.4

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各数中，无理数是（ ▲ ）

A ．

7

22

； B ．9； C ．π； D ．38． 2．下列运算中，正确的是（ ▲ ）

A ．2x －x =1；

B ．x +x =2x ；

C ．(x 3)3=x 6 ；

D ．x 8÷x 2=x 4．

3．某反比例函数的图像经过点(－2,3)，则此函数图像也经过点（ ▲ ）

A ．(2,3) ；

B ．(－3，－3) ；

C ．(2，－3) ；

D ．(－4,6)

4．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（ ▲ ）

A ．A

B 2= A

C 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ；

C ．CM =

12AB ； D ．CB =1

2

AB ． 5．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量 如下表所示：

则这20户家庭用电量的众数和中位数分别是（ ▲ ） A ．180，160；

B ．160，180；

C ．160，160；

D ．180，180．

6．下列命题中，假．命题．．是（ ▲ ） A ．没有公共点的两圆叫两圆相离；

B ．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称；

C ．联结相切两圆圆心的直线必经过切点；

D ．内含的两个圆的圆心距大于零 ．

二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算:-2

2= ▲ ．

8．用科学记数法表示660 000的结果是 ▲ ． 9．函数2y=

1

x

x -中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 10．分解因式2

416a -=_ ▲ .

用电量（度） 120

140 160 180 220 户数

2

3

6

7

2

A'

G

F

E

A

O

11．不等式组2+51123

x x -

-?≤??的解是 ▲ ．

12．方程6-x x =的解是 ▲ ．

13．某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完

成销售任务，则原计划每天销售多少台？

若原计划每天销售x 台．则可得方程 ▲ .

14．将1、2、3三个数字分别作为横坐标和纵坐标，随机生成的点的坐标如下表。如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数y =x 图像上的概率是 ▲ ．

15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，3BD DC =，BA a = ，BC b = ，那么=AD

▲ （用向量a 、

b 来表示）

． （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）

16．如果二次函数222y x x m =+-+图像的顶点在x 轴上，那么m 的值是 ▲ ． 17．已知四边形ABCD 是菱形，周长是40，若AC =16， 则sin ∠ABD = ▲ ． 18．如图，已知扇形AOB 的半径为6，圆心角为90°，E 是半

径OA 上一点，F 是 AB 上一点．将扇形AOB 沿EF 对折， 使得折叠后的圆弧 'A F 恰好与半径OB 相切于点G ，若

OE ＝5，则O 到折痕EF 的距离为 ▲ ．

三．（本大题共7题，19~22每题10分，23、24每题10分，25题14分，满分78分）

19．化简并求值：22256()32x x x x x x x -+?+--，其中4

51

x =-．

20．解方程组：2222

699,

440.

x xy y x y x y ?++=??--+=??

21．某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）求营销员的个人月收入y 元与该营销员每月的销售量x 万件(x ≥0)之间的函数关系式；

C

D

B

第15题

A

第14题

第18题

A

D

C

B

N

M

（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（2 1.414≈，保留到百分位）；

22．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90o，sin C=3

5

，AC =6，BD 平分∠CBA 交AC 边于点D ． 求：（1）线段AB 的长； （2）tan ∠DBA 的值

23．已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN =45°， 将∠MAN 绕着正方形的顶点A 旋转，边AM 、AN 分别交两条角平分线于点M 、N ，联结MN ． （1）求证：ABM ADN ?? ；

（2）联结BD ，当∠BAM 的度数为多少时，

四边形BMND 为矩形，并加以证明．

24． 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，开口向上的抛物线与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），D 为抛物线的顶点， 直线AC 与抛物线交于点C （5，6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E 在x 轴上，且AEC ?和AED ?相似，求点E 的坐标； （3）若直角坐标平面中的点F 和点A 、C 、D 构成直角梯形，且面积为16，试求点F 的坐标．

A

B

C

25．如图，在ABC Rt ?中，90ACB ∠=?，AC =4，1

4

cos A =

，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．

（1）若⊙P 与AC 边的另一交点为点D ，设AP =x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；

（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；

（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C 的公共弦长为2，求AP 的长．

B

D C A

P

徐汇区2014学年第二学期期末测试卷

初三年级数学学科评分标准

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．B ； 3．C ； 4． D ； 5．A ； 6． D ． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．14

； 8．56.610?； 9．1x ≠； 10．4(2)(2)a a +-； 11．72≥>x ； 12．2x =；

13．

12012054x x =++ ； 14．13； 15．34a b -+ ； 16．1； 17．4

5

； 18．15． 三．解答题（本大题共7题，满分78分）

19． （本题满分10分）

原式=2

(2)(3)(1)(3)2

x x x x x x x ---?

-- (5)

H

D

B

A

C

=2(1)x - ……………………………………………………………………………………1 ∵4

=5151

x =

+-，代入到2(1)x -…………………………………………………2 ∴原式=2(1)x -=5…………………………………………………………………………2 20．（本题满分10分）

解：2(3)9()(4)0?+=?-+-=?x y x y x y

(4)

化为：330+=??

-=?x y x y ，3340+=??+-=?x y x y ，330+=-??-=?x y x y ，33

40+=-??+-=?x y x y

(2)

解得113434?=????=??x y ，221421-2?=????=??x y ，333434?=-????=-??x y ，4415272

?=????=-??x y (4)

21．（本题满分10分）

解：（1）设函数关系式为=+y kx b

将(0,800)、(2,2400)代入得到：

8002+2400=??=?b k b ，解得800

800=??

=?

k b ∴函数关系式为800800=+y x (3)

（2）当58005800=4800==?+x y 时， (1)

设这个增长率为a ，由题意有22400(1)=4800+a ..........................................3 解得1212,12=-+=--a a （舍） (2)

120.4140.4141%=-+≈≈=a

(1)

答：函数关系式为800800=+y x ，这个增长率为41% 22．（本题满分10分）

（1）∵Rt △ABC 中，∠CAB =90o，sin C=

3

5

，∴3sin 5AB C BC =

= (1)

设3,5AB k BC k ==

在RT t △ABC 中，222+AB AC BC = ∴222(3)+6(5)k k = 解得3

2

k =(负舍) …………………………………………2 ∴39

=3=22AB ?

………………………………………………………………………1 （2）315

=5=22BC ?

(1)

作DH ⊥BC ，垂足为H

∵BD 平分∠CBA ，DA ⊥AB ，DH ⊥BC

∴AD=DH ………………………………………………………………………1 设AD=DH=x ，则CD=6－x ∵∠C=∠C ，∠CHD=∠A=90°

∴△CDH ∽△CBA (1)

∴

CD DH BC BA =，∴615922

x x

-=，解得94x = (2)

在Rt △DBA 中

∴ 91

4tan 92

2AD DBA BA ∠===

…………………………………………………………1 23．证明：（1）∵BM 、DN 分别平分正方形的外角，∴ ∠CBM = ∠CDN =45°．

∴∠ABM = ∠ADN = 135°， ………………………………………………………2 ∵∠MAN =45°， ∴∠BAM + ∠NAD =45°．

在△ABM 中，∠BAM +∠AMB =180°－135°=45°, ∴∠NAD =∠AMB ………2 在△ABM 和△NDA 中，

∵∠ABM =∠NDA , ∠NAD =∠AMB ， ∴△ABM ∽ △NDA ． (1)

（2）当∠BAM =22.5°时，四边形BMND 为矩形 ................................................2 当∠BAM =22.5°时，∠BAM = ∠AMB=22.5°，有AB=BM (1)

∵△ABM ∽ △NDA ，∴ AD=DN ， (1)

∵四边形ABCD 为正方形，

∴ AD=AB ，∠DBC =∠BDC =45°

∴BM =DN (1)

又∵∠CBM =∠CDN =45°，∴∠BDN =∠DBM =90° (1)

∴BM ∥DN …………………………………………………………………………1 ∴四边形BMND 为矩形

24．解：（1）设抛物线解析式为y=a (x +1)(x －3) 将点C （5，6）代入，得2

1

=a ∴抛物线解析式为23212--=

x x y ……………………………………………2 （2）∵抛物线解析式为2)1(2

123212

2--=--=x x x y

∴抛物线顶点D 的坐标为（1，－2） (1)

作x CM ⊥轴于点M ，作x DN ⊥轴于点N ∵点C （5，6）， ∴点M 的坐标为（5，0） ∴CM =6，AM =5+1=6， ∴CM =AM ∵x CM ⊥轴， ∴∠CMA =90°

在△ACM 中，∠CAM +∠ACM =180°－90°=90°

∴∠CAM=∠ACM=45°， 同理可求得，∠NAD=∠NDA=45°

∴∠CAB=∠DAB=45°………………………………………………………………1 ①当点E 在点A 右侧

∵ AEC 和 AED 相似，且∠CAE=∠DAE=45° ∴

AD AE AE AC =，∴ 2

226AE

AE = ∴

62=AE ，∴ 点)0,621(+-E (2)

②当点E 在点A 左侧

∵ AEC 和 AED 相似，且∠CAE=∠DAE=135°

∴

AD AE AE AC =，∴ 2

226AE

AE = ∴

62=AE ，∴ 点)0,621(--E (2)

综上所述，点)0,621(+-E 或)0,621(--E （2）由（2）得：∠CAB=∠DAB=45°， ∴∠DAC=90°

①当PD //AC 时，∠ADP=∠CAD=90°

∵点A （－1，0）、点B （3，0）、点D （1，－2） ∴22)02()11(22=--+--=AD

22)02()31(22=--+-=

BD

AB =3+1=4

∴2

2

2

AB BD AD =+， ∴∠ADB=90°

∴B 和点A 、C 、D 构成直角梯形 又()

162622222

1

=+??=

ADBC S ∴B 和点A 、C 、D 构成面积16的直角梯形，满足题意；……………………………2 ②当CP //AD 时，∠PCA=∠CAD=90° ∵()

16222621=+??=

CP S ADPC ，∴3

2

2=CP 作CM PH ⊥轴于点H

在等腰直角三角形CPH 中，可求得CH=PH=

3

2

∴点P 坐标为??

?

??316,317………………………………………………………………2 ③当AP //CD 时，不合题意，舍去。 综上所述，点P 坐标为???

??316,3

17或（3，0）

25. 解：（1）作AC PM ⊥于M

在Rt △PAM 中，4

cos x

A AP AM =

?= x x x AM PA PM 41542

222=???

??-=-=∴ (1)

AD PM PD PA ⊥=, ，2

2x AM AD =

=∴ 2

4x

AD AC CD -=-=∴ (1)

211151515

42224162PCD x x S CD PM x x

???∴=?=-?=-+ ???

2151508162y x x,x ∴=-

+<< (2)

（2）作BC PN ⊥于N

∵⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等， PN PM =∴...........................1 ∴CP 平分ACB ∠， ∴?=∠=∠45CPM ACP (1)

∴x PM CM 415=

=， ∴44

154=+=x x CA 解得：715878+

-

=x ， 即7

15

878+-=AP …………………………………2 （3）设⊙P 与⊙C 的公共弦EF 交CP 于点F

2=EF ，1==CF CE ,CEF ?∴为等腰直角三角形 ?=∠∴45ECP , 2

2

==∴EG CG (2)

在Rt △PCM 中，

162415)44(22

22

2+-=???

? ??+-=+=x x x x CM PM PC 22

2162

∴=±=-+±

PG CP CG x x （圆心在公共弦的同侧或异侧）…………1 在Rt △PEG 中，2

22EG PG PE +=

22

22

2221622????∴=±=-+±+= ? ? ? ?????PG CP CG x x x

解得：2

510

16±

=x ， ……………………………………………………………2 由于510

16+

2

不符合题意，舍去. …………………………………………………1 所以AP 的长为510

16-2

.