2021-2022学年江苏省南通市如皋市、镇江市高三（上）
期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合P ={x|log 6(x +1)<1,x ∈N}，Q ={1,3,5}，M =P ∪Q ，则集合M 中的
元素共有( )
A. 4个
B. 6个
C. 8个
D. 无数个
2. “函数f(x)=sinx +(a −1)cosx 为奇函数”是“a =1”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知随机变量X 服从正态分布N(4,σ2)，且P(3≤X ≤5)=0.86，则P(X <3)=( )
A. 0.43
B. 0.28
C. 0.14
D. 0.07
4. 已知sin(α+π
3)=1
2，则sin(2α+π
6)的值为( )
A. −1
2
B. 1
2
C. −√3
2 D. √32
5. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n +a n+1+a n+2=1，n ∈N ∗，则a 2022=( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
6. 已知函数f(x)=x 3+ax 2−x 的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y =4x −3，则
函数y =f(x)的极大值为( )
A. 1
B. −5
27
C. −25
27
D. −1
7. 已知双曲线
x 2
a 2
−y 2
b 2=1，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满FP
⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √6
B. √2
C. √3
D. 2
8. 已知a =√e ，b =3−ln4，c =3
2，则下列选项正确的是( )
A. a
B. a C. c D. c 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 关于复数z =−12+√3 2 i(i 为虚数单位)，下列说法正确的是( ) A. |z|=1 B. z +z 2=−1 C. z 3=−1 D. (z +1)3=i 10. 已知函数f(x)=2(cosx +sinx)cosx −1，则下列说法正确的是( ) A. f(x)≥f(5 8π) B. f(π8+x)=f(π 8−x) C. f(π 8+x)+f(π 8−x)=0 D. f(1)>f(2) 11. 如表所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事 件A 1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A 2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A 3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是( ) A. 事件A 1，A 2是互斥事件 B. 事件A 1，A 2是独立事件 C. P(A 1|A 3)=P(A 2|A 3) D. P(A 3)=P(A 1)+P(A 2) 12. 瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》−书中提出： 三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC 的顶点A(−4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x −y +2=0，则下列说法正确的是( ) A. △ABC 的外心为(−1,1) B. △ABC 的顶点C 的坐标可能为(−2,0) C. △ABC 的垂心坐标可能为(−2,0) D. △ABC 的重心坐标可能为(−43,2 3) 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (x +1 x 2)3的展开式中的常数项是______． 14. 已知圆O ：x 2+y 2=1，M ，N ，P 是圆O 上的三个动点，且满足∠MON =π 2，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知抛物线y 2=8x ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB =9，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则λ=______． 16. 已知三棱锥D −ABC 中，AB =AC =AD =1，∠DAB =∠DAC =π 2，∠BAC =π 3，则 点A 到平面BCD 的距离为______，该三棱锥的外接球的体积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=3，2AC=3AD= ． √3AB，cos∠CAD=1 3 (1)求AD的长； (2)求sinB． 18.已知数列{a n}中，a1=0，a n+1=a n+(−1)n⋅n． (1)求a2n； (2)设b n=1 ，求数列{b n}的前n项和． a2n⋅a2(n+1) 19.已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜 色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分． (1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率； (2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列． 20.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1，底面ABC是等 腰直角三角形，AA1=AB=√2BC=4，∠A1AB= 60°，cos∠BCC1=√2 4 ，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点． (1)证明：NB⊥平面A1B1C1； (2)求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值． 21.设椭圆E：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)经过点M(√3,1 2 )，离心率为√3 2 ． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，过定点N(1,0)且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线x=4的交点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值． 22.设f(x)=xe x−mx2，m∈R． (1)设g(x)=f(x)−2mx，讨论函数y=g(x)的单调性； (2)若函数y=f(x)在(0,+∞)有两个零点x1，x2，证明：x1+x2>2． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：集合P={x|log6(x+1)<1,x∈N}={x|−1 ∴M={0,1,2,3,4,5}． ∴集合M中的元素共有6个元素． 故选：B． 求出集合P，进而求出M=P∪Q，由此能求出集合M中的元素个数． 本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C 【解析】解：若f(x)是奇函数，则a−1=0，解得a=1， 故“函数f(x)=sinx+(a−1)cosx为奇函数”是“a=1”的充要条件， 故选：C． 根据函数的奇偶性求出a的值，再根据充要条件的定义判断即可． 本题考查充分必要条件的定义，考查函数的奇偶性问题，是基础题． 3.【答案】D 【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，且P(3≤X≤5)=0.86， =0.07． ∴P(X<3)=1−0.86 2 故选：D． 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题． 4.【答案】A 【解析】解：∵sin(α+π 3)=1 2， ∴sin(2α+π 6)=−cos(2α+ 2π3)=2sin 2(α+π3)−1=2×14−1=−1 2 ， 故选：A ． 由题意，利用诱导公式，二倍角公式，计算求得结果． 本题主要考查诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题． 5.【答案】A 【解析】解：∵数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n +a n+1+a n+2=1，n ∈N ∗， ∴a 1+a 2+a 3=1，求得a 3=−2， 且a n+1+a n+2+a n+3=1， 故a n+3=a n ，即周期为3， ∴a 2022=a 2022=a 3=−2， 故选：A ． 根据递推关系式构造新等式，求得数列的周期，进而求解结论． 本题主要考查数列递推关系式的应用，解题的关键是求出数列的规律，属于基础题． 6.【答案】A 【解析】解：函数f(x)=x 3+ax 2−x ，可得f′(x)=3x 2+2ax −1， 函数f(x)=x 3+ax 2−x 的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y =4x −3， 可得3+2a −1=4，解得a =1， 3x 2+2x −1=0，解得x =−1或x =1 3，当x ∈(−∞,−1)，x ∈(1 3,+∞)时，f′(x)>0，函数是增函数， x ∈(−1,1 3)时，f′(x)<0，函数是减函数， 所以x =−1时，函数取得极大值：1． 故选：A ． 求出导函数，利用切线方程，求解a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值即可． 本题考查函数的导数的应用，切线方程的应用，函数的极值的求法，是中档题． 7.【答案】B 【解析】解：设P 在渐近线y =−b a x 上，直线FP 的方程为y =a b (x +c)， 由{y =−b a x y =a b (x +c)，得{x =−a 2 c y = ab c ， 即P(− a 2c , ab c )， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得Q(−a 2 2c −c 2,ab 2c )， 因为Q 在双曲线上， 所以 (c 2+a 2)24a 2c 2 −a 2 4c 2=1， 化简得：c 2=2a 2， e = c a =√2， 故选：B ． 设P 在渐近线y =−b a x 上，直线FP 的方程为y =a b (x +c)，联立求得P(−a 2c , ab c )， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得Q(−a 2 2c −c 2,ab 2c )，代入双曲线方程化简即可得出结果． 本题考查了双曲线的离心率的求解，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：∵a =√e ，b =3−ln4，c =3 2， ∴a 2=e ≈2.718，c 2=9 4=2.25，∴a 2>c 2，∴a >c ， b 2=(3−ln4)2≈1.622=2.6244b ， b =3−1n4−1.5=3 2 −2ln2=1 2 ln e 316 >12 ln 1916 >0，∴b >c ， ∴a >b >c ． 故选：C ． 由e ≈2.718，ln2≈0.69，利用不等式的性质能求出结果． 本题考查三个数的大小的求法，考查平方法、作差法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 9.【答案】AB 【解析】解：对于A ，∵z =−1 2 +√3 2 i ， ∴|z|=12)(√3 2)=1，故A 正确， 对于B ，∵z =−12 +√3 2 i ， ∴z +z 2=−1 2+ √32 i +(−1 2+ √32i)2 =−1，故B 正确， 对于C ，z 3=z 2⋅z =(−1 2−√3 2i)(−1 2+√3 2 i)=1，故C 错误， 对于D ，(z +1)3=(z +1)2(z +1)=(1 2 +√3 2 i)2(1 2 +√3 2 i)=(−1 2 +√3 2 i)(1 2 +√3 2 i)=−1， 故D 错误． 故选：AB ． 根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解． 本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 10.【答案】ABD 【解析】解：f(x)=2(cosx +sinx)cosx −1=2cos 2x −1+2sinxcosx =cos2x +sin2x =√2sin(2x +π 4 )， 对于A ，f(5 8π)=√2sin(2×5 8π+π 4)=√2sin 3π2 =−√2，而f(x)min =−√2， 即∀x ∈R ，f(x)≥f(5 8π)，故A 正确； 对于B ，f(π 8+x)=√2sin(2x +π 2)=√2cos2x ，f(π 8−x)=√2sin(π 2−2x)=√2cos2x ， 即f(π 8+x)=f(π8−x)，故B 正确； 对于C ，取x =π 8，f(π 8+x)+f(π 8−x)=f(π 4)+f(0)=2≠0，故C 错误； 对于D ，因为3π 4<2+π 4<π，3π 2<4+π 4<2π，则f(1)>0>f(2)，故D 正确． 故选：ABD ． 根据给定条件利用二倍角公式，辅助角公式化简函数f(x)，再逐项分析判定即可． 本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题． 11.【答案】AC 【解析】解：记事件A 1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A 2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A 3：挑出的数字里含有数字1． 事件A 1和事件A 2不能同时发生，是互斥事件，故A 正确； 事件A 1，A 2不是独立事件，故B 错误； P(A 1|A 3)= P(A 1A 3)P(A 3) = 1C 9 3P(A 3) ，P(A 2|A 3)=P(A 2A 3)P(A 3) = 1 C 9 3P(A 3) ， ∴P(A 1|A 3)=P(A 2|A 3)，故C 正确； P(A 3)= C 11C 82C 9 3，P(A 2)=1C 9 3，P(A 2)=1 C 9 3， ∴P(A 3)≠P(A 1)=P(A 2)，故D 错误． 故选：AC ． 对于A ，事件A 1和事件A 2不能同时发生，是互斥事件；对于B ，事件A 1，A 2不是独立事件；对于C ，分别求出P(A 1|A 3)= P(A 1A 3)P(A 3) ，P(A 2|A 3)= P(A 2A 3)P(A 3) ，进行判断；对于D ，分 别求出P(A 3)，P(A 2)，P(A 2)，进行判断． 本题考查概率的求法，考查互斥事件、独立事件、古典型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.【答案】ACD 【解析】解：由顶点A(−4,0)，B(0,4)，可知直线AB 的垂直分线方程为y =−x ，△ABC 的外心在直线x − y +2=0上， 联立{x −y +2=0 y =−x ，可得外心坐标为(−1,1)，故A 正确； 设外心为G ，则G(−1,1)，故|GA|=√10， 所以外接圆方程为(x +1)2+(y −1)2=10， 设C(x,y)， 则△ABC 的重心为( x−43 , y+43 )，代入欧拉线方程为x − y +2=0中， 得：x −y −2=0 和(x +1)2+(y −1)2=10 联立，解得{x =2y =0或{x =0 y =−2， 即C 点坐标可以为(2,0)，(0,−2)，故B 错误； 由C 点坐标为(2,0)，(0,−2)，可知重心可能为(−23,43)，(−43,2 3)，故D 正确； 当C 点坐标为(2,0)时，过C 和AB 垂直的直线方程为y =−x +2， 联立欧拉线方程为x − y +2=0可解得垂心坐标为(0,2)； 当C 点坐标为(0,−2)时，过C 和AB 垂直的直线方程为y =−x −2， 联立欧拉线方程为x − y +2=0可解得垂心坐标为(−2,0)，故C 正确， 故选：ACD ． 求出直线AB 的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A ； 求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C 的坐标，进而判断B ，D 的对错； 写出过C 和直线AB 垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C ． 本题属新概念题，考查了三角形外心、重心、垂心及直线方程等相关知识，难点在于理解欧拉线的定义，属于难题． 13.【答案】3 【解析】 【分析】 本题考查二项式定理的应用，考查指定项的系数，考查公式的理解与应用，属于基础题． 写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出相应的参数值，然后代入通项即可得出答案． 【解答】 解：(x +1 x 2)3的展开式的通项为T k+1=C 3 k ⋅x 3−k ⋅(1 x 2)k =C 3k ⋅x 3−3k ， 令3−3k =0，得k =1． 因此，二项展开式的常数项为C 31 =3． 故答案为：3． 14.【答案】1 【解析】解：因为圆O ：x 2+y 2=1，M ，N ，P 是圆O 上的三个动点，且满足∠MON =π 2， 所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =1−λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1−λ(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1−λ(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ) =1． 故答案为：1． 利用向量的线性运算将PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为用OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数值计算即可． 本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量数量积的运算，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 15.【答案】1 2或2 【解析】解：抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F(2,0)，准线为x =−2． 设直线为x =my +2， 代入抛物线方程可得，y 2−8my −16=0， y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16， 即有x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=8m 2+4， 由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =8m 2+4+4=9， 解得k =±√2 4 ， 即直线为y =±2√2(x −2)， 由x 2−5x +4=0，可得x 1=1，x 2=4或x 1=4，x 2=1， ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(2−x 1,−y 1)=λ(x 2−2,y 2)， ∴2−x 1=λ(x 2−2)，∴λ=1 2或λ=2． 故答案为：1 2或2． 求出抛物线的焦点和准线方程，设出直线方程，代入抛物线方程，消去x ，运用韦达定理，结合抛物线的定义，求得斜率k ，再解二次方程可得交点A ，B 的横坐标，进而得到纵坐标，再由定义可得AF ，BF 的长，即可得到结论． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和准线方程的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于中档题． 16.【答案】√217 7√2154 π 【解析】解：(1)如下图所示， V D−ABC =V A−BCD ， 设点A 到平面BCD 的距离为ℎ， 取BC 中点E ，连接AE 、DE ， 因为AB =AC =AD =1,∠BAC =π 3， 所以BC =1,AE =√3 2 ,DE =√7 2 ， 所以ℎ= 1 3S △ABC ⋅AD 13S △BCD = (12 ×1× √3 2)×112×1×√72 = √21 7 ． (2)取AB 中点F ，连CF 交AE 于G ，则G 是△ABC 的外心， 过G 作O//|DA ，O 为三棱锥外接球的球心， 过O 作OH//AG ， 所以AG =2 3AE =√3 3， 设球的半径为R ， 则R 2=AG 2+OG 2=OH 2+(1−OG)2， 所以OG =1 2,R =√1 3+1 4=√21 6， 所以V 球=4 3 π(√216)3 = 7√2154 π， 故答案为：√217； 7√2154 π． (1)V D−ABC =V A−BCD ，等积法计算顶点到底面的距离； (2)求三棱锥外接球球心，然后再求体积． 本题考查了空间中的距离问题以及几何体的外接球问题，属于中档题． 17.【答案】解：(1)依题意，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅AD ⋅ cos∠CAD ， 即32=(3 2AD)2+AD 2−2⋅3 2AD ⋅AD ⋅1 3，解得AD =2； (2)在△ACD 中，由(1)知AC =3，由余弦定理可得cosC =AC 2+CD 2−AD 2 2AC⋅CD = 32+32−222×3×3=7 9， 则有sinC =√1−cos 2C = 4√2 9 ，在△ABC 中，由正弦定理得sinB = AC AB sinC =√32 × 4√29 = 2√6 9 ． ∴sinB =2√6 9 ． 【解析】(1)在△ACD 中，利用余弦定理建立方程求解即可； (2)利用(1)的结论求出cosC ，再在△ABC 中由正弦定理计算可求sinB ． 本题考查正余弦定理的应用，属中档题． 18.【答案】解：(1)数列{a n }中，a 1=0，a n+1=a n +(−1)n ⋅n ， 所以a 2−a 1=−1，a 3−a 2=2，a 4−a 3=−3，......，a n+1−a n =(−1)n ⋅n ， 所有的式子相加得到a n+1=−1+2−3+4+...+(−1)n ⋅n ； 当n 为偶数时，a n+1=n 2， 当n 为奇数时，a n+1=n−12−n =− n+12 ； 所以a 2n =−n ． (2)由(1)得：a 2=−1， 所以b n =1 a 2n a 2(n+1)=1 n(n+1)=1 n −1 n+1， 所以S n =b 1+b 2+...+b n =1−1 2+1 2−1 3+...+1 n −1 n+1=1−1 n+1=n n+1． 【解析】(1)直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 19.【答案】解：(1)连续取3个球有A 63种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个 有C 21×C 21×C 21×A 33 种方法， 故恰好取到3种颜色球的概率P = C 21×C 21×C 21×A 3 3A 6 3=2 5． (2)由题意可得，随机变量ξ所有可能取值为4，5，6，7，8， 当ξ=4时，两个红球和一个白球，则P(ξ=4)= C 22C 21C 6 3=1 10， 当ξ=5时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则P(ξ=5)=C 22C 21+C 22C 2 1C 6 3=1 5 ， 当ξ=6时，一个红球和一个白球和一个黑球，则P(ξ=6)= C 21C 21C 21C 6 3=2 5， 当ξ=7时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则P(ξ=7)=C 22C 21+C 22C 2 1C 6 3=1 5 ， 当ξ=8时，两个黑球和一个白球，则P(ξ=8)=C 22C 21C 6 3=1 10， 故随机变量ξ的分布列为： ξ 4 5 6 7 8 P 1 10 1 5 2 5 1 5 110 【解析】(1)连续取3个球有A 63种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有 C 21×C 21×C 21×A 33 种方法，再结合概率公式，即可求解． (2)由题意可得，随机变量ξ所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，即可求解分布列． 本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，考查计算能力，属于中档题． 20.【答案】(1)证明：连接MN ，A 1B ，由已知四边形ABB 1A 1为平行四边形， 又∠A 1AB =60°，AA 1=AB =4， ∴△A 1B 1A 为等边三角形， ∵N 为A 1B 1的中点， ∴BN ⊥A 1B 1,BN =2√3， ∵底面ABC 是等腰直角三角形，AB =√2BC =4， ∴AC =2√2,A 1C 1=AC =2√2， ∵M ，N 分别为B 1C 1，A 1B 1的中点， ∴MN =1 2A 1C 1=√2， ∵CC 1=4,BC =2√2,cos∠BCC 1= √2 4 ， ∴BC 1=√CB 2+CC 12 −2CB ⋅CC 1cosC 1CB =√8+16−8=4， ∴△B 1BC 为等腰三角形,M 是棱B 1C 1的中点, ∴BM =√BC 12−C 1M 2=√14， ∴BM 2=BN 2+MN 2， ∴BN ⊥MN ， 又A 1B 1，MN ⊂平面A 1B 1C 1，A 1B 1∩MN =N ， ∴NB ⊥平面A 1B 1C 1； (2)解：取AB 的中点O ，连结A 1O ， 则A 1O//BN ， 由(1)知A 1O ⊥平面ABC ，CO ⊥AB ， 如图，以点O 为坐标原点，直线OC ，OB ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则O(0,0,0),A(0,−2,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B 1(0,4,2√3),C 1(2,2,2√3),M(1,3,2√3),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5,2√3)， 设平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{ −2x +2y =02y +2√3z =0, 取x =1，则y =1，z =−√3 3 ， 所以n ⃗ =(1,1,−√ 3 3)， 设直线AM 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ | |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ | =√38×√7 3 =√3 √266 = 2√798 133， ∴直线AM 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为 2√798 133 ． 【解析】(1)先证明BN ⊥A 1B 1，BN ⊥MN ，根据线面垂直判定定理证明NB ⊥平面A 1B 1C 1； (2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线AM 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 本题考查了空间垂直关系的证明以及直线与平面所成的角，属于中档题． 21.【答案】解：(1)由题意可知{ 3a 2+1 4b 2 =1 c a =√3 2 a 2 =b 2+c 2，解得{a =2 b =1， 所以椭圆E 的方程为： x 24 +y 2=1； (2)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，直线BC 的方程为x =my +1， 因为直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2， 所以k 1⋅k 2=y 1x 1−2×y 2x 2−2=y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)=y 1y 2(my 1−1)(my 2−1)=y 1y 2 m 2y 1y 2−m(y 1+y 2)+1， 由{x =my +1x 2+4y 2 =4，消去x ，整理得(m 2+4)y 2+2my −3=0， 所以y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3 m 2+4，则Δ=16m 2+48>0， 所以k 1⋅k 2= − 3 m 2+3 m 2×−3m 2+3−m×−2m m 2+3 +1 =−3 4， 直线AB 的方程，y =k 1(x −2)，所以P(4,2k 1)，同理Q(4,2k 2)， 所以△APQ 的面积为S =1 2×2×|2k 1−2k 2|=2|k 1−k 2|， 因为k 1⋅k 2=−3 4<0， 所以S =2(|k 1|+|k 2|)≥2√|k 1k 2|=2√3，当且仅当k 1=−k 2时，取”=“， 所以△APQ 面积的最小值为2√3． 【解析】(1)将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆方程； (2)设直线BC 的方程，分别表示出直线AB ，AC 的斜率，并将直线BC 的方程代入椭圆方程，可得k 1⋅k 2=−3 4，分别求得P 和Q 点坐标，表示出△APQ 面积的，利用基本不等式的性质，即可求得△APQ 面积的最小值． 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系，直线的斜率公式及基本不等式的应用， 考查转化思想，计算能力，属于中档题． 22.【答案】(1)解：g(x)=xe x−mx2−2mx(x∈R)，g′(x)=(x+1)(e x−2m)， m≤0时，e x−2m>0，当x>−1时g′(x)>0，g(x)是单调递增函数， 当x<−1时g′(x)<0，g(x)是单调递减函数； m>0时，令g′(x)=0，得x1=−1，x2=ln(2m)， 当−1>ln(2m)即0 2e 时，x>−1或x 当−1 2e 时，x<−1或x>ln(2m)时g′(x)>0，g(x)是单调增函数，−1 当−1=ln(2m)即m=1 2e 时，g′(x)>0，g(x)在x∈R上是单调增函数， 综上所述 m≤0时，g(x)在(−1,+∞)是单调递增函数，在(−∞,1)上是单调递减函数； 0 2e 时，g(x)在(−1,+∞)，(−∞,ln(2m))上是单调增函数，在(ln(2m),−1)是单调递减函数， m>1 2e 时，g(x)在(−∞,−1)，(ln(2m),+∞)上是单调增函数，在(−1,ln(2m))是单调递减函数， m=1 2e 时，g(x)在x∈∖bfR上是单调增函数． (2)证明：令f(x)=xe x−mx2=0，因为x>0，所以e x=mx， 令F(x)=e x−mx(x>0)，F(x1)=0，F(x2)=0，两式相除得， e x1−x2=x1 x2 ，① 不妨设x2>x1，令t=x2−x1，则t>0，x2=t+x1， 代入①得：e t=t+x1 x1，反解出：x1=t e t−1 ，则x1+x2=2x1+t=2t e t−1 +t， 故要证x1+x2>2即证2t e t−1 +t>2，又因为e t−1>0，等价于证明：2t+(t−2)(e t−1)>0， 构造函数ℎ(t)=2t+(t−2)(e t−1)(t>0)， 则ℎ′(t)=(t−1)e t+1，ℎ′′(t)=te t>0， 故ℎ′(t)在(0+∞)上单调递增，ℎ′(t)>ℎ′(0)=0， 从而ℎ(t)在(0+∞)上单调递增，ℎ(t)>ℎ(0)=0． 即x1+x2>2． 【解析】(1)求出g′(x)=(x+1)(e x−2m)，分m≤0、0 2e 、m>1 2e 、m=1 2e 讨 论g(x)的单调性即可； (2)令f(x)=xe x−mx2=0得e x=mx，代入x1，x2两式相除得，e x1−x2=x1 x2 ，设x2>x1， 令t=x2−x1求出e t=t+x1 x1，反解出x1=t e t−1 ，则x1+x2=2t e t−1 +t，即证2t e t−1 +t>2， 等价于证明：2t+(t−2)(e t−1)∖bf>0，构造函数ℎ(t)=2t+(t−2)(e t−1)(t∖bf>0)，利用导数求出单调性可得答案． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究双变量问题，等价转化的数学思想等知识，属于中等题． 2021-2022学年江苏省南通市如皋市、镇江市高三（上） 期末数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知集合P ={x|log 6(x +1)<1,x ∈N}，Q ={1,3,5}，M =P ∪Q ，则集合M 中的 元素共有( ) A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 无数个 2. “函数f(x)=sinx +(a −1)cosx 为奇函数”是“a =1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量X 服从正态分布N(4,σ2)，且P(3≤X ≤5)=0.86，则P(X <3)=( ) A. 0.43 B. 0.28 C. 0.14 D. 0.07 4. 已知sin(α+π 3)=1 2，则sin(2α+π 6)的值为( ) A. −1 2 B. 1 2 C. −√3 2 D. √32 5. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n +a n+1+a n+2=1，n ∈N ∗，则a 2022=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 2 6. 已知函数f(x)=x 3+ax 2−x 的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y =4x −3，则 函数y =f(x)的极大值为( ) A. 1 B. −5 27 C. −25 27 D. −1 7. 已知双曲线 x 2 a 2 −y 2 b 2=1，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √6 B. √2 C. √3 D. 2 8. 已知a =√e ，b =3−ln4，c =3 2，则下列选项正确的是( ) A. a 南通市2021－2022(上)高三期中调研测试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩(C U B )＝ A ．(1，2) B ．(1，2] C ．(2，4) D ．[2，4) 2．已知z ＝1－2i ，|z -－z |＝ A ．2 B ．4 C ．4i D ．－4i 3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式 甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25． 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4．经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K t x 2 ＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信 息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a 2 的位置距释放处的距离为 A ．14m B ．1 2 m C ．2m D ．4m 5．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝6，则圆锥 SO 的体积为 A ．182π B ．542π C ．163π D ．483π 6．函数y ＝ 2sin x x 2 ＋1 (x ∈[－2，2)的图象大致为 7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且e a－e－1 2＝a＋ 1 2，e b－e－13＝b＋1 3，e c－2－15＝c＋1 5，则 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 2021－2022学年度高三年级第一学期教学质量调研(三) 数 学 试 题 一、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求． 1．已知集合A ，B ，P 满足P ⊆(A ∩B )．下列选项中一定正确的有( ) A ．A ∪ B ＝A B ．A ∩B ≠∅ C ．P 有无数个 D ．C (A ∩B )P ⊆A 2．已知复数z 满足|z －i|＝1，复数z 的共轭复数为z -，则|z -|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设→a ，→b 均为单位向量，则“|→a －3→b |＝|3→a ＋→b |”是“→a ⊥→ b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．偶函数f′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能为( ) (函数f ′(x )的图象) A B C D 5．已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6 )＝( ) A ．12 B ．33 C ．23 D ．22 6．(a ＋x )[(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5 ]的展开式中x 2的系数为55，则实数a 的值( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点F 2处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离|F 2A |＝1.5cm ，过焦点F 2且垂直于轴的弦|BC |＝5.4cm ，在x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝 ( )cm ． A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 8．已知a ＝e 12 ，b ＝log 35，c ＝log 68 (其中e 为自然对数的底数，e ≈2.718)，下列关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b 二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知函数f (x )＝A sin(ax ＋φ)，其中ω＞0，A ＞0，函数f (x )的周期为π，且x ＝π3 时，f (x )取得极值．则下列说法正确的是( ) A ．ω＝2 初中生自主学习能力专项评价样卷 七年级数学 （样卷仅供参考，各校根据校情自行编辑、组织考试、阅卷） 一、填空题（本大题共12小题．请将答案写在答题卡相应的位置） 1．12的相反数是______． 2．单项式235x y 的次数是______． 3．图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为5，则x y +=______． 4．若单项式22m x y 与3 3n x y -是同类项，则m n +的值是______． 5．一个整数6250…0用科学记数法表示为96.2510⨯，则原数中“0”的个数为______． 6．若21a b -=，则422a b -+的值为______． 7．若5318α'∠=︒，则α∠的余角为______度． 8．如图，已知点O 在直线AB 上，5AOC BOC ∠=∠，则BOC ∠=______． 9．数轴上点A 表示的数是4-，将点A 在数轴上平移5个单位长度得到点B ．则点B 表示的数是______． 10．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则c a a b b c ----+的值为______． 11．如图，在一条可以折叠的数轴上，A 、B 两点表示的数分别是7-，3，以点C 为折点，将此数轴向右对折，若点A 折叠后在点B 的右边，且2AB =，则C 点表示的数是______． 12．如图，四边形ABCD 与EFGD 都是长方形，点E 、G 分别在AD 与CD 上．若3AE GC ==cm ，长方形EFGD 的周长为24cm ，则图中阴影部分的面积为______2 cm ． 二、选择题（本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 13．下列计算正确的是（ ） 2022~2023学年第一学期末学业质量监测试卷 高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集U＝{x|－2＜x＜3}，集合A＝{x|－1＜x≤1}，则 U A＝ A．(－1，1] B．(－2，－1]∪(1，3) C．[－1，1) D．(－2，－1)∪[1，3) 2．若复数z在复平面内对应的点在直线y＝1上，且―z＝i z，则―z＝ A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 3．(x－1 x)6的二项展开式中的常数项是 A．－20 B．－15 C．15 D．20 4．经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图． 则残差的最大值和最小值分别是 A．0.4，－1.8 B．1.8，－0.4 C．0.4，－0.7 D．0.7，－0.4 5．为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D， 测得∠BCD 的大小为60°，点C ，D 的距离为200m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为45°，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，则直塔AB 的高为 A ．100m B ．1003m C ．(2003－200)m D ．200m 6．已知圆心均在x 轴上的两圆外切，半径分别为r 1，r 2(r 1＜r 2)，若两圆的一条公切线的方程为y ＝ 2 4(x －3)，则r 2r 1 A ．43 B ．2 C ．5 4 D ．3 7．设G 为△ABC 的重心，则→ GA ＋2→ GB ＋3→ GC ＝ A ．0 B ．→ AC C ．→ BC D ．→ AB 8．设a ＝110e 19，b ＝19，c ＝2ln 3 2 ，则 A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．b ＜a ＜c 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，→AE ＝13→AA 1，→CF ＝23 → CC 1，则 A ．EF ⊥BD B ．E C 1∥平面ABF C ．EF ⊥平面B 1C D 1 D ．直线EF 与直线BD 1异面 10．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点M ，N 均在C 上，若△FMN 是以F 为直角顶点的等腰三角形，则|MN |＝ A ． 2－12 B ．2－1 C ．2＋1 2 D ．2＋1 11．已知等差数列{a n }中，当且仅当n ＝7时，S n 取得最大值．记数列{S n n }的前k 项和为T k ， A ．若S 6＝S 8，则当且仅当k ＝13时，T k 取得最大值 B ．若S 6＜S 8，则当且仅当k ＝14时，T k 取得最大值 C ．若S 6＞S 8，则当且仅当k ＝15时，T k 取得最大值 D ．若∃m ∈N *，S m ＝0，则当k ＝13或14时，T k 取得最大值 12．将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．如图所示的单位正方形中，区域I 表示事件AB ，区域II 表示事件A ― B ，区域I 和Ⅲ表示事件B ，则区域IV 的面积为 2022~2023学年第一学期阶段性学习评价Ⅱ 七年级数学试卷 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．） 1．13 的倒数是________． 2．计算：35-+=__________． 3．已知线段AB 长为10cm ，点E 是AB 中点，则AE =________cm ． 4．单项式22 x y 的次数为________． 5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是________． 6．若12180,13180∠+∠=︒∠+∠=︒，则23∠=∠，理由是________． 7．已知关于x 的方程31x a +=-的解为2x =，则a =________． 8．如图，P 是AOB ∠的边OB 上一点，过点P 画OA 所在直线的垂线，垂足为E ，已知2PE =，则PO 的长可以等于________（写一个你喜欢的值）． 9．将如图所示的平面展开图折叠成正方体，已知相对面上的两个数都互为相反数，那么m =________，n m =________． 10．自编一个符合方程10 2.8 1.6x -=的实际情境：________． 11．如图，将一副三角板（三角板AMB 和三角板CND ）叠在一起，使两个直角顶点M 、N 重合，若120AMD ∠=︒，则BMC ∠=________． 12．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为 1.05万元，该银行2年期定期储蓄的年利率是________．（结果用百分数表示） 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 13．下列各组中，不是同类项的是（ ） A ．2x 与x - B ．5mn -与nm C ．20.2p q 与213 p q D ．35a b 与537a b 14．中国信息通信研究院发布预测称，2025年中国5G 用户规模将超过858000000人．将数据858000000用科学记数法表示为（ ） A ．108.5810⨯ B ．98.5810⨯ C ．88.5810⨯ D ．7 8.5810⨯ 15．数轴上表示实数a 的点的位置如图所示，化简|1|a -的结果为（ ） A ．1a - B ．1a - C ．1a + D ．1a -- 16．指南针是野外生存的必备工具之一．若指南针上的定向箭头指向南偏东28︒（如图），现把定向箭头绕着点O 按顺时针方向旋转180︒，此时定向箭头的指向是（ ） 2023届高三第一学期期末调研考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |2x ＞4}，则A ∪B ＝ A ．R B ．(1，2) C ．(2，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．复数21＋i (i 为虚数单位)的虚部为 A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 3．己知底面半径为2的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长 A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 4．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝2，则a ·b ＝ A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．1 5．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC ，且AB ＝AC ，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ′的位置，且A ，B ，D ′三点共线，AD ′＝40cm ，B 为AD ′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，∠BAC 的余弦值是 A ．－1725 B ．－42125 C ．－35 D ．－825 (1) (2) (第5题图) 6．A 、B 两组各3人独立的破译某密码，A 组每个人译出该密码的概率均为p 1，B 组每个人 译出该密码的概率均为p 2，记A 、B 两组中译出密码的人数分别为X 、Y ，且12 ＜p 1＜p 2＜1，则 A ．E (X )＜E (Y )，D (X )＜D (Y ) B ．E (X )＜E (Y )，D (X )＜D (Y ) 2021-2022学年江苏省镇江市市区部分学校八年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.下面有4个标志图案，其中不是轴对称图形的是() A. B. C. D. 2.下列图形对称轴最多的是() A. 正方形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 线段 3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门 框ABCD，使其不变形，这样做的根据是() A. 两点之间，线段最短 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 三角形三个内角和等于180° D. 三角形具有稳定性 4.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为() A. 50° B. 55° C. 65° D. 75° 5.如图，AC，BD相交于点O，OB=OD.要使△AOB≌△ COD，则下列添加的条件中错误的是() A. ∠A=∠C B. ∠B=∠D C. OA=OC D. AB=CD 6.用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等 三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法 是() A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 7.在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形() A. 三条角平分线的交点 B. 三条高线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边垂直平分线的交点 8.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适 当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接 AC、BC.若∠ABC=54°，则∠1的度数为() A. 36° B. 54° C. 60° D. 72° 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 9.如果△ABC≌△DEF，BC=6，那么EF=______． 10.已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有______对全等 三角形． 11.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且 CE=3cm，CD=6cm，则BD的长为______． 12.小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电 子表的实际时刻是______． 13.如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE.若BC=7， AC=4，则△ACE的周长为______． 2021-2022学年江苏省镇江市句容市九年级第一学期期末数学试 卷 一、填空题（本大题共12题，每题2分，共计24分） 1．已知2a＝3b，则的值为． 2．一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝． 3．已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝． 4．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，则AE：EC＝． 6．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝65°，那么∠BOD等于 ． 7．抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是． 8．若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为． 9．如图，已知△ACP∽△ABC，AC＝4，AP＝2，则AB的长为． 10．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠C，若DE＝1，四边形DBCE的面积是△ADE的面积的3倍，则BC的长为． 11．二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c ＝0的根为． 12．点P（m，n）在对称轴为x＝1的函数y＝x2+ax+2的图象上，则m﹣n的最大值为．二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 13．方程x2﹣2x﹣3＝0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．有且只有一个实数根D．没有实数根 14．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（） A．B．C．D． 15．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（） A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1） 16．如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（） 2021-2022学年江苏省南通市如皋市七年级（下）期末数学试卷 1. 4的算术平方根等于( ) A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是( ) A. 调查某批次医用口罩的合格率 B. 新冠疫情期间检测地铁乘客的体温 C. 了解某校八年级一班学生的视力情况 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 3. 下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1=26°，则∠2的度数为( ) A. 26° B. 44° C. 54° D. 64° 5. 若m>n，下列不等式不一定成立的是( ) A. m+3>n+3 B. −3m<−3n C. m 3>n 3 D. m2>n2 6. 如果{x=2 y=−3，是关于x，y的二元一次方程mx−10=3y的一个解，则m的值为( ) A. −1 3 B. −1 2 C. 1 2 D. 16 3 7. 已知点P(m +2,2m −4)在x 轴上，则点P 的坐标是( ) A. (0,4) B. (4,0) C. (0,−4) D. (−4,0) 8. 若方程组{x +2y =1+m 2x +y =−3中的x ，y 满足x +y >0，则m 的取值范围( ) A. m >−2 3 B. m >2 C. m <−23 D. m <2 9. 在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱 数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己 23 的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x ，乙持钱数为y ，可列方程组( ) A. {1 2x +y =50 2 3 y +x =50 B. {x +1 2y =502 3 y +x =50 C. {1 2x +y =50 y +23 x =50 D. {x +1 2y =50y +2 3 x =50 10. 如图， 射线AB 与射线CD 平行，点F 在射线AB 上，∠DCF =70°，AF =a(a 为常数，且a >0)，P 为射线CD 上的一动点(不包括端点C)，将△CPF 沿PF 翻折得到△EPF ，连接AE ，则AE 最大时，∠DPE 的度数为( ) A. 30° B. 55° C. 70° D. 90° 2022-2023学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项: 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上 指定的位置。 3.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．使函数1 x y x +=有意义的自变量x 的取值范围为（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥﹣1 C ．x ≥﹣1且x ≠0 D ．x ＞﹣1且x ≠0 3．在平面直角坐标系中，若点P （x －3, x ）在第二象限，则x 的取值范围为 （ ） A ．x ＞0 B ．x ＜3 C ．0＜x ＜3 D ．x ＞3 4．一次函数y =2x ﹣1与y =x +1的图象交点坐标为（ ） A ．（﹣2，3） B ．（2，﹣3） C ．（2，3） D ．（﹣2，﹣3） 5．下列整数中，与√10－1最接近的是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．直线y =2x -1不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其沿边AB 上的中线CE 折叠，使点A 落在点A ′处，则∠A ′EB 的度数为（ ） 2021-2022学年江苏省镇江一中高二（上）月考数学试卷 （10月份） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为( ) A. 43，5 3 B. −43，−5 3 C. −34，−5 4 D. 34，5 4 2. 在复平面内，复数6+5i 与−3+4i 对应向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( ) A. −1+9i B. 9+i C. −9−i D. 9−i 3. 下列说法正确的是( ) A. “a =−1“是“直线a 2x −y +1=0与直线x −ay −2=0互相垂直”的充要 条件 B. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y −2=0 C. 过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1 y 2−y 1=x−x 1 x 2−x 1 D. 直线ax +2y +6=0与直线x +(a −1)y +a 2−1=0互相平行，则a =−1 4. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是( ) A. 若a//α，b ⊂α，则a//b B. 若a//b ，a//α，则b//α C. 若a ⊥α，a//β，则α⊥β D. 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//α 5. 若α∈[π6,π 2)，则直线4xcosα+6y −7=0的倾斜角的取值范围是( ) A. [π6,π 2) B. [5π 6,π) C. (0,π 6] D. (π2,5π 6] 6. 已知圆锥的母线长为3√2，其侧面展开图是一个圆心角为2π 3的扇形，则该圆锥的底 面面积是( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 7. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和 x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( ) A. 2√3 B. 2√5 C. 2 D. 4 8. 已知三条直线l 1： mx +ny =0，l 2：nx −my +3m −n =0，l 3：ax +by +c =0，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且a +c =2b.设直线l 1，l 2交于点P ，则点P 到直线l 3的距离的最大值是( ) 2021-2022学年江苏省南通市如皋中学八年级第一学期第二次段 考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．在，，，中，分式的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（） A．和B．和C．和D．和 3．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（）A．6a（a﹣b）2（a+b）B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b）D．6a（a+b） 4．如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数值为（）A．2B．4C．3D．12 5．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．1 6．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（） A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90° 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（） A．无法确定B．C．1D．2 8．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2D．4ab﹣3a+8b﹣2 9．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（） A．B． C．D． 10．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（）A．0B．1C．2020D．2021 二、填空题．（每小题2分，共16分） 11．要使+有意义，则x应满足． 12．在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝． 13．若x，y是实数，且y＝++3，则的值为． 14．关于x的分式方程的解为正实数，则实数a的取值范围为．15．若实数m，n满足m2﹣m+3n2+3n＝﹣1，则m﹣2﹣n0＝． 16．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC 的度数为． 2021-2022学年江苏省南通市高二上期末考试数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP → =12OA →+（14 −λ）OB →+（λ+14）OC → 成 立，则“λ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．若经过P （m ，﹣1）和Q （5，m ）的直线的斜率为2，则m 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．4 3．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0），且AB ，AD 斜率之积 的取值范围为(−45 ，−34 )，则椭圆Ω的离心率的取值范围为（ ） A ．( √5 5 ，1 2) B ．( √5 5 ，√2 2) C ．(14 ， √5 5 ) D ．(15，14 ) 4．在正四面体P ﹣ABC 中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE → ⋅BC → 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．√3 D ．7 3 5．若圆O 1：x 2+y 2＝5与圆O 2：（x ﹣m ）2+（y ﹣2m ）2＝20（m ＞0）相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．[1，3] C ．（3，+∞） D ．（0，1） 6．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若以F 1F 2为直径的圆过点P ，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则C 的离心率为（ ） A ．1−√3 2 B ．√3−1 C ． √3−1 2 D ．2−√3 7．圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4被直线y ＝kx ﹣1截得的最短弦长为（ ） A ．2√3 B ．2√2 C ．√3 D ．√2 8．已知双曲线C ： x 2a 2 − y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，左焦点为F ，动点B 在C 上．当 AF ⊥BF 时，有AF ＝BF ，则C 的离心率是（ ） A ．√2 B ．3 2 C ．√3 D ．2 二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB → =（2，﹣1，﹣4），AD → =（4， 2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学 试卷 一、选择题（本大题共6小题，共18.0分） 1.下列方程中，有实数根的是() A. x2+1=0 B. x2+x+1=0 C. x2−x+1=0 D. x2+3x+1=0 2.小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片 中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是() A. ① B. ② C. ③ D. 都不能 3.王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果 统计如下： 时间/小时45678人数24a b1那么这组数据的中位数和众数分别是() A. 4，4 B. 5，4 C. 5，5 D. 都无法确定 4.如图所示3×3的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试 验，则飞镖扎在阴影区域(顶点均在格点上)的概率为() A. 5 9 B. 4 9 C. 2 3 D. 1 3 5.如图，半圆O的直径AB=4，将半圆O绕点B顺时针旋转45° 得到半圆O′，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于() A. 2π+2 B. 2π+4 C. 2π−4 D. 4π−8 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E、F分别是AD、 BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值 是() A. 1 B. 6 5 C. 5 4 D. 4 3 二、填空题（本大题共12小题，共24.0分） 7.一元二次方程x2−4=0的解是． 8.如图，把一个边长为6的正三角形纸片剪去3个小三角形，得到 一个正六边形(图中的阴影部分)，则剪去的每个小三角形的边 长等于______． 9.已知x=2是关于x的方程x2+x−2m=0的一个根，则m=______． 10.一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的 这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 11.对方程x2+2 5x−3 5 =0进行配方，得x2+2 5 x+m=3 5 +m，其中m=______． 12.如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠A=30°，则 ∠BCD=______°. 13.甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示，______(填“甲” 或“乙”)的成绩更稳定． 2021－2022学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合P ＝{x |log 6(x ＋1)＜1，x ∈N }，Q ＝{1，3，5}，M ＝P ∪Q ，则集合M 中的元素共有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．无数个 2．“函数f (x )＝sin x ＋(a －1)cos x 为奇函数”是“a ＝1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量X 服从正态分布N (4，σ2)，且P (3≤X ≤5)＝0.86，则P (X ＜3)＝ A ．0.43 B ．0.28 C ．0.14 D ．0.07 4．已知sin(α＋π3)＝12，则sin(2α＋π 6 )的值为 A ．12 B ．12 C ．－32 D ．3 2 5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝1，n ∈N *，则a 2022＝ A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x )的极大值为 A ．1 B ．－527 C ．－25 27 D ．－1 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线 上，且满→ FP ＝ 2→ FQ ，则双曲线的离心率为 A ． 6 B ． 2 C ． 3 D ．2 8．已知x ＝e ，b ＝3－ln4，c ＝3 2 ，则下列选项正确的是 A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．关于复数z ＝－12＋3 2 i(i 为虚数单位)，下列说法正确的是 A ．|z |＝1 B ．z ＋z 2＝－1 C ．z 3＝－1 D ． (z ＋1)3＝i 10．已知函数f (x )＝2(cos x ＋sin x )cos x －1，则下列说法正确的是 A ．f (x )≥f (58π) B ．f (π8＋x )＝f (π 8－x ) C ．f (π8＋x )＋f (π 8 －x )＝0 D ．f (1)＞f (2) 2021-2022学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＜0，x ∈N }，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ，B 间的关系是（ ） A ．A ＝B B ．B ⊆A C ．A ∈B D ．A ⊆B 2．若复数z = 1 2+i 2021（i 为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(x + 2x 2)5的展开式中x ﹣ 1的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 4．已知sin(α+π3)+√3sin(α−π 6)=1，则cos2α＝（ ） A ．−√3 2 B ．1 2 C ． √5−1 2 D ． √32 5．在正项等比数列{a n }中，a 1=13 ，a 2⋅a 4=9，记数列{a n }的前n 项积为T n ，若T n ＞9，则n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD 的边长为√2，则AE → ⋅BF → =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 7．已知F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22−y 2 b 2 2=1(a 2＞0，b 2＞0)的公共焦点， 点M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=π 3，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则e 1e 2的最小值为（ ） A ． √32 B ．√3 C ．2 D ．3 2022－2023学年度高三年级第一学期期末教学质量调研 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －a )}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围( ) A ．[3，＋∞) B ．[－1，3] C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－1] 【答案】C 【考点】集合的关系应用 【解析】由题意可知，A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝[－1，3]，B ＝{x |y ＝log 2(x －a )}＝(a ，＋ )，因为A ⊆B ，所以a ＜－1，所以实数a 的取值范围为(－∞，－1)，故答案选C ． 2．已知复数z 满足(1－i)z ＝3－i ，则z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【答案】A 【考点】复数的运算 【解析】由题意可知，(1－i)z ＝3－i ，所以z ＝3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋i ，则其虚部为1，故 答案选A ． 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，S 6＝3S 3，则a 7＝( ) A ．6 B ．12 C ．18 D ．48 【答案】B 【考点】等比数列的性质应用 【解析】由题意可知，S 6＝3S 3，则其公比q ≠1，且a 1()1－q 61－q ＝3a 1() 1－q 31－q ，解得q 3＝2，所 以a 7＝a 1q 6＝3×4＝12，故答案选B ． 4．已知向量→ a ，→ b 满足→ a ·→ b ＝3，(→ a －2→ b )·→ a ＝|→ a |，则|→ a |＝( ) A ． 5 B ．1 C ． 2 D ．3 【答案】D 【考点】平面向量的数量积运算 【解析】由题意可知，(→ a －2→ b )·→ a ＝|→ a |，则→ a 2－2→ a ·→ b ＝→ a 2－6＝|→ a |，即|→ a |2－|→ a |－6＝2021-2022学年江苏省南通市如皋市、镇江市高三(上)期末数学试卷(附答案详解)
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