2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷
一、填空题：
1.设集合????
??∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =??
?
???????-23,23Y 的集合P 的个数是
___个 2.
若
cos 2π2sin 4αα=-
?
?- ?
?
?，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组??
?
??≥-≤+-≤-+010220
2534x y x y x ，则POQ
∠cos 的
最小值为__________
4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为
10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________
5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x
f x f x 2)
1()1(lim
0-+→=___________
6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下
列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ (
)2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数
7.椭圆12
2
=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜
率为
b
a
则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(|
|1)(R x x x
x f ∈+=
，三位同学甲、乙、丙在研究此
函数时分别给出命题：
甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；
丙：若规定|
|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*
∈N n 恒成
立.
你认为上述三个命题中正确的个数有__________个
9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422
a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0x
y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围
是
11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得
m n S S =，则0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，
12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((??的最大值为_________.
13.设A=),,(321a a a ，B=???
?
? ??321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，
B=????
?? ??--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。 14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数A
a
A y cos 1cos 1-+
=
的最小值是9，
则a =___ _ 二、解答题
15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈．
（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；
（2）如果对x R ?∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．
16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5
82
22bc
b c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围
17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．
(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知圆2
2
:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.
A
D 1
1A E C
19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：
1
()()2[0,24)3
f t
g t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化
的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]4
3,0[∈a 。 ⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；
⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。
20.已知函数)(3)(3
R a ax x x f ∈-= （1）当1=a 时，求)(x f 的最小值；
（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，
求a 的取值范围
（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。
参考答案：
1. 4
2.
12 3.22 3. 21 4. 50x y +-= 5. 12
6. ()()12,f x f x
7. 23 8. 3 9.32 10. 1
(0,)2
11. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12.
27
2
13. [1，1+2] 14. 4 15．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，
∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.
（2）∵x R ?∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ?∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ?∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ?∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ?∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ?=+≤，∴1
3
a ≤-.
当0a >时，x R ?∈不等式2
3210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是
1(]3
-∞-，. 16．解：(1) 5
8222bc b c a -
=-?
5
4
2222=
-+bc a c b ?54
cos =A ?5
3sin =A
(2)Θ65
3
21sin 21=?==?bc A bc S ABC ，=∴bc 20
由5
42222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4
(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(2
1
=++=?z y x S ABC
)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足??
?
??≥≥≤+，
，，
001243y x y x
画出不等式表示的平面区域得：
45
12
< 17. (Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． 又C =I AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分 ∵AE ?面ACE ，∴BD AE ⊥， ∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE 1B F ， ∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ． ∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C =I ，1B E ED E =I ， ∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ?平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）1 22ABD S AB AD ?= ?=． ……………………………12分 112 333 A BDE E ABD ABD ABD V V S CE S CE --??==?=?=． ……………………………15分 18.解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得 (23)(4312)0x y k x y --++-=, 则由23043120 x y x y --=??+-=?,解得F （3,0） 设椭圆C 的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>,则 22238c a c a b c =??+=??=+?,解得5 43 a b c =?? =??=? 所以椭圆C 的方程为2212516x y + = （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以22 2212516 m n m n = +<+, 从而圆心O 到直 线:1l mx ny += 的距离1d r = <=. 所以直线l 与圆O 恒相交 又直线l 被圆O 截得的弦长为L == = 由于2 025m ≤≤,所以2 916162525 m ≤ +≤, 则L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是]25 L ∈ 19. 解：⑴g(t) 的值域为[0，1 2 ]…………………5分 ⑵ 57,[0,]612 ()1733,(,]3124a a M a a a ? +∈??=??-∈?? …………………10分 ⑶当7[0,]12a ∈时，()M a =5 6 a +≤712+56=1712<2; 当73( ,]124a ∈时，()M a =133a -≤912324312 -=<. 所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。…………………15分 20.解：（1）11,0)(,33)(,1' 2 ' =-==-==x x x f x x f a 或得令时当Θ 当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)(' +∞--∞∈ >x f ， 上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f )(x f ∴的极小值是2)1(=f （2）a a x x f 333)(2 ' -≥-=Θ，∴要使直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是 曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-时成立，3 1 < ∴a （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3 --==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)(' x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -== ②当0>a 时，),)((333)(2 'a x a x a x x f -+ =-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即 13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在