切线长定理及三角形的内切圆
一知识回顾
1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
3. 常用辅助线
已知PA，PB切⊙O于A，B。
（1）（2）（3）（4）
图（1）中，有什么结论？（PA＝PB）
图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA）
图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等）
4. 和三角形的各边都相切的圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。
二典型例题
例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP。
(一题多解)
例2.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。
（1）若PA = 6，求△PCD的周长。
（2）若∠P = 50°求∠DOC
例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O 于E点。
求证：AB＝AD.
例4.已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E
求证：（1）CD = AD + BC
例6已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°
（1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；
（2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。
例7如图,在⊿ABC中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是多少?
例8:如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC 于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
三课堂练习
四课后练习
1. 如图，△ABC的内切圆⊙O分别切AC、AB、BC于D、E、F，若AB＝9，AC＝7，CD＝2，则BC＝（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
2. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为（）
A. B. C. 或 D.
3. 若一个梯形内接于圆，有如下四个结论：①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补，则正确结论的序号为______________。（把你认为正确的结论的序号都填上）
4. 已知⊙O，给出以下四个论断：①直线AB⊥直线OC，②AB是⊙O的切线，③点C在⊙O 上，④AB经过点C。请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题：________________________。（用序号的形式写出）
5. 在⊙O中，弦AD//BC
有___________个。
7. 一正方形同时外切和内接于两个同心圆，BC＝m+4，要使圆与折线
https://www.doczj.com/doc/f41857800.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案 广元市虎跳中学数学组 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 一、 知识准备： 1、 只限于演的有几种位置关系？分贝是那几种？ 2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、 角平分线的判定和性质是什么？ 二、 引入课题 过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。 三、 自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；
七.切线长定理及三角形地内切圆 一、教案目标： 1、理解切线长地定义及切线长定理，并能够利用切线长定理计算与证明 2、理解三角形地内切圆和内心地概念，注意区分三角形地内心与外心 二、教案内容 1、切线长概念及定理: <1 )切线长地概念：经过圆外一点作圆地切线，这点和切点之间地线段地长，叫做这点到圆 地切线长? 提问：经过直线外一点可以做圆地几条切线？它们地切线长有什么关系？为什么？ <2 线长定理： _________________________________________ . b5E2RGbCAP 如图：P为O O外一点，PA、PB分别与O O相切，切点分别 为A、B， 贝U PA=PB，PO 平分/ APB 举例练习： (1) 如上图，连接AB，(1>写出图中所有地垂直关系；(2>写出图中所有地全等三角形 (3>如果PA=4cm,PD=2cm,求半径0A地长? <2 ) 如图，PA，PB分别为O 0地切线，切点分别为A、 B，/P=60 ° ，PA =10 cm，那么AB 地长为? (3) 如图，PA，PB分别为O O地切线，AC为直径，切点分别 为A、B，N P=70 ° ，则N C = . 2、三角形地内切圆与三角形地内心 <1)概念：与三角形各边都相切地圆叫做三角形地________________ 内切圆地圆心叫做三角形地__________ . 地交点； <2 )三角形地内心是三角形地 ________________________________ p1EanqFDPw 它到三角形三边地_____________ 相等，是内切圆地__________ ?提问：三角形地内心在三角形地 _____________ ，与三角形地形状______________
“切线长定理”教学设计 【学习目标】 1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理 2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1.过⊙O内一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 2.过⊙O上一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 3.过⊙O外一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 自学互研生成能力 知识模块一切线长定理 【自主探究】 认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题： 阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳： 归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP. (1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由． 答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质． (2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？ 答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断． (3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？ 答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质． 归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角． 范例：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B，Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70o. 求(1)△PEF的周长。
(2)∠EOF 的度数 解：略 探究提升： 切线长定理的基本图形研究 写出所有的垂直关系，相等关系 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 切线长定理 当堂检测 达成目标 【当堂检测】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°． (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上， 若PA 长为2，则△PEF 的周长是4． 提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4. 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________
切线长定理与三角形内切圆 【知能点分类训练】 知能点1 切线长定理 1．如图所示，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）． A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OC D．∠PAB=∠APB (第1题) (第2题) (第3题) 2．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于D，?E，?交AB 于C，图中互相垂直的线段有______．（只需写出一对线段） 3．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F 作⊙O的切线，交PA，PB分不于D，E，假如PO=10cm，∠APB=40°．求： （1）△PED的周长；（2）∠DOE的度数． 4．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，依照以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
知能点2 三角形内切圆 5．如图所示，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D，E，F为切点，若∠BOC=105°，则∠A=________，∠ABC=________． (第5题) (第6题) (第7题) 6．如图所示，等边△ABC的内切圆面积为9 ，则△ABC的周长为__________． 7．如图所示，△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分不相切于点D，?E，?F，若∠FDE=70°，求∠A的度数． 8．如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O． （1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系． （2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系． 【综合应用提高】 9．如图所示，⊙O分不切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=?b，AB=c．求：（1）AD，DE，CF的长；（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？
第3课时切线长定理和三角形的切圆 知识点 1 切线长定理 1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( ) 图24－2－34 A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1 2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) 图24－2－35 A．4 B．8 C．4 3 D．8 3 3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( ) 图24－2－36 A．50° B．65° C．100° D．130°
4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________． 图24－2－37 知识点 2 三角形的切圆 5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( ) 图24－2－38 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( ) 图24－2－39 A．130° B．120° C．100° D．90° 7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
图24－2－40 8．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( ) 图24－2－41 A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF 9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步． 10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．
切线长定理和内切圆 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 学习的重、难点： 重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决问题。 一、复习巩固 1、 直线和圆有几种位置关系？分别是那几种？_______________________________________ 2、 如何判断直线与圆相切？_______________________________________________________ 3、 角平分线的判定和性质是什么？_________________________________________________ 二、问题探索 问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？ 得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP, OB ⊥BP. 在Rt △AOP 和Rt △BOP 中 ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （ ） ∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（ ） P A O P A O B B A
B C E D O O B C A O B C A P O B A P B O A 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线 ， 这一点和圆心的连线 两条切线的 . 思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ （提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）． 并得出结论：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。 三、例题评讲 例1 PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA=3时，求AP 的长． 例2 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2， CF=1，BF=3．求△ABC 的面积和内切圆的半径r ． 解： 四、当堂练习： 1如图1，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）A ．5 B. 35 C.10 D. 310 2. 如图2,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC 等于( ) A. 130° B. 100° C 50° D 65° 3． 如图3, ⊙O 与∠ACB 两边都相切,切点分别为A,B,且∠ACB=90°, 那么四边形ABCD 是 4．.如图4，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°，则∠APB ＝________。 图1 图2 图3 图4 作业：
24.2.2切线长定理及三角形的内切圆 ［学习目标］ 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；（学习重点、难点）2．理解三角形的内切圆及内心的概念，掌握内心的性质，会作三角形的内切圆. ［学法指导］（怎么学！） 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理、三角形外接圆和内切圆、外心与内心等之间的对比，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力. ［学习流程］ 一、导学自习（教材P96-98） （一）知识链接 ⒈切线的定义是什么？切线有哪些性质？ 2. 角平分线的判定和性质是什么？ （二）自主学习 阅读教材p97：经过圆外一点作圆的，这点和切点之间的，叫做这点到圆的. 如图1，是⊙O 外一点，，是⊙O 的两条切线，点，为切点，把线段 ，的长叫做点到⊙O的线. 注意：切线和切线长的区别：切线是线，不可度量，而切线长是线段，度量. 二、研习展评 活动1：（1）阅读教材p96的“探究”，动手做一做：如图2，你能得到什么结论？为什么？切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 几何语言：是⊙O的两条切线 . （2）如何证明切线长定理呢？ 已知：如图2，已知PA、PB是⊙O的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明： （3）若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. 活动2: （1）阅读教材p97的“思考”：想一想，圆与三角形的三边应该满足什么条件？（2）怎样作圆呢？怎样找圆心和半径？假设符合条件的圆已经作出，圆应当与三角形的三边. 那么圆心到三边的距离都等于什么？圆心在三个内角的什么线上？
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一 定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
24.2.2切线长定理和内切圆 ——直线与圆的位置关系（3） 一、教材分析 1、内容说明：本课时是九年制义务教育人教版九年级上册第24章第2节第2小节的第3课时，主要研究切线长定理和内切圆的概念。 2、内容解析：切线长定理是圆这一章里面比较直观的一个定理，相对来说比较容易理解，往往也容易被学生忽视，但是切线长定理为我们证明线段和角度的相等提供了一个新方法，特别是和内切圆相关的题目出现的频率也很高，所以本节课的内容也是非常重要，因此，确定了以下教学重点与难点： 【学习重点】切线长定理 【学习难点】切线长定理的运用 二、学情分析 学生在小学的时候也接触过圆，但是到了初中，我们进一步对圆的相关知识进行学习，学生已经学习了切线的性质和判定以及判定三角形全等，对于切线长定理的证明，我认为基础好的学生根本不是问题，所以本课时的设计多让学生自主探索，教学中可能遇到的障碍是切线长定理的应用，因此将其定为教学难点，要实现突破，主要在于学生对定理的理解，关键是它的应用，。 三、教学目标 1、知识与技能： （1）理解切线长的概念,把握切线长定理； （2）了解内切圆的相关概念。 2、过程与方法： （1）通过自己动手折叠观察，探索切线长定理，让学生形象直观发现切线长定理； （2）通过对例题的分析,培养学生动手分析总结问题的习惯,培养数形结合的思想； 3、情感态度与价值观： （1）从学生已有的知识和水平出发，激发他们的求知欲，通过合作获得成功的体验；
（2）通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性。 四、教学方法：实践探索、观察，归纳。 五、教学流程 五、教学过程
24.2.3切线长定理和三角形的内切圆 一、学习目标： 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆； 二、自学指导： 问题一、过圆上一点能够画圆的几条切线呢？过圆外一点 呢？ 问题二、在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，如上图，请找图形中存在哪些等量关系？请把图形沿着直线PO进行对折，观察两旁部分能否互相重合？请用语言概括你的发现？ 问题三、切线长定义及切线长定理： ①切线长的定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，如图中的线段PA、PB. ②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 你能证明这个定理么？ 问题四：探究三角形的内切圆：如何在一块三角形的铁皮上面截下一块圆形用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？（思考：与三角形三边都相切的圆的圆心在哪里？） 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 三角形的外接圆三角形的内切圆 “接”是指三角形的顶点与圆的关系，即多边形的顶点在圆上．“切”是指三角形的边与圆的关系，即多边形的边都与圆相切．． “外心”是三角形三边垂直平分线的交点“内心”是三角形三条角平分线的交点外心到三角形三个顶点的距离相等内心到三角形三边的距离相等
三、互动研讨： ☆☆☆ 1. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD是⊙O的切线，交PA、PB于C、D 两 点．求△PCD的周长． ☆☆☆2. 如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C=90°，若AB=12，BC=5，求⊙O的半径 四、当堂训练： ☆☆1.如图（1），PA、PB分别切⊙O于点A、B，点C、D在⊙O上. ⑴若∠C=50°，则AOB ∠=______，D ∠=_______，= ∠P________. ⑵若AOB ∠=130°，则C ∠=_______，D ∠=_______，= ∠P________. ☆☆2. 如图⑵，⊙O是ABC ?的内切圆，D、E、F是切点。 ⑴若∠A=70°，则∠EDF的度数是________；⑵若∠EDF=50°，则∠A的度数是________。☆☆☆3.如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径。求证：OP∥BC ☆☆☆☆4.如图⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，⊙O的半径r=4，AB=10，BC=14，AC=12.求△ABC的面积 D E O B A C
第3课时切线长定理和二角形的内切圆 知识要点分类练......... 芬冥基础 知识点1切线长定理 1. 如图24- 2-34, PA切O O于点A, PB切O O于点B, OP交O O于点C,下列结论中，错误的是（） 图24 - 2 -34 A . Z 1 = Z 2 B . PA= PB C. AB 丄OP D . Z FAB = 2Z 1 2. 如图24- 2-35所示，从O O外一点F引O O的两条切线FA, FB,切点分别为A, B.如果Z AFB = 60° , FA= 8,那么弦AB的长是（） A. 4 B. 8 C. 4 3 D. 8 .3 3.如图24-2 —36, FA, FB分别与O O相切于A, B两点，若Z C= 65° ,则Z F的度数为（） 图24 - 2 -36 A . 50° B . 65 C. 100 ° D. 130
4.如图24 —2—37, PA, PB是O O的两条切线，A, B是切点，若/ APB = 60° , PO =2，则O O的半径等于 ______________ . 图24 —2—38 A .三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 点O是厶ABC的内切圆的圆心，若/ BAC = 80° ,则/ BOC的度 A . 130° B. 120 ° C. 100° D. 90° 7. 如图24 —2 —40, △ ABC的内切圆O O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F,且 AB = 18 cm , BC = 28 cm , CA = 26 cm ,求AF , BD , CE 的长. 知识点2三角形的内切圆 5. 2017 广州如图24- 2 —38, O O是厶ABC的内切圆，则点O是厶ABC的（） 6.如图24 — 2 — 39, 数为（） 图24 - 2 -37 B B 图24 —2— 39
切线长定理及三角形的内切圆教学设计 一、内容分析 这节课是切线长定理的第2 课时，是在切线长概念和定理的学习基础上，进一步研究切线长的有关知识，本节课将在前基础上探究学习三角形内切圆的概念、画法及内心的性质，简单应用三角形内心性质。 二、学情分析 九年级的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析问题、如何书写完整的推理过程等对学生而言问题较大。在本堂课上通过具体的问题的引导分析，学生自己观察、思考、动手操作、探究，分组讨论、合作交流等，引发学生的兴趣，达到教学目标。 三、三维目标 知识与技能： 1. 进一步了解切线长的概念，理解切线长定理，熟练应用。 2. 理解三角形内切圆和三角形内心的概念，掌握三角形内切圆的画法，性质并能熟练应用。 过程与方法： 1. 经历回顾切线长定理的过程，理解并进一步达到应用； 2. 体会三角形内切圆的作图，从而提炼相关的数学知识，渗透数形结合思想。情感态度与价值观：经过小组讨论、合作探究，观察、猜想、证明、应用等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程。 四、教学重点、难点及解决措施：教学重点：三角形内切圆、内心的性质及其应用。 教学难点：三角形内切圆、内心概念的理解及应用解决一些实际问题。 解决措施：利用多媒体教学直观演示，并创建活动让学生亲身参与，由此来引导学生对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。 五、教学方法：引导探究、分组讨论、合作交流。 六、教学工具：多媒体（课件）、圆规、三角尺 教学过程： 一、思考回顾：1.直线与圆的位置关系
2. 切线的判定定理是什么？切线的性质定理是什么？角平分 线的性质是什么？什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？ 【教师活动】教师提出问题，引起学生思考 【学生活动】学生积极回顾思考，踊跃发言。 二、探究与发现： 探究1：我们知道，过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆 的几条切线呢？ 切线长概念：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线和切线长区别和联系： 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 探究2：从外的一点引两条切线PA PB,切点分别是A B,连结OA OB 0P你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3、思考： 如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形的用料，并且使得圆的面积尽可能大？ 4、三角形内切圆
第23章《圆》 第10课时 切线（2）——切线长定理和内切圆 初三（ ）班 学号 姓名 2005年 月 日 学习目标： 1、掌握切线长定理，并会简单应用 2、了解三角形内切圆的相关概念 3、会画任意三角形内切圆，并会写作法 学习过程： 一、温故知新 1、如右图，BD 是⊙O 的切线，直径AC 的延长线交DB 于B ， ∠ADB=120°， ∠ADO= ，∠A= ，∠B= 2、如右图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做 ⊙O 的 。△ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 3、三角形的三边的 交于一点，三角形的三个内角的 交于一点， 二、新课学习 1、切线长定理 图1（1），P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．得到图1（2），设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条____，PB 是⊙O 的一条_____， 则有P A PB 、∠APO ∠BPO 图 1
①切线长：圆的切线上某一点与 点之间的线段的长叫做这点到圆的 如图1（2），线段 、 的长就是点P 到⊙O 的切线长． ②切线长定理： 从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角． 2、内切圆 ①内切圆相关概念 如图2，与三角形各边都 的圆叫做三角形的 ，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ．这个三角形叫做圆的 ．三角形的内心就是三角形三条内角 的交点． 即：如图2，如果⊙I 与△ABC 的三边 ， 则⊙I 叫做△ABC 的 ，圆心I 叫做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做⊙I 的 。△ABC 的内心就是△ABC 的三个 的 交点。 ②内切圆的作法 已知△ABC ，画它的内切圆⊙O 作法： 1、分别作∠A ，∠B 的 ，两平分线交于点 2、过点O 作AB 的垂线段，交AB 于 D 3、以点 为圆心，以 的长为半径，画圆 那么，所画的⊙O 就是△ABC 的 图2 B C B C
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习 【知识点精讲】 （一）知识要点----切线长定理 1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （二）知识要点----三角形内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习 1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长． 【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、 角相等、弧相等以及垂直关系等。 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ； （2）连结OC ，如果PD= ∠ABC=，求OC 的长． 60
3.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线； 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠ OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）． （1）OA的长为__________，OB的长为__________； （2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相 切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）
切线长定理与三角形内切圆 一、基础知识点 (一)知识点一：切线长定理 1.切线长的概念：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2.切线和切线长是两个不同的概念 ?切线是一条与圆相切的直线，不能度量； ?切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 3.定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 4.方法总结 解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 （1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点 5.切线，常有六性质 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 6.示例讲解 例1 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD 例2 例3 (二)知识点二：三角形的内切圆 1.问题：怎样做三角形内切圆 2.方法：作角平分线 1. 作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.。。 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.。。 3. 以I为圆心， ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆. 3.定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 4.性质 内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。
切线长定理及三角形的内切圆 一知识回顾 1. 定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 3. 常用辅助线 已知PA，PB切⊙O于A，B。 （1）（2）（3）（4） 图（1）中，有什么结论？（PA＝PB） 图（2）中，连结AB，增加了什么结论？（增加了∠PAB＝∠PBA） 图（3）中，再连结OP，增加了什么结论？（增加了∠OPA＝∠OPB，OP⊥AB，AC＝BC，）。图（4）中，再连结OA，OB。又增加了什么结论？（增加∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＋∠APB＝180°，以及三角形全等） 4. 和三角形的各边都相切的圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 注意：“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”。 二典型例题 例1. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。求证：AC∥OP。 (一题多解) 例2.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D。 （1）若PA = 6，求△PCD的周长。 （2）若∠P = 50°求∠DOC
例3. 已知，如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作弦AB切小⊙O于C点，AD切小⊙O 于E点。 求证：AB＝AD. 例4.已知：AB为⊙O直径，AD∥BC，∠B = 90°，DC切⊙O于E 求证：（1）CD = AD + BC 例6已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90° （1）若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r； （2）若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r。 例7如图,在⊿ABC中, ∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上,AP=2,若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB、AC都相切,则⊙O的半径是多少?
10．直线和圆的位置关系(三)内切圆与切线长定理 预习归纳 1．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分__________________． 2．与三角形________圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形_________的交点，叫三角形的内心． 例题讲解 【例】△ABC 的内切圆⊙O 与三边分别相切于D 、E 、F 三点，AB ＝7， BC ＝12，CA ＝11，求AF 、BD 、CE 的长． 基础题训练 1.△ABC 中，∠A ＝50°,点I 是△ABC 的内心，则∠BIC ＝ ,若点O 为△ABC 的外心，则∠BOC ＝ ． 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则其内切圆半径为 ． 3．如图，AD 、AE 、BC 都是⊙O 的切线，切点分别为D 、E 、F ,若AD ＝6，则△ABC 的周长为 ． 4．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ,若∠C ＝80°，则∠EDF ＝ ． 5．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B , ∠APB ＝60°，PA ＝3，则⊙O 的半径为 ． 6．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AB ＝8，∠BOC ＝105°,则BC 的长为 ． 7．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为 ． 8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∠P ＝50°，点C 是⊙O 上异于A 、B 的点，则∠ACB ＝ ． 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙I 为△ABC 的内切圆，点O 为△ABC 的外心，BC ＝6，AC ＝8． (1)求⊙I 的半径； (2)求OI 的长． 第7题 P O A C B 第3题D E A O C B F 第4题 A C B O F D 第5题O P A B 第6题 C A B 第8题 P O A I B A C O