https://www.doczj.com/doc/6d8747053.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案 广元市虎跳中学数学组 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 一、 知识准备： 1、 只限于演的有几种位置关系？分贝是那几种？ 2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、 角平分线的判定和性质是什么？ 二、 引入课题 过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。 三、 自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；
切线长定理典型练习题 一、填空题 1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。 2、已知三角形的三边分别为 3、 4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。 3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。 二、选择题 1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ， CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ） A.248cm B.296cm C.2108cm D.232cm 2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：1 3、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A.三条中线的交点， B.三条角平分线的交点， C.三条高的交点， D.三边的垂直平分线的交点。 4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系 是 （ ） A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+2 1∠A=90° D . 无法确定 三、解答题： 1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。 2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。 3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。 （1）求证：B A ·BM=BC ·BN ； （2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。当AC=3时，求AB 的值。
《切线性质与判定》练习题 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（） A．20° B．30° C．35° D．40° 第1题图第2题图第3题图 3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（） A．80° B．50°或130° C．100° D．40° 第4题图第5题图第6题图 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3） B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5） 6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（） A．8 B．16 C．16π D．8π 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（） A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=A T C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠A TC=∠B 第7题图第8题图第9题图 11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.
七.切线长定理及三角形地内切圆 一、教案目标： 1、理解切线长地定义及切线长定理，并能够利用切线长定理计算与证明 2、理解三角形地内切圆和内心地概念，注意区分三角形地内心与外心 二、教案内容 1、切线长概念及定理: <1 )切线长地概念：经过圆外一点作圆地切线，这点和切点之间地线段地长，叫做这点到圆 地切线长? 提问：经过直线外一点可以做圆地几条切线？它们地切线长有什么关系？为什么？ <2 线长定理： _________________________________________ . b5E2RGbCAP 如图：P为O O外一点，PA、PB分别与O O相切，切点分别 为A、B， 贝U PA=PB，PO 平分/ APB 举例练习： (1) 如上图，连接AB，(1>写出图中所有地垂直关系；(2>写出图中所有地全等三角形 (3>如果PA=4cm,PD=2cm,求半径0A地长? <2 ) 如图，PA，PB分别为O 0地切线，切点分别为A、 B，/P=60 ° ，PA =10 cm，那么AB 地长为? (3) 如图，PA，PB分别为O O地切线，AC为直径，切点分别 为A、B，N P=70 ° ，则N C = . 2、三角形地内切圆与三角形地内心 <1)概念：与三角形各边都相切地圆叫做三角形地________________ 内切圆地圆心叫做三角形地__________ . 地交点； <2 )三角形地内心是三角形地 ________________________________ p1EanqFDPw 它到三角形三边地_____________ 相等，是内切圆地__________ ?提问：三角形地内心在三角形地 _____________ ，与三角形地形状______________
切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 （１）一个基本图形； （２）两个结论： 1）四边形OECF 是正方形 2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) （３）两个方法 代数法（方程思想）；面积法 3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）； （），则（）
【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r． 【例3】如图，以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E． D E A C （I）求证：D E为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠= ，求D E的长． B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．
“切线长定理”教学设计 【学习目标】 1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理 2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1.过⊙O内一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 2.过⊙O上一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 3.过⊙O外一点P可以引圆的切线吗？如果可以，有几条？ 自学互研生成能力 知识模块一切线长定理 【自主探究】 认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题： 阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳： 归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP. (1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由． 答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质． (2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？ 答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断． (3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？ 答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质． 归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角． 范例：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B，Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,∠P=70o. 求(1)△PEF的周长。
(2)∠EOF 的度数 解：略 探究提升： 切线长定理的基本图形研究 写出所有的垂直关系，相等关系 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 切线长定理 当堂检测 达成目标 【当堂检测】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°． (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上， 若PA 长为2，则△PEF 的周长是4． 提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4. 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?
切线长定理与三角形内切圆 【知能点分类训练】 知能点1 切线长定理 1．如图所示，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）． A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OC D．∠PAB=∠APB (第1题) (第2题) (第3题) 2．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于D，?E，?交AB 于C，图中互相垂直的线段有______．（只需写出一对线段） 3．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F 作⊙O的切线，交PA，PB分不于D，E，假如PO=10cm，∠APB=40°．求： （1）△PED的周长；（2）∠DOE的度数． 4．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，依照以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
知能点2 三角形内切圆 5．如图所示，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D，E，F为切点，若∠BOC=105°，则∠A=________，∠ABC=________． (第5题) (第6题) (第7题) 6．如图所示，等边△ABC的内切圆面积为9 ，则△ABC的周长为__________． 7．如图所示，△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分不相切于点D，?E，?F，若∠FDE=70°，求∠A的度数． 8．如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O． （1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系． （2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系． 【综合应用提高】 9．如图所示，⊙O分不切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=?b，AB=c．求：（1）AD，DE，CF的长；（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA 长） 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . （特殊情况） 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 （记忆的方法方法） 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
第3课时切线长定理和三角形的切圆 知识点 1 切线长定理 1．如图24－2－34，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( ) 图24－2－34 A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1 2．如图24－2－35所示，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) 图24－2－35 A．4 B．8 C．4 3 D．8 3 3．如图24－2－36，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( ) 图24－2－36 A．50° B．65° C．100° D．130°
4．如图24－2－37，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________． 图24－2－37 知识点 2 三角形的切圆 5．2017·如图24－2－38，⊙O是△ABC的切圆，则点O是△ABC的( ) 图24－2－38 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 6．如图24－2－39，点O是△ABC的切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( ) 图24－2－39 A．130° B．120° C．100° D．90° 7．如图24－2－40，△ABC的切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
图24－2－40 8．如图24－2－41所示，O是△ABC的心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( ) 图24－2－41 A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF 9．2016·《九章算术》是数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步． 10．如图24－2－42，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为________．
切线长定理和内切圆 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 学习的重、难点： 重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决问题。 一、复习巩固 1、 直线和圆有几种位置关系？分别是那几种？_______________________________________ 2、 如何判断直线与圆相切？_______________________________________________________ 3、 角平分线的判定和性质是什么？_________________________________________________ 二、问题探索 问题1：如图，纸上有一⊙O ，PA 为⊙O 的一条切线，沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B ，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA 与PB ，∠APO 与∠BPO 有说明关系？ 得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的 证明：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线， ∴OA ⊥AP, OB ⊥BP. 在Rt △AOP 和Rt △BOP 中 ∴Rt △AOP ≌Rt △BOP （ ） ∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（ ） P A O P A O B B A
B C E D O O B C A O B C A P O B A P B O A 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它们的切线 ， 这一点和圆心的连线 两条切线的 . 思考2：如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下 一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ （提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？）． 并得出结论：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条 的交点，叫做三角形的内心。 三、例题评讲 例1 PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA=3时，求AP 的长． 例2 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=2， CF=1，BF=3．求△ABC 的面积和内切圆的半径r ． 解： 四、当堂练习： 1如图1，从圆外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB 的长（ ）A ．5 B. 35 C.10 D. 310 2. 如图2,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC 等于( ) A. 130° B. 100° C 50° D 65° 3． 如图3, ⊙O 与∠ACB 两边都相切,切点分别为A,B,且∠ACB=90°, 那么四边形ABCD 是 4．.如图4，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°，则∠APB ＝________。 图1 图2 图3 图4 作业：
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，
中考复习专题——切线长定理与弦切角定理 【知识要点】 切线长定理：过圆外一点P做该圆的两条切线，切点为A、B。AB交PO于点C，则有如下结论： PA=PB PO⊥AB,且PO平分AB APO BPO OAC OBC ∠=∠=∠=∠;AOP BOP CAP CBP ∠=∠=∠=∠ 弦切角定理：弦切角（切线与圆的夹角）等于它所夹的弧所对的圆周角 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 【典型例题】 【例1】如图1，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C、D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______. 图1 图2 图3 举一反三： 1.如图2，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切线，C为AB上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 2.如图3，PA，PB切⊙ O于A，B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于D，若∠DBC=220，则∠APB=________.【例2】如图，已知圆上的弧AC BD =，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 举一反三： 1.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交 AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC. C B O A D C B A D P O
P B A O 【例3】已知：如图 7－149，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，AC 为直径，则图中与∠PAB 相等的角的个数为 A ． 1 个； B ．2个； C ．4个； D ．5个． 【例4】如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 举一反三： 1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 2．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm ．求BC 、AC 的长． 3．已知：如图，△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．
切线长定理—知识讲解（提高） 责编：康红梅 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点二、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
【典型例题】 类型一、切线长定理 1.（2015?常德）已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1 ）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC=60°，求AD 的长． 【答案与解析】 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO=CO ， ∴OF∥AB， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE⊥AE， ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE， ∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC=FE，OE=OC ， ∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE， ∵∠ACB=90°， 即：∠0CE+∠FCE=90°， ∴∠0EC+∠FEC=90°， 即：∠FEO=90°， ∴FE 为⊙O 的切线； （2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO=CO=EO=3， ∵∠EAC=60°，OA=OE ， ∴∠EOA=60°， ∴∠COD=∠EOA=60°， ∵在Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3， ∴CD=， ∵在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，
24.2.2切线长定理及三角形的内切圆 ［学习目标］ 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；（学习重点、难点）2．理解三角形的内切圆及内心的概念，掌握内心的性质，会作三角形的内切圆. ［学法指导］（怎么学！） 学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理、三角形外接圆和内切圆、外心与内心等之间的对比，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力. ［学习流程］ 一、导学自习（教材P96-98） （一）知识链接 ⒈切线的定义是什么？切线有哪些性质？ 2. 角平分线的判定和性质是什么？ （二）自主学习 阅读教材p97：经过圆外一点作圆的，这点和切点之间的，叫做这点到圆的. 如图1，是⊙O 外一点，，是⊙O 的两条切线，点，为切点，把线段 ，的长叫做点到⊙O的线. 注意：切线和切线长的区别：切线是线，不可度量，而切线长是线段，度量. 二、研习展评 活动1：（1）阅读教材p96的“探究”，动手做一做：如图2，你能得到什么结论？为什么？切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 几何语言：是⊙O的两条切线 . （2）如何证明切线长定理呢？ 已知：如图2，已知PA、PB是⊙O的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明： （3）若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形. 活动2: （1）阅读教材p97的“思考”：想一想，圆与三角形的三边应该满足什么条件？（2）怎样作圆呢？怎样找圆心和半径？假设符合条件的圆已经作出，圆应当与三角形的三边. 那么圆心到三边的距离都等于什么？圆心在三个内角的什么线上？
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一 定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.