第23章《圆》
第10课时 切线（2）——切线长定理和内切圆
初三（ ）班 学号 姓名 2005年 月 日 学习目标：
1、掌握切线长定理，并会简单应用
2、了解三角形内切圆的相关概念
3、会画任意三角形内切圆，并会写作法 学习过程： 一、温故知新 1、如右图，BD 是⊙O 的切线，直径AC 的延长线交DB 于B ， ∠ADB=120°， ∠ADO= ，∠A= ，∠B= 2、如右图：如果⊙O 经过△ABC 的三个顶点， 则⊙O 叫做△ABC 的 ，圆心O 叫 做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做
⊙O 的 。△ABC 的外心就是AC 、BC 、AB 边的 交点。 3、三角形的三边的 交于一点，三角形的三个内角的 交于一点，
二、新课学习 1、切线长定理
图1（1），P A 为⊙O 的一条切线，点A 为切点．沿着直线PO 将纸对折，由于直线PO 经过圆心O ，所以PO 是圆的一条对称轴，两半圆重合．得到图1（2），设与点A 重合的点为点B ，这里，OB 是⊙O 的一条____，PB 是⊙O 的一条_____，
则有P A PB 、∠APO ∠BPO
图
1
①切线长：圆的切线上某一点与 点之间的线段的长叫做这点到圆的 如图1（2），线段 、 的长就是点P 到⊙O 的切线长．
②切线长定理：
从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ．这一点和圆心的连线 这两条切线的 角．
2、内切圆 ①内切圆相关概念
如图2，与三角形各边都 的圆叫做三角形的 ，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的 ．这个三角形叫做圆的 ．三角形的内心就是三角形三条内角 的交点．
即：如图2，如果⊙I 与△ABC 的三边 ，
则⊙I 叫做△ABC 的 ，圆心I 叫做△ABC 的 ，反过来，△ABC 叫做⊙I 的 。△ABC 的内心就是△ABC 的三个 的 交点。
②内切圆的作法
已知△ABC ，画它的内切圆⊙O 作法：
1、分别作∠A ，∠B 的 ，两平分线交于点
2、过点O 作AB 的垂线段，交AB 于
D 3、以点 为圆心，以 的长为半径，画圆 那么，所画的⊙O 就是△ABC 的
图2
B C
B
C
分组练习（A 组）
1、如右图，P A ，PB 分别为⊙O 为的切线，P A
∠APB=60°，则∠APO= ，PB = ，
∠AOP=
2、如图，P A ，PB 分别为
⊙O 为的切线，PO=13， OB=5，∠AOB=150°， 则∠APO= ，PA= 。
3、若⊙O 的半径为3，圆外一点P 到圆心的距离为6，则点P 到⊙O 的切线长为
4、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆， 与AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F ， ∠DOE ＝120°，∠EOF ＝150°， 求∠A= ，∠B= ，∠C=
5、如图3为一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮？ （要求：写出作法）
解：这个圆其实就是 作法：
1、 2、 3、
A
P
A
P
(第4题)
图3
（B组）
6、△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长.
（C组）
设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.
24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时） 切线的判定定理（教案） 西河中学** 一．教学目标。 知识与技能目标：使学生掌握如何判定某条直线是圆的切线的方法，通过定理提高学生如何判定直线和圆的位置关系。 能力目标：学生经过探究观察分析最后得出判定定理，加深对定理中两个条件的理解，培养学生分析探究问题的能力和对学习的积极性。 情感与态度目标：通过掌握判定某条直线是圆的切线的方法，掌握解决问题要用理论依据说话的道理，培养学生解决问题的能力和勇于发现的探究的创新精神。 二．教学重点和难点：1.重点：理解运用判定定理判定某条直线是圆的切线必须同时满足两条件。2.难点：借助辅助线判定某条直线是圆的切线。 三．教学过程 活动1 复习引入：直线与圆的三中位置关系中（幻灯片1，2），最重要的是直线与圆相切，本节课重点研究这一种位置关系。 若直线与圆只有一个交点时，直线必然是圆的切线。那么经过圆上一点（如一条半径的外端）的直线是否一定是否是圆的切线呢？ 探讨：过圆上一点的直线，在什么情况下一定是圆的切线？ 二、探索新知： 活动2.探究新知: 1). 如图，OA为⊙O半径，直线l经过点A，直线l与OA夹角为∠A,当直线l沿A旋转时，（1）∠A的变化范围是多大？随着∠A度数的增大，点O到直线l的距离大小如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？（2）当∠A为多少度时，点O到直线l的距离刚好等于半径r?此时直线l与⊙O的位置关系如何？说明依据。（3）在（2）中，直线l满足什么条件？ (幻灯片3)结论：直线l满足条件①：经过半径 OA的外端点A条件②：垂直于半径 A
疑问：是否必须同时满足这两条件，直线l 才是圆O 的切线？ 2) 判断下图直线l 满足哪个条件?是否是⊙O 的切线？（幻灯片4） 结论：直线l 必须同时满足这两个条件①②，才能确定直线是圆的切线。 综合以上，可总结为：一条直线若同时满足条件①：经过半径OA 的外端点A 条件②：垂直于半径OA 时，直线是该圆的切线。 （幻灯片5）给出切线的判定定理. 强调定理中的两个条件缺一不可 判定定理几何符号表示 活动3新知应用 判断下列命题的真假（幻灯片6）。 下面我们来用刚探究出的判定定理，解决一些切线的证明问题。 例1（P95例1）直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（幻灯片7）略 （学生思考）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O 的切线，你应该如何证明？ （老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点（即半径的外端），（2）?过这点的半径垂直于直线．证明过程及格式（幻灯片8） 快速检测：1.已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于 点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线. （幻灯片9） 小结：辅助线，有点构造①，即证② 例2.如图，点O 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过0作OD ⊥ OB 于D ，以OD 为半径作⊙O ，判断⊙O 与OA 。（幻灯片10） 小结：辅助线：无点构造②，即证① 方法总结：比较例1,2中证明切线时不同之处及辅助线的做法。 小结：有点连半径，证垂直 无点做垂线，证半径（相等） 活动4.课堂练习：（幻灯片12） 两学生学生演板，其他学生独立完成。教师点评，纠错。 活动5课堂小结：1、切线的判定定理；2、证明切线时常作的辅助线3、判定切线的三种 A
“切线的判定”教学设计 教材分析： “切线的判定”是人教版九年义务教育24章第二节的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础。学好它，对今后数学、物理等学科的学习会有很大的帮助。 针对义务教材特点和我所教学生的实际水平，本着因材施教的教学原则，本节课在重点处理完本课内容切线的判定定理和例1后，我引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及常用的两种辅助线作法。 设计理念： 为将新课程标准真正落实到本课的教学中，我改变了“复习引入—讲授新知—巩固新知—课堂小结—布置作业”这种传统的教学模式。对本课的教学内容进行开放性设计，注重引导学生在小组合作学习中探究和体验，落实在“做中学”。 教学目标： 1、通过学生自己探究（猜想、类比、演绎）过程，让学生发现切线的判定定理，并能说明方法的正确性。 2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。 3、通过这节内容的教学，使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法。 4、培养学生动手操作的能力，通过直观教具的演示好指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的主动性和积极性。 教学重点：发现并证明切线的判定定理，认识切线在实际生活中的应用。 教学难点： 体验圆的切线证明问题中辅助线的添加方法。 教学准备： 1、教师课前制作的多媒体课件。 2、教师自制的课堂演示教具。 教学过程 一、问题的提出：（多媒体显示问题） 1.直线与圆有哪三种位置关系？判断的标准是什么？ 2.什么叫圆的切线？怎样判定一条直线是不是圆的切线？（学生先观察、猜想，在让学生和教师一道用自制教具进行演示） 通过以上演示探究，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。为此，我们有必要学习切线的判定定理。
《切线的判定定理》教案说明 一、教材的分析、教学目标的确定。 《切线的判定定理》是在学完直线和圆三种位置关系的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。 本节课的教学目标是从知识和技能、过程与方法、情感与态度三个方面，根据新课标中关于“切线的判定方法”的教学要求，结合学生的实际情况确定的。 二、教案设计、意图。 为了实现教学目标，本节课我主要设计了四个活动： 活动一：复习回顾 这一部分主要提出两个问题对旧知识进行复习，使新课的引入更自然，激发学生的求知欲望，并为下面新知识的讲授做铺垫。 活动二：发现、证明、理解定理。 根据初三学生有一定的观察、探究、归纳能力等特点，在教学中，主要是通过一个思考题设疑，向学生提出问题，在解答问题的过程中，学生经历动脑思考、归纳、总结的过程，得到切线的判定定理。并引导学生自己分析定理，包括定理的前提和结论以及如何用数学语言来表达该定理。在这一过程中充分调动学生的参与活动，发挥学生的主体性，强化了学生的阅读、自学能力。为了加深学生对定理的认识，还设置了四个判断题，并且借助课件，通过画图帮助学生理解、熟悉定理的使用条件，强调两个条件缺一不可。课件的展示使教学内容更直观，更容易被学生所接受。 活动三：定理的应用。 这一块主要设计了两个不同类型的例题和两个简单的练习题，学生通过比较、小组讨论，总结出证明一条直线是圆的切线的两个思路：“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”。在例题的讲解过程中注重培养学生的解题能力。引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析运用那些知识点进行解题，再理清思路，然后整理出完整的解答过程。因为有了前面解题思路的总结，所以后面由学生独立完成的两个习题就会比较容易解决。 活动四：课堂小结和作业布置。 通过小结，进一步帮助学生明确本节课的重点内，使学生逐步养成对知识归纳、总结、整理的习惯。作业的布置主要选取了两道教有代表性的作业题对学生课堂掌握情况进行及时反馈，有利于调整教学。
切线的判定与性质、切线长定理 1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B ＝300，则∠ECB＝，CD＝。 2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB 等于。 3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒ AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____； （2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。 (1题图) (2题图) (3题图) 4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与 圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。 其中正确命题有（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则 ∠BPC的度数是。 6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF ＝。 （5题图）（6题图）（7题图） 8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。 9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径 为。
10.若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为。 11.如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O 相交于E，若AB＝5，EA＝1，则⊙O的半 径为。 12.如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC＝1300，则∠A的度数是。 13.如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，若∠FOD＝∠EOD＝1350，则 △ABC是（） A.等腰三角形； B.等边三角形； C.直角三角形； D. 等腰直角三角形； E F D O C A B （11题图）（12题图）（13题图） 14.如果两圆的半径分别为6cm和4cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15.若已知Rt△ABC中，斜边为26cm，内切圆的半径为4cm，那么它的两条直角边的长分 别为（）cm A、7、27 B、8、26 C、16、18 D、24、104 16.已知两圆的半径分别是方程0 2 3 2= + -x x的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________． 17.两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距等于（）cm。 A. 7 4+ B. 7 4- C. 7 4+或7 4- D. 41 18.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，?从这点到圆的最短距离为 （）． A．3 9B．()1 3 9-C．()1 5 9-D．9 19.如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC 是⊙O的切线。
切线的性质和判定说课稿 一、说教材： 1.本节教材所处的地位和作用 切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用：除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究两圆的位置关系和正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。 2. 教学目标 （1）知识与技能 记住圆的切线判定定理，并能判定一条直线是否是圆的切线；掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线；能综合运用切线的判定和性质解决问题。 （2）过程与方法 通过演示直线与圆相切，培养学生观察图形并能从图形的位置去判断图形的性质和能力。 （3）情感、态度与价值观 通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性 3.教学重点与难点 重点：圆的切线的识别方法和圆的切线的性质。 难点：在识别圆的切线时，培养学生的逻辑推理能力。 二、说教法 本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题，合作交流的能力。因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，主要采用“教师引导，学生探究、发现”的教学方法。 三、说学法 为了充分体现《新课标》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，
探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法。根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作： （1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方。从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中活灵活现出来； （2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点。”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点作垂线证d=r。” 四、说教学过程 （一）、创设情景，诱发动机 1、根据下图，回答以下问题 （1）、图1、图2、图3中的直线分别和⊙O是什么关系？ l l (a)(b)(c) （2）、在上图中，哪个图中的直线是圆的切线?你是怎样判定的？还有更好的判定方法吗？ 【设计意图】因为相切是直线和圆的三种位置关系中重点研究的内容，所以通过在学生已有的知识结构上提出问题，复习巩固直线和圆的三种位置关系、定义、性质和判定，达到“温故而知新”的目的。（顺势引出课题） （二）实践操作，探索新知 1、探究：圆的切线的判定定理 （1）实验发现 如图所示，画一个圆O及半径OA，经过圆的半径OA的外端A画一条直线L 垂直于这条半径OA。这条直线和圆有几个公共点？
切线的判定和性质 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可． 图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC 的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线．
切线的判定和性质教学设计 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理,并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线． 二、过程与方法:以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据,探究切线的判定 定理和性质定理,领会知识的延续性,层次性。 三、情感态度与价值观:让学生感受到实际生活中存在的相切关系,有利于学生把实际的问 题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理,并运用. 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语:通过上节课的学习,我们知道，直线和圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 而相切最特殊,这节课我们专门来研究切线。 师生行为:教师联系近期所学知识,提出问题,引起学生思考,为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 (一）切线的判定定理 1.推导定理:根据“直线l和⊙O相切d=r”,如图所示，因为d=r直线l和⊙O相切，这 里的ｄ是圆心O到直线l的距离，即垂直,并由d=r就可得到l经过半径ｒ的外端，即半径ＯA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 分析: 1、垂直于一条半径的直线有几条? 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线? 3、去掉定理中的“经过半径的外端"会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为:学生画一个圆,半径ＯA,过半径外端点A的切线l,然后将“d＝r直线ｌ和⊙O 相切”尝试改写为: 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图:过学生亲自动手画图，进行探究,得出结论。 思考1：根据上面的判定定理,要证明一条直线是⊙O的切线,需要满足什么条件? 总结:①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线. 思考2:现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线? ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③切线的判定定理. 师生行为:教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 2. 定理应用
课题：圆的切线的判定与性质 主稿：饶爱红审核：备课组上课日期：______周课时数：_____ 总课时数：_____ 知识与技能：1、理解圆的切线的判定与性质， 2、会利用圆的切线的判定与性质解题， 3、了解用反证法证明切线的性质定理的过程。 过程与方法：学生预习、小组讨论、合作探究、共同讲解、综合应用 情感态度与价值观：培养学生的自主学习的能力和团结协作的精神。 教学重点：利用圆的切线的判定与性质解题 教学过程备注本期导学 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？ 3、如何应用它们解题？ 知识回顾 1.直线和圆有哪些位置关系？ 。。。。相切、相离、相交 2.什么叫相切？ 。。。。直线与圆只有一个交点 3.我们学习过哪些切线的判断方法？ 。。。。1、与圆只有一个交点，2、d＝r 新知探究 1、设问 切线的判定还有什么方法吗？ 切线还有什么性质吗？ 2、引入思考 提问：如图，直线Ｌ经过点Ａ，并且垂直半径OA,，问L与圆O是什么关系？ OA既是半径，又是点O到直线L的距离,所以d＝r ，由前面所学的可知，直线L与圆是相切 的关系。 给出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何符号表达： ∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。 3、例题讲解 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结OC(如图)。 ∵OA＝OB,CA＝CB, ∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴AB⊥OC。 ∵OC是⊙O的半径 ∴AB是⊙O的切线。 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴OE＝OD ∵OD是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线 4、归纳总结 (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂 线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径 5、练习 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线 6、用反证法推出切线的性质定理，并利用它练习课后习题。 课堂小结 学生小结，说出本节课的知识点和重点。 练习与作业： 练习册和课后习题 教学反思：
《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思 教学目标 1、记住圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否是圆的切线； 2、记住切线的性质定理； 3、会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。 重点： 切线的判定定理和切线判定的方法 难点： 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1、复习下列内容 (1)、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种? (2)、直线与圆相切有哪几种判断方法？ (3)、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线 2、知识导入： ______ 如图：直线BC和⊙O的位置关系是____，直线BC叫⊙O的_____，公共点Ａ叫 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？ 3、思考探索； (1)、直线l垂直于半径OA，直线l是⊙O的切线吗？ (2)、直线l经过半径OA的外端A，直线l是⊙O的切线吗？
小结： 判定一条直线是圆的切线的三种方法 （1)、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 (２)、利用定理：与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 (３)、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、例题精析： 例1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线。 o A B C 练习1： AB是⊙O的直径,TB=AB, ∠TAB=45°直线BT是⊙O的切线吗？为什么？ 练习2、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线 例2.如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC是⊙O 的切线。 练习3、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切。
24.2.1直线与圆的位置关系（第二课时） 教材分析1、本课选自新人教版《数学》九年级上册第24章 2、本课时是在学习了圆的概念、性质及直线与圆的位置关系基础上，继续深入学习切线判定定理。切线判定定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。在证明和计算中有着广泛的应用，也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理及正多边形与圆关系的知识基础。本课时要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面起着重要作用。 学情分析学生已经掌握了等腰三角形、直角三角形的性质，与圆有关的性质，切线的定义等，具有初步的合情推理，演绎推理的能力和概括能力，为本节课的学习奠定了知识和能力基础。 学习目标1.通过动手操作和观察，猜想说理，探究切线的判定定理，理解切线的判定定理，掌握在解决切线的问题中直线与圆有公共点的辅助线添加方法。 2.经历探索切线判定定理的过程，体会几何直观，发展学生观察、分析、归纳问题的能力。 3.通过对不同论证方法的比较和评价，感受优化思想，体会数学的严谨性，进一步提高学生兴趣。 学习重点切线的判定定理的理解和应用。 学习难点切线的判定定理和定理的运用，直线与圆有公共点的辅助线添加方法。 学习方法启发式、自主探究式 学习准备课前预习 学习过程 学习环节师生主要活动设计意图 梳理旧知引入新课 1.上节课我们学习了直线与圆的位置关系，通过移动 棍子，判断直线与圆的位置关系（展示移动过程，请学 生回答） 2.如何确定一条直线是否与圆相切呢？ （1）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 （d=r）。 思考：如果把棍子放在圆的边上，它与圆有什么位 置关系呢？ 学生预设：相切 追问1：你是如何确定这条直线是圆的切线的？（直线 直接从图形出发，直观感知图 形，复习已学知识，培养学生 的数形结合思想。
备课人：杨智刚时间：2013年11月18日 【教学目标】 一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。 2.会过圆上一点画圆的切线。 二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。 三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。 【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】 一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。 师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。 二、探究新知 （一）切线的判定定理 1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．分析： 1、垂直于一条半径的直线有几条？ 2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？ 3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？ 师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。 思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。 思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？ ①圆只有一个公共点的直线是圆的切线②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线③上面的判定定理. 师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法 思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？ 2. 定理应用 ①完成课本例1 分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。 知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可 . ②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切 分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段
圆的切线的判定 授课时间：2014年10月20日 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理,并能初步运用它解决有关问题。 2、通过判定定理学习，培养学生观察、分析、归纳能力，解决实际问题能力。 3、通过探究切线的判定定理，培养学生学习的化归转化思想。 教学重点： 、图 引导学生思考直线是否是圆的切线如何画圆的切线（学生动手操作） 想一想：过圆内一点做一条直线，直线与圆有怎样的位置关系过半径上一点（点A除外）是否可以能做圆的切线过A点呢发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径OA。这样我就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理。 (二)切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（板书展示） 切线判定的几何符号表达:∵OC为半径，且OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径。 请学生判断思考：定理中的两个条件缺少一个行不行（判断题） 图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)(3)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端。
从以上几个判断的反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线，定理中的两个条件缺一不可。 (三)切线的判定方法 教师组织学生归纳。切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理。 (四)应用定理，强化练习。 例1、已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。 求证：直线AB 是⊙O 的切线。 分析：要证AB 是⊙O 的切线。由于AB 过圆上点C ，若连结OC ，则AB 过半径OC 的外端，只需证实OC ⊥AB 。 证明：连结0C ∵0A=0B ，CA=CB ， ∴0C 是等腰三角形0AB 底边AB 上的中线。 ∴AB ⊥OC 。 直线AB 经过半径0C 的外端C ，并且垂直于半径0C ，所以AB 是⊙O 的切线。 基础练习：如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于P ， PE ⊥AC 于E 。 求证：PE 是⊙O 的切线。（强化切线第一种证明方法） 证明：连结OP 。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 。 ∵OB=OP ，∴∠B=∠OPB ， ∴∠OPB=∠C 。 ∴OP ∥AC 。 ∵PE ⊥AC ， ∴∠PEC=90° ∴ ∠OPE=∠PEC=90° ∴PE ⊥OP 。 ∴PE 为⊙0的切线。 拓展例题：如图所示，等腰△ABC ，BC 边过圆心O,且满足OB=OC,AB 边交⊙O 于点D ，并且OD ⊥AB 。 求证：AC 与⊙O 相切。 证明：过O 作OE ⊥AC 于E 。 ∵△ABC 是等腰△ ABC A B C
35.4 圆的切线的判定 一、教材分析： 切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是今后学习解析几何等知识．．学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识。 二、教学目标： （1）掌握切线的判定定理.使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； （3）培养学生动手操作能力.观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. （4）通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性. 三、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理.内心的性质 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法 四、教学方法：动手操作观察归纳. 教具：圆模型圆规三角板多媒体 五、教学过程设计 五、教学过程： （一）课前复习（5分钟）
回答下列问题：（投影显示） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？ （要求学生举手回答，教师用教具演示） 设计目的|：为探究圆的切线的判定方法做铺垫 二）引如课题（1分钟）：我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理. 三）提出问题、分析发现归纳结论（教师引导）（8分钟） 1.切线判定定理的导出 师：上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上书步骤作图（一同学到黑板上作）：先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L. 请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？ （引导学生总结出）：①经过关径外端，②垂直于这条半径. （设计意图：培养学生动手操作和观察归纳能力、及组织语言能力） 师；如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理） 、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： （引导学生理解）：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
1 圆的切线判定和性质（复习教案） 华容东山中学 刘公文 学习目标： 1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。 2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法 复习指导 1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？ 2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？ 3、通过作图2，你是怎样得出圆的切线判定和性质的？ （二）过程与方法： 1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力； 2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。 （三）情感态度与价值观： 形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。 教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用． 教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程． 教学方法：先学后教，当堂训练 教学过程： 一、切线的判定及性质： 1、作图1：过⊙O 外一点P 作直线， (设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想) 作图2：若点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？ （请学生上黑板按要求作图） （设计意图：利用作图，体会切线的判定定理内容有两个要点：①经过半径的外端②垂直于半径，并且从命题的题设与结论出发加深对判定的理解，自然过渡到圆的切线性质） 归纳小结：判断直线与圆相切的方法有哪些？圆的切线的性质是什么？ （设计意图：概括归纳切线的判定和性质，形成切线的判定与性质知 识体系） 2、课堂检测： (1)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为 。 （2）PA 切⊙O 于点A,PA=4,OP=5,则⊙O 的半径是____ （设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时 在性质应用时体现辅助线做法指导：见切线，连半径，得垂直，同时体会转化的数学思想） （3）已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ． ①求证：直线AB 是⊙O 的切线． ②若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 的长。 （设计意图：本题是对圆的判定及性质的综合应用。从判别方法说， 可以从数量关系证明，也
切线的判定定理教案 证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。 本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法： ①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”； ②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。 归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。 理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。 掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。
平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？ ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义） ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r） 除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢? 活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？ 切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。 活动二：分析定理。经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？ 对定理的理解：①经过半径外端. ②垂直于这条半径。 定理中的两个条件缺一不可。 例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB， 求证：直线AB是⊙O的切线。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB， ∴AB⊥OC。 ∵直线AB经过半径0C的外端C， 并且垂直于半径0C， ∴AB是⊙O的切线。
切线的判定和性质教案 切线的判定和性质（一） 教学目标： 1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题； 2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法； 教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视． 教学过程设计 （一）复习、发现问题 1．直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导） 图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置． 发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理． （二）切线的判定定理： 1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2、对定理的理解： 引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径． 请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线． （三）切线的判定方法 教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理． （四）应用定理，强化训练'''' 例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线． 分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。 证明：连结0C ∵0A＝0B，CA＝CB，” ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线． 练习1判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由， 练习P106，1、2 目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
三圆的切线的性质及判定定理 [对应学生用书P25] 1．切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB. (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线． [对应学生用书P25] 圆的切线的性质 [例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直 径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径． [思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到 连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径． [解]连接OE， ∵AB与⊙O切于点E， ∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AO AB . ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13， ∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等． 1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( ) A ．20° B ．25° C ．40° D ．50° 解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°. 又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝1 2∠AOB ＝25°. 答案：B 2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1. (1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长．