《二次根式》教学详案
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
第课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】教学所需的习题资料.
【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.
(2)5的平方根是;5的算术平方根是.
学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度
h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.
学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).
以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念
思路一
(针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
思路二
像,,,这样的式子有什么共同特点呢?
学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.
教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
引导学生说一说对二次根式的认识:
(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根
号;(4)a≥0,≥0.
加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
2.例题讲解
二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.
下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).
引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为
(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()
A. B.
C. D.(其中a<0)
〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.
(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?
引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
解:由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.
〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.
容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.
通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.
(1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点关键点注意事项
二次根式的
概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做
二次根式,其中被开方数
是a
被开方数也可以是含有字母的单项
式、多项式、分式等
二次根式有
意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要
注意根号下的式子整体不小于零
1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.
2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x≥
B.x≥-
C.x>
D.x≠
解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.
3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.
解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
答案:-30
4.求下列各式中字母a的取值范围:
(1);(2);(3);(4).
解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.(3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.(4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时
1.二次根式的概念
2.例题讲解
例1例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若是二次根式,则下列结论正确的是()
A.x≥0,y≥0
B.x>0,y>0
C.x,y同号
D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()
A.m>6
B.m<6
C.m>-6
D.m<-6
3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是. 【能力提升】
5.当x时,+在实数范围内有意义.
6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.
7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.
8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.
【拓展探究】
9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)
2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)
3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)
4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母
x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)
7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得
a-20142=2015.
9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.
我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.
练习(教材第3页)
1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴
3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.
2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义.(2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义.(4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.
若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.
〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.
解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.
当x=±2时,y=-3.
①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;
②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.
所以x+2y的值是-4或-8.
根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.
已知(3a-6)2+=0,求b a的值.
〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b 的值,再代入原式中计算.
解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,
所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.
此时b a=32=9.
本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.
第课时
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】能运用二次根式的性质化简.
【教师准备】教学所需的习题资料.
【学生准备】自学教材第3~4页的内容.
导入一:
教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?
学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.
复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.
思路一
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).
提问:你能解释下列式子的含义吗?
()2,()2,,()2.
学生口述,教师根据情况评价.
()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
()2=;()2=;=;()2=.
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?
引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
(教材例2)计算:
(1)()2;(2)(2)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.
解:(1)()2=1.5.
(2)(2)2=22×()2=4×5=20.
把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.
【变式训练】计算:(-2)2.
〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.
解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.
形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.
让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
提问:你能解释下列式子的含义吗?
,,,.
教师引导学生说出每一个式子的含义.
表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
=;=;=;=.
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.
∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?
引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).
(教材例3)化简:
(1);(2).
引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.
学生独立完成,集体订正.
解:(1)==4.
(2)==5.
(1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).
小组讨论:()2和有什么关系?
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|= 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.
思路二
请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:
1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.
(2)猜想当a≥0时,()2=.
2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.
==;==;==;==;….
通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.
(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.
学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.
1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.
(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).
2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.
归纳并板书:
二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).
提问:()2和有什么关系?
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:
()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=
在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.
3.代数式
提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?
学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.
这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.
学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.
4.例题讲解
(补充)计算:(-5)2,,-.
〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.
解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.
==.
-=-=-.
(补充)比较2与3的大小.
〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.
解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,
又∵44<45,且2>0,3>0,
∴2<3.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点关键点注意事项
()2=a(a≥0)
任何非负数的算术平方根的
平方,其结果仍然是它本身
被开方数a是非负数
=|a|=
任何实数的平方的算术平方
根是它的绝对值
底数a可以是任何实数
代数式
用运算符号把数和表示数的
字母连接起来的式子叫代数
式
①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②
单个的数字或单个的字母也是代数
式
1.计算的结果是()
A.-3
B.3
C.-9
D.9
解析:==3.故选B.
2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.
3.+的值是.
解析:+=2+2=4.故填4.
4.(1)当x时,=2-x成立;
(2)计算=.
解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.
答案:(1)≤2(2)π-3
5.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.
解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.
(4)(-)2=(-1)2×()2=15.
第2课时
1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)
例1
2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
例2
3.代数式
4.例题讲解
例3例4
一、教材作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()
A.3
B.9
C.-3
D.3或-3
2.若=1-2a,则()
A.a<
B.a≤
C.a>
D.a≥
3.(2015·杭州中考)若k< A.6 B.7 C.8 D.9 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为() A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 【能力提升】 5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是. 6.在实数范围内分解因式: (1)x2-3=; (2)n5-6n3+9n=. 7.列出下列代数式: (1)面积为3的圆的半径; (2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽. 8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5). 9.先化简,再求值:-,其中x=6. 【拓展探究】 10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同. 甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=. 谁的解答是错误的?为什么? 【答案与解析】 1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.) 2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.) 3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.) 4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-=-a+a+b=b.故选C.) 5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.) 6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成 ()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.) 7.解:(1).(2)宽:3;长:5. 8.解:(1)=.(2)(3)2=32×()2=18.(3)=(-2)2×=.(4)-=-=-3π.(5)==. 9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5. 10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方. 解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a. 本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高. 在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够. 在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力. 练习(教材第4页) 1.解:(1)()2=3.(2)(3)2=32×()2=9×2=18. 2.解:(1)=0. 3.(2)=.(3)-=-π.(4)=10-1=. 习题16.1(教材第5页) 1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义.(2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义.(3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义.(4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义. 2.解:(1)()2=5.(2)(-)2=()2=0.2.(3)=.(4)(5)2=52×()2=25×5=125.(5)==10.(6)=72×=49×=14. (7)=.(8)-=-=-. 3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R=,即面积为S的圆的半径为.(2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x·3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和. 4.解:(1)32.(2)()2.(3)()2.(4)0.52.(5).(6)02. 八年级数学上册教学计划 一、指导思想 以《初中数学新课程标准》为指导，贯彻党的教育方针，开展新课程教学改革，对学生实施素质教育，切实激发学生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法和技巧，建立数学思维模式，培养学生探究思维的能力，提高学习数学、应用数学的能力。同时通过本期教学，完成八年级上册数学教学任务。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。有少数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。上学年学生期末考试的成绩平均分为68分，总体来看，成绩只能算一般。在学生所学知识的掌握程度上，整个班级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。 二、教学目标 1、知识与技能目标 学生通过探究实际问题，认识三角形与三角形全等、轴对称、整式乘除和因式分解、分式，掌握有关规律、概念、性质和定理，并能进行简单的应用。进一步提高必要的运算技能和作图技能，提高应用数学语言的应用能力，通过一次函数的学习初步建立数形结合的思维模式。 2、过程与方法目标 第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 难点：反比例函数的意义。 【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？ 2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？ 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数. （1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。 学习新知：阅读教材P39-P40相关容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？ 2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？ 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是（） ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7, (1)写出y与x的函数关系式；（2）当x=7时，y等于多少？ 【要点归纳】 通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。 计划编号：YT-FS-4577-29 八年级上册数学教学计划 (完整版) According To The Actual Situation, Through Scientific Prediction, Weighing The Objective Needs And Subjective Possibilities, The Goal To Be Achieved In A Certain Period In The Future Is Put Forward 深思远虑目营心匠 Think Far And See, Work Hard At Heart 八年级上册数学教学计划(完整版) 备注：该计划书文本主要根据实际情况，通过科学地预测，权衡客观的需要和主观的可能，提出在未来一定时期内所达到的目标以及实现目标的必要途径。文档可根据实际情况进行修改和使用。 一、指导思想 通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化 建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本 知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思 维能力，以及分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础 的好坏，直接影响到将来是否能升学。本班是刚刚接 手，对班上学生不了解，从原科任老师处得知：优生 不多，但后进生却较多，有少数学生不上进，基础特 差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学 生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的 主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。 三、教材分析 第十一章全等三角形主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。 第十二章轴对称立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定的概念。 第十三章实数。从平方根于立方根说起，学习有关实数的有关知识，并以这些知识解决一些实际问题。 第十四章一次函数通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数————一次函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 八年级数学下册知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。 3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a 4.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 5.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 6.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 7.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a ≥0，b ≥0） ；（b ≥0， a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例 1下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5； （2） 2 2)-(x = a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 例3、 在根式 ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知： 的值。求代数式22,2 1 1881-+- +++ -+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b =b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >>a b < 例1、比较 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 11() b a b b a a b ++++ 第一课时三角形的边 一、新课导入 1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？ 2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？ 二、学习目标 1、三角形的三边关系。 2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三、研读课本 认真阅读课本的内容，完成以下练习。 （一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。 研读一、认真阅读课本（P63至P64“探究”前，时间：5分钟） 要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。 研读二、认真阅读课本（ P64“探究”，时间：3分钟） 要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边； 游戏：用棍子摆三角形。 检测练习二、6、在三角形ABC中， AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC 7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有路线。路线最近，根据是：，于是有：（得出的结论）。8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？(1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习三、 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式; 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算; 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±= ±=±= 5．整数指数幂; C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)( 1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =- （ )0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方： n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(( n 是正整数)；( b ≠0) 三、分式方程; 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题: 1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。 2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． 八年级数学（下册）知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △ 比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果2 2 a b >，则a b >；②如果2 2 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 201 —201 学年期 八年级数学教学案——八年级数学教研组 姓名 班级 教学目录 第11章三角形（8） 11.1 与三角形有关的线段（2） 11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性 信息技术应用画图找规律 11.2 与三角形有关的角（3） 11.2.1 三角形的内角 7.2.2 三角形的外角 阅读与思考为什么要证明 11.3 多边形及其内角和（2） 11.3.1 多边形 11.3.2 多边形的内角和 数学活动 复习小结（1） 第12章全等三角形（11） 12.1 全等三角形（1） 12.2 三角形全等的判定（6） 信息技术应用探究三角形全等的条件教学目录 12.3 角的平分线的性质（2） 数学活动 复习小结（2） 第13章轴对称（14） 13.1 轴对称（3） 13.1.1 轴对称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 13.2 画轴对称图形（2） 信息技术应用用轴对称进行图案设计 13.3 等腰三角形（5） 13.3.1 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系 13.4 课题学习最短路径问题（2） 数学活动 复习小结（2） 第14章整式的乘法与因式分解（14） 14.1整式的乘法（6） 14.1.1 同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 14.1.4 整式的乘法 14.2 乘法公式（3） 14.2.1 平方差公式 14.2.2 完全平方公式 阅读与思考杨辉三角 14.3 因式分解（3） 14.3.1 提公因式法 14.3.2 公式法 阅读与思考型式子的分解 数学活动 复习小结（2） 第15章分式（15） 15.1 分式（4） 15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质 15.2 分式的运算（6） 15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂 阅读与思考容器中的水能倒完吗？ 15.3 分式方程（3）数学活动 复习小结（2） 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学内容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四张大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题 1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合． 2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC． 【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 【学生活动】经过观察得到下面性质： 1．全等三角形对应边相等； 2．全等三角形对应角相等． 二、随堂练习，巩固深化 课本P4练习． 【探研时空】 1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6） 2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°） 三、课堂总结，发展潜能 1．什么叫做全等三角形？ 2．全等三角形具有哪些性质？ 四、布置作业，专题突破 1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题． 2．选用课时作业设计． 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习． 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）． 第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法 难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析 本章从实际问题引出分式方程 10020v 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为3. 以上的式子五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？（1m（2）1m1m 3 m 10020v 小时，逆流航行60千米所用时间 6020v 小时，所以 10020v = 6020v . 10020v ， 6020v ，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ a s m2m 1 2 = 6020v ，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公[分析] 分式的值为 八年级数学（下）导学案（第七章） 勾股定理的逆定理 【学习目标】 1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用； 2.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，会辨析哪些问题用哪个结论。 【复习回顾】写出勾股定理：__________________________________________________. 【课前预习】预习课本第56-60页内容 任务一：阅读教材第56-60页内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上： 任务二：阅读课本56页实验与探究的内容，解决下列问题。 1.选定一个单位长度，然后取一根长度为12单位的细绳，将它首尾相接并围成一个三角形，使得这个三角形的三条边长度分别为3、4、5，再用图钉把这个三角形钉在木板上. ①计算一下，这个三角形三边满足a2＋b2＝c2吗? ②度量以下这个三角形的各个内角，是怎样的三角形？ ③由此你得到了什么？ 2.结果尝试 再取一根长度为30单位的细绳，围成边长分别为5、12、13的三角形，重复以上(1)、（2）步骤，你又发现了什么？ 3.归纳总结，并记住勾股定理的逆定理 任务三：阅读课本140页例题1，解决下列问题. 1.由下列线段组成的三角形是不是直角三角形. （1）12，16，20 （2）8，11，13 （3）1.5，3.6，3.9 【课中实施】 一：勾股定理的逆定理 二：勾股数组： 【当堂达标】 一、选择题（每题4分，共12分） 1.下列各组中,不能构成直角三角形的是（） A.9，12，15 B.15，32，39 C.16，30，32 D.9，40，41 2.下面几组数中，为勾股数的是（） A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. -10，24，26 D. 2.4，4.5，5.1 3.三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 二、填空题（每题4分，共16分） 4.△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________． 5.已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____． 6.三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______． 7.请完成以下未完成的勾股数： （1） 8，15，_______；（2）15，12，______； （3）10，26，_______；（4）7，24，_______． 【课后巩固】（6分） 如图，已知CD＝6m， AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影部分的面积． 第十六章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） 八年级（上）数学教学目标整理 第十六章 二次根式 16.1(1)二次根式 教学目标 1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展； 2. 理解a 有意义的条件，理解a a =2 ； 3．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学重点和难点 理解a 有意义的条件，掌握a a =2. 16.1(2)二次根式 教学目标 掌握二次根式的性质3、4，会根据二次根式的性质化简二次根式. 教学重点和难点 根据二次根式的性质化简二次根式. 16.2 (1)最简二次根式和同类二次根式 教学目标： 1.经历最简二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概念, 通过化简二次根式,体会研究二次根式的方法. 2.会判别最简二次根式，会化最简二次根式. 教学重点和难点： 会判别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根式. 16.2(2) 最简二次根式和同类二次根式 教学目标： 1. 理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式； 2. 通过与同类项类比，体会类比思想. 教学重点和难点： 合并同类二次根式. §16.3(1)二次根式的加法和减法 教学目标： 掌握二次根式的加减法运算法则； 在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣. 教学重点和难点： 掌握二次根式的加减法运算法则. §16.3(2)二次根式的乘法和除法 教学目标： 掌握二次根式的乘法和除法运算；在二次根式的乘法和除法运算法则的学习中，渗透类 比、化归等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣. 教学重点和难点： 掌握二次根式的乘除法运算法则. §16.3(3)二次根式的乘法和除法 教学目标： 进一步掌握二次根式的乘除法，理解分母有理化的概念，初步掌握分母有理化的方法， 会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式. 教学重点和难点： 掌握分母有理化的方法，解系数或常数项含二次根式的一元一次方程（不等式）. §16.3(4)二次根式的乘法和除法 教学目标： 理解有理化因式的概念，掌握二次根式加减乘除及混合运算，体会类比、化归的数学思 想方法，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式. 教学重点和难点： 掌握二次根式加减乘除及混合运算 第十七章一元二次方程 17.1一元二次方程 教学目标 1．理解一元二次方程的概念，会识别一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，会用试验的方法估计一元二次方程的解. 2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识，培养分析问题和解决问题的能力； 3、经历一元二次方程是来源于实际、从实际问题产生的过程，培养用数学的意识，体验数学抽象的过程与辩证唯物主义观.. 教学重点及难点 1、教学重点：一元二次方程的意义及一般形式． 2、教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”；理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性. 17．2（1）一元二次方程的解法（1） ——特殊的一元二次方程的解法 教学目标 1．理解直接开平方法与平方根运算的联系，学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程；培养基本的运算能力； 课题：解一元一次不等式 【教学目标】 1. 能说出某个不等式变形的依据，并能根据不等式的性质将不等式变形为最简不等式 . 2 类比一元一次方程的概念，领会一元一次不等式的定义 . 3 类比解一元一次方程时的“移项” ，领会解一元一次不等式时的“移项”的意义． 4. 类比一元一次方程的解法， 会利用移项、 合并同类项、 两边同除以未知数的系数来解一元一次不等式．【重点、难点】 1、不等式的 2 个性质。 2、不等式的移项法则及解简单的一 元一次不等式。 【教学过程】 一、课前准备 二、合作探究 （一）探索并认识不等式的性质 1. 已知 5>3，用不等号填空： 5+（ － 2） 3+ （－ 2）； 5 +（－1） 3+ （－ 1）； 5+1 3+1 ； 5+2 3+2 ． 一般地，如果 a > b ，那么 a + c > b +c 或者 a － c > b － c ． 不等式性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 ． 2. 已知 5>3，用不等号填空： 5×（ －2） 3 ×（ －2）； 5×（ －1） 3 ×（ －1）； 5× 1 3 × 1； 5× 2 3 × 2． 一般地，如果 a > b ， c >0，那么 ac >bc ；如果 a > b ， c <0，那么 ac 义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师 二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的_____________; x 是a 的________, 记为______, a 一定是______________数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 _______- 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。 2 )3(________ )(2=a 4 八年级数学上册教学工作计划 新的一学期又开始了，本学期我担任八年级（4）班数学的教学工作。八年级应该说是初中阶段非常重要的一个阶段，就数学学科来说，不仅教学内容在整个初中数学中大都占有重要地位，而且八年级也是学生逐步形成数学素养，养成良好学习方法的时期。因此，制定计划如下： 一、指导思想 以新的课程标准为指导，合理利用“雅趣课堂”教学模式，不断钻研教材，根据学生的个性特征，有针对性的开展数学教学，培养学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，让学生在实践中锻炼，提高分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。在学生所学知识的掌握程度上,学生仍然缺少推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差。为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书。在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质。 三、教材分析 第十一章、三角形 了解与三角形有关的线段和角，要求学生会画任意三角形的高、中线和角平分线，探索三角形以及多边形的内角与外角。进一步丰富学生对图形的认识和感受，通过多提问题，留给学生足够的时间思考，让学生经历得出结论的过程。 第十二章、全等三角形 主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件，更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。 第十三章、轴对称 立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定的概念。第十四章、整式的乘法与因式分解 主要掌握整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解，引导学生分析法则、公式的结构特征，熟练进行运算。本着多方法、高要求的原则，鼓励学生找出因式分解与整式乘法的关系，使不同层次的学生都能学到相关知识。 第十五章、分式 通过与分数的对比引入分式的概念，通过与分数运算的类比引入分式的运算、分式的变形以及可化为一元一次方程的分式方程的解法，为今后继续学习数的运算、解方程等奠定一定的基础。教授本章知识所用的类比、转化的研究方法对于提高学生思维能力，指导学生独立研究问题的方法有着深远的影响．通过应用题的教学，增强学生应用数学的意识，对于数学大众化的推进有着积极 第十六章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1）)0b ,0a (b a b a >≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫 互为有理化因式. 9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式， ②被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第十七章勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：∠C=90°?BC= 2 《一次函数》教学案例 大木初中林巧 一、教学内容的说明 本章是学习函数的第一阶段，具体讨论最简单的初等函数——一次函数。本节课要完成一次函数图像的画法和一次函数的性质的学习。它既是正比例函数的图像和性质的拓展，又是后续学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。 考虑到学生在学习本节内容之前，已经对正比例函数的图像和性质有了一定的认识，因此，在教学过程中，注意引导学生从特殊到一般的认识问题，讨论一次函数的图像和性质，体会知识间联系，进而形成完整探究函数知识的认识结构。 二、教学目标的确定 我根据数学课程标准中关于“一次函数”的教学要求，结合学生的实际情况，确定本节课的教学目标： 1、使学生通过对应描点法画出一次函数图象，感悟一次函数图象的形状及其与正比例 函数图像的位置关系，让学生利用两个适合的点画出一次函数图象。 2、使学生通过画函数图象，并借助图像研究函数的性质，体会数形结合法在数学问题 中的作用，并能运用性质、图像及数形结合法解决相关函数问题。 3、在探究一次函数的图像和性质的活动中，通过一系列有探究性的问题，渗透于他人 交流、合作的意识和探究精神。 其中，借助图像研究函数的性质，体会数形结合法在解决数学问题中的作用，因此，拔一次函数的性质和图像作为本节课的重点。但是对于八年级的学生通过图像对函数性质的理解并不是一件容易的事情，这也是本节课的教学难点。 三、教学方法和手段的选择 根据本节课教学内容的特点和学生的实际情况，在教学过程中我引导学生观察、动手、类比、探究、归纳，在启发教授的基础上，以小组讨论形式，进行合作交流。 在教学手段方面，我选择了多媒体课件辅助教学的方式，直观、形象地展现图像的平移过程。 四、教学过程的设计 具体教学过程分为：创设情境，引入课题，合作探究，学习新知，熟练性质，应用练习，回顾所学归纳小结。 (一)创设情境，引入新课 因为学生已了解正比例函数图像和性质与一次函数的概念，故让学生回顾正比例函数图像和性质，为类比、探究一次函数的图像和性质做好铺垫。 提问： 1、什么叫正比例函数、一次函数？他们之间有什么关系？ 2、正比例函数的图像形状是什么样的？ 3、真高比例函数y=kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图像有什么影响？ (二)合作探究、学习新知 在学生已经知道正比例函数的图像是一条直线的基础上，提高学生画图、观察、比较、猜想、验证。让学生体验两者之间的位置关系，函数图像y=kx+b实际是对直线y=kx上的所有点进行了平移的结果。 1、画图：用描点法在统一直角坐标系中画出函数图象y=6x、y=-6x+5的图像。 2、观察：比较上面两个函数退昂的相同点和不同点，根据观察结果回答下列问题（见书的新人教版八年级上册数学教学计划
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