直线与圆经典题型
题型一：对称性求最值
已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：点M关于直线l和y轴的对称点分别为M1（5，1）和M2（﹣3，5）。
直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0，解得交点P（1，3）。
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0.5，0.75）。
所以，点P（1，3）和点Q（0.5，0.75）使△MPQ的周长最小。
题型二：反射光线问题
已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0
的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射。
1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
2）求反射光线所在的直线l3的方程；
3）求与l3距离为2的直线方程。
解：（1）由l1和l2的方程解得M（﹣2，1），因此点P （﹣2，﹣1）。
2）因为入射角等于反射角，所以反射光线与x轴的夹角
为2α，其中α为MN与x轴的夹角。
直线MN的斜率为﹣1/3，因此α=arctan(﹣1/3)≈﹣18.43°。
反射光线与x轴的夹角为2α≈﹣36.86°，因此反射光线的
斜率为tan(﹣36.86°)≈﹣0.75.
反射光线所在的直线l3的方程为y=﹣0.75x+b，代入M （﹣2，1）得b=2.5，因此l3的方程为y=﹣0.75x+2.5.
3）设与l3平行的直线方程为y=﹣0.75x+c，根据平行线的距离公式得|2﹣0.75c|/√(0.75²+1²)=2，解得c=10/3或﹣2/3.
因此与l3距离为2的直线方程为y=﹣0.75x+10/3或y=﹣0.75x﹣2/3.
题型三：直线恒过点问题
已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0.
Ⅰ）证明：直线恒过定点M（1，2）；
Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程。
解：（Ⅰ）将M（1，2）代入直线方程得（2+m）+（1﹣2m）×2+4﹣3m=0，解得m=﹣1.
因此，直线方程为x﹣3y+5=0，显然直线恒过点M（1，2）。
Ⅱ）设A（a，0）和B（0，b），则直线方程为（2﹣b/a）x+（1﹣2b/a）y+4﹣3b/a=0.
根据直线与x轴、y轴的交点，得a=5/2，b=4/3.
因此，直线方程为y﹣(2/3)x+14/3，△AOB面积为5/6.
分析】
1）直线l到A、B两点的距离都为2，说明直线l为AB
的中垂线，可以求出中点和斜率，进而得到直线方程；
2）若A、B两点到直线l的距离都为m，讨论m的取值
对应直线l的存在情况，即讨论AB之间的距离与m的大小关系。
解答】
1）由于直线l到A、B两点的距离都为2，所以直线l为AB的中垂线，中点为M（3/2，1/2），斜率为-2/3.因此，直
线l的方程为y-1/2=-2/3(x-3/2)，即2x+3y-8=0.
2）设AB之间的距离为d，则有d^2=(5-1)^2+(-1-
2)^2=25+9=34.当md时，直线l存在两条，分别为AB两侧的
平行线。
分析】
1）题目要求求出点P（4，5）关于直线y=3x+3的对称点，因此需要先求出直线y=3x+3与P点的连线的垂线方程，然后
求出垂足的坐标，最后根据对称关系求出对称点的坐标；
2）题目要求求出直线y=x-2关于直线y=3x+3对称的直线方程，因此需要求出直线y=x-2与直线y=3x+3的交点坐标，
然后再求出交点关于直线y=3x+3的对称点坐标，最后根据对
称关系求出对称直线的方程。
解答】
1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3的对称点为P'（x，y），则直线PP'垂直于直线y=3x+3，且垂足坐标为H（h，k）。由于直线y=3x+3的斜率为3，因此直线PP'的斜率为-1/3，
即直线PP'的方程为y = -1/3x + b。又因为H点在直线y=3x+3上，所以H点的坐标为（h，3h+3）。将点H代入直线PP'的方程中，可得b=4.因此，直线PP'的方程为y = -1/3x + 4.将点P的坐标代入该方程中，可得P'的坐标为（-2，7）。
2）直线y=x-2与直线y=3x+3的交点坐标为（1，-1）。将该点代入直线y=3x+3中，可得交点关于直线y=3x+3的对称点坐标为（-1，5）。由对称关系可知，直线y=x-2关于直线y=3x+3对称的直线方程为y = -3x - 1.
已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：
x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程。
分析】
解法一：若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程。
解法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l 与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后
得到直线方程。就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解。
解法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B （x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的
斜率（或倾斜角），从而求得直线l的方程。
解答】
解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），
截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意。
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）
+1.解方程组
y=k(x-3)+1
x+y+1=0
得A（3-（k+1）/k，﹣（k+1）/k）。
同理，解方程组
y=k(x-3)+1
x+y+6=0
得B（3-（k+1）/k，﹣（k+6）/k）。
由|AB|=5，得（﹣（k+1）/k）2+（﹣（k+6）/k+（k+1）
/k）2=52.
解之，得k=0，直线方程为y=1.
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1.
题型八：直线夹角问题
已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l
的夹角等于45°，求直线l'的一般方程。
分析】
设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的
斜率，然后求出直线的方程。
解答】
设直线l′的斜率为k′。
则，k′=tan(45°-arctan(2/5))=-3/7.
过点P（2，1）且斜率为-3/7的直线方程为y=-3/7(x-2)+1，化简得7x+3y-13=0.
所以，直线l′的一般方程为7x+3y-13=0.
直线和圆的方程精选练习题 1.直线x+3y-3=的倾斜角是多少？ 答：倾斜角为π/6. 2.若圆C与圆(x+2)+(y-1)=1关于原点对称，则圆C的方 程是什么？ 答：圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=1. 3.直线ax+by+c同时要经过第一、第二、第四象限，则a、 b、c应满足什么条件？ 答：ab0. 4.直线3x-4y-9=与圆x+y=4的位置关系是什么？ 答：相交但不过圆心。 5.已知直线ax+by+c=(abc≠0)与圆x+y=1相切，则三条边 长分别为a、b、c的三角形是什么类型的？ 答：是锐角三角形。
6.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是多少？ 答：截距为2/5. 7.点(2,5)到直线y=2x的距离是多少？ 答：距离为1/√5. 8.由点P(1,3)引圆x+y=9的切线的长度是多少？ 答：长度为2. 9.如果直线ax+2y+1=与直线x+y-2=互相垂直，那么a的值等于多少？ 答：a的值等于-1/3. 10.若直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行，那么系数a等于多少？ 答：a的值等于-3/2. 11.直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转30度后所得直线与圆(x-2)^2+y^2=33的位置关系是什么？ 答：直线与圆相交，但不过圆心。
12.若直线ax+y+1=与圆x^2+y^2-2x=相切，则a的值为多少？ 答：a的值为-1. 13.圆O1：x^2+y^2-4x+6y=0和圆O2：x^2+y^2-6x=0交于 A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是什么？ 答：垂直平分线的方程为2x-y-5=0. 14.以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是什么？ 答：中垂线的方程为2x+y=7. 15.过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的方程是什么？ 答：由于两条直线平行，所以它们的斜率相同。直线3x- y+2的斜率为3，所以过点(3,4)且与直线3x-y+2平行的直线的 斜率也是3.带入点(3,4)和斜率3，可以得到直线的方程为y- 4=3(x-3)，即y=3x-5. 16.直线3x-2y+6在x、y轴上的截距分别是多少？
数学辅导试卷（二） 直线与圆的位置关系 例1： 如图，△ABC 内接于大⊙O ，∠B ＝∠C ，小⊙O 与AB 相切于点D ．AC 是小圆的切线吗？ 例2：：（1）如图△ABC 内接于⊙O ，∠CAE=∠B ． 求证：AE 与⊙O 相切于点A ． （2） 如图，已知△ABC 内接于⊙O ．P 是CB 延长线上一点，连结AP ．且PA 2＝PB ·PC ． 求证：PA 是⊙O 的切线． 巩固练习： 1．已知圆的直径为12cm ，如果圆心到直线的距离为4cm ，那么直线与圆有_______个交点． 2．直线l 与半径为r 的⊙O 相切，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值是_______． 3．直线l 与半径为r 的⊙O 相离，且点O 到直线l 的距离为5，则r 的取值是_____ 4．已知⊙O 的半径7 r cm ，直线21//l l ，且1l 与⊙O 相切，圆心O 到2l 的距离为9cm ．则1 l 到2l 的距离是___________． B C
5．如图5，已知⊙O 过正方形ABCD 的顶点A ，B ，且与CD 边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为_________ 6．已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 有交点，则d____r 7．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则这个三角形是 ． 8．⊙O 的半径为r ，直线321l l l 、、分别与⊙O 相切、相交、相离，它们到圆心O 的距离分别为321d d d 、、，则有（ ）． （A ）321d d r d >=> （B ）321d d r d <<= （C ）312d r d d <=< （D ）321d d r d >>= 9.在平面直角坐标系中，已知()24A ，，()22B -，，()62C -，，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_______________． 10.已知点I 为ABC △的内心，130BIC = ∠，则BAC ∠的度数是_________ 11.如图，点O 是ABC △的内切圆的圆心，若80BAC = ∠，则BOC =∠（ ） 12．已知ABC △内接于O ，OD AC ⊥于D ，如果 32COD = ∠，那么B ∠的度数为__________ 13.如图，ABC △为O 的内接三角形，O 为圆心．OD AB ⊥，垂足 为D ，OE AC ⊥，垂足为E ．若3DE =，则BC = ． 14. 这个正三角形的边长是________,它的内切圆的半径是___________ 15.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB = 度. 16.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____． C
直线方程、直线与圆练习 1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2 :(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23 【答案】B 【解析】 试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =?? ≠?即1221 1221 1A B A B a AC A C =??=-?≠?，故选择B 考点：两条直线位置关系 2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且 31 1 31AB k -= =-，所以线段AB 的垂 直平分线的斜率为-1，所以直线方程为： ()244 y x y x -=--?=-+，故选择A 考点：求直线方程 3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=??+-=?得0 0b c x b a a c y b a +?=>??-?--?=
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 2、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 1 已知圆，求过点与圆相切的切线． 2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程． 3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习： 1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 2、过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 类型三：弦长、弧问题 1、求直线063:=--y x l 被圆042:2 2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长 2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 1、若直线m x y +=与曲线24x y -= 有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2 圆上到直线的距离为1的点有 个？ 3、直线1=+y x 与圆)0(022 2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 5、 圆上到直线的距离为的点共有（ ）． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系 1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2 22=++-+y x y x C 的位置关系 2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。 )4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P y x 1:302=-y x l ：42 2=+y x O ：()42，P O 0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB 9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 034222=-+++y x y x 01=++y x 2()43--，P l l ()()4212 2=++-y x C ：
直线与圆方程 一：圆的方程 例1、 若方程01422 2=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 圆心坐标是__________________,半径是________________ 例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的 关系． 例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程． **练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( ) A ．一个圆和一条直线 B ． 两个点 C ． 一个点 D ．一个圆和两条射线 二：点与圆，直线与圆的位置关系： 1、直线1=+y x 与圆)0(022 2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 *2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ． 相离 D ．不确定 *3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 三：直线与圆的位置关系 （一）相交 例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的 弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P 点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。
**例2、 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线340x y b ++=的距离为1的点有三个，则_____b =， **例3、.已知方程0422 2=+--+m y x y x 表示圆,（1）求m 的取值范围； （2）若该圆与直线042=-+y x 相交于两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. **例4. 已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。 （1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总相交； （2）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； 练习、1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 2、已知圆16)1()2(22=++-y x 的一条直径通过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则该直 径所在的直线方程为_____________________ 3、圆03422 2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有______个 （二）相切 例1 已知圆422=+y x O ：， （1） 求过点M 与圆O 相切的切线方程； （2） *求过点()42， P 与圆O 相切的切线方程并求切线长； （3） 求斜率为2且与圆O 相切的切线方程； （4） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求2y x -的取值范围； （5） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求 43 y x ++的取值范围。
直线与圆经典题型 题型一：对称性求最值 已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小． 解：点M关于直线l和y轴的对称点分别为M1（5，1）和M2（﹣3，5）。 直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0，解得交点P（1，3）。 令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0.5，0.75）。 所以，点P（1，3）和点Q（0.5，0.75）使△MPQ的周长最小。 题型二：反射光线问题
已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0 的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射。 1）求点M关于x轴的对称点P的坐标； 2）求反射光线所在的直线l3的方程； 3）求与l3距离为2的直线方程。 解：（1）由l1和l2的方程解得M（﹣2，1），因此点P （﹣2，﹣1）。 2）因为入射角等于反射角，所以反射光线与x轴的夹角 为2α，其中α为MN与x轴的夹角。 直线MN的斜率为﹣1/3，因此α=arctan(﹣1/3)≈﹣18.43°。 反射光线与x轴的夹角为2α≈﹣36.86°，因此反射光线的 斜率为tan(﹣36.86°)≈﹣0.75.
反射光线所在的直线l3的方程为y=﹣0.75x+b，代入M （﹣2，1）得b=2.5，因此l3的方程为y=﹣0.75x+2.5. 3）设与l3平行的直线方程为y=﹣0.75x+c，根据平行线的距离公式得|2﹣0.75c|/√(0.75²+1²)=2，解得c=10/3或﹣2/3. 因此与l3距离为2的直线方程为y=﹣0.75x+10/3或y=﹣0.75x﹣2/3. 题型三：直线恒过点问题 已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0. Ⅰ）证明：直线恒过定点M（1，2）； Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程。 解：（Ⅰ）将M（1，2）代入直线方程得（2+m）+（1﹣2m）×2+4﹣3m=0，解得m=﹣1.
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果 把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66 ，，π ππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ 答：42≥-≤m m 或 2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、 222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满 足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1
直线与圆的位置关系例题 例题一： 给定直线的方程为：y = 2x + 3，圆的方程为：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，判断该直线与圆的位置关系。 解答一： 首先，我们可以观察到圆的圆心坐标为(1, 2)，半径为3。我们可以计算直线在x轴上的截距为3/2，也就是说直线与x轴的交点为(0, 3/2)。 接下来，我们可以将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 1)^2 + (3/2 - 2)^2 = 9 1 + (−1/2)^ 2 = 9 1 + 1/4 = 9 5/4 = 9 由于等式左边不等于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题二： 给定直线的方程为：x + y = 4，圆的方程为：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答二： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(2, 2)，半径为2。然后，我们可以令x = 0，来计算直线与y轴的截距，即直线与y轴的交点为(0, 4)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 2)^2 + (4 - 2)^2 = 4 4 + 4 = 4 由于等式左边等于右边，因此直线和圆有交点，它们是相交的。 例题三： 给定直线的方程为：y = -3x + 2，圆的方程为：(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答三：
首先，我们观察到圆的圆心坐标为(1, -1)，半径为2。然后，我们可以计算直线在x轴上的截距为2/3，也就是说直线与x轴的交点为(0, 2/3)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 1)^2 + (2/3 + 1)^2 = 4 1 + (5/3)^ 2 = 4 1 + 25/9 = 4 9/9 + 25/9 = 4 34/9 = 4. 由于等式左边不等于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题四： 给定直线的方程为：x - 2y = 6，圆的方程为：(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9，判断该直线与圆的位置关系。 解答四： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(3, -1)，半径为3。然后，我们可以令x = 0，来计算直线与y轴的截距，即直线与y轴的交点为(0, -3)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 3)^2 + (-3 + 1)^2 = 9 9 + 4 = 9 由于等式左边大于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题五： 给定直线的方程为：y = -2x + 5，圆的方程为：(x - 2)^2 + y^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答五： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为2。然后，我们可以计算直线在x轴上的截距为5，也就是说直线与x轴的交点为(0, 5)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 2)^2 + 5^2 = 4 4 + 2 5 = 4 29 = 4
《直线与圆的位置关系》典型例题 例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？ （1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm． 例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值． 例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？
例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切. 例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.
参考答案 例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可． 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离； （2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切； （3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交． 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系． 例2 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r
直线与圆的方程题型归类 Did you work harder today, April 6th, 2023
直线与圆的方程题型归类 一、求直线方程 例1.直线l 过点－1,2且与直线2x －3y ＋4=0垂线,则l 的方程是 A3x ＋2y －1=0 B3x ＋2y ＋7=0 C2x －3y ＋5=0 D 2x －3y ＋8=0 分析：要求过已知点的直线方程只需求斜率,因而可以由与已知直线的垂直关系 得到斜率; 解：因为直线2x －3y ＋4=0的斜率为3 2 32=--=k ,且直线l 与它垂直,所 以,32l k =-,∴l 的方程为3 2(1)2 y x -=-+,即3210x y +-=选A 点评：本题考查直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系,在学习中一定要弄 清楚有关概 念、直线方程的不同形式的特点、两直线平行与垂直所满足的条件,熟练掌握、 灵活运用; 二、求圆方程 1．直接求圆方程 例2.1以点2,－1为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_____________________; 分析：因为圆心知道,只需要求出圆的半径 解：先将直线6x y +=化为一般式60x y +-=,再由圆心到直线的距离公式得： 圆的半径 r = =, 所以圆的方程为2225 (2)(1)2 x y -++= 点评：此题考查圆的方程,首先要明确圆的标准方程、一般式方程、其中中包含哪些待定系数其次,要掌握求这些系数的办法; 2．利用对称关系求圆方程 2已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的方程为B A 2(2)x ++2(2)y -=1 B 2(2)x -+2(2)y +=1 C 2(2)x ++2(2)y +=1 D 2(2)x -+2(2)y -=1 分析：要求圆的方程,关键是求圆心坐标和半径;可以用对称关系代换、也可以列方程求解;
《直线和圆的位置关系》典型例题 例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？ （1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm． 例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值． 例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？ 例4如图，直角梯形中，，，，为 上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与 相切. 例5已知中，，于，，，以 为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.
参考答案 例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可． 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离； （2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切； （3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交． 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系． 例2 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r
【熟悉知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】 [例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（ 2 －1， 2 ＋1） C ．（－ 2 －1， 2 －1） D ．（0， 2 ＋1 （2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0 （3）“a =b ”是“直线222()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 （4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ． （5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ． [例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程． [例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
[例4]已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l叫x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a,|OB|=b(a＞2,b＞2)． (1)求证：（a－2)(b－2)=2； (2)求线段AB中点的轨迹方程； （3）求△AOB面积的最小值． 【课内练习】 1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋5 2=0相切的直线的方程为（） A．y=－3x 或y=1 3x B．y=3x 或y=－ 1 3x C．y=－3x 或y=－1 3x D．y=3x 或y= 1 3x 2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 ( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5 C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=5 3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（） A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（） A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3） 5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OB OA ＝. 7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是． 8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程． 9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0 （1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程； （2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．