高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
1 已知圆，求过点与圆相切的切线．
2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习：
1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程
2、过坐标原点且与圆02
52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.
类型三：弦长、弧问题
1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长
2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为
3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
1、若直线m x y +=与曲线24x y -=
有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？
3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是
4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.
5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．
（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个
6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系
1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2
22=++-+y x y x C 的位置关系
2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。 )4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P y x 1:302=-y x l ：42
2=+y x O ：()42，P O 0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB 9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 034222=-+++y x y x 01=++y x 2()43--，P l l ()()4212
2=++-y x C ：
类型六：圆中的对称问题
1、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
类型七：圆中的最值问题
1、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
2、 (1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．
求的最大、最小值，求的最大、最小值．
3、已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是.
练习：
1：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.
（1） 求
21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.
类型八：轨迹问题
1、已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2
1，求点M 的轨迹方程. 2、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹
方程.
3、由动点P 向圆12
2=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是
类型九：圆的综合应用
1、已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．
2、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．
1)4()3(221=-+-y x O ：),(y x P O 22y x d +=1)2(222=++y x O ：),(y x P 12--x y y x 2-0622=+-++m y x y x 032=-+y x P Q O OQ OP ⊥m 1)1(22=-+y x ),(y x P 0≥++m y x m
1、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
2、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.
3、已知动圆与轴相切，且过点.
⑴求动圆圆心的轨迹方程；
⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.
4、已知圆O 的方程为且与圆O 相切。 （1）求直线的方程；
（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为，直线PM
交直线于点，直线QM 交直线于点。求证：以为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标。
5、已知以点)0,)(2,(≠∈t R t t t C 为圆心的圆与x 轴交于点A O ,，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点。
（1） 求证：OAB ∆的面积为定值；
（２）设直线42+-=x y 与圆C 交于点N M ,，若ON OM =，求圆C 的方程。
Q x ()0,2A Q M B C M ()2,2P PB BC ⊥C ），
，过点直线03(,1122A l y x =+1l 2l 2l 'P 2l 'Q ''Q P
直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳 、基础知识 1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d) 2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|) 、常用结论 (1 )圆的切线方程常用结论 ①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2 ②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2. ③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2. (2)直线被圆截得的弦长 1 i 弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2. 考点一直线与圆的位置关系
考法(一)直线与圆的位置关系的判断 ［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( ) A•相交 B •相切 C.相离 D •不确定 mx— y+ 1 — m= 0, ［解析］法一：由o o x2 + y — 1 = 5, 消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0, 因为△= 16m2+ 20>0, 所以直线I与圆相交. 法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交. yj m2 + 1 法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交. ［答案］A ［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. ［提醒］上述方法中最常用的是几何法. 考法(二)直线与圆相切的问题 ［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为() A . 3x+ 4y — 4= 0 B.4x— 3y + 4= 0 C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0 D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0 (2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 直线和圆 一．直线的倾斜角： 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； 2．倾斜角的范围[)π,0。如 （1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____ （答：5[0][)66 ，，ππ π ）； （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3 2,3[π πα∈值的范围是 ______ （答：42≥-≤m m 或） 二．直线的斜率： 1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（ 2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222 (,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=； 3．直线的方向向量(1,)a k = ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．应用：证明三点共线： AB BC k k =。如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 （答：既不充分也不必要）； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______ （答：2 ,13 -） 三．直线的方程： 1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。 3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222 (,)P x y 两点，则直线方程为121 121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为 1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5．一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如 （1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________ （答：12)y x -=-）； （2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______
直线与圆、圆与圆的位置关系 【重难点精讲】 重点一、直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点． 重点二、几何判定法： 设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离；(2)d ＝r ?圆与直线相切；(3)d 直线与圆题型总结 题型1 ：直线的斜率 1．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ ） A ．[ B ．( C ．33?-??? D ． 33?- ?? 题型2 直线的方程 2．直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是 （ ） Ａ． 210x y +-= Ｂ． 210x y +-=Ｃ．230x y +-= Ｄ． 230x y +-= 题型3：直线与直线的位置关系 3、已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 题型4：点与直线的位置关系 4．圆 22 4x y x +--4100y -=上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( ) A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 题型5：圆的方程 5. 以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 （ ） A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22 (2)(1)3x y ++-= C ．22(2)(1)9x y -++=D ． 22(2)(1)3x y ++-= 6.若直线3x+4y+m=0与圆 ? ? ?+-=+=θθ sin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是. 题型6：直线与圆的位置关系 7.已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 （ ） A. B. C. D. 题型7：圆与圆的位置关系 8．与直线x y +-20=和曲线 221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_____ 题型8：线性规划问题 9．若x ，y 满足约束条件 1 122x y x y x y +≥?? -≥-??-≤? ，目标函数 2z ax y =+仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围 2 2 (1)(1)2x y ++-=2 2 (1)(1)2x y -++=22(1)(1)2x y -+-=22 (1)(1)2x y +++= 《直线和圆》题型总结 班级:高二(19)班学号: 50 :志飞 1．直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的围：。 例题： （1）直线的倾斜角的围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的围 ,那么m值的围是______（答：） 2．直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan (≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为 ； （3）应用：证明三点共线：。 例题： （1）两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为 ______（答：） 3．直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。 例题： （1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1, )的直线的点斜式方程是___________（答：）； （2）直线，不管怎样变化恒过点______（答：）； （3）若曲线与有两个公共点，则的取值围是_______（答：） 直线与圆方程 一：圆的方程 例1、 若方程01422 2=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 圆心坐标是__________________,半径是________________ 例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的 关系． 例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程． **练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( ) A ．一个圆和一条直线 B ． 两个点 C ． 一个点 D ．一个圆和两条射线 二：点与圆，直线与圆的位置关系： 1、直线1=+y x 与圆)0(022 2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 *2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ． 相离 D ．不确定 *3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 三：直线与圆的位置关系 （一）相交 例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的 弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P 点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。 **例2、 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线340x y b ++=的距离为1的点有三个，则_____b =， **例3、.已知方程0422 2=+--+m y x y x 表示圆,（1）求m 的取值范围； （2）若该圆与直线042=-+y x 相交于两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. **例4. 已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。 （1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总相交； （2）设l 与圆C 交与不同两点A 、B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程； 练习、1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 2、已知圆16)1()2(22=++-y x 的一条直径通过直线032=+-y x 被圆所截弦的中点，则该直 径所在的直线方程为_____________________ 3、圆03422 2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有______个 （二）相切 例1 已知圆422=+y x O ：， （1） 求过点M 与圆O 相切的切线方程； （2） *求过点()42， P 与圆O 相切的切线方程并求切线长； （3） 求斜率为2且与圆O 相切的切线方程； （4） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求2y x -的取值范围； （5） **若点(,)x y 满足方程224x y +=，求 43 y x ++的取值范围。 2023赵礼显高考直线与圆经典题型总结引言 直线与圆是高中数学的重要内容之一，也是高考的重要考点。在高考备考过程中，掌握直线与圆的经典题型对于提高数学成绩具有重要意义。本文将详细介绍赵礼显老师总结的直线与圆经典题型，帮助考生更好地备考高考。 一、直线与圆的基本概念 1. 直线方程及其性质 2. 圆的方程及其性质 3. 直线与圆的位置关系及其判定 二、经典题型总结 1. 直线过定点，圆过定圆，求公共弦所在直线方程 【题型1】求圆C：$(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$与圆D：$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$的公共弦BD所在直线方程 【分析】 利用两圆相减可得公共弦所在直线方程。 【解答】 由题意可知，两圆的方程相减可得：$x + 2y - 1 = 0$，即公共弦BD所在直线方程为$x + 2y - 1 = 0$。 2. 求圆上点到定直线的距离 【题型2】求圆上点到定直线的距离最大值或最小值 【分析】 根据点到直线的距离公式求解最值。 【解答】 设圆心到定直线的距离为d，则当直线与圆相交时，最大值为d + r，最小值为d - r。 3. 求圆内或圆外两平行直线之间的距离 【题型3】求圆内或圆外两平行直线之间的距离 【分析】 根据平行线间的距离公式求解。 【解答】 设两平行直线之间的距离为h，则有$h = \frac{|m|}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} = \frac{m}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}，(m$表示平行线之间的距离，n表示两平行线中一条直线的斜率) 4. 求过已知三点且与已知圆相切的圆的方程 【题型4】求过已知三点$A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})$、 C(a,b)且与已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$相切的圆的方程 【分析】 利用已知三点共线的方法求出圆的圆心和半径，进而得到圆的方程。 【解答】 根据已知条件可知，所求圆的圆心在AB垂直平分线上，且半径等于AB的一半。根据已知点的坐标可求出AB的斜率，进而得到AB垂直平分线的方程，再根据已知条件可求出所求圆的半径。最后根据圆心 和半径即可得到所求圆的方程。 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 1 已知圆，求过点与圆相切的切线． 2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程． 3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习： 1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 2、过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为. 类型三：弦长、弧问题 1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长 2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 1、若直线m x y +=与曲线24x y -= 有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？ 3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是. 5、 圆上到直线的距离为的点共有（）． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系 1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2 22=++-+y x y x C 的位置关系 2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。 )4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P y x 1:302=-y x l ：42 2=+y x O ：()42，P O 0111221=++++F y E x D y x C ：0222222=++++F y E x D y x C ：A B AB 9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 034222=-+++y x y x 01=++y x 2()43--，P l l ()()4212 2=++-y x C ： 直线和圆-重点题型总结 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 直线和圆 一．直线的倾斜角： 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； 2．倾斜角的范围[)π,0。如 （1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____ （答：5[0][)66 ，，ππ πU ）； （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3 2,3[π πα∈值的范围是 ______ （答：42≥-≤m m 或） 二．直线的斜率： 1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（ 2．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222 (,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=； 3．直线的方向向量(1,)a k =r ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．应用：证明三点共线： AB BC k k =。如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件 （答：既不充分也不必要）； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______ （答：2 ,13 -） 三．直线的方程： 1．点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 2．斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。 3．两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222 (,)P x y 两点，则直线方程为121 121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4．截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为 1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5．一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如 （1）经过点（2，1）且方向向量为v ϖ =(－1,3)的直线的点斜式方程是___________ （答：13(2)y x -=-）； （2）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______ 《直线和圆》题型总结 班级：高二（19）班学号：50 姓名：张志飞 1 •直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与：轴相交的直线.，如果把丄轴绕着交点按逆时针方向转到和直线「重合时所转的最小正角记为二，那么二就叫做直线的倾斜角。当直线.与丄轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围：「二。 例题： （1）直线XC3&+乃的倾斜角的范围是 _________________ （答： 6 6 _____________________________________________________________ ）； （2）过点P（-何阀的直线的倾斜角的范围处亍3 ，那么m值的范围 是 _______ （答：朋W-2或用34） 2.直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率：， 即「二tan二（二工90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点丄_ 丄_二‘」的直线的斜率为 （3）应用：证明三点共线:'■■-0 例题： （1）两条直线斜率相等是这两条直线平行的 __________________ 件（答：既不充分 也不必要）； （2）实数；满足-■-'（一二」），则,的最大值、最小值分别为 ;厂1 ______ （答：3 ） 3.直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点 <-1 . 1斜率为「，则直线方程为' 一：’, 它不包括垂直于丄轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为一:和斜率厂，则直线方程为m , 它不包括垂直于丄轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过丄一■、丄_ 丨」两点，则直线方程为 厂为二f 【 1 'J '】，它不包括垂直于坐标轴的直线。 込+Z 二1（4）截距式：已知直线在：轴和「轴上的截距为「「，则直线方程为丄:.，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）—般式：任何直线均可写成丄亠円亠「- （A,B不同时为0）的形式。例题： （1）________________________________________________________________________________ 经过点（2, 1）且方向向量为卩=（-1,）的直线的点斜式方程是 __________________________ （答："「_ V门）； （2）直线（用+2）“（2用-l）y-（3忙4）= 0，不管朋怎样变化恒过点 _______ （答: T. _：）； （3）若曲线y=a\x\与尸x+血有两个公共点，贝岫的取值范围是 _______________________ （答： 注意： 直线的两点式方程、直线的一般式方程 【知识梳理】 1．直线的两点式与截距式方程 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义 我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【常考题型】 题型一、利用两点式求直线方程 【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3 －1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －1 3－1 ，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1 －1－1 ，即3x －2y ＋3＝0. 【类题通法】 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 【对点训练】 1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2. (2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2 －3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3， m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2. 答案：(1)x ＝2 (2)－2 题型二、直线的截距式方程及应用 【例2】 直线l 过点P (4 3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原 点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． [解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (4 3 ，2)， 所以43a ＋2 b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0， 解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝4， b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125 ， b 2 ＝92， 2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练 例2如图，设一直线过点(—1,1),它被两平行直线 11: x+2y —1=0, 12： x+ 2y —3=0所截的线段的中点在 直线13： x — y —1=0上，求其方程. 【题型归纳】 题型一直线方程、两直线的位置关系 例1已知两直线11 ： mx 8y n 0和12：2x my 1 0 .试确定m 、n 的值，使: ⑴11与12相交于点P m, 1 ; (2) l i "2 ； (3)11,12,且11在y 轴上的截距为一1. 【答案】(1) m 1, n 7. (3) (2) m 4 , n 2 时或 m m 0, n 8 4, n 2时，11 // 12. m 8 n 0 (1)由题息得 ，解得m 1, n 7. 2m n 1 0 (2)当m 0时，显然11不平彳T 于12； n /曰 m m 8 2 0 1 8 ( 1) nm 0 4, n 2时，11 // 12. (3)当且仅当2m 8m 0,即m 0时，11，12.又 即m 0, n 8时，1J12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论 【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或 k 0时，并且对于直线平行和垂直 时与人人2和巳82间的关系要熟练记忆。 x+2y-3=O 【答案】2x 7y 5 0. 【解析】与11、12平行且距离相等的直线方程为 设所求直线方程为x 2y 2 x x 2y 2 0. y 1 0 ,即 1 0 .又直线过 A 1,1 ，.一 1 1 2 1 2 0.解 1 1 .，所求直线方程为2x 7y 5 0. 3 x+2y-1=0 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果 把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66 ，，π ππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ 答：42≥-≤m m 或 2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、 222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满 足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1 高考数学总复习题型分类汇 《直线与圆》篇 经 典 试 题 大 汇 总 目录 【题型归纳】 题型一倾斜角与斜率 (3) 题型二直线方程 (3) 题型三直线位置关系的判断 (4) 题型四对称与直线恒过定点问题 (4) 题型五圆的方程 (5) 题型六直线、圆的综合问题 (6) 【巩固训练】 题型一倾斜角与斜率 (7) 题型二直线方程 (8) 题型三直线位置关系的判断 (9) 题型四对称与直线恒过定点问题 (10) 题型五圆的方程 (11) 题型六直线、圆的综合问题 (12) 高考数学《直线与圆》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 倾斜角与斜率 例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030 【答案】 A 【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为3 3-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3 3tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ． 【易错点】基础求解问题注意不要算错 【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为 2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练 例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92= a 【解析】5 97,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即 59735a a +=-，解得2=a 或92=a ． 题型二 直线方程 例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）． A. 2x y += B. 1x y += C. 1x =或1y = D. 2x y +=或x y = 【答案】D 【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为 1x y m m +=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．直线与圆题型总结
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