()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断:(1)代数方法(判断直线与圆
方程联立所得方程组的解的情况):0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；(2）几
何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为，则d r <⇔相
交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较
简捷。如（1）圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠
k π+，)k z ∈的
位置关系为____（答：相离）；(2)若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则的值____(答：2）;（3）直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所
截得的弦长等于(答：；（4）一束光线从点A （－1，1)出发经x 轴反射到圆C ：（x-2）
2+（y-3）2=1上的最短路程是（答：4）；（5)已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内
一点，现有以为中点的弦所在直线和直线2:l ax by r +=，则A ．//m l ，且与圆相交
B ．l m ⊥，且与圆相交
C ．//m l ，且与圆相离
D ．l m ⊥，且与圆相离(答：C ）；
(6)已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=。①求证:对m R ∈,直线L 与
圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =求L 的倾斜角；
③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程。 （答：②或120③最长:1y =，
最短：1x =)
13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分
别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则(1)当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212
|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；(4）当1212|O O |r r |=|-时，
两圆内切；（5)当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含。如双曲线22
221x y a b
-=的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置
关系为(答：内切）
14、圆的切线与弦长：
(1)切线:①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆
222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：
200()()()()x a x a y a y a R --+--=，
一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条
件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线(即“切点
弦")方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就
是过两切点的直线方程；③切线长:过圆
220x y Dx Ey F ++++=(222()()x a y b R -+-=)外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为
；如设A 为圆1)1(22=+-y x 上
动点，PA 是圆的切线，且|PA ｜=1，则P 点的轨迹方程为__________（答:22(1)2x y -+=)；
（2)弦长问题：①圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距,半弦长
12a 及圆的半径所构成的直角三角形来解：222
1()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交
点的圆（公共弦）系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为
两圆公共弦所在直线方程。。
15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦
长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)！
16.圆的切线和圆系方程
1．过圆上一点的切线方程：圆2
22r y x =+,圆上一点为(00,y x )，则过此点的切线方程为
x+ y= （课本命题）．
圆222r y x =+,圆外一点为（00,y x )，则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+。
2．圆系方程：①设圆C1∶01112
2=++++F y E x D y x 和
圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0(λ为参数,圆系中不包括
圆C2，λ=—1为两圆的公共弦所在直线方程）．
②设圆C ∶02
2=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0，若直线与圆相交,则过交点
的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λ（Ax+By+C)=0（λ为参数)．
例题1经过点P (2，m ）和Q (2m ，5）的直线的斜率等于错误!，则m 的值是（ B )
A ．4
B ．3
C ．1或3
D ．1或4
变:的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--
2. 已知直线l 过P （－1，2），且与以A （－2,－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l
的斜率的取值范围．
点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系!答案：错误!∪［5,＋∞） 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．
答案：错误!∪［5，＋∞）
1。求a 为何值时，直线l 1：（a ＋2）x ＋(1－a ）y －1＝0与直线l 2：(a －1）x ＋(2a ＋3)y ＋
2＝0互相垂直?答案：a=—1
2。求过点P （1,－1）,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案:3x －2y －5＝0。
例2。求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
例3。已知△ABC 的顶点A （1,－1)，线段BC 的中点为D （3，2
3)． （1）求BC 边上的中线所在直线的方程；
（2）若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程．
例4。方程(m －2m －3)x ＋(2m ＋m －1）y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．(1）方程能够表示一条直线；(答案:m 1-≠）
(2）方程表示一条斜率为－1的直线．(答案：m 2-=)
例5.直线l 的方程为（a －2）y ＝(3a －1）x －1（a ∈R)．
(1）求证：直线l 必过定点;(答案：(错误!，错误!））
（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案:5x ＋5y －4＝0）
（3）若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．(答案：分斜率存在与不存在） 例1：求点A （-2,3）到直线 l ：3x+4y+3=0的距离 d= 。
例2:已知点（a ，2)到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。 （a ＜0）
例3：求直线 y=2x+3关于直线l ： y=x+1对称的直线方程。
类型一:圆的方程
例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
变式1:求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程。
变式2:求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均关于直线0=y 对称的圆的标准方程。
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例4 已知圆42
2=+y x O ：，求过点()42，P 与圆相切的切线． 解：∵点()42，
P 不在圆上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422
=++-k
k 。解得43=k ，所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．
类型三：弦长、弧问题 例7、求直线063:=--y x l 被圆042:2
2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长。
例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d
r AB ，从而△OAB 是等边三角
形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=
∠AOB 。 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长
类型四:直线与圆的位置关系
例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系。
类型五:圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:2
21=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，
例14:圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条.
类型六:圆中的最值问题
例15:圆010442
2=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 例16 （1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：
，),(y x P 为圆上的动点,求2
2y x d +=的最大、最小值． （2）已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求1
2--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例17:已知)0,2(-A ,)0,2(B ，点在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是。
解
：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA 。设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ，∴2
2PB PA +的最小值为268322=+⨯。
直线与圆知识点总结
直线与圆 1、直线的倾斜角与斜率： tan k α=， 当α∈[0°,90°）时，斜率k ∈[0，+∞）； 当α∈（90°,180°）时，斜率k ∈（－∞，0）。 过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线斜率公式：21 21 y y k x x -=-. 2、直线的五种方程： ⑴点斜式：00()y y k x x -=- (直线l 过点00(,)P x y ，且斜率为k )． ⑵斜截式：y kx b =+(k 为直线的斜率，b 为直线l 在y 轴上的截距⑶两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=-- (12y y ≠且12x x ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y ⑷截距式：1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，且0a b ≠、) ⑸一般式：0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线平行和垂直的等价关系： (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+， 则①121212||,l l k k b b ?=≠②12121l l k k ⊥?=-； (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2①111 1212211221222 0A B C l ||l A B A B C C A B C ? =≠-=≠或且B B ； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、两种常用直线系方程： ⑴与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（C ≠⑵与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+= （λ5、两点间距离公式： 12 PP ｜111(,)P x y 、222(,)P x y ）
直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题
直线与圆、圆与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点(切点）； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； d r d=r r d 二、切线的判定定理与性质 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图） ①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1、 在 中，BC=6cm ，∠B=30° ，∠C=45°，以A 为圆心， 当半径r 多长时所作的⊙A 与直线BC 相切？相交？相离？ 解题思路： 作AD ⊥BC 于D 在中，∠B=30° ∴ 在 中，∠C=45° ∴ CD=AD ∵ BC=6cm ∴ ∴ N M A O P B A O
B A C D O ∴ 当时，⊙ A 与BC 相切；当时，⊙ A 与BC 相交；当 时，⊙ A 与BC 相离。 例2．如图，A B 为⊙O 的直径， C 是⊙O 上一点， D 在AB 的延长线上，且∠DCB= ∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10． 三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， P O D C B A P B A O
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程 (x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。- ____ 2 2 2 说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以， 只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 -确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二) 圆的一般方程 2 2 2 2 2 2 2 2 将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r 。可见，任何一个 2 圆的方程都可以写成 ：X 2 y Dx Ey F 0 2 2 问题：形如x y Dx Ey F 0 的方程的曲线是不是圆？ 2 2 F D 2 E 2 J D ‘ E 4F 将方程X y Dx Ey 左边配方得： 2) 2) 2 D E 0表示以 2 2为圆 2 2 (1)当 D E 4F >° 时， 方程(1 )与标准方程比较，方程x y Dx Ey F D 2 E 2 4F 心，以 2 为半径的圆。 DE DE ⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計 2 2 (3)当D 2 E 2 4F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 2 2 当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： 2 2 (1) X 和y 的系数相同，不等于零； (2) 没有xy 这样的二次项。 (三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。 2、 直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： (1) 把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 (2) 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3) 作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当 d = r 时，直线与圆相切；当d0时，直线与圆相交。 【典型例题】 类型一：圆的方程 例1求过两点A(1,4)、B(3, 2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系. 变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y 0平分的圆的标准方程
直线和圆知识点及题型总结
《直线和圆》题型总结 班级:高二(19)班学号: 50 :志飞 1．直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的围：。 例题： （1）直线的倾斜角的围是____（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的围 ,那么m值的围是______（答：） 2．直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan (≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为 ； （3）应用：证明三点共线：。 例题： （1）两条直线斜率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；
（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为 ______（答：） 3．直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。 例题： （1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1, )的直线的点斜式方程是___________（答：）； （2）直线，不管怎样变化恒过点______（答：）； （3）若曲线与有两个公共点，则的取值围是_______（答：）
直线与圆知识点以及经典例题总结归纳
一. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ? 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
直线与圆的位置关系 教学目标:1.了解直线与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。 2.了解切线与割线的概念。 3.了解圆与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与 圆的三种位置关系的方法。 重点：理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 难点：直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用； 【知识精要】 知识点1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念 （1）圆的割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 （3）直线和圆相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 例题1 下列说法正确的有（） ①圆的切线只有一条；②若直线与圆不相切，则直线与圆相交； ③若直线与圆有公共点，则直线与圆相交；④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）0个 例题2 如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，点C在⊙O上。如果∠P=500，那么∠ACB 等于（） （A）400 （B）500 （C）650 （D）1300
直线和圆知识点总结
练习一（直线和圆部分） 知识梳理 1．直线的倾斜角α的范围是；求直线斜率的两种方法：①定义：k =()2 πα≠； ②斜率公式：k =21 21y y x x --12()x x ≠．答案) 0,180???? 2．直线方程的几种形式： ①点斜式，适用范围：不含直线0x x =； 特例：斜截式，适用范围：不含垂直于x 轴的直线； ②两点式，适用范围：不含直线112()x x x x =≠和直线112()y y y y =≠； 特例：截距式，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线； ③一般式，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用． 3．求过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程时： （1）若12x x =，且12y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若12x x ≠，且12y y =时，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若120x x ==，且12y y ≠时，直线即为y 轴，方程为0x =； （4）若12x x ≠，且120y y ==时，直线即为x 轴，方程为0y =。 4．已知直线1l ：11y k x b =+，直线2l ：22y k x b =+，则 ①1l 与2l 相交?； ②1l 与2l 平行?； ③1l 与2l 重合?； ④1l 与2l 垂直?． 5．已知直线1l ：1110A x B y C ++=，直线2l ：2220A x B y C ++=，则 ①1l 与2l 相交?； ②1l 与2l 平行?； ③1l 与2l 重合?； ④1l 与2l 垂直?． 6．两点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离12=PP ； 点(,)P x y ??到直线l ：0Ax By C ++=的距离d =； 两平行直线1l ：10Ax By C ++=与2l ：20Ax By C ++=之间的距离d =．
学生版-高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题(汇编)
高中数学必修2 直线与圆的位置关系 【一】、圆的定义及其方程． （1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定 长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a 圆的一般方程：)04(02 222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径 为 ； 【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理） 设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系： 设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下： 相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法； 利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 【四】、两圆的位置关系： （1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解， 则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆 相离。 （2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ； （五） 已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=0
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系知识 点及例题 Prepared on 22 November 2020
直线与圆的位置关系 一、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： 图形 名称相离相切相交 判定d>r d=r d判定切线时常用的辅助线作法： （1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直. （2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线 作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径. 例6、判断下列命题是否正确 （1）经过半径的外端的直线是圆的切线 （2）垂直于半径的直线是圆的切线； （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线； （5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切. 例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系 是（） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______． 例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线 于点E，连结BC． （1）求证：BE为⊙O的切线； （2）如果CD=6，tan∠BCD=1 2，求⊙O的直径． 例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=1 2，∠D=30°． （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长． 例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线． 3、切线的性质：
直线与圆知识点总结及例题
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果 把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66 ，，π ππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. 2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ 答：42≥-≤m m 或 2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的 斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点 111(,)P x y 、 222(,)P x y 的直线的斜率为()212 121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满 足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1
直线和圆知识点及题型总结
《直线和圆》题型总结 班级：高二（19）班学号：50 姓名：张志飞 1 •直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与：轴相交的直线.，如果把丄轴绕着交点按逆时针方向转到和直线「重合时所转的最小正角记为二，那么二就叫做直线的倾斜角。当直线.与丄轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围：「二。 例题： （1）直线XC3&+乃的倾斜角的范围是 _________________ （答： 6 6 _____________________________________________________________ ）； （2）过点P（-何阀的直线的倾斜角的范围处亍3 ，那么m值的范围 是 _______ （答：朋W-2或用34） 2.直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率：， 即「二tan二（二工90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点丄_ 丄_二‘」的直线的斜率为 （3）应用：证明三点共线:'■■-0 例题： （1）两条直线斜率相等是这两条直线平行的 __________________ 件（答：既不充分
也不必要）； （2）实数；满足-■-'（一二」），则,的最大值、最小值分别为 ;厂1 ______ （答：3 ） 3.直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点 <-1 . 1斜率为「，则直线方程为' 一：’, 它不包括垂直于丄轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为一:和斜率厂，则直线方程为m , 它不包括垂直于丄轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过丄一■、丄_ 丨」两点，则直线方程为 厂为二f 【 1 'J '】，它不包括垂直于坐标轴的直线。 込+Z 二1（4）截距式：已知直线在：轴和「轴上的截距为「「，则直线方程为丄:.，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）—般式：任何直线均可写成丄亠円亠「- （A,B不同时为0）的形式。例题： （1）________________________________________________________________________________ 经过点（2, 1）且方向向量为卩=（-1,）的直线的点斜式方程是 __________________________ （答："「_ V门）； （2）直线（用+2）“（2用-l）y-（3忙4）= 0，不管朋怎样变化恒过点 _______ （答: T. _：）； （3）若曲线y=a\x\与尸x+血有两个公共点，贝岫的取值范围是 _______________________ （答： 注意：
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系 、知识点梳理 1、直线与圆的位置关系： r为了半径,d为了圆心到直线的距离 例1、以下判断正确的选项是( ) ①直线上一点到圆心的距离大于半径,那么直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径,那么直线与圆相切；③直 线上一点到圆心的距离小于半径, ？那么直线与圆相交. A .①②③ B .①② C .②③ D .③ 例2、过圆上一点可以作圆的条切线；过圆外一点可以作圆的条切线；？过圆内一点的圆的切线 . 例3、以三角形一边为了直径的圆恰好与另一边相切,那么此三角形是 . 刊 例4、以下直线是圆的切线的是( ) A .与圆有公共点的直线 B .至ij圆心的距离等于半径的直线| \ C .垂直于圆的半径的直线 D .过圆直径外端点的直线例5 .如下图,Rt△ ABC^, / ACB=90 , CA=@ CB=&以C为了圆心,r为了半径作O C,当r为了多少时,O C与AB相切 2、切线的判定： (1) 根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线. (2) 根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是「圆的切线. (3) 根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 判定切线时常用的辅助线作法： (1) 假设直线与圆有公共点时,辅助线的作法是“连结圆心和公共点〞,再证明直线和半径垂直.
(2) 当直线与圆并没有明确有公共点时,辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线〞再证明圆心到直线的距离等于圆的半径. 例6、判断以下命题是否正确 (1) 经过半径的外端的直线是圆的切线 (2) 垂直于半径的直线是圆的切线； (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； (4) 和圆有一个公共点的直线是圆的切线； (5) 以等腰三角形的顶点为 了圆心,底边上的高为了半径的圆与底边相切^ 例7 . OA平分/ BOG P是OA上任一点(O除外),假设以P为了圆心的Q P与05目离,？那么 OP与OB的位置关系是() A .相离 B .相切 C .相交 D .相交或相切 例8、如下图,在直角坐标系中,O M的圆心坐标为了(m, 0),半径为了2, ?如果.M与直线相切,那么 m= 如果.M与y轴所在直线相交,那么m?的取值范围是 . 例9、如图,AB为了..的直径,弦Cd AB 于点M过点B作BE// CD,交AC?的延长线于 结BC. (1) 求证：BE为了..的切线； (1) (2) 如果CD=6 tan / BCD」,求..的直径. 2 例10、如图,：△ ABC内接于O.,点D在OC的延长线上,sinB= 1 , / D=30° 2 (1)求证：AD是..的切线；(2)假设AC=@求AD的长. 例11、如图,P为了O.外一点,PO交CD O于C,过.O上一点A作弦ABLPO于E,假设 UT[2领航教育秋季班课程•数学(第2页共5页二＞点E,连y轴所在
直线与圆的位置关系例题
直线与圆的位置关系例题 例题一： 给定直线的方程为：y = 2x + 3，圆的方程为：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，判断该直线与圆的位置关系。 解答一： 首先，我们可以观察到圆的圆心坐标为(1, 2)，半径为3。我们可以计算直线在x轴上的截距为3/2，也就是说直线与x轴的交点为(0, 3/2)。 接下来，我们可以将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 1)^2 + (3/2 - 2)^2 = 9 1 + (−1/2)^ 2 = 9 1 + 1/4 = 9 5/4 = 9 由于等式左边不等于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题二： 给定直线的方程为：x + y = 4，圆的方程为：(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答二： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(2, 2)，半径为2。然后，我们可以令x = 0，来计算直线与y轴的截距，即直线与y轴的交点为(0, 4)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 2)^2 + (4 - 2)^2 = 4 4 + 4 = 4 由于等式左边等于右边，因此直线和圆有交点，它们是相交的。 例题三： 给定直线的方程为：y = -3x + 2，圆的方程为：(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答三：
首先，我们观察到圆的圆心坐标为(1, -1)，半径为2。然后，我们可以计算直线在x轴上的截距为2/3，也就是说直线与x轴的交点为(0, 2/3)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 1)^2 + (2/3 + 1)^2 = 4 1 + (5/3)^ 2 = 4 1 + 25/9 = 4 9/9 + 25/9 = 4 34/9 = 4. 由于等式左边不等于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题四： 给定直线的方程为：x - 2y = 6，圆的方程为：(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9，判断该直线与圆的位置关系。 解答四： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(3, -1)，半径为3。然后，我们可以令x = 0，来计算直线与y轴的截距，即直线与y轴的交点为(0, -3)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 3)^2 + (-3 + 1)^2 = 9 9 + 4 = 9 由于等式左边大于右边，因此直线和圆没有交点，它们是相离的。 例题五： 给定直线的方程为：y = -2x + 5，圆的方程为：(x - 2)^2 + y^2 = 4，判断该直线与圆的位置关系。 解答五： 首先，我们观察到圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为2。然后，我们可以计算直线在x轴上的截距为5，也就是说直线与x轴的交点为(0, 5)。 接下来，我们将直线代入圆的方程来判断它们的位置关系： (0 - 2)^2 + 5^2 = 4 4 + 2 5 = 4 29 = 4
直线与圆知识点总结及例题教学提纲
直线与圆知识点总结 及例题
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相 交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最 小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时， 规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线0 23cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，πππU ）； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率. （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],3 2,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正 切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没 有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为 ()212 121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =r ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭 率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。直线的斜率0=k 时，直线方程为 1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为 1x x =.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+, 它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.（4）截距
卓顶精文直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题及答案
直线与圆、圆与圆位置关系 【考纲说明】 1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 【知识梳理】 一、 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系 常见的有两种方法 （1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=- 0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点 0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 （2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系： r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 2、圆的切线方程 若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=. 经过圆222()()x a y b r -+-=上一点 P 00(,)x y 的切线方程为 222()()22 o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交 直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2 224l r d =+， 即l =
二、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。 2、判断圆与圆的位置关系常用方法 （1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则 1212OO r r >+⇔圆1O 与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O 与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O 与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O 与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O 与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法： 方程组221112222200 x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有两组相同的实数解⇔两圆相切； 无实数解⇔两圆外离或内含。 【经典例题】 【例1】（2012广东文）在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224 x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长等于（ ） A ．B ．C D ．1 【答案】B 【解析】圆心到直线的距离 为1d = =,所以弦AB 的长等 于 【例2】（2012重庆理）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关 系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 【答案】C
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： L α ，范围0≤α＜π， 若x l //轴或与x 轴重合时，α=00。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >⇔k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ⇔2 不存在 ⇒k= 1 212x x y y -- 022<⇔<<κππ 当1x =2x 时，α=900，κ不存在。当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。 4、直线方程的几种形式 已知 方程 说明 几种特殊位置的直线 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含y 轴和行平于y 轴的直线 ①x 轴：y=0 点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含y 轴和平行于y 轴的直线 ②y 轴：x=0 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) 1 21 121x x x x y y y y --=-- 不含坐标辆和平行于坐标轴 的直线 ③平行于x 轴：y=b 截距式 a 、b 1=+b y a x 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线 ④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为0 两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。 ②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。 ②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系 （3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：① AC BC AB =+，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 二、两直线的位置关系
