一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法
姜旭东
摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.
关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言
微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.
考虑一阶微分方程 (,)dy
f x y dx
= (1.1)
这里(,)f x y 是在矩形区域
00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)
上的连续函数.
函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式
1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)
对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解
()y x ?=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件
00()x y ?=
这里min(,
)b
h a M
=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.
文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h ≤≤+来讨论,对于
00x h x x -≤≤的讨论完全一样.
分五个命题来证明这个定理:
命题1、设()y x ?=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件
00()x y ?=
的解,则()y x ?=是积分方程
0(,)x
x y y f x y dx =+? 00x x x h ≤≤+ (1.4)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ?=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0000100()()(,())x n
n x x y x y f d x x x h
??ξ?ξξ-=?
?
?
=+≤≤+??? (1.5)
(n=1,2,…)
命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式
0|()|n x y b ?-≤
命题3 、函数序列{}()n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ?是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ?ψ=，
00x x x h ≤≤+.
综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.
本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.
2、预备知识
定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.
定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在 δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有
12()()f t f t -＜ε
则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.
定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。 定义2.4、设X 和Y 是赋范线性空间，T 是X 到Y 的线性算子，如果对X 的任何有界子集M ，
TM 都是Y 中相对紧集，则称T 为全连续算子，亦称紧算子。
容易看出，T 为全连续算子的充要条件是：设}{n x 是X 中的有界点列，则}{n Tx 必有收敛子列。 定义2.5、设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数10,<<αα，使得对所有的X y x ∈,，成立
),,(),(y x d Ty Tx d α≤
则称T 是压缩映射。
引理2.6、完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。 引理2.7、],[b a C 是完备的度量空间，其中],[b a C 表示区间],[b a 上连续函数全体。 定理2.8、(压缩映像原理)设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程x Tx =有且只有一个解）。
定理2.9、(Banach 压缩映象原理) 设D 是Banach 空间X 的一个非空闭子集,T 是D 到其自身内的映象,对任意的D y x ∈,,有10||,||||||<≤-≤-ααy x Ty Tx ,则必存在唯一的
***x Tx D x =∈使得,即T 在D 内有唯一不动点*x .
定理 2.10、(Ascoli-Arzela 定理)设)}({t f F =是定义在βα≤≤t 上的一致有界且同等连续的实值向量函数族，则从F 中必可选取一个在βα≤≤t 上一致收敛的函数列)}({t f n ),2,1( =n 。
定理2.11、（Schauder 不动点定理）设K 是Banach 空间X 的一个有界凸闭集，而T 是K 到其自身的任一全连续映射，则T 在K 内至少有一个不动点。
3、主要证明方法
考虑方程组
),(x t f dt
dx
= （3.1） 其中R t ∈，n
R x ∈，1
:+→n R
G f ，G 是1
+n R
中的某一区域。
若给定一点G ∈),(ξτ，这里τ是一实常数，ξ是一实的n 维常向量，求一个向量函数)(t ?，它在含τ的某一区间?上可微，并满足条件： (1);)(ξτ?=
(2);,))(,(?∈∈t G t t ?
(3)
?∈=t t t f t )),(,()('??
这一问题称为方程组（3.1）的初值问题，并记为
ξτ==)(),,(x x t f dt
dx
若存在满足上述条件的函数)(t ?，则称)(t ?为方程（3.1）满足初始条件ξτ?=)(或过点)
,(ξτ的一个解。
3.1 Picard 逐次逼近法（压缩映像原理）
定理 3.1 若函数),(x t f 是空间1
+n R
中区域，-
R ：b x a t ≤-≤-||||,||ξτ 上连续，设
-
∈≤R x t M x t f ),(,||),(||，),(x t f 在-
R 上关于x 上满足Lipschitz 条件，及存在常数L 使对任意-
-
∈R x t x t ),(),,(，有
||||||),(),(||-
-
-≤-x x L x t f x t f （3.2）
则方程组（3.1）在区间],[βτβτ+-=J 上有唯一的满足初始条件ξτ=)(x 的连续解，其中
}1
,,
min{L
M b a <β,||||?为欧氏范数. 证明：设],[βτβτ+-C 表示区间],[βτβτ+-=J 上连续函数全体按距离
||)()(||max ),(t y t x y x d J
t -=∈所成的度量空间，由引理2.7知],[βτβτ+-C 是完备的度量空间，又
令-
C 表示],[βτβτ+-C 中满足条件
J t M t x ∈≤-,||)(||βξ （3.3） 的连续函数全体所成的子空间，不难看出-
C 是闭子空间，由引理2.6可得，-
C 是完备度量空间，令： dt t x t f t Tx t
?+
=τξ))(,())(( （3.4）
则T 是-
C 到-
C 的映射。事实上，b M <β，所以如果-
∈C x ，那么当],[βτβτ+-∈t 时，
-
∈R t x t ))(,(，又因为))(,(t x t f 是-
R 上的连续函数，所以（3.4）式右端积分有意义，又对一切J t ∈成立：
b M t M dt t x t f t Tx t
<≤-≤=-?βτξτ
||||))(,(||||))((||
所以，当-∈C x 时，-∈C Tx 。下面指出T 是压缩映射，事实上，由Lipschitz 条件，对-
C 中任意两点x 和-
x ，有
),(||)()(||max ||||)],(),([||||))(())((||-
∈---
≤--≤-=-?x x d L t x t x L t dt x t f x t f t x T t Tx J
t t
βττ
令βαL =，则10<<α，且
),(||))(())((||max ),(-
-∈-≤-=x x d t x T t Tx x T Tx d J
t α
所以T 是-C 上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的-
∈C x ，使x Tx =，即
dt t x t f t x t
?+=τ
ξ))(,()(
且ξτ=)(x ，两边对t 求导，即得
))(,()(t x t f dt t dx =，这说明)(t x 是方程),(x t f dt
dx
=满足初值条件ξτ=)(x 的解，那么，
dt t x t f t x t
?+=τ
ξ))(,()(~
~
因而-∈C x ~，且~x 是T 的不动点，由定理2.8中不动点的唯一性必有~
x x =，即方程),(x t f dt
dx
=在区间],[βτβτ+-=J 上有唯一的满足初值条件ξτ=)(x 的连续函数解。
说明1：定理 3.1与定理 1.1相比较, 定理 3.1中解的存在区间]
,[βτβτ+-=J 中,}1
,,min{L
M b a <ββ受Lipschitz 条件L 的限制,下面给出定理3.1的改进,使得方程组（3.1）在区间],[βτβτ+-=J ，其中},min{M
b
a <β不受Lipschitz 条件L 的限制.
定理 3.2 若函数),(x t f 是空间1
+n R
中区域，-
R ：b x a t ≤-≤-||,||ξτ 上连续，设
-
∈≤R x t M x t f ),(,|),(|，),(x t f 在-
R 上关于x 上满足Lipschitz 条件，及存在常数L 使对任意-
-
∈R x t x t ),(),,(，有
|||),(),(|-
-
-≤-x x L x t f x t f
则方程组（3.1）在区间],[βτβτ+-=J 上有唯一的满足初始条件ξτ=)(x 的连续解，其中
},
min{M
b
a <β。 证明：设],[βτβτ+-C 表示区间],[βτβτ+-=J 上连续函数全体所构成空间，如果对任意的],[)(βτβτ+-∈C t x ,定义它的范数为
]},,[;|)(max{|||)(||βτβτ+-∈=-t e t x t x kt
其中L k >为常数.不难验证],[βτβτ+-C 为Banach 空间，又令-
C 表示],[βτβτ+-C 中满足条件
J t b t x ∈≤-,|)(|ξ 的连续函数全体所成的子空间. 令：
ds s x s f t Tx t
?+=τ
ξ))(,())((
任取-
∈C x ,由于],[,|))(,(||))((|βτβτβξτ
+-∈≤≤=-?t b M ds s x s f t Tx t
则T 是-
C 到-C 的映射。
下面指出T 是压缩映射，事实上，由Lipschitz 条件，对-C 中任意两点x 和-
x ，有
≤-≤-=---
-
-
??ds e e s x s x L dt x t f x t f t x T t Tx ks ks t
t
τ
τ
|)()(||)],(),([||))(())((|
kt kt J
t e e t x t x k L
}|)()({|max --∈- 即:
kt
e
t x T t Tx --|)()(|_
≤}|)()({|max kt J
t e t x t x k L
--∈- 从而
.10||,||||))(())((||<<-≤---
k
L
x x k L t x T t Tx
令k
L
=
α，则10<<α，且 ||||||))(())((||-
--≤-x x t x T t Tx α
所以T 是-
C 上的压缩映射。由定理2.8.存在唯一的-
∈C x ，使x Tx =，即
dt t x t f t x t
?+=τ
ξ))(,()(
且ξτ=)(x ，两边对t 求导，即得
))(,()(t x t f dt t dx =，这说明)(t x 是方程),(x t f dt
dx
=满足初值条件ξτ=)(x 的解，那么，
dt t x t f t x t
?+=τ
ξ))(,()(~
~
因而-∈C x ~，且~x 是T 的不动点，由定理2.9中不动点的唯一性必有~
x x =，即方程),(x t f dt
dx
=在区间],[βτβτ+-=J 上有唯一的满足初值条件ξτ=)(x 的连续函数解。
注1:定理3.1与定理3.2指出,从一个在J 中的连续函数)(0x ?出发按
?+≤≤+==-t
x n n t ds s s f t t 0))(,()()(10β
ττ?ξ?ξ
?
去计算,我们得到逐次逼近序列,并且这个序列按范数在J 中收敛于初值问题的解)(t x 这样就得到求近似解的方法. 例1 方程
22y x dx
dy
+=定义在矩形区域 确定经过点(0,0)
的解的存在区间,并在此区间上求第三次近似解. 解:
满足解的存在唯一性定理的条件
2max 22),(=+=∈y x M R
y x ,2
1
)21,1min(),
min(===M b a h ,Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 L y y
f
=≤=??22 0)(0=x ?
3
)]([)(3
02
2
1x dx x x x x
=+=???
?+=x
dx x x x 02
1
2
2)]([)(???+=x
dx x x 0262
]3[63
37
3x x +=
5953520792633]396918923
[)]([)(15
117301410262
02
2
2
3x x x x dx x x x x dx x x x x
x
+++=+++=+=????
注2 使Lipschitz 条件存在的一个充分条件是f 对y 有连续偏导数. 例2
y dx
dy = R 为中心在原点的矩形域, 无导数轴上在 )(0 ),(x y y y x f ==, 但
212121),(),(y y y y y x f y x f -≤-≤-,故 f (x,y ) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。
注3 定理3.1,定理3.2 中的两个条件是保证初值问题存在唯一的充分条件，而非必要条件。
例3 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一
?
?
?≠≠===ax y a ax y a y x f dx dy
00 ),( f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一
???
???
?
==≠===C 0 y dx dy ax y ax y a dx
dy ax y 当当 例4 当 Lipschitz 条件不满足时，解也可能存在唯一
, 11 ,11 :≤≤-≤≤-y x R
???=≠==0
00 ln ),(y y y y y x f dx dy
f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipschitz 条件，但解存在唯一
)0,(),(1x f y x f - 0ln 11-=y y 0ln 11-=y y
∞→→1ln ,0y y 不可能有界
y y dx dy ln = dx y y dy =ln dx y
y d =ln ln 1ln ln c x y += x e c y 2ln =
????
?=±=0
2y e y x
e
c 推论 1 线性方程
)()(x Q y x p dx
dy
+=,当)(),(x Q x P 在区间],[βα上连续,则由任一初值],[),(000βα∈x y x 所确定的解在整个区间],[βα上都存在.
证明: 右端函数)()(x Q y x p +在带状区域),(],[:+∞-∞?βαR 上连续,则右端函数)()(x Q y x p +在区域],[],[:00b y b y R +-?βα上连续,又因为)(x P 在],[βα上连续,则L x P x ≤∈)(max ]
,[βα
从而右端函数)()(x Q y x p +满足定理 3.2中条件,故线性方程
)()(x Q y x p dx
dy
+=对任一初值],[),(000βα∈x y x 在h x x ≤-||0上有唯一解.,由任意],[0βα∈x ,则由任一初值],[)
,(000βα∈x y x 所确定的解在整个区间],[βα上都存在.
推论2 一阶隐方程0),,(='y y x F ,00)(y x y =,0
0)(y x y '=',如果在点),,(000y y x '的某一邻域中, )',,( )y y x F a 对所有的变元),,(000y y x '连续，且存在连续的偏导数； 0),,( )0
00='y y x F b 0),,(
)0
00≠'
?'?y y y x F c
则上述初值问题在0x 的某一邻域存在
证明: 根据条件a),b)c),由数学分析(华东师大第三版)下册定理18.30),,(='y y x F 所确定的隐函数
),(y x f y ='在),(00y x 邻域内存在且连续，且y y F F y f
'
''-
=??。 由条件a)，
y
f
??在),(00y x 的邻域内连续,在以),(00y x 为中心的某一闭矩形区域D 中有界,所以),(y x f 在D 中关于y 满足Lipschitz 条件.
故由0),,(='y y x F 所确定的隐函数),(y x f y ='满足定理 3.2的条件,所以?????==0
0)()
,(y x y y x f dx dy
存在唯一
解.
注:隐式微分方程存在唯一性定理也可应用压缩映射原理证明,见文[17].
说明2：证明微分方程解的存在性过程，就是在不断的寻求定理条件减弱的前提下来证明解的存在性。下面在右端函数不要求满足Lipschitz 条件下，给出微分方程解的存在性的另外两种证明方法，但是不能证明解的唯一性。
3.2 Schauder 不动点方法
定理3.3（Peano ）若函数),(x t f 是空间1
+n R
中区域，-
R ：b x a t ≤-≤-||||,||ξτ 上连续，因
而存在数0>M ，使得-∈≤R x t M x t f ),(,||),(||，则方程组（3.1）至少在区间
},
min{|:|M
b
a h t =≤-?τ 上存在一个满足初始条件ξτ?=)(的解)(t ?。
证明：考虑定义在?上的一切连续函数所构成的空间X ，若在X 中定义模为
|,)(|max ||)(||t x t x t ?
∈= ;)(X t x ∈
则容易验证X 是一Banach 空间。 考虑空间X 的一个子集合
}||)(||,)(:)({Mh t x X t x t x K ≤-∈=ξ
和K 上的一个积分算子T ：
?+=t
ds s x s f t Tx τ
ξ,))(,())(( K t x ∈)(
显然，为证明定理，只要证明算子T 在K 上有一个不动点就够了，为此首先证明K 是一凸闭集。 任取ν个),,2,1()(ν =∈i K t x i ，那么只要,
0≥i λ,11
=∑=ν
λ
i i
就有
∑∑∑====≤-=-ν
ννλξλξλ1
1
1
||))((||||)(||i i i i i i i i Mh Mh t x t x
即
∑=∈ν
λ1
)(i i i K t x ，因此K 是凸的。
又设),2,1()}({ =?i K t x i 且X t x t x i ∈→)()(0；则由Mh t x i ≤-||)(||ξ，则,||)(||0Mh t x ≤-ξ得
K t x ∈)(0，因此K 是一闭集。
根据h 的定义，易知算子T 在K 上有定义，并由对任意的K t x ∈)(有
,,||))(,(||||))((||?∈≤=-?t Mh ds s x s f t Tx t
τ
ξ
从而有
Mh t Tx ≤-||))((||ξ （3.5）
故K K T ?)(，这说明T 是K 到它自身的一个算子。
最后证明T 在K 上是全连续的。为此，设),,2,1(,)(),(* =∈i K t x t x i 且)()(*t x t x i →；于是对于任给的0>ε，必存在N ，使得?∈>t N i ,时有，ε<-≤-||)()(|||)()(|**t x t x t x t x i i ，因此)(t x i 在?上一致收敛于)(*
t x ，从而由
,))(,())((ds s x s f t Tx t
i i ?+=τ
ξ
令∞→i 得
?=+→t
i i t Tx ds s x s f t Tx τ
ξ))(())(,())((*
这说明T 在K 上是连续的。进而，由于对任一k t x ∈)(和任意的,,21?∈t t 有
|,|||))(,(||||))(())((||21212
1
t t M ds s x s f t Tx t Tx t t -≤=-?
所以)(K T 作为定义在?上的函数族是同等连续的，此外，由（3.5）式看出这个函数族在?上是一致有界的，故由Ascoli-Arzela 定理便知)(K T 是相对紧的。
这样由Shauder 不动点定理，必存在一个K t ∈)(?，使)()(t t T ??=即：
?∈+=?t ds s s f t t
,))(,()(τ
?ξ?
定理得证。 3.3 Euler 折线法
定理3.4（Peano ）若函数),(x t f 是空间1
+n R
中区域，-
R ：b x a t ≤-≤-||||,||ξτ 上连续，因
而存在数0>M ，使得-∈≤R x t M x t f ),(,||),(||，则方程组（3.1）至少在区间
},
min{|:|M
b a h t =≤-?τ 上存在一个满足初始条件ξτ?=)(的解)(t ?
下面介绍Euler 折线法，这个方法基于如下几何考虑。
对于1=n 的情形，我们考虑方程（3.1）在区域G 上所确定的方向场，过点G ∈),(ξτ向右作斜率为),(ξτf 的直线段；在这直线段上再取G 内的另一点),(11x t ，过点),(11x t 向右作斜率为
),(11x t f 的直线段；然后，在这直线段上再取G 内的另一点),(22x t ，过点),(22x t 再向右作一斜率为),(22x t f 的直线段；这样继续下去，我们就可以作出一条右行折线，同样，可以过点G ∈),(ξτ向左
方作出类似的折线，这样的折线称为方程（3.1）过点G ∈),(ξτ的Euler 折线
从直观上看，Euler 折线在某种意义下是方程（3.1）的一条近似积分曲线，而且当每相邻两点
1,+k k t t 之间的距离越小时就越近似。因此，当每相邻两点1,+k k t t 之间距离越趋向于零时，Euler 折线
就越趋向所求积分曲线。
基于这一几何设想，要证明定理需选出一族刻画Euler 折线的近似解，并从其中抽出一个一致收敛的子列，使它的极限函数就是定理所求的解。
证明:分三步来做：
（一）对任给的0>ε，必存在方程（3.1）的一个ε逼近解，即存在满足下列条件的函数)(t ε?： （1）-
∈R t t ))(,(ε?，当?∈t 时；
（2）)(t ε?在?上连续，并在?上除有限个点外，)(t ε?处处具有连续导数，而在这有限个点处，)(t ε?的左右导数都存在；
（3）ε??εε≤-||))(,()(||'t t f t ，当?∈t 时；但在导数不存在的点处，)('
t ε?应理解为)(t ε?的左导数或右导数。
事实上只要在?的右半区间上h t t +≤≤?+
τ:上找到ε逼近解就够了；左半区间的讨论类似。 因为),(x t f 在-
R 上连续，从而一致连续；故对任给的0>ε，必存在0>εδ使
ε<--
-||),(),(||x t f x t f （3.6）
当-
∈R x t ),(，-
-
-∈R x t ),(，εεδδ≤-≤--
-||||,||x x t t 时。 将区间用1-l 个分点加以分割：
h t t t t l +=<<<<=ττ 210，
使 },
min{||max 11M
t t k k l
k ε
εδδ≤--≤≤ （3.7）
现在做函数)(t ε?：
??
?
-+==----)))((,()()()(1111k k k k t t t t f t t εεε
ε???ξτ? l k t t t k k ,,2,1,1 =≤<- （3.8） 下证：)(t ε?在区间+
?上有定义并且是方程（3.1）的一个一个ε逼近解。 根据（3.8）)(t ε?显然在1t t ≤≤τ上有定义且满足
b Mh t f t ≤≤-≤-)(||),(||||)(||τξτξ?ε （3.9）
设)(t ε?在)1(≥≤≤k t t k τ上有定义且满足（3.9）于是它在1+≤≤k k t t t 上有定义且满足
||)()()()(||||)(||11-=-+-=-∑i k
i i k t t t t t εεεεε????ξ?
||)()(||||)()(||1
1
-=-+
-≤∑i k
i i
k t
t t t εεεε????
b Mh t M t t t t
f t t t t f i i k
i i i k k k ≤≤-≤-+
-≤-=--∑)()(||))(,(||)(||))(,(||11
11
τ??εε
由此可见，)(t ε?在整个+
?上有定义且满足（3.9），从而满足作为ε逼近解得条件（1），再根据)(t ε?的定义，显然还满足作为ε逼近解得条件（2） 此外又根据
)(t ε?的定义（3.8）
：当+
?∈~
,t t 时有||||)()(||~
~t t M t t -≤-εε??，于是若),,2,1(1l k t t t k k =≤≤-则由（3.7）得出
εεεδ??≤-≤-≤----||||||)()(||111k k k k t t M t t M t t
从而由式（3.8）（3.7）（3.6）得到：当),,2,1(1l k t t t k k =<≤-时有
ε????εεεε≤-=---||))(,())(,(||||))(,()(||11'
t t f t t f t t f t k k
又
ε????εεεε≤-=---||))(,())(,(||||))(,()(||11'
l l l l l l l t t f t t f t t f t
这说明)(t ε?满足作为ε逼近解的条件（3），因此，)(t ε?是方程（3.1）在+
?上的ε逼近解。 （二）设),2,1( =m m ε是任意趋向于零的正数序列。根据（一），对每一个0>m ε，都对应
方程（3.1）的一个m ε逼近解),(t x m ?=它在+
?上有定义，ξτ?=)(m ，并满足；当+
?∈~
,t t 时：
||||)()(||~
~t t M t t m m -≤-??
（3.10） 特别在（3.10）中令τ=~
t ，则得，
Mh t m +≤||||||)(||ξ?当+?∈t 时，
这说明)}({t m ?在+
?上是一致有界的，又由（3.10），显然)}({t m ?在+
?上是同等连续，根据Ascoli-Arzela 定理，在)}({t m ?必存在一个子序列)}({t k m ?，它在+
?上一致收敛于某一函数)(t ?，由于),2,1)(()( =?∈+k C t k m ?因此)()(+?∈C t ?
（三）下面证明：+
?∈t t ),(?就是方程（3.1）满足初始条件ξτ?=)(的一个解。 事实上，因)(t m ?是方程（3.1）的m ε逼近解，故
)())(,()('t t t f t m m m ?+=??，当+
?∈t 时， （3.11） 其中)(t m ?满足 m m t ε≤?||)(|| 当+
?∈t 时， （3.12） 对（3.11）两端积分，并ξτ?=)(m ，便得
+?∈?++=??t ds s ds s s f t t
m t m m ,)())(,()(τ
τ
?ξ?
特别
+?∈?++=??t ds s ds s s f t t
m t m m k
k
k
,)())(,()(τ
τ
?ξ? （3.13）
由（3.12）知+
∞→?∈=??t ds s t
m k k ,0)(lim τ
又因为),(x t f 在-
R 上一致连续以及)()(t t k m ??→在+?上一致的成立，故在+
?上一致的有
)),(,())(,(t t f t t f k m ??→当∞→k 时
从而可以在积分号下取极限，即有
??+∞→?∈=t
t
m k t ds s s f ds s s f k τ
τ
??,))(,())(,(lim
这样，在（3.13）两端令∞→k ，得
?+?∈+=t
t ds s s f t τ
?ξ?,))(,()( （3.14）
因为)(t ?在+?上是连续函数，以及右端函数，从而)(t ?在+
?上连续可微，于是（3.14）两
端对t 求导数，即得方程（3.1）的解，并且满足初始条件ξτ?=)(。
注：上述定理证明蕴含着对方程（3.1）近似求解的一种途径。如命)(k k t x ?=则有（3.8）得到近似求解的计算程序：
??
?
-+==----))(,(11110k k k k k k
t t x t f x x x ξ l k ,,2,1 =。
本文给出证明微分方程初值问题解的存在唯一性的几种方法中，全部要求右端函数),(x t f 连续。1998年, 吴从炘、李宝麟教授在不连续系统有界变差解一文中，应用比黎曼积分和勒
贝格积分更广泛的Henstock-kurweil 积分证明了右端函数),(x t f 不连续时，其初值问题存在唯一的连续有界变差解，可见微分方程解的存在性证明，就是寻求不断减弱条件来证明解的存在性。
致谢
衷心地感谢我的论文指导老师原文志教授悉心的指导和不倦的教诲，在本文写作过程中，原老师提出了许多宝贵的意见和建议。在这里同时感谢数学系的许多老师 在我四年的求学生涯中他们在生活上学习上给了我极大的帮助和支持。他们严谨的治学态度和对科学知识的探求精神深深地感染了我，令我终身受益。 感谢我的同学们对我生活和学习地帮助。
诚挚地感谢各位评委在百忙之中抽出宝贵时间来参加我的论文答辩会。
参考文献
【1】 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.第二版.北京.高等教育出版社，1983：65～79
【2】 程其襄,张奠宙,魏国强,胡善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.第二版.北京.高等教育出版社，2003：179～214
【3】 尤秉礼.常微分方程补充教程..北京.人民教育出版社，1982：1～96
【4】JACK K.HALE[美]，侯定丕 译. 常微分方程.北京.人民教育出版社,1980:15～36 【5】M.罗梭[法] ，叶彦谦 译. 常微分方程.上海.上海科学技术出版社，1981：34-41 【6】华东师范大学数学系.数学分析（上册）.第三版.北京. 高等教育出版社，1999 【7】郭大钧.非线性泛函分析.第二版.济南.山东科学技术出版社，2001:1-156
【8】夏道行，严绍宗.实变函数与应用泛函分析基础.上海.上海科技出版社，1987：401-436 【9】东北师范大学数学系.常微分方程.北京.高等教育出版社，1982：84-96
【10】东北师范大学微分方程教研室.常微分方程.第二版.北京.高等教育出版社，2005：78-87 【11】林源渠.泛函分析学习指南.北京.北京大学出版社，2009：1-48
【12】周义仓,靳祯，秦军林.常微分方程及其应用.北京.科学出版社，2003：1-22
【13】刘炳初.泛函分析.第二版.北京.科学出版社，2004：1-30
【14】魏国强,胡善文.实变函数与泛函分析学习指导.北京.高等教育出版社，2004：105-131 【15】丁同仁.常微分方程教程.北京.人民教育出版社，1981
【16】王怀柔,伍卓群.常微分方程讲义.北京.人民教育出版社,1963
【17】崔伟业，王克。隐式微分方程的存在唯一性定理。[J]齐齐哈尔轻工学院学报，1995，11（1）,26－28
【18】任永泰，史希福.常微分方程.沈阳.辽宁人民出版社，1984
【19】吴从炘、李宝麟.不连续系统有界变差解.[J]数学研究,1998,31(4),417-427
【20】Rudin W. Functional Analysis .New York:Mcgraw-Hill book comp,1973
【21】Hale J K .Ordinary Differential Equations.New York ,Wiley,1969
【22】Schwabik S. Generalized Ordinary Differential Equations. Singapore.World Scientific,1992
The other method for existence and uniqueness of solutions of the first
order differential equations
Student: Jiang Xudong Instructor:YuanWenzhi
(Class 2004101107 Department of Mathematics Taiyuan Normal University)
Abstract :In this paper, based on the existence and uniqueness of solutions of the first order differential equations was proved on the paper[1]. By using the contraction mapping theorem ,Shauder fixed point theorem, and Euler line method. We get the first order differential equations of existence and uniqueness theorem of the other method.
Key words :first order differential equations ;Fixed point theorem; Existence of solutions; uniqueness
解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件： （1）、在上连续； （2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。 则初值问题在区间上存在唯一解， 其中
二、【证明】 逐步迫近法： 微分方程等价于积分方程。 取，定义 可证明的满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设是微分方程定义于区间上满足初值条件 的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。 证： 因是微分方程的解，有 两边从到取定积分，得： 代入初值条件得： 即是积分方程定义于区间上的连续解。 反之，则有 微分得： 且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。 现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得到次近似。 从而构造逐步迫近函数序列为： 命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式 证：当时， 。显然在上有定义、连续且有 ，即命题2当时成立。 由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有： 知在上有定义、连续且有 命题2当时也成立。 由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。 命 题 3：函数序列在上一致收敛。
证：只须考虑级数-----（*） 在上一致收敛。 因其部分和为：，因， 设对成立。 则当时有 即对所有，在成立 。 其右端组成正项收敛级数 由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。 现设 则在上有定义、连续且 命 题 4： 是积分方程在上的连续解。 证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。 于是即 是积分方程在上的连续解。 命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。 证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由， ， 得： ， 。 设，则 。由数学归纳法，对所有，有 。 因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯一性，得。
解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏
解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普
希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程
第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用 （主讲：范进军） 例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理： 设D 是空间 n R R ′ 内的一个区域，函数 :?(,)(,) n F D R t x F t x ?? 是连续可微的， 而且满足条件 00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0, x F t x 1 其中初值 00 (,) t x D ? 。 则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数 () x x t = 。 证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x 1 （其中 00 (,) t x D ? ）知，存在充分小的矩形区域 { } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =?′-￡-￡> , 使得当(,) t x Q ? 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数 1 (,){(,)}(,) x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。 根据 Peano 定理知，初值问题 00 (,), () dx f t x dt x t x ì = ? í ? = ? 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =?-+> 。 从而 1 () {(,())}(,()) x t d t F t t F t t dt j j j - =- ， 0 || t t h -￡ 。 它等价于 () (,())(,()) 0 t x d t F t t F t t dt j j j += ， 0 || t t h -￡ , 即 (,()) 0 dF t t dt j = ， 0 || t t h -￡ 。
?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)
Picard存在和唯一性定理 本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 (2.1) 的初值问题 (2.2) 的解的存在与唯一性定理. 定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域 上满足如下条件： (1) 在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式： 则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解 其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的， 但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果） 2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，
但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。 3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这 时，过点 的积 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到 达R 的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R 上连续,从而存在 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之 中. 图 2-6
根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()( 存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程 (,),dy f x y dx =在区间0x x h -≤上存在唯一解00 (),()y x x y ??== ，其中 (,)min ,, max (,) x y R b h a M f x y M ∈? ?== ??? 逐步迫近法 微分方程(,)dy f x y dx =等价于积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 取00()x y ?= ， 定义0 01()(,()), 1,2,x n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()() n n x x ??→∞ =的 ()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命题1 先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+≤≤+?定义于区 间0 0x x x h ≤≤+上的连续解。反之亦然。 证 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有 ()(,())d x f x x dx ??= 两边从0x 到0 x h +取定积分 000()()(,()), x x x x f x x dx x x x h ???-= ≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得 000()(,()),x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+ ≤≤+?定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。 反之，则有 000()(,()), x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 微分之 ()(,())d x f x x dx ??= 且当0x x = 时有00 ()x y ?=。即 () y x ?=是微分方程 (,) dy f x y dx =定义于区间 00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，构造逐步迫近函数序列 000001()1,2,()(,()), x n n x x y x x x h n x y f x x dx ???-=??≤≤+=? =+?? ? 命题2 对所有n ,函数序列()n x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等 式 0()n x y b ?-≤ 证 当1n =时0 100()(,)x x x y f x y dx ?=+ ?。显然1()x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、 连续且有 0000()(,)(,)()x x n x x x y f x y dx f x y dx M x x M h b ?-= ≤ ≤-≤≤?? 命题2当1n =时成立。设命题2当n k =时成立，则对1n k =+ 根心定理 根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一： （1）三根轴两两平行； （2）三根轴完全重合； （3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。 该定理是平面几何上非常重要的定理。 一、点对圆的幂 平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数： 考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式： 由此也可以把点对圆的幂定义为： 这里 是点到圆心的距离，是圆的半径。 点对圆的幂的几何意义是明显的： 若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方； 若点在圆上，则幂为0； 若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。 二、根轴 平面上两不同心的圆 显然，对两圆等幂的点集是直线： 该直线称为两圆的根轴。根轴必垂直于两圆的连心线。 若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线； 若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线； 若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。 当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。 三、根心与根心定理（解析几何证法） 三个两两不同心的圆 任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴： 这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。因此： （i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。 （ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。 具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况： （1）三根轴两两平行； （2）三根轴完全重合； （3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。 上面所证明的即是“根心定理”。 以上用解析几何的方法证明了根心定理。在平面上，二元方程对应一条曲线，而方程组的解对应着曲线的公共点。利用这个思想，从根轴方程的线性相关性出发，容易得到平面几何上的根心定理。这种证明方法十分简单。 四、根心定理的相关例题 以下例题选自2013年（第54届）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第二天第4题： 一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dx dy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 对于所有的 都成立,L 称 2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dx dy +=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ?=h x x ≤-0且满足初始条件: 这里 00)(y x =?),min(M b a h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只 就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首路习题到位。在管路敷对设备进行调整使其在正限度内来确保机组高中 ? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 纳什均衡的存在性定理中的相关解释 教材（《经济博弈与应用》）p33，图2.1表明不动点是曲线()?f 与45o 线的交点。当函数()x f 定义在[]1,0∈x 区间上且因变量()x f y =的值域也为[]1,0区间时，如果()x f 是连续的，则必然存在不动点。 图2.1 [0,1]区间上的自变换函数的不动点 直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理不是Brouwer 角谷静夫(Kakutani)不动点定理。 定义1 S 是凸的(Convex)当且仅当对任意的M M R y R x ∈∈,及满足1 ≤≤λ的λ，只要S x ∈和S y ∈，则有 ()S y x ∈-+λλ1 定义2 S 是闭的(Closed)当且仅当对每个收敛的序列()}{∞ =1j j x ，如果对每个 j 都有()S j x ∈，则有 ()S j x j ∈∞ →lim 定义3 R M 中的子集S 是开的(open)当且仅当它的补集R M /S 是闭的。 定义4 S 是有界的(bounded)当且仅当存在某个正数K 使得对S 中的每个元素x 都有 ∑ ∈≤M m m K x 定义5 当函数()x f 满足下述性质时，我们称其为凹的： ()()()()()[]n R x x x f x f x x f ∈∈-+≥-+212121, 1,0,11λλλλλ x x 第一季第二季第三季第四季)(x f x 1 如果当()1,0∈λ时上面的不等式严格成立，则称()x f 为严格凹的。一个函数 ()x f 是凸的当且仅当函数-()x f 是凹的；()x f 为严格凸函数当且仅当-()x f 为严 格凹函数。 拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下： 定义6 函数()x f 定义在R n 中的子集D 上，当且仅当()x f 满足如下性质时， ()x f 是拟凹的： ()()()()()2121,min 1x f x f x x f ≥-+λλ ∈λ[0,1] 显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。在下图中，函数()x f 是拟凹的，但不是凹的。 图 不是凹函数的拟凹函数 x 1 y x 2 x () x f 函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b) 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ． 一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=解的存在唯一性定理的证明 摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:b y y a x x ≤-≤-00,上的连续函数. 函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对于所有的R y x y x ∈),(),,(21 都成立,L 称为 利普希兹常数 下面我们给出一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=(1)解的存在唯一性定理: 如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹 条件,则方程(1)存在唯一的解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件: 00)(y x =? 这里 ), min(M b a h = ),(max y x f M = R y x ∈),( 我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见, 只就区间h x x x +≤≤00来讨论,对于00x x h x ≤≤-的讨论完全一样. 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首 先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 []?++=x x dx x q y x p y y 0)()(0的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来替 代,因此也就等价于求积分方程 ?+=x x dx y x f y y 0 ),(0 的连续解,然后 去证明积分方程的解的存在唯一性. 任取一个连续函数)(0x ? 代入上面的积分方程右端的y 就得 到函数 dx x x f y x x x ))(,()(0 001?+≡?? 显然)(1x ?也是连续解,如果)(1x ?≡)(0x ?那么)(0x ?就是积分方 程的解.否则,我们又把)(1x ?代入积分方程右端的y 得到 dx x x f y x x x ))(,()(0 102?+≡?? 如果 ≡)(2x ?)(1x ?,那么)(1x ?就是积分方程的解,否则我们继 续这个步骤.一般地做函数 dx x x f y x x x n n ))(,()(0 10?-+≡?? (2) 这样就得到连续函数序列 )(0x ? ,)(1x ?…)(x n ?… 如果≡+)(1x n ?)(x n ?那么)(x n ?就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(x ?即 )()(lim x x n n ??=∞ → 存在因此对(2)取极限就得到 dx x x f y x x x n n n n ))(,(lim )(lim 0 10?-∞→∞ →+=?? =dx x x f y x x n n ))(,(lim 0 10?-∞ →+? =dx x x f y x x ))(,(0 0?+? 即 dx x x f y x x x ))(,()(0 0?+≡?? 唯一性定理 蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。 证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。 如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面 1 S 、2S 上各自的面电荷分布为 σ 和 σe 。壳内外的场是这四 部分电荷共同激发的。 根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件： （一） 2 ρ?ε ?=- ，ρ 为壳内电荷分布。 （二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1 s dS q σ=-? （1） 其中 V q dV ρ=? 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。在壳层 内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1） 成立。 因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ， 和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。 根据唯一性定理，满足（一）、（二）的 ? 就是解。由于（一） e 和（二）与壳外的 ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是 1 0|S ?φ= 。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。 2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。试用唯一性定理： （一）判断0 R φ是否球壳外空间的电势分布。 （二）求球壳内空间的电势分布 解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是： （a ）2 0??= （b ）球壳外表面1S 上的边界条件，1 0s ?=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞?→ 若R φ 是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来 检验： 2 2 0010R R φ? =φ?= (0),R ≠ 方程已满足。 0,0,R R φ→∞→ 满足（c ）。 S1的半径是R1代入 0R φ 后， 00 R φ≠φ 所以它不满足1S 上的边界条 件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数 A R 同时满足方程和无穷远边界条件。A 为待定常数，可由（b ）定出。在面1S 上 0,A R φ= 第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v 123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是 求一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组 第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v = 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 的满足初始条件 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n 个未知函数11,, ,n y y y - 的一阶微分 方程组. 含有n 个未知函数12,, ,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： 11122112112(,,,,) (,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=???=?????=? ? (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数 使得在[,]a b 上有恒等式 含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(3.1)的通积分. 零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>? 函数零点存在性定理: 一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)存在唯一性定理证明
根心定理
一阶线性微分方程解的存在唯一性证明
函数零点存在性定理.
[整理]一阶微分方程解的存在定理.
纳什均衡的存在性定理中的相关解释
函数零点存在性定理图文稿
一阶线性微分方程解的存在唯一性证明
唯一性定理
阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
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高中数学必修一 零点存在性定理及典例
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