第九章(二) 重积分的应用
重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求：
1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。 一、知识网络图
?????
??
?
??
?????????????求引力求转动慣量求重心
求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析
例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y
[错解]89
)2(2
212
2
21=-===?????dy y dx dy d S y D
σ
[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区
域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 23
2
2
11
212
1-=+==??????y y D
dx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)2
0(π
θ≤
≤与直线
2
π
θ=
所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24
0234
20320
220
π
θθθσρπ
θ
π
====??
???d r dr r d d M
D
[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，dxdy 应由θrdrd 来代替，解题过程中缺少了一项r 。导致计算结果错误。因此r 务必不能遗漏。
[正确解] 400245
20420
2
20
π
θθθσρπ
θ
π
==?==??
???d r rdr r d d M
D
例3. 计算以xoy 面上的圆周122=+y x 围成的区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积。 [错解] ?
?
???+----==2
22
2
111
1
y x y y D
dz dx dy dV V
[分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极
易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。
[正确解] 2
4)(1
220
1
2
222
π
θπ
=
?=+==??????≤+rdr r d dxdy y x dV V y x D
例4.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积。
[错解] 锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xoy 面上的投影区
域为x y x 222≤+，因此===
?
???θ
π
θcos 20
20
2rdr d dxdy S D
πθθπ
=?20
2cos 4d
[分析]求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。
但解法中忽略了求曲面积分在dxdy 前应有一因子2
2
1?
??
?
????+??? ????+y z x z 。
[正确解] 锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面在xoy 面上的投影
区域为x y x 22
2≤+。而2112222222
2
=++++=???? ????+??? ????+y x y y x x y z x z 。 因此
===?
???θ
π
θcos 20
20
222rdr d dxdy S D
πθθπ
2cos 2420
2=?d
例5．设薄片所占的闭区域D 为半椭圆区域：0;122
22≥≤+y b
y a x ，求均匀薄片的
重心),(y x 。 [错解]：2
ab
M πρ?
=，
0220
22=-=
?==?
?
???---dx x a x a
b
dy xdx xdxdy M x a a b
a
a
a
a
D
x ρρρ
所以0==
M
M y x
。又因232ab ydxdy M D
y ρρ=
=
??，所以π34b M M
x y =
=。 [分析]重心的计算公式为;
M M y x
=
π34b
M
M x y
=
=
，但??=D
x ydxdy M ρ，而??=D
y xdxdy M ρ。此类公式容易混淆。
[正确解]如图，
由于是均匀薄片，D 为半椭圆区域具有对称性，因此0=x 。 而?
???--=
?==220
x a a b
a
a D
x ydy dx ydxdy M ρρ232ab ρ
，2
ab M πρ?=，所以
ab ab M M
y x ρπρ2
32
2
==π
34b =
，所以)34,0(),(πb y x =。 三、综合题型分析
例6.求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积：
D 由曲线3
3
3
3
4,,4,y x y x x y x y ====所围成的第一象限内的闭区域。 [分析]试着画草图发现区域D 的形状不容易确定。但若注意到四条曲线方程可变
形为4,1,4,13333====y x y x x y x y 。由此想到可令v y
x
u x y ==33,，从而将
不规则区域D 化成一个方形区域。
[解] 令v y x
u x y ==33,，则区域D 化为：41,41≤≤≤≤v u 。 8
38
18
18
3,----==v
u y v u x ，2
3
238
1),(),(--=??=
v u v u y x J 。 81818141412
3
23
23
23
====??????----dv v du u v dud v u d A D
θσ
[方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。 例7. 求平面
1=++c
z
b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积。 [分析] 根据曲面面积计算公式：????+??+=xy
D dxdy y
z x z A 2
2)()(
1，平面1=++c
z b y a x 在xoy 面上的投影为1=+b y
a x ，即以a,
b 为直角边的直角三角形。
如图：
y
x
[解]平面
1=++c
z b y a x 可表示为y b c
x a c c z --=。故b c y z a c x z -=??-=??,， 2
2
1???
? ????+??? ????+y z x z =2
22222222
211a c a b b a ab b c a c ++=++。 =??+??+=??
D
dxdy y z x z A 2
2)()(1??++D
dxdy a c a b b a ab 2222221
=
22222
22222222
1211a c c b b a ab a c a b b a ab ++=++ [方法小结] 根据曲面面积计算公式：??
??+??+=
xy
D dxdy y
z x z A 2
2)()(1。首先须
将曲面方程化成),(y x f z =的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。本题的
特点在于因子2
2
1?
???
????+??? ????+y z x z 为一常数。因此问题就转化为计算投影区域的面积。而本题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。
例8．计算由四个平面1,1,0,0====y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及
632=++z y x 截得的立体的体积。
[分析]首先要画出题设的柱体。为此先考察柱体在xoy 面上的投影：10,10≤≤≤≤y x 。
因为柱体被平面632=++z y x 所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。
y
[解
27229012326)326(101
21
10
3260
10
10
=???
??-=??? ??--=--===?????
????--dx x dx y xy y dy
y x dx dz dy dx dV V o y
x D
[方法小结]求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。
例9．求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面
z y x -=+622截得的立体的体积。
[分析]求立体的体积，首先需画出草图。注意到抛物面z y x -=+622开口向下，因此截柱体所得立体以z y x -=+622为顶，以平面0=z 为底。而在xoy 面上的投影区域为一三角形区域, 由1,0,0=+==y x y x 所围成。
[解]
617)1(316601316)6(103321
3210
2210
60
10
10
2
2=
??
? ??--+--=-??? ??--=--===???
??
?
???----dx x x x x dx x y y x y dy
y x dx dz dy dx dV V o x
y x x
D
[方法小结]若所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。即得z 的积分区域。而x,y 的积分区域则可根据顶部在xoy 面上的投影而定。
例10.利用三重积分计算下列曲面：球面)0(,2222>=++a az z y x 及222z y x =+所围成的立体的体积。
[分析]所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在xoy 面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。但注意到所涉及的曲面方程，用球面坐标计算会更为方
a
[解] 用球面坐标，立体区域为?
???≤≤≤≤Ω?
π
?cos 2040:a r
3
40333343
40cos 20
240
20
cos cos 3
16
cos sin 3820cos 23
sin 2sin a d a d a d a r dr r d d dV V o a π??π???π?
??π??θπ
ππ
?
π
π
=-=====????
????Ω
[方法小结]若所求立体为球面、圆锥曲面等所围成，投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为方便。
例11．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。求该薄片的重心。 [分析]由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即22),(y x y x +=ρ。由 对称性可知：重心（y x ,）满足：y x =。套用重心公式，即可求得。 [解]
4
303
2
2200
06
1
])(31[)(),(a dx x a x ax dy
y x dx dy y x dx M a
x
a x
a a
a
=-+-=+==??
?
??--ρ
??
??-+==a
x a D
y dy
y x xdx xdxdy y x M 00
22)(),(ρ
5303215
1])(31[a dx x a x ax x a
=-+-=?
从而薄片的重心坐标为：a a a M M y x y 526115145
====。所以薄片的重心为)52
,52(a a 。
[方法小结]求重心有固定的公式：????=
=
D
D
y dxdy
dxdy
x M
M x ρρ，????==
D
D
x
dxdy
dxdy
y M
M y ρρ
当面密度函数关于x,y 对称，而区域D 也为对称图形时，可得y x =，从而减 计算量。
例12．求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心 [
如图所示:均匀薄片D 对称于y 轴, 重心（y x ,）必位于y 轴上, 所以0=x ,只需计算y .根据题设，用极坐标计算会比较方便。
[解] 不妨设密度为1，因为闭区域D 对称于y 轴，所以重心（y x ,）必位于y 轴上，于是0=x 。
再按公式????==
D
D
x
dxdy
ydxdy
M
M y 计算y ，由于闭区域D 位于半径为1与半径为2的两
圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。再利用极坐标计算积分：πθθθθθ
θ
π7sin sin sin 4sin 220
2===?
?????dr r d drd r ydxdy D
D
，所以
3737==
==
????ππD
D
x
dxdy
ydxdy
M
M y 。所以重心为（3
7
,0）。
[方法小结] 求重心有固定的公式：????==D
D y
dxdy
dxdy x M M x ρρ，????==D
D
x dxdy
dxdy
y M M
y ρρ，
如果物体为均匀薄片，可设密度为1，从而进一步简化计算。而题中薄片面积的
计算也比较巧妙。
例13．求均匀半球体的重心。
[分析]为使物体关于坐标系具有对称性，可取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，这样半球体的重心就位于z 轴上，从而重心只需算一个坐标分量。 [解] 取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a ，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式x 2+y 2+z 2≤a 2，z≥0来表示。显然，重心在z 轴上，故0==y x 。
8
3sin cos 23sin cos 231
120200332
3a dr r d d a d drd r r a zdv V dv z M
z a =
=?===
????????????Ω
ΩΩ
ππ
???θπθ???πρ，
因此重心为)8
3,
0,0(a
。 [方法小结] 求物体的重心,也可尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。而该题中由于物体为半球体，因此用球面坐标计算三重积分会更为方便。
例14.在均匀半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少?
[分析]设半圆形薄片的半径为R ，所接矩形薄片的另一边长度为H （如下图）,根据题意,均匀薄片的重心（y x ,）满足：y x ==0。从中可逆推出H 值。
x
[解] 设半圆形薄片的半径为R ，所接矩形薄片的另一边长度为H 。由题意，均匀薄片的重心（y x ,）满足：0==y x 。 而)3
2(232
2R H R ydy dx ydxdy M R
R x R H
D
x -===??
??---ρρρ,又因0==M M
y x 。 所以得
03
223
=-R H R 。
从中解得R H 3
2
=。所以接上去的均匀薄片另一边的长度为
R 3
2
时，其重心恰好落在圆心上。 [方法小结]对于本题，选择一个合理的坐标系有助于我们解题。由于将圆心置于原点，从而使重心坐标（y x ,）满足：0==y x 。从中可求得待定的边长。 例15．设有一半径为R 的球体，P 0是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0距离的平方成正比（比例常数k >0），求球体的重心位置。 [分析]恰当地选取坐标系可以简化计算，因此可选球心为原点，射线OP 0为正x 轴建立直角坐标系。
[解]记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点O ，射线OP 0为正x 轴建立直角
坐标系，则点P 0的坐标为（R ，0，0），球面的方程为2
222R z y x =++，设Ω的重心位置为),,(z y x ，
??????Ω
Ω
++-++-?=
dV z y R x k dV z y R x k x x ])[(])[(2222
22
由对称性，得0=y ，0=z ，而
?????????Ω
Ω
Ω
+++=++-dV
R dV z y x dV z y R x 2
222222](])[(
???=+?=2
05
52220
1532
34sin 8π
π
ππ??θR
R R dr r r d d ，
??????Ω
Ω
-=++-dV x R dV z y R x x 2
2222])[( ???Ω-=++-
=62
2215
8](32R dV z y x R π
41532158
56R
R k k
R x -
=-
=ππ
所以Ω的重心位置为?
??
??-0,0,4
R 。
[方法小结]本题也可将定点P 0设为原点，球心为Q ~，射线P 0Q ~为正z 轴建立直
角坐标系，则球面的方程为Rz z y x 2222=++，采用如上方法可求的重心位置为
（0，0，5R /4）。
例16．已知均匀半球体的半径为a ，在该球体的底圆的一旁拼接一个半径与球的半径相等，材料相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆重合，为了使拼接后的整个立体重心恰好是球心，问圆柱的高应为多少？
[分析]建立坐标系，使圆柱体与半球的底圆在XOY 面上，圆柱体的中心轴为z 轴。这样立体关于坐标系具有对称性，由题意知重心恰好为原点，利用重心坐标计算公式可反解出圆柱的高。
[解]如图所示，设所求圆柱的高为H ，半球和圆柱体分别为21,ΩΩ，
由题意知重心恰好为原点，故0===z y x ，于是
)(1
112
1
????????????ΩΩΩ
Ω
+=
=
=
zdv zdv V zdv V
dv z M
z ρ 而
)2(4
sin cos 2
220
20
3
2
20
2
1
=-=
+=+??????
??????ΩΩa H a zdz
rdr d dr r d d zdv zdv H
a
a
π
θ???θπ
π
ππ
从
中解得a H 2
2
=
。 [方法小结] 本题由于适当选取了坐标系，使重心坐标简化，而是否应用柱面坐标和球面坐标计算三重积分又是根据立体的特征而定。
例17．设均匀薄片，面密度为1，薄片所占区域为：122
22≤+b
y a x ，求转动惯量y I 。
y
[分析一]由于区域D 为椭圆，中心位于原点。因此具有对称性。所以求转动惯量
时，只须求41
区域D 上的转动惯量。
[解一]
dx x a x a
b dy dx x dxdy x I a
a
x a a b D
y 22
20
2
2
442
2-===?
??
??- 令2
,,0,0,cos ,sin π
θθθθθ=
=====a x x d a dx a x ，
???-===203
202322420)4cos 1(2
)2(sin cos sin 4π
π
π
θθθθθθθd b a d b a d a a b I y
b a b a 3
34
02]44sin [2ππ
θθ=-=
[分析二]解法一中的变量替换是比较常见的。考虑到区域D 是椭圆，可通过适当
的变量替换，将椭圆区域化为圆，从而简化计算。 [解二] 令θ
θsin ,cos br y ar x ==，则在此变换下，D ：122
22≤+b
y a x 化为：
πθ20,10≤≤≤≤r 。又
abr r y x =??)
,()
,(θ。所以 ??????===π
θθθθ20
1
32
3
2222cos cos dr r d b a abrdrd r a dxdy x I D
y
b a 34
π
=
[方法小结]在遇到积分区域为对称图形时，常利用对称性来简化计算。而根据积分形式或积分区域采用适当的变量替换往往可以提高计算效率。对于特殊图形,
例如椭圆122
22=+b
y a x ,可令θθsin ,cos br y ar x ==,从而变换为圆1=r 。
例18.求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数ρ）对于直线1-=y 的转动惯量。
[分析] 均匀薄片对于x 轴（其方程为0=y ）的转动惯量有公式
??=D
x dxdy
y I 2ρ，类似地，对于直线1-=y ，其转动惯量
??+=-=D
y dxdy y I 21)1(ρ。
[解]
ρρ
ρ
ρρ105
368
])1(8[31
)1(3)1()1(31
1
21
1
23
1
2
1
12
12=
+-=
+=+=+=??????----=dx x dx
x y dy y dx dxdy y I x D
y
[方法小结]当遇到求物体关于非坐标轴的转动惯量时，可根据物体关于坐标轴的转动惯量公式作平行推广。从而使重积分的应用更为广泛。
例19.求半径为a 的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。 [分析]设薄片所占闭区域D 可表示为0,222≥≤+y a y x ，而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量x I 。
[解] 设薄片所占闭区域D 可表示为0,222≥≤+y a y x ，则所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量x I 。
2
40
3
2
2324
1
2
41sin sin Ma a
dr r d drd r dxdy y I a
D
D
x =====?
?????π
ρθθρθθρρπ
其中ρπ2
2
1a M =为平面薄片的质量。
[方法小结]求物体关于某一条边的转动惯量,可将该边置于坐标轴上,尽量使物体的位置关于坐标系具有对称性,从而达到简化计算的目的。
例20．求高为h ，半顶角为4
π
，密度为μ的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量。
[分析]取对称轴为z 轴，圆锥体顶点为原点，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。
[解] 取对称轴为z 轴，圆锥体顶点为原点，建立坐标系。则所求转动惯量为z I 。
50
220
2
210
)(h rdr r d dz dv y x I z
h z πμ
θμμπ=
?=+=??????Ω
。
[方法小结] 取转动轴为坐标轴，则问题化为求物体关于坐标轴的转动惯量。可直接套用公式。而柱面坐标的运用可进一步简化计算。
例21. 求均匀柱体：h z R y x ≤≤≤+0,222对于点M （0,0,a ）(a>h)处的单位质量的质点的引力。
[分析]根据柱体的对称性，及3
3
,r ydv
G
r xdv
G ρρ分别是x,y 的奇函数,易知y x F F ,均
为零。因此只需计算z F 。 [解] 由柱体的对称性，及3
3
,r ydv
G
r xdv
G ρρ分别是x,y 的奇函数,易知0,=y x F F 。
而 dv a z y x a
z G dv r a z G F z ??????ΩΩ
-++-=-=32223)
)((ρρ
???
≤+-++-=h
R y x a z y x dxdy
dz
a z G 03
2
2
2
222)
)(()(ρ
]
)([2))(()(22220
3
2220
a h R h a R G a z r rdr
d dz a z G h
R
-+--+=-+-=??
?ρπθρπ
[方法小结]从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利
用其对称性，及被积函数的奇偶性来简化计算。当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。
例22．在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片，占有平面区域：0,222≥≤+y R y x ，的，过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，a OP =，求半圆形薄片对质点P 的引力。
[分析]根据引力计算公式，首先需求出匀质半圆形薄片的密度。由 区 域 D 的 对 称 性 知,0=x F z y F F ,的计算可套用公式。 [解]由 已 知，令ρ为 面 密 度 ，薄 片 面 积2
2
1R S π=
， 薄 片 质 量 M S =ρ，
∴=
ρπ22M
R 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D 的 对 称 性 知F x =0
()
??
++=D
y a
y x
yd Gm F 2
3
2
22
σ
ρ
()
?
?+-
=R
dr
a
r
r d R GmM 0
2
3
2
2
2
2
sin 2πθθπ
()
R
a r r a r r R GmM 0222
22
ln 4??????++++-=
π
=++-+?? ????422222GmM R R R a a R
R a πln
()
??++σρ-=D
23222z a y x d G ma F ()
??+-=R a r rdr d R GmMa 02
3
22022πθπ
()
()
???? ??-+=
++?-=?1a R a R G mM
2a r a r d 21R G mM 2222
R 02322222
{}
z y x F ,F ,F F =∴→
其 中
????
?
?+-++π=
=22222
y x a R R a a R R ln R G mM 4F ,
0F
???? ??-+=1a R a
R GmM 2F 222z
])([2))(()(222200
3
2220a h R h a R G a z r rdr d dz a z G h R -+--+=-+-=???ρπθρπ
[方法小结]从上题中可以看出，匀质具有对称性的物体对某一质点的引力，可利用其对称性来简化计算。当遇到积分域为圆域时，用极坐标计算更为简便。
四、考研试题分析 例23.(1989年高数一)
设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部分面积最大? [答案]a R 3
4=
. [分析] 球面∑在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积，必须建立曲面方程0),,(=z y x F ，并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面∑在定球面内部的那部分可视为球面∑与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy
2
22
1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
考研试题分析十（重积分的应用） 例1.(1989年高数一) 设半径为R 的球面的球心在定球面上,问当R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? Σ)0(2222>=++a a z y x Σ[答案]a R 3 4=. [分析] 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积， 必须建立曲面方程， 并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面Σ在定球面内部的那部分可视为球面Σ0),,(=z y x F Σ与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面Σ与定球面的交线。 [解答] 设球面方程为：两球面的交线在xoy 面上的投影为Σ.)(2222R a z y x =?++?????=?=+0 )4(42222 22z R a a R y x 设投影曲线所围平面区域为，球面xy D Σ在定球面内部的那部分方程为： 222y x R a z ???=，这部分的面积为 ∫∫∫∫∫∫??=??=++= 224202*********)(R a a R D D y x dr r R rR d dxdy y x R R dxdy z z R S xy xy πθ )20(,23 2a R a R R <0） ，求球体的重心。 0P 0P [答案] 重心为)4 ,0,0(R 。
第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；
（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，
第十章《重积分》自测题 一、单项选择题 1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22 1 221y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2 222y x y x D I e dxdy ---= ??，22 2233 y x y x D I e dxdy ---= ??则123,,I I I 大小 顺序为（ B ）。 （A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2 1 ,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D )(2 2??+=( A ) (A)? - 1 2 1dx dy y x x x )(2 2 112 2? ---+ (B) dy x x ? ---2 2 11? - +12 12 2)(dx y x (C) ? - 12 1dx dy y x x )(2 12 12 2? -- + (D) ? - 12 1dx dy y x )(1 2 12 2? - + 3．改变12 2 2 111 2 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx + ??? ?的积分次序，则下列结果正确的是（A ） （A ）??21 1),(x x dy y x f dx （B ）??2 1 1 ),(x x dy y x f dx （C ）??31 1),(x x dy y x f dx （D ）??1 3 11 ),(x x dy y x f dx 4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2 D I y x dxdy = -?? 的值为（ D ） （A ） 23 ； （B ） 43 ； （C ） 2115 ； （D ） 4615 5．设D ：2222 ,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D f x y dxdy ??可化为（ D ）。 （A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π θθθ θθ?? ； （B ）sin 402(cos ,sin )a a d f r r rdr π θθ θθ?? ； （C ）sin 400 (cos ,sin )a d f r r rdr π θ θ θθ?? ＋sin 2 cos 4 (cos ,sin )a a d f r r rdr π θπθ θ θθ?? ； （D ） sin 40 (cos ,sin )a d f r r rdr π θθ θθ? ? ＋ cos 2 4 (cos ,sin )a d f r r rdr π θπ θ θθ?? 6．Ω由不等式2 2 y x z +≥，222 (1)1x y z ++-≤确定，则???Ω dv z y x f ),,(=（D ）
重积分及其应用： ?????? ?????????????? ????++-=++=++==>=== = == ? ?? ? ????+??? ????+===' D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 22 2 2 3 22 2 2 3 22 2 22D 2 2 ) (),() (),() (),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ ρσ ρσ ρσρσρσ ρσ ρσ ρσ ρθ θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标： ????????????????????????????????????Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ΩΩ+=+=+==== = = ===???=?? ???=====??? ??===dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ?? θθ??θ?θ ??θ???θ?θ?θθθθθθθπ πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin ) ,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220 ) ,(0 2 2 2 ， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标： 曲线积分： ?? ?==<'+'=≤≤? ? ?==? ?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L ?βαψ?ψ?βαψ?β α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧
第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??
2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?
第四节 重积分的应用 1 求半径为a 的球的表面积。 解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。 由 x z ??=222y x a x --- , x z ??=222y x a y --- 得 2 2 1??? ? ????+??? ????+y z x z = 2 2 2 y x a a --- 因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0 6400km ） 解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。 的方程为 ????--=? ??? ????+??? ????+=xy D Dxy dxdy yy x R R dxdy y z x z A 2222 2 1 其中∑是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得 () απρ ρ ρ πρρρ θπ α α cos 122220sin 0 sin 0 2 2 2 2 -=-=-=?? ? R d R R d R R d A R R 由于h R R += αcos ，代入上式 得 h R h R h R R R A +? =??? ? ?+- =2 2212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 ()()5.42104.63621036246 6 2≈?+?=+=h R h R A π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π3 2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。 3．求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D 对称于y 轴，所以质心C ()y x ,必位于y 轴上，于是 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间， 高等数学教案 第十章重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准 线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.) z f x y =。 当(,) x y D ∈时,(,) f x y在D上连续且(,)0 f x y≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n个小曲 顶柱体 1 ?Ω， 2 ?Ω，， n ?Ω。 （假设 i σ ?所对应的小曲顶柱体为 i ?Ω,这里 i σ ?既代表第i个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。) 图10-1-1 从而 1 n i i V = =?Ω ∑ (将Ω化整为零) (2) 由于(,) f x y连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 ?Ω?? i i i i i i i f ≈?∈ ()() () ξησξησ (以不变之高代替变高, 求 i ?Ω的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 V f i i i i n ≈ = ∑() ξησ ? 1 (4) 为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我 们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n个小区域直径中的最大者为λ, 则 V f n i i i i = →= ∑ lim() , λ ξησ 01 ? 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xoy面上的区域D, 它在() ,x y处的面密度为() ,x y ρ,这里(),0 x y ρ≥,而且(),x y ρ在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。 图10-1-2 将D分成n个小区域1σ ?， 2 σ ?，， n σ ?，用 i λ记 i σ ?的直径, i σ ?既代表第i个小区域又代表它的面积。 当{} 1 max i i n λλ ≤≤ =很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第i小块区域的近似质量可取为 ρξησξησ (,)(,) i i i i i i ?? ?∈ 于是∑ = ? ≈ n i i i i M 1 ) , (σ η ξ ρ M i i i i n = →= ∑ lim(,) λ ρξησ 01 ? 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二）二重积分的定义 讨论高等数学 三重积分、第一类曲面积分的问题 一、 前言 在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。 二、 问题 （1） 三重积分与第一类曲面积分的概念； （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy D y x ??++=221 （3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋 于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去； 三、 解决方法 （1） 概念 三重积分 设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域， n v v v v ????，，，321，其中v ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在 每一个v ?中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ?ζηξ,,，* ?Z i ，并做和()i n i i i i v f ?∑=1 ,,ζηξ， 如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作 ()???Ω dv z y x f ,,，即 ()???Ω dv z y x f ，，=()∑=→?n i i i i i v f 1 ,,lim ζηξλ ，其中dv 为体积的微元。 曲面积分 设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ?,其中S ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S ?上的任意一点，做乘积()i i i i S f ?ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第 一类曲面积分，记作为 ??∑ dS z y x f ),,(，即 ??∑ dS z y x f ),,(= ()∑=→?n i i i i i S f 1 ,,lim ζηξλ。 （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ σ c o s d dS = ○1；()()1 ,,1 cos 22 ++= y x F y x F z x γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点 的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =??? ? ????????=→ ，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴ ()()()()1 ,,1 1 ,,11 cos 2222++= ++-= y x F y x F y x F y x F z x z x γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,() y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1 ,,1 cos 22++= y x F y x F z x γ带入○1中得： ()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++= ，∴()()?? ++=xy D z x d y x f y x f S σ1,,2 2 （3） 物理意义 第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。 重积分的应用 为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的． 关键词: 重积分；转动惯量；不等式 Abstract In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary． Keywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 引言 重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的 重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野． §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)， 《定积分的应用》复习题 一．填空： 1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A = ln ln b y a e dy ?=b-a______ 2. 2y x y ==曲线和 ____13 ____ 二．计算题： 1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解：（1）确定积分变量为y ，解方程组 2222 y x y x ?=?=-+? 得12121/22,12x x y y ==????==-?? 即抛物线与直线的交点为（2 1，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。 （2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-2 1y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 2 1y 2 ]dy (3)所求图形面积 A = ?-1 2[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 94 2．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。 解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。 抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32 ，3 ）。 故 面积A = 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 22 33113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。高等数学 第七章 定积分的应用
高数教案第十章重积分
高等数学中三重积分曲面积分的计算问题
定积分的应用
重积分的应用
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积
最新定积分应用题附答案
(完整版)高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)
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