第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
1．求由抛物线2y x =与22y x =-所围图形的面积。 解 设所围图形面积为S 。如图10-1。
解方程组22
2y x y x ?=?=-?
，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为[-1，1]。图形面积为11122221118
(2)[(2)].3
s x dx x dx x x dx ---=--=--=???
2.求由曲线ln y x =与直线1
,10,010
x x y ===所围图形的面积。
解 设所围图形总面积为S,
110
110111
1
10
10
1
(ln )ln (ln )
(ln )
(99ln1081).10
s x dx xdx x x x x x x =-+=--+-=
-??
3.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比. 解 设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,
则 : 34238cos 8)28(44
222
22
1+=-=--=??--πθθπ
πd dy y y s ,
34
62348812-=--
=-=ππππs s .
29233
4634
22
1-+=-
+=
ππππs s . 4.
求内摆线)0(sin ,cos 33>?=?=a t a y t a x 所围图形的面积.
解 设所围图形的全部面积为S.取积分变量为 t,当t 由2
π
变到0时,就得到曲线在第一象限的部分.
2
2220
42
2
2
3
22
8
3
)224613522413(
12)sin 1(sin 12)sin (cos sin 12)()(4a a dt
t t a dt t t a
dt t x t y s ππππ
ππ=?????-???=-?=-?='=?
??
5. 求心形线)0()cos 1(>+=a a r θ所围图形的面积.
解 设所围图形的面积为S.取积分变量为 θ,当θ由0变到π时,即得到曲线在x 轴上方部分.
由极坐标系下面积的积分表达式有:
2022
0220223]2sin 41sin 223[)cos cos 21(2
12)cos 1(212a a d a d a s πθθθθθθθθπππ=
++=++?=+?
=?? .
6.
求三叶形曲线)0(sin 3>=a a r θ所围图形的面积.
解 设三叶玫瑰线围成的区域面积为S,取积分变量为θ,当θ由0变到6
π
时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.(如图10-6)
2602
60226022602260
24]22sin [2)2cos 1(2sin 3sin 3sin 26
a a d a d a d a d a s πθθ???
?θθθθπππ
ππ=-=-====???? .
§2 由平行截面面积求体积
1. 如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.
解 设垂直与x 轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V . 按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:
.116
1002
2=+y x 由相似三角形边长比的关系知 ,105X h = 所以x h 2
1
= , 又A(x)=1001421100142222x x x x h y -
=?-??=?? 所以 V=
?
10
4x 100
12
x -dx=-43400)1001(340050)1001()1001(10
0232221
1002=
--=?--?x x d x 2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积. (1) ;,0,sin 轴绕x x x y π≤≤=
解 2
)2cos 1(2
sin 0
2
π
π
ππ
π
=-=
=?
?dx x xdx v 2]2sin 21[20ππ
=-x x .
(2) ;,20),0)(cos 1(),sin (轴绕x t a t a y t t a x π≤≤>-=-=
解
3
2320
22
320
22
220
25)cos cos 3cos 31()cos 1()]sin ([)cos 1(a
dt t t t a dt
t a a t t a d t a v πππππ
π
π
=-+-=-=--=???.
（3） )0()cos 1(>+=a a r θ，绕极轴；
解 )0()cos 1(>+=a a r θ为心脏线方程，其极轴（x 轴）之上部分的参数方程为
{
,
cos )cos 1(,
sin )cos 1(θθθθ+=+=a x a y πθ≤≤0 .
3
2330
32
3
22320
2
3
8
)cos 21)(cos sin _cos sin 2(sin a d a
dx
y dx y v πθθθθθθθππππ
ππ
π=+?++=-
=
?
?
?
.
（4）.122
22=+b
y a x 绕y 轴。
解 .12222=+b y a x 得22
1a x b y -= ，
πππ22202
2
34
)1(2ab dx a
x b dx y v a
a
a =-==??- .
3.已知球半径为 r,验证高为 h 的球缺体积v )).(3
(2r h h
r h ≤-=π
解 设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有
)3(31)(232222h r h x x r dx x r dx y v r
h r r
h r r
h r -=?????
?
-=-==---??ππππ 。
§3 平面曲线的弧长与曲率 1. 求下列曲线的弧长。 （1）;40,2
3≤≤=x x y
解 由于 21
2
32
3
)(x x y ='=' ,
由曲线的弧长公式有
)11010(27
8
)4
9
1(278491)23(14
2
3404
221-=
+=+=+=??
x dx x dx x s . （2）;1=+y x
解 令2u x =，则,10),1(2≤≤-=u u y 由参数方程下弧长公式
)21ln(221)]1ln(2112[22122)
12()]1(2[)2(11221121
22++=++++=+=-=-+=--??
t t t t dt t u t du u u s 令.
（3）)0,0(sin ,cos 33π≤≤>=?=t a t y t a x ： 解 t t a x sin cos 32-=',
t t a y cos sin 32?=' , =
s a dt t a dt t t t t a 62sin 23)cos (sin cos sin 320
20
2222==
+??
π
π
. (4));20,0)(cos (sin ),sin (cos π≤≤>?-=+=t a t t t a y t t t a x 解 ,cos )sin (cos t t a t t t a x ?='+='
,sin ])cos (sin [t t a t t t a y ?='?-=' .2220
20
22a dt at dt y x s ππ
π
=='+'=??
(5)3
sin 3
θ
?=a r )30,0(πθ≤≤>a
解
a d a d a d a a d r r s πθθθθ
θθ
θ
θ
θθπ
π
π
π
2
3)32cos 1(213
sin 3
cos
3
sin
3
sin
)(30
30
2
30
2
4
24
23022
=-==++='+=?
??
?
（6） )20)(0a (a r πθθ≤≤>?= . 解 ；a )a (r ='?='θ
由极坐标下弧长公式
)]412ln(2
41[)]
1ln(2
112
[
)()(2220
2220
22ππππθθθθ
θθππ+++
+=++++=+=?
a
a a d a a s .
2. 求下列各曲线在指定点处的曲率:
(1) ）；，在点（22,4=xy
解 因为 ,8,4,432x
y x y x y =''-='= 所以
1,122=''-='==x x y y .
由曲率公式,曲线在(2,2)的曲率为:
4
3
)
11(1]
)(1[12
3
2
3222
=
+=
'++''=
==x x y y k . (2) x y ln =在点(1,0); 解 因为 111
1==
'==x x x
y ,
,
所以 4
2
)
11(12
32
=
+-=
k . (3) 的点在2
)0)(cos 1(),sin (π
=
>-=-?=t a t a y t t a x .
a t a x t t =-='=
=2
2
)
cos 1(ππ
a t
a x t t =?=''=
=2
2
sin ππ ,
;
0cos 2
2
=?=''=
=ππt t t
a y .
由曲率公式有a
a a a k 42)
(2
322=
+-=
.
1
11
2
1-=-
=''==x x x y a t
a y t t =?='=
=2
2
sin π
π
(4) 的点在4
)0(sin ,cos 33π
=
>==t a t a y t a x .
)
sin (cos sin 3)(cos sin 3)()sin 2(cos cos 3)(sin cos 3)(222222t t t a t y t t a t y t t t a t x t
t a t x -=''='--=''-='
a x t 4
2
34
-
='=π a x t 42
34
=
''=π a y t 4
2
34
=
'=π a y t 4
2
34
=
''=π 所以 3
2])4
23()423[()4
23()423()
(23
222
22
3
22
a
a a a a y x y x y x k =
+-=
'+''''-'''=
.
5 定积分在物理中的某些应用
1 有一等腰梯形闸门,上下两条底边长为10cm 和6cm,高为20cm 计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.
解 如图,由B.C 点的坐标(0,5)及(20,3)求出过BC 的直线方程为:
05010=-+y x ,
即x y 10
15-
= 由于在相同深度处水的静压强相同.其值等于ρgx,故当 x ?很小时,闸门上从深度x 到x+x ?这一狭条上受的静压力为
g yxdxx dp p ρ2=≈? =2gdx x x ρ??
?
?
?
-
1015
?=20
dp p
=gdx xx x ρ???? ??
-20
010152
=dx x x ???? ??
-20
025110
=14373.33(kN)