第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）
§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）
一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：
1 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 .
2简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线
0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.
例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积.
3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程
b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( , , )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ.
??'==-b a dt t t y dx x y S β
α
χχ)(| )( || )]([ |1, 亦即 ??==β
α
βαχ)(| )( || |t d t y dx y S .
具体计算时常利用图形的几何特征 .
例2 求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 例3 求椭圆122
22=+b
y a x 所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ==
) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ?的扇形面积为
θ?221r . ) ?=βα
θθd r A )(212 .
例4求由双纽线 θ2cos 22a r = 所围平面图形的面积 .
解 ??????-∈?≥4 , 4 , 02cos ππθθ或??
????ππ45 , 43. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4π±的两条直线之间 ) . 以θ-代θ 方程不变?图形关于X 轴对称;以θπ-代θ, 方程不变, ?图形关于Y 轴对称. ( 参阅[1]P 24 图610- )
因此 ?=?=40
222cos 214π
θθa d a A .
Ex [1]P 242 1—6.
§2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）
一 已知平行截面面积求体积求立体的体积:设截面面积为],[ , )(b a x x A ∈推
导出该立体之体积: ?=b
a
dx x A V )(.
祖暅原理: 夫叠棊成立积,缘幂势即同则积不容异.(祖暅系祖冲之之子,齐梁时人, 大 约在五世纪下半叶到六世纪初)
例1 求由两个圆柱面 222a y x =+ 和 2
22a z x =+所围立体体积 . [1]P 244 E1 ( 33
16a ) 例2 计算由椭球面 122
2222=++c
z b y a x 所围立体 (椭球 )的体积 . [1] P 342 E2 ( abc π3
4 ) 二 旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.
?=b
a
dx x f V )(2π.
例3 推导高为h , 底面半径为r 的正圆锥体体积公式.
例4 求由曲线02
=-y x 和0=-y x 所围平面图形绕X 轴旋转所得立体体积.
例5 求由圆25)20(22≤-+y x 绕X 轴一周所得旋转体体积. ( 10002
π ) 例6 ,0 , :==-x e y D x X 轴正半轴 . D 绕X 轴旋转 . 求所得旋转体体积.
Ex [1]P 246 1，2，3.
§3 平面曲线的弧长 ( 1 时 )
一. 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.
二. 弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设 :L )(t x χ=，)(t y y =，,βα≤≤t 又()())( , )(B , )( , )(ββχααχy y A ，)(t χ和)(t y 在区间],[βα上连续可导且0)()(22≠'+'t y t χ. 则 L 上以A 和B 为端点的弧段的弧长为
dt t y t s ?'+'=
β
αχ22)]([)]([ .
为证明这一公式,先证以下不等式:对+
∈?R c b a ,, ,有
|| | |2222c b c a b a -≤+-+, (Ch 1 §1 Ex 第5题 (P 4) .其几何意义是:在以点),( , ),(c a b a 和)0,0(为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.) 事实上， |||||||||||||
| | |22222222222222c b c b c b c b c b c a b a c b c a b a -=+-≤+-≤+++-=+-+. 为证求弧长公式,在折线总长表达式中, 先用Lagrange 中值定理, 然后对式)()(*22i i y ξξχ'+'插项进行估计.参阅 [1]P 247.
如果曲线方程为极坐标形式)( ], , [
, )(θβαθθr r r ∈=连续可导,则可写出其参数方程θθθθsin )( ,cos )(r y r x ==.于是
θθθθθθχβ
αβαd r r d y s ??'+='+'=
)()()]([)]([ 2222.
例1 — 3 [1] P 249—250 E 1—3.
Ex [1] P 352 1.
§4 旋转曲面的面积 ( 1 时 )
用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为],[ , )(b a x x f y ∈=时，
?'+=?b
a
dx x f x f )(1)(2S 2π ；曲线方程为 ],[ , )( , )(βαχ∈==t t y y t x 时，
?'+'=?β
α
χπdt t y t x y )()()(2S 22 .
例1—2 [1] P 254—255 E 1—2.
Ex [1] P 255 1—3.
§5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )
例1—4 [1] P 255—259 E 1—2.
Ex [1] P 259 1—10.
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??
2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?
第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围 成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)， 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 １．５定积分的概念 学习目标 核心素养 １．了解定积分的概念．（难点） ２．理解定积分的几何意义．（重点、易错点） ３．通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．（难点） ４．能用定积分的定义求简单的定积分．（重点）１．通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养. ２．借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养. １．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 （１）曲边梯形的面积 １曲线梯形：由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f （x）所围成的图形称为曲边梯形（如图１所示）． ２求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值（如图２所示）． 图１图２ ３求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． （２）求变速直线运动的（位移）路程 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v（t），那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s. ２．定积分的概念 如果函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x １＜…＜x i —１＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i —１，x i ]上任取一点ξi （i ＝１,２，…，n ）作和式错误!f （ξi ）Δx ＝错误! 错误!f （ξi ），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f （x ）在区间[a ，b ]上的定积分，记作错误!f （x ）d x ，即错误!f （x ）d x ＝错误!.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）d x 叫做被积式． 思考：错误!f （x ）d x 是一个常数还是一个变量？错误!f （x ）d x 与积分变量有关系吗？ [提示] 由定义可得定积分错误!f （x ）d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即错误!f （x ）d x ＝错误!f （t ）d t ＝错误!f （u ）d u . ３．定积分的几何意义与性质 （１）定积分的几何意义 由直线x ＝a ，x ＝b （a ＜b ），x 轴及一条曲线y ＝f （x ）所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有： １ ２ ３ １在区间[a ，b ]上，若f （x ）≥0，则S ＝错误!f （x ）d x ，如图１所示，即错误! f （x ）d x ＝S . ２在区间[a ，b ]上，若f （x ）≤0，则S ＝—错误!f （x ）d x ，如图２所示，即错误!f （x ）d x ＝—S . ３若在区间[a ，c ]上，f （x ）≥0，在区间[c ，b ]上，f （x ）≤0，则S ＝错误!f （x ）d x —错误!f （x ）d x ，如图３所示，即错误!（S A ，S B 表示所在区域的面积）． （２）定积分的性质 １错误!kf （x ）d x ＝k 错误!f （x ）d x （k 为常数）； ２错误![f １（x ）±f ２（x ）]d x ＝错误!f １（x ）d x ±错误!f ２（x ）d x ； ３错误!f （x ）d x ＝错误!f （x ）d x ＋错误!f （x ）d x （其中a ＜c ＜b ）． １．在“近似代替”中，函数f （x ）在区间[x i ，x i ＋１]上的近似值（ ） Ａ．只能是左端点的函数值f （x i ） 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表 f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大格，检查/() 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下： (x a,上的极值； ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： [学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . (2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 第十章 定积分的应用 （ 8 时 ） §1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 一． 直角坐标系下平面图形的面积 ： 1 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 . 2简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线 0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. 例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积. 3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程 b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( , , )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ. ??'==-b a dt t t y dx x y S β α χχ)(| )( || )]([ |1, 亦即 ??==β α βαχ)(| )( || |t d t y dx y S . 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例2 求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 例3 求椭圆122 22=+b y a x 所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ== ) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ?的扇形面积为 θ?221r . ) ?=βα θθd r A )(212 . 高中数学复习：定积分应用 定积分的计算 1．若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 2．1 0(2)x e x dx +?等于 A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e + 3．2 0(1)x dx -?= ． 4．若 ． 5．计算定积分1 21(sin )x x dx -+=?___________． 6．设，若，则 ． 定积分的几何意义 1．由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴围成的图形的面积为 （A ）103 (B)4 (C)163 (D)6 2．直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2 D ．4 3．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A ． B ． C ． D ． 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率等于 ． 222212311 11,,,x S x dx S dx S e dx x ===???123S S S <<213 S S S <<231S S S <<321S S S <<209,T x dx T =?则常数的值为20 lg 0 ()30a x x f x x t dt x >??=?+???((1))1f f =a =14151617 5．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______． 6. 设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则 ． 答案 定积分的计算 1.（2013江西）若则123,,S S S 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 32 2 1127133x S x dx ===?，22121ln ln 21S dx x x ===?， 223121x x S e dx e e e ===-?．显然213S S S <<，故选B ． 2.（2011福建）10(2)x e x dx +?等于 A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e + 【答案】C 1 0(2)x e x dx +?，选C ． 3.（2015湖南） 20(1)x dx -?= ． 【答案】0 0>a x y = 0,==y a x 2a =a 2 2 221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===???123S S S <<213 S S S <<231S S S <<321S S S <<210()x e x e =+=高中数学定积分知识点
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