当前位置：文档之家› 第六章平稳随机过程

第六章平稳随机过程

在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov 性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压()X t 是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差()X t ，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变.

平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h 的两个时刻t 与t h +处随机过程所处的状态()X t 与

()X t h +具有相同的概率分布.一般地，两个n 维随机向量()12(),(),,()n X t X t X t 与

()12(),(),,()n X t h X t h X t h +++ 具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间

（空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用.

6.1 随机微积分

在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic

analysis ）.

在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()0X m t EX t ==，自协方差函数(,)()()X C s t E X s X t ??=??

6.1.1 均方收敛

定义6.1 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率为1收敛于二阶矩随机变量()X ω，若使

lim ()()n n X X ωω→∞

=成立集合的概率为1，即

{}

:lim ()()1n n P X X ωωω→∞

或称{()}n X ω几乎处处收敛（almost everywhere converge ）于()X ω，记作n X

..a e ??→ X .

定义 6.2 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率收敛（convergence in probability ）于二阶矩随机变量()X ω，若对于任意给定的0ε>，有

{}lim |()()|0n n P X X ωωε→∞

-≥=

记作n X p

→ X . 定义6.3 若二阶矩随机序列{()}n X ω和二阶矩随机变量()X ω满足

2lim [||]0n n E X X →∞

-= （6.1）

成立，则称n X 均方收敛（convergence in mean square ）于X ，记作n X .m s

→ X . （6.1）式的极限常常写成l i m n n X X →∞

??=或l i m n X X ??=.（l i m ??是英文limit in mean 的

缩写）.

定义6.4称二阶矩随机序列{()}n X ω依分布收敛（convergence in distribution ）于二阶矩随机变量()X ω. 若{()}n X ω相应的分布函数列{()}n F x ，在X 的分布函数每一个连续点处，有

l i m

()()n n F x F x →∞

= 记作n X d

→X . 对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：

（1）若n X .m s ??

→ X ，则n X p

??→ X ；（2）若n X .a e ??

→ X ，则n X p ??→ X ；（3）若n X p ??

→ X ，则n X d ??→ X . 值得注意的是，在四种收敛定义中，均方收敛是最简单的收敛形式，它只涉及单独一个

序列.下面我们讨论随机序列的收敛性，都是指均方收敛.

定理6.1 二阶矩随机序列{}n X 收敛于二阶矩随机变量X 的充要条件是

,l i m [

||]0

n m n m E X X →∞

-= 定理 6.2 设{},{},{}n n n X Y Z 都是二阶矩随机序列，U 为二阶矩随机变量，{}n c 为常数序列，,,a b c 为常数.令l i m n n X X →∞

??=，l i m n n Y Y →∞

??=，l i m n n Z Z →∞

??=，lim n n c c →∞

=，则

（1）l i m lim n n n n c c c →∞

→∞

??==；

（2）l i m n U U →∞

??=；

（3）l i m()n n c U cU →∞

??=；

（4）l i m()n n n aX bY aX bY →∞

??+=+；

（5）l i m l i m n n n n EX EX E X →∞

→∞

????==???

；

（6）(

)(

),l i m l i m l i m n m n m n m n m E X Y EXY E X Y →∞

→∞

??????==???????

?；

特别地，有222

l i m [||]|||l i m |n n n n E X E X E X →∞

→∞

????==???

证明（1），（2），（3），（4）由均方收敛的定义可以得证.

（5）由Schwartz 不等式 ||E XY ≤将X 取为n X X -，Y 取为1，则有

220|||[]|n n EX EX E X X ≤-=-2||0n E X X ≤-→ ()n →∞

因此 l i m l i m n n n n EX EX E X →∞

→∞

????==???

（6）由Schwartz 不等式

|[][]||[]|n m n m E X Y E XY E X Y XY -=-

[()()2]n m n m E X X Y Y X Y XY XY =--++-

[()()][()][()]n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X =--+-+-

()()[()]()n m n m E X X Y Y E X X Y E Y Y X ??????≤--+-+-??????

≤0→

因此 ,l i m [][]n m n m E X Y E XY →∞

??=.

（5）式和（6）式表明：极限运算和求数学期望运算可以交换顺序.

定理6.3 二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的充要条件是,lim n m n m E X X →∞

????

=c （常数）

证明必要性由定理6.2之（6）易知，下证充分性. 设,lim n m n m E X X →∞

????

||E X c ==，由

222||[||||]n m n n m n m m E X X E X X X X X X -=--+

22||[][]||n n m n m m E X E X X E X X E X =--+

因此 2

,lim ||20n m n m E X X c c c →∞

-=-+=.

定理6.3给出了判定二阶矩随机序列{}n X 均方收敛的方法，该条件称为洛弗（Loeve

）准则.

6.1.2 均方连续

定义 6.5 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若对0t T ∈，有0

0l i m ()(

)t t X t X t →??= ，即0

20lim |()()|0t t E X t X t →??-=?? 则称{(),}X t t T ∈在0t 点均方连续（continuity in mean square ）. 如果{(),}X t t T ∈在t T ∈每点都均方连续，则称{()}X t 在T 上均方连续.

定理6.4 （均方连续准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方连续的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续.

证明必要性：若0

l i m ()()h X t h X t →??+=，由定理6.2中（6），得到

11221212lim (,)lim [()()]X t t

t t t t

t t

R t t E X t X t →→→→=[()()](,)X E X t X t R t t ==

充分性：若12(,)X R t t 在点(,)t t 处连续，考虑到

2[|()()|](,)X E X t h X t R t h t h +-=++(,)(,)(,)X X X R t t h R t h t R t t -+-++

令0h →取极限可得.

推论6.4.1 若相关函数12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，则它在T T ?上连续. 证明若12(,)X R t t 在{(,),}t t t T ∈上连续，由定理6.4知()X t 在上均方连续，因此

1l i m ()()s t X s X t →??=，2

2l i m ()()s t X s X t →??=

再由定理6.2中（6），得

12lim (,)lim [()()]X s t s t t t t t R t t E X s X t →→→→=1212[()()](,)X E X t X t R t t ==

知12(,)X R t t 在T T ?上连续.

推论 6.4.2 如果{(),}X t t T ∈是平稳过程，则()X t 在T 上均方连续的充分必要条件是

()X t 的相关函数()X R τ在0τ=处连续，并且此时()X R τ是连续函数.

证明：由于平稳过程的相关函数()X R τ本质上是(,)X R t t τ+，所证结论很显然. 定理6.4表明：对于一般二阶矩过程在T 上均方连续性与它的相关函数（作为二元函数）在T T ?上连续性等价，而相关函数在T T ?上的连续性又等价于它在第一、三象限平分线

{(,),}t t t T ∈上的连续性；对于平稳随机过程，均方连续等价于相关函数（作为一元函数）

在原点的连续性.

6.1.3 均方导数

定义6.6 设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，若存在另一随机过程'()X t ，满足

()()lim '()0h X t h X t E X t h

→∞+--= 则称()X t 在t 点均方可微（differentiability in mean square ），记作

0()()()

'()l i m h dX t X t h X t X t dt h

→+-=

=?? 称'()X t 为()X t 在t 点的均方导数.若()X t 在每点t 都均方可微，则称它在T 上均方可微.

类似地，若随机过程{'(),}X t t T ∈在t 点均方可微，则称()X t 在t 点二次均方可微，

记为''()X t 或22

d X

dt ，称它为二阶矩过程()X t 的二阶均方导数.同理可定义高阶均方导数.

定理6.5 （均方可导准则）二阶矩过程{(),}X t t T ∈在t 点均方可微的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在.

证明由定理6.3知，()X t 在t 点均方可微的充要条件为

12120120

()()()()lim h h X t h X t X t h X t E h h →→????+-+-???????? 存在，将其展开得

1212120120(,)(,)(,)(,)lim X X X X h h R t h t h R t h t R t t h R t t h h →→??++-+-++???

? 上式极限存在的充要条件是相关函数12(,)X R t t 在点(,)t t 处广义二阶导数存在. 6.1.4 均方积分

设{(),}X t t T ∈是二阶矩过程，()f t 为普通函数，其中[,]T a b =，用一组分点将T 划分如下：01n a t t t b =<

t t -≤≤-=?，作和式

()()()n

n i i i i i S f t X t t t -=''=-∑

其中1(1,2,,)i i i t t t i n -'≤≤= .

定义6.7 如果当0n ?→时，n S 均方收敛于S ，即

lim ||0n n E S S ?→-=

则称()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积（integral in mean square ），并记

()()b

S f t X t dt ==? 10

l i m ()()()n n

i i i i i f t X t t t -?→=''??-∑ (6.2)

称(6.2)式为()()f t X t 在区间[,]a b 上的(Riemann )均方积分. 需要说明的是：均方积分

()()b

f t X t dt ?

是一个随机变量，而不是一个随机过程.，当

()1f t =时，()b

X t dt =? 10

l i m ()()n n

i i i i X t t t -?→='??-∑

定理6.6（均方可积准则）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积的充要条件是

121212()()(,)b b

X a

f t f t R t t dt dt ??

存在，特别地，二阶矩过程()X t 区间[,]a b 上均方可积的充要条件是12(,)X R t t 在

[,][,]a b a b ?上可积.

定理6.7 （数学期望与积分交换次序）()()f t X t 在区间[,]a b 上均方可积，则有

（1）()()()[()]b b a a E f t X t dt f t E X t dt ??=??????，特别地()[()]b b

a a

E X t dt E X t dt ??=??????；（2）111222()()()()b b a a E f t X t dt f t X t dt ??

???

??121212()()(,)b b X a a

f t f t R t t dt dt =?? 特别地，2

1212()(,)b

X a

X t dt R t t dt dt =?

证明由定理6.2之（5），有

101()()l i m ()()()n n

i i i i a

i E f t X t dt E f t X t t t -?→=??

''=??-????

∑?

1lim ()()()n n i i i i i E f t X t t t -?→=??

''=-????

∑

[]10

lim ()()()n n

i i i i i f t E X t t t -?→=''=-∑()[()]b

f t E X t dt =?

类似地，可证明（2）式.

均方积分有类似于普通函数积分的许多性质，如()X t 均方连续，则它均方可积；均方积分唯一性；对于a c b <<，有

()()()()()()b

c b

f t X t d t f t X t d t

f t X t d t

=+?

?；若(),()X t Y t 在区间[,]a b 上均方连续，则

[()()]()()b b

X t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+??

其中,αβ为常数，等等.

定理6.8 二阶矩过程{(),}X t t T ∈在区间[,]a b 上均方连续，则

()(),t

Y t X d ττ=? ()a t b ≤≤

在均方意义下存在，且随机过程{(),}Y t t T ∈在[,]a b 上均方可微，且有()()Y t X t '=. 推论设()X t 均方可微，且()X t '均方连续，则

()()()t

a X t X a X t dt '-=? （6 .3）

特别地，()()()b

X b X a X t dt '-=

上式相当于普通积分中的Newton Leibniz -公式.

最后，对本节的内容作一些说明.

（1）均方积分可以把区间[,]a b 推广到无穷区间上，得到广义均方积分；

（2）均方连续、均方导数、均方可积对复随机过程依然适应，但要把前面的绝对值理解为复数的模；

（3）均方连续、均方可导、均方可积都取决于相关函数的性质；

（4）在计算均方导数与均方积分时，可以把随机过程当成普通函数来处理；（5）均方导数是随机过程，均方极限与均方积分都是随机变量.

6.2 平稳过程及其相关函数

平稳过程作为特殊的二阶矩过程在工程技术中有着广泛的应用.

定义6.8 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n ，12,,,n t t t T ∈ ，

12,,,n t t t T τττ+++∈ ，

()12(),(),,()n X t X t X t 与()12(),(),,()n X t X t X t τττ+++

有相同的联合分布，则称{(),}X t t T ∈为严平稳过程，也称狭义平稳过程.

定义6.9 设{(),}X t t T ∈是随机过程，如果（1）{(),}X t t T ∈是二阶矩过程；（2）对任意,()()X t T m t EX t ∈==常数；

（3）对任意,,(,)[()()]()X X s t T R s t E X s X t R s t ∈==-，则称{(),}X t t T ∈为广义平稳过程，也称平稳过程（stationary process ）.

若T 为离散集，则称平稳过程{(),}X t t T ∈为平稳序列（stationary sequence ）. 比较两种定义：广义平稳过程对时间推移的不变性是表现在统计平均的一阶矩、二阶矩上，而严平稳过程对时间推移的不变性是表现在概率分布上. 两者的要求是不一样的，一般来说，严平稳过程要求的条件比广义平稳过程要求的条件要严格得多. 显然，广义平稳过程不一定是严平稳过程；反之，严平稳过程只有当二阶矩存在时为广义平稳过程. 值得注意的是对于正态过程来说，二者是一样的.

例6.1 设随机过程()cos()sin(),0X t Y t Z t t θθ=+>.

其中，,Y Z 是相互独立的随机变量，且2

0,EY EZ DY DZ σ====，则

()cos()sin()0EX t EY t EZ t θθ=+=

(,)[()()]X R s t E X s X t =[cos()sin()][cos()sin()]E Y s Z s Y t Z t θθθθ=++

cos()cos()sin()sin()s t EY s t EZ θθθθ+ 2

cos[()]t s σθ=- 因此，{(),0}X t t >为广义平稳过程.

例6.2 （随机电报信号过程）设随机过程{(),0}N t t ≥是具有参数为λ的Poisson 过程，随机过程{(),0}X t t ≥定义为：若随机点在[0,]t 内出现偶数次，则()1X t =；若出现奇数次，则()1X t =-.（1）讨论随机过程()X t 的平稳性；（2）设随机过程V 具有概率分布

{1}{1}12P V P V ===-=

且V 与()X t 独立，令()()Y t VX t =，试讨论随机过程()Y t 的平稳性.

解（1）由于随机点()N t 是具有参数为λ的Poisson 过程，因此，在[0,]t 内随机点出

现k 次的概率 ()(),0,1,2,!

k t P t e

k k λλ-== 因此 024{()1}()()()P X t P t P t P t ==+++???

()()[1]2!4!

t t e λλλ-=+++???()t e ch t λλ-=

135{()1}()()()P X t P t P t P t =-=+++???

()()[]3!5!

t t e t λλλλ-=+++???()t e sh t λλ-= 于是 ()()1()1()t t X m t EX t e ch t e sh t λλλλ--==?-?

[()()]t e ch t sh t λλλ-=-2.t t t e e e λλλ---=?=

为了求()X t 的相关函数，先求12(),()X t X t 的联合分布

1122{(),()}P X t x X t x ==221111{()|()}{()}P X t x X t x P X t x ====

其中1i x =-或1(1,2)i =.

设21t t >，令21t t τ=-，因为事件12{()1,()1}X t X t ==等价于事件1{()1,X t =且在

12(,]t t 内随机点出现偶数次}.由假设知，在1()1X t =的条件下，在区间12(,]t t 内随机点出现

偶数次的概率与在区间(0,]τ内随机出现偶数次的概率相等，故

21{()1|()1}()P X t X t e ch λτλτ-===

由于 1

11{()1}()t P X t e

ch t λλ-==

所以 1

121{()1,()1}()().t P X t X t e

ch t e ch λλτλλτ--=== 类似可得 1

121{()1,()1}()()t P X t X t e

sh t e ch λλτλλτ--=-=-=；

1121{()1,()1}()()t P X t X t e sh t e sh λλτλλτ--=-==； 1121{()1,()1}()()t P X t X t e ch t e sh λλτλλτ--==-=

因此 1212

(,)[()()]X R t t E X t X t = 1111()()t e ch t e ch λλτλλτ--=??+11(1)(1)()()t e sh t e ch λλτλλτ---?-? 11(1)1()()t e sh t e sh λλτλλτ--+-??111(1)()()t e ch t e sh λλτλλτ--+?-? 1()11[()()]t e ch t sh t λτλτλτ-+=---

11()()t t e e λτλτ-+--=212()2.t t e e λλτ---==

当21t t <，同理可得

212()212(,)t t X R t t e e λλτ-==

因此，对于任意12,t t ，有 212||

2||

12(,)t t X R t t e

e λλτ

---== 由于2()t X m t e λ-=与时间t 有关，故()X t 不是平稳随机过程，值得注意的是非平稳过程相关函数也可以与时间起点无关.

（2）由于20,1EV EV ==，由V 与()X t 独立知

()()0EY t EVEX t ==

2(,)[()()]Y R t t EV E X t X t ττ-=-2||

()Y e R λττ-==

所以，()Y t 是平稳过程.

例6.3 设()()X t Xf t =为复随机过程，其中X 是均值为0的实随机变量，()f t 是确

定函数. 证明()X t 是平稳过程的充要条件是()()i t f t ce ωθ+=.其中,,i c ωθ为常数.

证明充分性：若()

()i t f t ce

ωθ+=，记2

DX σ=，因此

()()[()]0X m t EX t E Xf t ===

(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-22()[()]i t i t EX c e e ωθωτθ+--+=22i c e ωτσ=

所以，()X t 是平稳过程.

必要性：若()X t 是平稳过程，则

(,)[()()]X R t t E X t X t ττ-=-2()()EX f t f t τ=-

上式必须与t 无关，取0τ=，有22|()|f t c =（常数）因此，()()i t f t ce ?=，其中()t ?为实函数，于是 2()()exp{[()()]}f t f t c i t t τ??τ-=-- 上式应与t 无关，因此

[()()]0d

t t dt

??τ--= 即

()()

d t d t dt dt

??τ-=对一切τ成立，于是 ()t t ?ωθ=+.

故 ()()i t f t ce ωθ+=.

例6.3显示了相关函数在平稳过程中的重要性，平稳过程的统计特性往往通过相关函数来表现.

例6.4 （随机相位过程）给定随机相位过程()()X t ?τ=+Θ，其中()t ?时周期为l 的函数，Θ是服从(0,)l 上均匀分布的随机变量，讨论其平稳性.

解 ()()()X m t EX t E t ?==+Θ00111()()()l t l l t t d s ds s ds l l l

?θθ??+=+?==??? 与t 无关；

(,)()()()(X R t t E X t X t

E t t ττ??τ+=+=+Θ++Θ0

()()l t t d l

?θ?τθθ=+++?? 0

11()()()()l t l

l s s ds s s ds l l ??τ??τ+=+=+??

与t 无关. 因此，随机相位周期过程是平稳过程.

下面我们来讨论联合平稳过程及相关函数的性质.

定义6.10 设{(),}X t t T ∈和{(),}Y t t T ∈是两个平稳随机过程，若它们的相关函数

()()E X t Y t τ??-??及()()E Y t X t τ??-??仅与τ有关，而与t 无关，则称()X t 和()Y t 是联合

平稳随机过程. 由定义有

(,)()()()XY XY R t t E X t Y t R τττ??-=-=?? (,)()()()YX YX R t t E Y t X t R τττ??-=-=??

当两个平稳过程()X t 和()Y t 是联合平稳随机过程时，则它们的和()W t 是平稳过程，此时有

()()()()()X Y XY E W t W t R R R ττττ??-=++??()()YX W R R ττ+=

定理6.9 (相关函数的性质) 设{(),}X t t T ∈是平稳过程，则其相关函数()X R τ具有下列性质：

（1）(0)0X R ≥；（2）()()X X R R ττ=-；（3）|()|(0)X X R R τ≤；

（4）（非负定性）对于任意实数12,,,n t t t ???及复数12,,,n ααα???，有

(,)0n

i j i j i j R

t t αα=≥∑

（5）若()X t 是周期为T 的周期函数，即()()X t X t T =+，则 ()()X X R R T ττ=+

（6）若()X t 是不含周期分量的非周期过程，当||τ→∞时，()X t 与()X t τ+相互独立，则||lim ()X X X R m m ττ→∞

证明由平稳过程相关函数的定义，得

（1）2

(0)()()|()|0X R E X t X t E X t ??==≥??

；

（2）()()()X R E X t X t ττ??=-??

()()()X E X t X t R ττ??=-=-????

；对于实平稳过程，由于()X R τ为实数，因此，()()X X R R ττ-=，即实平稳过程的相关函数为偶函数.

（3）由Schwartz 不等式有

22()()()()E X t X t E X t X t τ????-≤-????

2|()|()E X t E X t τ≤- 即 2

|()|[(0)]X X R R τ≤，因此|()|(0)X X R R τ≤；

（4）显然；

（5） ()()()X R T E X t X t T ττ??+=--??()()()X E X t X t R ττ??=-=??；

（6） ||||lim ()lim ()()X R E X t X t ττττ→∞

→∞

??=-??

||lim ()()]X X EX t E X t m m ττ→∞

=-=.

类似地，联合平稳过程()X t 和()Y t 的互相关函数具有下列性质：

（1）2|()|(0)(0),XY X Y R R R τ≤ 2|()|(0)(0)YX X Y R R R τ≤；（2）()().XY YX R R ττ-= 证明（1）由Schwartz 不等式，

22|()||[()()]|XY R E X t Y t ττ=-2[|()()|]E X t Y t τ≤-

22|()||()|(0)(0)X Y E X t E Y t R R τ≤-=；

（2）()[()()]XY R E X t Y t ττ-=-[()()]()YX E Y t X t R ττ=-=.

当()X t 和()Y t 是实联合平稳过程时，（2）式变成()().XY YX R R ττ-=，这表明()XY R τ与()YX R τ在一般情况下是不相等的，且它们不是τ的偶函数.

例 6.5 设()sin(),X t A t ω=+Θ ()sin()Y t B t ω?=+Θ-是两个平稳过程，其中

,,A B ?为常数，Θ在(0,2)π上服从均匀分布，求()XY R τ和()YX R τ.

解 ()[()()XY R E X t Y t ττ

=-[s i n ()s i n (E A t B t ωωωτ?=+Θ-+Θ-

sin()sin()

2AB t t d π

ωθωωτθ?θπ

=+-+-? 20sin()[sin()cos()2AB t t π

ωθωθωτ?π=

+++? cos()sin()]t d ωθωτ?θ-++ 1

cos().2

AB ωτ?=+ 同理可得

()cos().2

YX R AB τωτ?=

6.3 平稳过程的各态历经性

平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定，为了研究平稳过程的相关理论，必

须先明确均值函数与相关函数.但在实际应用中，随机过程的均值函数与相关函数一般是未知的，需要先通过大量的观察试验获得样本函数，然后用数理统计的点估计理论作出估计，其要求是很高的.为了提高估计的精度，需要做出多次试验，以获得许多样本函数.限于人力和财力，更限于试验周期等原因，这是不现实的.然而，对于平稳过程，它的均值函数是常数，相关函数只与时间间隔有关，它们都与起始时刻无关，也就是说，平稳过程的统计特性不随时间推移而改变，这就提供了一个是否在较宽的条件下，用样本函数估计平稳过程均值与相关函数的方法，它需要平稳过程具有各态历经性，即遍历性.

各态历经性的理论依据是大数定律.大数定律表明：随时间n 的无限增大，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均.也就是说，时间平均与状态平均殊途同归，它的直观含义是：只要观测的时间足够长，随机过程的每一个样本函数都能

够“遍历”各个可能状态.

定义6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，称

1()l i m

()2T

T X t X t dt T

-→∞

???

（6.4）

为该过程的时间均值；称

()()l i m

()()2T

T X t X t X t X t dt T

ττ-→∞-??-?

（6.5）

为时间相关函数.

定义6.12 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，若()(),..X t EX t a s ??=即

l i m

()2T

X T

T X t dt m T

-→∞

??=?

（6.6）

以概率为1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性.

若()()()()X t X t E X t X t ττ??-=-??

，即

l i m

()()()2T

X T

T X t X t dt R T

ττ-→∞

??-=?

（6.7）

则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性.

如果均方连续平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性（ergodicity ），或称()X t 是各态历经过程（ergodic process ）.

由上面的讨论知，如果()X t 是各态历经过程，则()X t 和()()X t X t τ-不再依赖

ω，而是以概率为1分别等于()EX t 和()()E X t X t τ??-??，这一方面表明各态历经过程各

样本函数的时间平均实际上可以认为是相同的，于是，对随机过程的时间平均也可以用样本函数的时间平均来表示，且可以用任一个样本函数的时间平均代替随机过程的统计平均；另一方面也表明()EX t 和()()E X t X t τ??-??

必定与时间t 无关，即各态历经过程必定是平稳过

程.但是平稳过程只有在一定的条件下才是各态历经过程.

例6.6 随机相位正弦波()cos(),X t a t t ω=+Θ-∞<<∞具有各态历经性，其中Θ是

(0,2)π上均匀分布的随机变量.

容易求得2

0,()cos 2

X X a m R τωτ==，于是()X t 的时间平均为 1()l i m

cos()2T

T X t a t dt T ω-→∞=??+Θ?

()l i m c o s c o s s i n s i n 2T T

T a t t d t T ωω-→∞=??Θ-Θ? l i

m c o s c o s 2T T T a t d t T ω-→∞=??Θ?c o s s i n l i m 0T a T

T ωω→∞Θ=??=

()X t 的时间相关函数为

21()()l i m

cos()cos(())2T

T X t X t a t t dt T

τωωτ-→∞

-=??+Θ-+Θ?

()2

l i m cos(22)cos 4T

T T a t dt T ωωτωτ-→∞=??--+Θ+?2

cos 2a ωτ=

上述结果表明：随机相位正弦波()X t 的均值与相关函数都具有各态历经性，从而()X t 具有各态历经性.

下面我们讨论平稳过程具有遍历性的条件.

定理6.10 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件是

||lim

1()||022T

X X T T R m d T T τττ-→∞????--= ???

? (6.8) 证明因()X t 是随机变量，先求它的期望与方差

1()l i m

()2T

T T E X t E X t dt T -→∞?

?=??????

? 1lim [()]2T

X T

T E X t dt m T -→∞==?

因此，随机变量()X t 的均值函数为常数()X EX t m =，由方差的性质，若能证明

()0D X t =，则()X t 依概率为1等于()EX t .因此，要证明()X t 的均值具有各态历经

性等价于证明()0D X t ??=，由于

22()|()|||X D X t E X t m ??=??- (6.9)

而 2

|()|l i m

()2T

T E X t E X t dt T

-→∞=???

221121

lim ()()4T T T T T E X t dt X t dt T --→∞

=?????? 21122

1lim

()()4T T

T T T E X t X t dt dt T --→∞??=???? 211221lim ()4T

X T

T R t t dt dt T --→∞=-??

作变换112221,t t t t ττ=+=-，变换的雅可比式为1212(,)1

(,)2

t t ττ?=?

于是

2222|

22122

22||1

|()|lim

()42T

T X T T T E X t R d d T τττττ---+→∞??=??

22222||1lim

()122T

X T T R d T

T τττ-→∞??=- ??

?? (6.10) 又因为

2222||1

1122T

T d T

T ττ-??-= ???

? 故 222222||1||||122T

X X T m m d T

T ττ-??=

- ??

?? （6.11）将(6.10) 和(6.11)代人(6.9)，得

()2221

||()lim

1()||22T

X X T T D X t R m d T

T τττ-→∞????=--

???

? (6.12) (6.12)式等于0就是()X t ??以概率1等于()X EX t m =的充要条件，证毕.

当()X t 是实均方连续平稳过程时，()X R τ为偶函数，过程()X t 的均值各态历经性的充要条件可以写成

1lim

1()02T X

X T R m d T T τττ→∞????--= ?????? （6.13）由于2()()||X X X C R m ττ=-，因此，(6.8)式等价于

221||lim 1()022T

X T T C d T

T τττ-→∞??

-= ???

? （6.14）相应地，(6.13)式等价于

1lim

1()02T X T C d T T τττ→∞??

-= ???? （6.15）定理 6.11 设{(),}X t t -∞<<∞为均方连续的平稳过程，则它的相关函数具有各态历经性的充要条件是

11112||1lim

1()|()|022T

X T T C R d T T ττττ-→∞????--= ?????? (6.16)

其中111()()()()()X C E X t X t X t X t τττττ??=----????

(6.17)

证明对于固定的τ，记()()()Y t X t X t τ=-，则()Y t 为均方连续的平稳过程，且

()()()()Y X m EY t E X t X t R ττ??==-=??

因此，()X R τ的各态历经性相当于()EY t 的各态历经性，由于

11()()()Y R E Y t Y t ττ??=-??11()()()()E X t X t X t X t ττττ??=----????

1()C τ= 由定理6.10得定理6.11成立.

定理6.12 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式

l i m ()T

X T X t dt m T

→∞??=?

（6.18 ）

以概率1成立的充要条件为

||l i m

1()02T

X T T C d T

T τττ-→∞?

?-= ???

? （6.19 ）若()X t 为实随机过程，则上式变为 0

1lim

1()0.T X T C d T T τττ→∞??

-= ???

? 定理6.13 对于均方连续平稳过程{(),0}X t t ≤<+∞，等式

1l i m

()()()T

X T X t X t d R T τττ→∞

??-=? （6.20）以概率1成立的充要条件为

111||1lim

1()|()|0T X T T C R d T T ττττ-→∞????--= ?????? （6.21）若()X t 为实随机过程，则上式变为 2

11101lim 1()()0.T X T C R d T T ττττ→∞????--= ?????

? 例6.7 （续例6.2）考虑例6.2中随机电报信号过程()Y t 均值的各态历经性.

因为它是实平稳过程，且2||()0,(),Y EY t R e λττ-==因此

22||

01lim 1002T T e d T T λτττ-→∞????--= ?????

? 由（6.13知，()Y t 是均值具有各态历经性的平稳过程.

例6.8 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性，其中Y 是方差不为0的随机变量. 解容易知道()X t Y =是平稳过程，事实上，()X EX t EY m ==（常数），

(,)X X

R t t EY DY m τ-==+（与t 无关），但此过程不具有各态历经性，因为 1()l i m

T X t Ydt Y T

-→∞

=??=?

Y 不是常数，不等于()EX t ，因此，()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似地可证相关函

数也不具有各态历经性.

实际应用中，要严格验证平稳过程是否满足各态历经性条件是比较困难的，但各态历经性定理的条件较宽，工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 因此，通常的处理方法是：先假设平稳过程是各态历经过程，然后由此假定出发，对各种数据进行分析处理，在实践中考察是否会产生较大的偏差，如果偏差较大，便认为该平稳过程不具有各态历经性.

各态历经性定理的重要意义在于它从理论上给出了如下的结论：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即

01l i m

()T X T m x t dt T →∞

=???；01()l i m ()()T

X T R x t x t dt T

ττ→∞=??+? 若样本函数()x t 只在有限区间[0,]T 上给出，则对于实平稳过程有下面的估计式

?()T

X X m m

x t dt T

≈=?

(6.22) 0

1?()()()().T X X

R R x t x t dt T τ

ττττ

-≈=+-?

(6.23)

(6.23) 式取积分区间[0,]T τ-是因为()x t τ+只对t T τ+≤为已知，即0.t T τ≤≤-

习题六

6.1 设12,,X X 是独立同分布随机变量，证明：随机序列{,1}n X n ≥是严平稳时间序列.

6.2 设随机过程()cos sin ,X t U t V t t =+-∞<<∞，其中U 与V 相互独立，且都服从

(0,1)N .

（1） ()X t 是平稳过程吗？为什么？（2） ()X t 是严平稳过程吗？为什么？

6.3 设随机过程()cos(),X t A t t ω=+Θ-∞<<∞，其中，ω为正常数，随机变量A 与

Θ相互独立，且A 的密度函数为22

22exp{},0,

0()a a a f a σσ-?????>=其它，Θ服从区间[0,2]π上的

均匀分布，求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平稳过程.

6.4设随机过程()sin ,X t Ut t T =∈，其中U 服从区间[0,2]π上的均匀分布.

（1）如果{0,1,2,}T = ，试求()X t 的均值函数与相关函数，并由此证明()X t 是平

稳时间序列.

（2）如果[0,]T =+∞，试求()X t 的均值函数，并由此证明()X t 不是平稳过程. 6.5 在习题6.2中，试求()X t ??与()()X t X t τ?+?，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.

6.6在习题6.3中，试求()X t ??与()()X t X t τ?+?，并由此证明平稳过程()X t 的均值具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性.

6.7 证明相位周期过程()()X t t ?=+Θ是各态历经过程，其中，?是有界函数.[提示：利用高等数学中周期函数的积分性质计算()X t ??与()()X t X t τ?+?.

6.8 设平稳过程{(),}X t t -∞<<∞的均值具有各态历经性，记随机过程

()()Y t X t U =+，其中，U 是与()X t 不相关的随机变量，且,1EU c DU ==.

（1）试求()Y t 函数与协方差函数，并由此证明()Y t 是平稳过程；（2） ()Y t 函数是否具有各态历经性？为什么？

6.9 设有随机过程()X t 和()Y t 都不是平稳过程，且()()cos ,X t A t t =()()sin Y t B t t =，其中()A t 和()B t 是均值为0的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证：

()()()Z t X t Y t =+是平稳过程.

6.10 设1()X t ，2()X t ，1()Y t ，2()Y t 都是均值为0的实随机过程，定义复随机过程

111()()()Z t X t iY t =+，222()()()Z t X t iY t =+

求在下列情况下1()Z t 和2()Z t 的互相关函数.

（1）所有实随机过程是相关的；（2）所有实随机过程互不相关.

6.11 设()X t 是具有相关函数为()X R τ的平稳过程，令()a T

Y X t dt +=?

，其中0,T a >为

实数，证明：2

||(||)().T

X T

E Y T R d τττ-=

6.12 设有随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中,A B 是均值为0，方差为2

σ的相互独立的正态随机变量.问：

（1）()X t 的均值是否具有各态历经性？

（2）()X t 的均方值是否具有各态历经性？

（3）若sin ,cos ,A B =Φ=Φ Φ是(0,2)π上均匀分布的随机变量，此时

2[()]E X t 是否具有各态历经性？

随机过程-答案

2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题 1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵() ()n ij P p =，二者之间的关系为 (n) n P P = 2.状态i 常返的充要条件为( ) n i i n p ∞ ==∑∞。 3.在马氏链{},0n X n ≥中，记() n i j p ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1. i j p =( ) 1n i j n p ∞ =∑,若i j p <1,称状态i 为。二. 判断题 1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若 ( ) 1 01110011111 1,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-?≥?∈X =|====X =|X =并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。 × 2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。 × 3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。× 4. 若状态i ?状态j ，则i 与j 具有相同的周期。 √ 5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。 √ 三. 简答题 1．什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。 2 .什么是时齐的独立增量过程？

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

第3章平稳随机过程的谱分析

第3章平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？ 3.1 随机过程的谱分析 3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析 )(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是： 1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件； 2．)(t f 绝对可积： +∞

3.1.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取 )(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分析。问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率。若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足 +∞<=? -∞→T T T dt t x T W 2 )(21 lim W 称为样本函数)(t x 的平均功率。对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T ，它满足： ???? ?≥<=T t T t t x t x T 0 ) ()( 称)(t x T 为)(t x 的截取函数。三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T 的付里叶变换一定存在： ??--+∞ ∞--==T T t j t j T T dt e t x dt e t x X ωωω)()()( 其付里叶逆变换为： ? +∞ ∞ -= ωωπ ωd e X t x t j T T )(21 )( 其帕塞瓦（Parseval ）等式为 ? ? ? +∞ ∞ --+∞ ∞ -= =ωωπ d X dt t x dt t x T T T T 2 2 2 )(21 )()(

随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1．为it (e -1) e λ。2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3． 1 λ 4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33?????? 。 6．(n)n P P =。 7．(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8．6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） 1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

平稳随机过程的谱分析

第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题： ●随机信号是否也可以应用频域分析方法? ●傅里叶变换能否应用于随机信号？ ●相关函数与功率谱的关系 ●功率谱的应用 ●采样定理 ●白噪声的定义 2.1 随机过程的谱分析 2.1.1 预备知识 1、付氏变换: 对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：

其反变换为： 2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到： ——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 2 ) (ωX X 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称 2 ) (ωX X 为能量谱密度。 2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量

一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。 x(t): 截取函数T 图2.1 x(t)及其截取函数 x(t)满足绝对可积条件。因此，当x(t)为有限值时，裁取函数T x(t)的傅里叶变换存在，有 T x(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T 式的变化）

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

第十二章平稳随机过程

第十二章平稳随机过程 §1 基本概念定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的常数。而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为

随机过程习题及答案

第二章随机过程分析学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数；解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

随机过程作业题及参考答案(第一章)

！第一章随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ￥ ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ? ? ?? ? ，；，。

】解： 00 11101222 11

平稳随机过程及其数字特征

平稳随机过程粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1

因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫

∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。因此，工程中平稳过程的定义如下：二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。

随机过程答案-西交大

【第一章】 1.1 证明： ∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈U 且∴1F 是事件域。 ∵222,,,,c A A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω- ∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,c c A A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈U U U U U U ∴2F 是事件域。且12F F ∈。∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈ ∴3F 是事件域。且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。 1.2 一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为 (),,,,,,,,16,6,6i j k i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ ∴样本空间()6 1= ,,n i j i k j i j k ==≥≥ΩU 事件(){} ,,|,,i j k A i j k ωω==，,,,,,6,16,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度 ()()() ,,1P 677i j k A i j = --，,,,,,16,6,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤

则(),,F P Ω为所求的概率空间。 1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ= （2）有概率测度的可列可加性可得 ()11 n n k k k k P A P A ==??= ???∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈? ∴B A F -∈,()A B A -=Φ 由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+- 即()()()P B A P B P A -=- 有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有() ()1P A P A =- （5） ∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设 ()()()()()1 121 1111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=??=-+-+- ???∑∑∑K K U 成立，则

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3 =S 。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。解： {}10,,4,3 =S 。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解： { } ,11,10=S 。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒子A 中，余者类推。（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：{}0>=v v S （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。解： {}5=B A ；（2）B A ?。解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ；（3）B A 。解：{}5,4,3,2=B A ；

文档之家

第六章 平稳随机过程

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程-答案

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

第3章 平稳随机过程的谱分析

随机过程试题带答案

期末随机过程试题及标准答案

随机过程试题及答案

平稳随机过程的谱分析

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

第十二章 平稳随机过程

随机过程习题及答案

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

随机过程复习试题及答案

随机过程试题及解答

随机过程复习题(含答案)

随机过程作业题及参考答案(第一章)

平稳随机过程及其数字特征

随机过程答案-西交大

《概率论与随机过程》第1章习题答案

第六章平稳随机过程

第3章平稳随机过程的谱分析

第十二章平稳随机过程