第三章 习 题
1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概
率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.
（1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵；
（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为
{2,1,0,1,2}S =--
（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为
10000000
0000
1q r
p q r p q r p ????????=????????
P （3）因为两步转移概率矩阵为
22
(2)
2222
22
1
0000
202220
20
000
1q rq r pq pr p q rq r pq
pr p q qr pq r p pr ????++????==+?
?++??????
P P
所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为
(2)
12(1)p p pr p r =+=+
2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则
（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1
n
n i
i X Y ==
∑，问{,1,2,}i
X i =L 是否为Markov 链？
解（1）由于
11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)
()()()()
()()
(,,,)
n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=================
========L L L L L
因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.
（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依
次
类
推
，
1121
n n X U U U --=+++L 为
1
n U -的函数，记为
1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互
独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而
12211122111
1112211 (,,,)(,,,)
(,,,)()()
n
n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L
因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.
3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果
max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻
n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值.
（1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；
（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.
证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足
........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<
故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且
??
?≤>======++i j i
j a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）
（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随
机变量，因为
{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且
}{1z X R P t n i i ===++=?
??≤>i j i
j a j ,0,（由于i X 的独立性）
故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…
{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…
{
}
1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {
}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {
}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+
,0,j j i
j i
α>?=?≤? 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
4考虑一个具有状态0,1,2,L 的Markov 链，其转移概率满足,1,11i i i i i p p p +-==-，其中
01p =，请找出为了使该Markov 链正常返，所有的i p 所应该满足的充要条件，并计算其
在这种情况下的转移概率.
解：根据题意知，要满足马尔可夫链为正常返约，当且仅当
πj i y i
P ππ=∑ j =0，1，2...
有一组解j π>0, 1j j
π=∑
根据,1,11i i i i i P P P +-==- ，方程可重写为
011q ππ=
1111,1i i i i i P q i πππ--++=+≥ 则
11,0i i i i q P i ππ++=≥ 因此010
11
....,0. (i)
i i P P i q q ππ++=≥
从而，随机游动为正常返约的充要条件是00
11
(i)
i i P P q q ∞
=+<∞∑
5 捕捉苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov 链在位置1，2之间移动，其初始位置是1，转移矩阵为0.70.30.30.7??
?
??
，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位置是2，并依照转移矩阵为0.40.60.60.4?? ???的Markov 链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而结束捕捉.
（1）证明：在捕捉的过程中，除非知道它结束的位置，否则都必须用三个状态的Markov 链来描述，其中一个是吸收状态，表示结束捕捉，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置，对此求转移矩阵；
（2）求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率； （3）求捕捉过程的平均持续时间.
证明：捕捉过程中，除非知道它结束时的位置，可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸收状态代表捕捉结束，而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转移概率矩阵。
求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率，捕捉过程的平均持续时间是多少？
解：（1）根据题意可知，在捕捉过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3
则1={蜘蛛为1，苍蝇在2} 2={蜘蛛为2，苍蝇在1} 3={蜘蛛，苍蝇在同一位置}
其中状态3也代表着捕捉结束，则转移概率矩阵为0.280.180.540.180.280.54001??
????
????
（2）分别设n X ，n Y 代表时刻n 蜘蛛和苍蝇的位置。 令{1,2}n n n P P X Y === '{2,1}n n n P P X Y === 则有{1,2}n n n P P X Y ====
111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====+'111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====
=0.281n P -+0.18'1n P -
同理'n P =0.28'1n P -+0.181n P - 且1P =0.28,'1P =0.18
(3)苍蝇被吃掉的概率为P =P {蜘蛛不动，苍蝇动}＋P {苍蝇不动，蜘蛛动} 故P ＝0.7*0.6+0.4*0.3=0.54 故捕捉过程的平均时间为1.85
6 在一个分枝过程中，每个个体的后代个数服从参数为（2，p ）的二项分布，从一个个
体开始，计算： （1）灭绝概率；
（2）到第三代群体灭绝的概率；
（3）若开始时不是一个个体，初始的群体总数0Z 是一个随机变量，服从均值为λ的泊松分布，证明：此时对于12
p >
，灭绝概率为2
exp{(12)/}p p λ-. 解 （a ）设0π=P {灭绝的概率}=
2
10
{}{j}j p j P X ===∑1
灭绝的概率|X
2
2002(1)j j j j p p j π-=??
=- ???
∑
故有222000(1)2(1)p p p p πππ=-+-+
解得2
202
2
1
|12|122(1)2p p p p p p π?±-+-+?
===-???
因为p X E 2][=，根据定理4.5.1可知， 若P ≤0.5 时 ，0π=1
P >0.5 时 ，0π= 2
2
(1)p p -
即201,0.51(),0.5p p p p π≤??
=-?>??
（b ）Ⅱ={第三代群体首次灭绝}=∑=2
1j p {第三代群体首次灭绝|j x =2}}{2j x =
=∑=2
1
j Ⅱj j j j p p C --22)1(
故Ⅱ=Ⅱ22p +2Ⅱ)1(p p - （c ）Ⅱ*=
p {群体灭绝}=∑∞
=0
k p {群体灭绝|k Z =0}}{0k Z p =
=∑∞
=0k p {群体灭绝|k Z =0}
λλ-e k k
!
=λλπ
-∞
=∑e k k
k k !
=}ex p{0λπλ-e =})21(ex p{2p p -λ
7 一辆出租车流动在三个位置之间，当它到达位置1时，然后等可能的去位置2或3.当它到达位置2时，将以概率1/3到位置1，以概率2/3到位置3.但由位置3总是开往位置1.在位置i 和位置j 之间的平均时间是12132320,30,30t t t ===，且ij ji t t =.求 （1）此出租车最近停的位置是i 的（极限）概率是多少？1,2,3i =； （2）此出租车朝位置2开的（极限）概率是多少？ （3）有多少比例的时间此出租车从位置2开到位置3?
注意，以上均假定出租车到达一个位置后立即开出.
解：根据题意有12P =1/2，13P =1/2，21P =1/3，23P =2/3，32P =0 12t =21t =20，3113t t ==30，23t =30
(a) 根据123123
2131211311
21223j i ij i i p ππππππππππππππ++=??
?=+?=??????=??=??
?=+??
∑∑ 解得12337314514πππ?
=??
?
=??
?=??
(b) 此出租汽车朝位置2开的极限概率是112332p p ππ+，为3/14
(c) 223233230
1214331312576(3020)(2030)3072143314j ji ji ij
p t p t ππ??==
?++?+?+?∑
8 转移矩阵称为双随机的，若对于一切j ，
1ij
i p
+∞
==∑，设一个具有双随机转移矩阵的
Markov 链，有n 个状态，且是遍历的，求它的极限概率.
解：由于Markov 链是状态有限的遍历链，极限分布是唯一的平稳分布，满足
121 (1)
,1,2,...,n n j i ij i p j n
πππππ=+++=???
==??
∑ 解得121...n n πππ====
。故极限分布为11
1,,...,n n
n ?? ???。
9． 设齐次Markov 链的状态空间为{1,2,3}，一步转移概率矩阵为
1010
01p
p P p p p p -??
?=- ? ?-??
其中，01p <<，问该齐次Markov 链是否是遍历的，若是，则求其极限分布.
解：解 记1q p =- ，因为
22
(2)
222
222q pq pq
p q pq
p q pq pq p ??
+??==????+??
P P
并且(2)
P
的元素都大于零，所以该齐次马尔可夫链是遍历链. 由于齐次马尔可夫链是遍历
链，因而其极限分布就是平稳分布. 设平稳分布为123{,,}ππππ=，求解方程组
123,1πππππ=++=P
即
121132
2331231
q q p q p p ππππππππππππ+=??+=??
+=??++=? 得
12
11p p q q π=
??
+
+ ???
22
1p q p p q q π=
??++ ???
2
321p q p p q q π?? ???=??++ ???
所以极限分布为
2
22
21,,111p p q q p p p p p p q q q q q q π????
?
? ?
?
???=??
????????++++++ ? ? ??????????
?
10 设一个单细胞生物处于两个状态,A B 之一，处于状态A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体.请为这样的生物群体定义一个合适的连续时间Markov 链，并且确定这个模型的适当的参数.
解：我们以()t X A ，()t X B 分别记t 时刻群体中A 细胞和B 细胞的个数，则链
()(){}0,,≥t t X t X B A 是连续时间马尔可夫链。
且根据题意：处于A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体，则转移率为：
11 设系统的“状态”可建模为两状态的连续时间Markov 链，其转移率为01,v v λμ==.当系统状态是i 时，“事件”按照速率为i α的泊松过程发生，0,1i =.记()N t 为(0,)t 中事件的个数，求 （1）()
lim
t N t t
→∞
； （2）如果初始状态是状态0，求(())E N t .
解：()a 假设初始状态处于1并保持1z 时间，然后转到状态0并保持1y 时间；然
后再转到状态1并保持2z 时间，然后再转到状态0并保持2y 时间；这样循环往复下去，则过程(){}1
,∞
i i y z 构成一交替更新过程。如果初始状态处
于0，那么过程(){}1
,∞
i i y z 构成了一延迟交替更新过程。
设处于状态1时在i z 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i z N 处于状态0时，在i y 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i y N 设()t M =到t 时刻为止更新的总个数，则有 ()()()t M t M N N N N N N t N ++++++≥Λ2211
()()()()()112211++++++++++≤t M t M t M t M N N N N N N N N t N Λ 由交替更新报酬定理知： ()()
t
N N N N t M t M t ++++∞
→Λ11lim
=
[][]
周期长度的报酬在一个周期内系统得到E E
()()m
q n m n m λ=-+1,1,,()()βn q n m n m =-+1,2,,
=μλμαλα111
0++=μλλαμα++1
()()0t
N N lim 1
t M 1t M t =+++∞
→
故有()μ
λλαμα++=∞
→1
0t t t N lim
()b 若系统的初始状态为0，类似()a 的构造知，过程(){}1
,=∞
i z y i i 仍然成为一交
替更新过程。 由()a 知 ()=
∞
→t
t N t lim
[][]周期长度的报酬在一个周期内系统得到E E =
μ
λλαμα++10
则()[][]数单位时间内发生的事件?=t t N E =
t 1
0μ
λλαμα++
12 设有一质点在1，2，3上作随机跳跃，在时刻t 它位于三点之一，且在[,]t t h +内依概率
1
0()2
h +分别可以跳到其它两个状态，求转移概率所满足的Kolmogorov 方程. 解：若2,i =则
()(),1,1,11
,1(1)22i i i i i i p h h o h q q ++=+?==
()()()(),1,1
,12
i i i i p h h o h p h h o h -=+=-+。
类似可得，{}1,2,3i ?∈，（1）式成立。其中当1i =时，13i -=，当3i =时，
11i +=，Kolmogorov 向前方程为
()()()()()()
1,,11,11,111
'22
ij jj ij j j i j j i j ij ij i j p q p t q p t q p t p t p t p t ++--+-=-++=-++
又31
1ij j p ==∑，故()()()()131'12
22ij ij ij ij p p t p t p t =-+
-=-+， 解得()()()3
32
20
102t
t t s ij ij p t e
ds p e ---=+?。
利用初始条件()100ij i j p i j =?=?≠?，解得()3
2
3
21233
1133
t ij t
e i j
p t e i j
--?+=??=??-≠??。
13 设{,0}t X t ≥为状态离散连续参数的齐次Markov 链，其状态空间为{1,2,,}m L ，且
1,,1,2,,1,ij i j
q i j m m i j
≠?==?
-=?L ，求()ij p t .
解：解 由题设设知Q 矩阵为
111111111
111m
m m -??
??-??=
???
?-??
L L M M M M L
Q 由向前方程得
()d ()1()(), d ij ij ik k j
p t m p t p t i S t
≠=-+∈∑
由
1
()1m
ik
k p
t ==∑，得
()1()ik
ij k j
p
t p t ≠=-∑
代入上面的方程，得
()d ()
1()(1())
d =()1,,1,2,,ij ij ij ij p t m p t p t t
mp t i j m
=-+--+=L 解之得
1
(), ,1,2,,mt ij p t Ce i j m m
-=+
=L 由初始条件(0)1,(0)0, ii ij p p i j ==≠，所以：
当i j =时，11C m =-； 当i j ≠时，1
.C m
=-；
于是
11()1, 1,2,,mt ii p t e i m m m -?
?=-+= ???
L
1
()(1), ,1,2,,mt ij p t e i j m m
-=
-=L
14 已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵
?
?=031
31P 3
23132????????
?31310 问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵. 解 因为转移概率矩阵是三阶的, 故此马尔可夫链的状态有三个;
二步转移概率矩阵
2)
2()2()(P p P ij ==
?
?=031313
23132?????????31310 ?
?031313
23132
?????????31310
??=929293949594???
??
???
?
939292 . 15. 在一串贝努利试验中,事件
A 在每次试验中发生的概率为p ,令
?
??=发生次试验第不发生
次试验第A n A n X n ,1,0 ,Λ,3,2,1=n
(1)
},2,1,{Λ=n X n 是否齐次马尔可夫链？
(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3) 求n 步转移概率矩阵.
解 (1) 根据题设条件 知道
Λ
Λ,,,,21n X X X 是相互独立的,
所以 },2,1,{Λ=n X n 是马尔可夫链,
又转移概率
???=======++1
,0,}{}|{1
1j p j q j X P i X j X P n n n
与n 无关,
故
},2,1,{Λ=n X n 是齐次马尔可夫链;
(2) 状态空间
}1,0{=S ,
一步转移概率矩阵
)(ij p P = ?
?=q q ??
??
p p , ?
??========++1,0
,}{}|{1
1j p j q j X P i X j X P p n n n ij .
(3)
n 步移概率矩阵
n
n ij
n P p
P ==)()
()
( ?
?=q q ??
??
p p . 16. 从次品率
)10(<
n 次抽查出的次品数,
(1)
},2,1,{Λ=n X n 是否齐次马尔可夫链？
(2) 写出状态空间和转移概率矩阵;
(3)如果这批产品共有100个,其中混杂了3个次品,作有放回抽样,求在抽查出2个次品的条件下,再抽查2次,共查出3个次品的概率. 解 (1)根据题意知,
},2,1,{Λ=n X n 是齐次马尔可夫链;
(2) 状态空间
},,,2,1,0{ΛΛn S =,
p 是次品率,p q -=1是正品率,
根据题意知
????
???+>+==<====+1
,01,,,0}|{1
i j i j p i j q i j i X j X P p n n ij ,
Λ
Λ,,,2,1,0,n j i = ;
(3)次品率
03.0=p ,
所求概率为
)
2(232}2|3{p X X P n n ===+
∑+∞
==0
3
2k k k p p
Λ
++?+?++=000q p p q
0582.097.003.022=??==pq .
17. 独立重复地掷一颗匀称的骰子, 以n X 表示前
n 次掷出的最小点数,
(1)
},2,1,{Λ=n X n 是否齐次马尔可夫链？
(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3)求}3|3,3{21===++n n n X X X P ;
(4)求}1{2
=X P .
解 (1) 根据题意知,
},2,1,{Λ=n X n 是齐次马尔可夫链;
(2)状态空间
}6,5,4,3,2,1{,=S ,
}|{1i X j X P p n n ij ===+
?
??≥=====+2,01
,1}1|{1
1j j X j X P p n n j ,
????
?????≥======+3,02,6
5
1,61
}2|{1
2j j j X j X P p n n j
????
?????≥======+4,03,6
4
2,1,61
}3|{1
3j j j X j X P p n n j ,
????
?????=======+6,5,04,6
3
3,2,1,61
}4|{1
4j j j X j X P p n n j ,
???
?
?????=======+6,05,62
4,3,2,1,61
}5|{1
5j j j X j X P p n n j ,
6,,2,1,6
1
}6|{1
6Λ=====+j X j X P p n n j ;
(3)
}3|3,3{21===++n n n X X X P
}3|3{1===+n n X X P }3,3|3{12===?++n n n X X X P
}3|3{1===+n n X X P }3|3{12==?++n n X X P
9
4
64643333=?=?=p p ;
(4)
}|1{}{}1{126
1
12i X X P i X P X P i ==?===∑=
361161611616
2
=?+?=∑=i .
18. 设齐次马尔可夫链
},2,1,0,{Λ=n X n 的转移概率矩阵为
?
?=03131P 3
23132????????
?31310 , 且初始概率分布为,3
1
}{)0(0
===j X P p j 3,2,1=j , (1) 求}3,2,1{321
===X X X P ;
(2) 求
}3{2=X P ;
(3) 求平稳分布.
解 (1)}3,2,1{321===X X X P
}1,2|3{}1|2{}1{123121=======X X X P X X P X P
}2|3{}1|2{}1{23121======X X P X X P X P
23121}1{p p X P ??==
23
1203
110}|1{}{p p j X X P j X P j ??====∑=
23123
1
10}{p p p j X P j j ??==∑=
81
4)03131(313132=++??=; (2)
}3{2=X P }|3{}{03
1
20j X X P j X P j ====∑=
)
2(33
1
0}{j j p j X P ∑===
27
7
)939292(31=++= ;
(3)平稳分布
),,(321p p p 满足方程组
03
1
313211p p p p ++=,
3
23132321
2p p p p ++=,
3
13103213p p p p ++=,
1321=++p p p
解之得
4
1,42,41321===p p p .
19. 具有三状态:0,1,2的一维随机游动,以j t X =)(表示时刻t 粒子处在状态
),
2,1,0(=j j 过程
}
,,,),({210Λt t t t t X =的一步转移概率矩阵
??=0q q P q p 0 ????
?p p 0 ,
(1) 求粒子从状态1经二步、经三步转移回到状态1 的转移概率;
(2) 求过程的平稳分布. 解 (1)
}1)(|1)({2)
2(11===+n n t X t X P p
pq pq qp p p k k k 2012
1=++==∑=,
??==22
2)
2(q q q P P pq pq pq 2 ?????
?+22
2
p pq p p ,
??+++==23
33223)
3(2pq q pq q p q q P P q p pq pq qp pq 222
2++
?????
?++323
2222p q p p q p p 于是
pq t X t X P p n n ====+}1)(|1)({3)3(11,
(2) 平稳分布
),,(210p p p 满足方程组
02100p q p q p p ++=,
q p p p p p 21010++=,
p p p p p p 21020++=,
1210=++p p p ,
解之得
pq q p -=120 , pq
pq p -=11,pq p p -=122 . 20. 设同型产品装在两个盒内,盒1内有8个一等品和2个二等品,盒2内有6个一等品和4个二等品.作有放回地随机抽查,每次抽查一个,第一次在盒1内取.取到一等品,继续在盒式内取;取到二等品,继续在2盒内取.以
n
X 表示第
n
次取到产品的等级数,则
},2,1,{Λ=n X n 是齐次马尔可夫链.
(1) 写出状态空间和转移概率矩阵;
(2) 恰第3、5、8次取到一等品的概率为多少？ (3) 求过程的平稳分布
解(1)根据题意,
状态空间
}2,1{=S
5
4
108}1|1{111==
===+n n X X P p , 5
1102}1|2{112==
===+n n X X P p ,
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下： 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24 ，共 12 小题，每空 1 分） 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量，可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布， 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时，加性噪声是否存在？是乘性噪声是否存在？否。 6 、信道容量是指：信道传输信息的速率的最大值，香农公式可表示为： C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f（t）载波为cos c t，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t，频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m （t ）分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息， DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的码间串 扰，二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时， A 律对数压缩特性采用13折线 近似，律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题（总分18 ，共 4 小题） 1 、随参信道传输媒质的特点？（ 3 分） 答：对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散，幅值连续的脉冲信号；量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号；编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系？（ 6 分） 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻；对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定；图的阴影区的垂直高度，表示信号幅度畸变范围；图中央横轴位置对应判决门 限电平；抽样时刻上，上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。（ 3 分） 一个频带限制在（ 0，f H）内的时间连续信号m(t) ，如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样，则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ，试编为 AMI 码和 HDB 3 码（第一个非零码编 为 +1 ），并画出相应波形。（6 分） 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？ 解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从 等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米） 求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得： （1） 回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2期末随机过程试题及标准答案
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